11 класс. Геометрия. Зачет. Тела вращения
учебно-методический материал по геометрии (11 класс)

Зачет   «Тела вращения»

1 вариант

№13 ЕГЭ, база

1. Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на π.
2. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2π, а диаметр основания равен 1. Найдите высоту цилиндра.
3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 2π, а высота равна 1. Найдите диаметр основания.
4. Во сколько раз увеличится площадь боковой поверхности конуса, если его образующую увеличить в 3 раза?
5. Высота конуса равна 4, а диаметр основания — 6. Найдите образующую конуса.
6. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.
7. Даны два шара с радиусами 3 и 1. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

№16 ЕГЭ, база

8. Площадь осевого сечения цилиндра равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на π.
9. Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
10. Куб вписан в шар радиуса . Найдите объем куба.
11. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 18. Найдите площадь поверхности шара.

12. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен . Найдите образующую конуса.

Дополнительно: (№14 ЕГЭ, профиль)

13)  В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В1 и С1, причем ВВ1 — образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол АВС1 прямой.

б) Найдите угол между прямыми ВВ1 и АС1, если АВ = 6, ВВ1 = 15, В1С1 = 8.

Зачет   «Тела вращения»

2 вариант

№13 ЕГЭ, база

1. Радиус основания цилиндра равен 7, высота равна 10. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на π .
2. Длина окружности основания цилиндра равна 3. Площадь боковой поверхности равна 6. Найдите высоту цилиндра.
3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 40π а диаметр основания равен 5. Найдите высоту цилиндра.
4. Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания уменьшится в 1,5 раза, а образующая останется прежней?
5. Высота конуса равна 4, а длина образующей — 5. Найдите диаметр основания конуса.
6. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?
7. Даны два шара. Диаметр первого шара в 8 раз больше диаметра второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

№16 ЕГЭ, база

8. Радиус основания цилиндра равен 26, а его образующая равна 9. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 24. Найдите площадь этого сечения.
9. Длина окружности основания конуса равна 8, образующая равна 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
10. Куб вписан в шар радиуса . Найдите объем куба.
11. Около шара описан цилиндр, площадь поверхности которого равна 45. Найдите площадь поверхности шара.

12. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен . Найдите образующую конуса.

Дополнительно: (№14 ЕГЭ, профиль)

13) В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания — точки В1 и С1, причем ВВ1 — образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол АВС1 прямой.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если AB = 20, BB1 = 15, B1C1 = 21.

Ответы:

1 вариант

1. 12,
2. 2,
3. 2,
4. 3,
5. 5,
6. 12,
7. 9,
8. 4,
9. 3,
10. 8,
11. 18,
12. 10.
13. (дополн.)

Решение.

а) Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую АС1. Обозначим точку пересечения этой плоскости и окружности основания цилиндра, содержащую точку А, через точку С. Тогда СС1 — образующая цилиндра. Отрезок АС пересекает ось цилиндра. Значит, он проходит через центр окружности основания цилиндра, то есть является ее диаметром. Следовательно угол АВС прямой.

Прямая СС1 является образующей цилиндра, поэтому она перпендикулярна прямой АВ. Таким образом, прямая АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ВСС1 (BС и СС1), а значит, прямая АВ перпендикулярна плоскости ВСС1 и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и ВС1. Значит, угол АВС1 прямой.

б) Поскольку прямые ВВ1 и СС1 параллельны, искомый угол равен углу АС1С.

Треугольники АВС и АСС1 являются прямоугольными, поэтому:

 ,     .

Ответ. .

2 вариант

1. 140,
2. 2,
3. 8,
4. 1,5,
5. 6,
6. 4,
7. 64,
8. 180,
9. 32,
10. ,
11. 30,
12. 56.
13. (дополн.)

Решение.

а) Рассмотрим плоскость, проходящую через ось цилиндра и прямую АС1. Обозначим точку пересечения этой плоскости и окружности основания цилиндра, содержащую точку А, через точку С. Тогда СС1 — образующая цилиндра. Отрезок АС пересекает ось цилиндра. Значит, он проходит через центр окружности основания цилиндра, то есть является ее диаметром. Следовательно угол АВС прямой.

Прямая СС1 является образующей цилиндра, поэтому она перпендикулярна прямой АВ. Таким образом, прямая АВ перпендикулярна плоскости ВСС1б а значит, угол АВС1 прямой.

б) Отрезок AC является диаметром основания цилиндра. Значит, длина

окружности основания цилиндра равна

Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна .

Ответ: б) .

Критерий оценок (за 12 заданий)

«5»  11,12 баллов

«4»  9, 10 баллов

«3»  6 – 8 баллов