Тренировочные листы по геометрии.ОГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс)

ОГЭ.             Тренировочные листы ,геометрия,9класс.

       1.   Ф. Имя ___________________________________________

Ответы:

1. 16
2. 22
3. 156
4. 2,5
5. 13

Решение:

1. Проведём вторую высоту и введём обозначения, как показано на рисунке. Треугольник ABH — прямоугольный, угол ABH=180⁰-90⁰-45⁰=45⁰. углы BAH и ABH равны, следовательно, треугольник ABH — равнобедренный, AH=BH=5. В четырёхугольнике HBCK BC параллельно HK.  И ВН параллельна СК,  следовательно, он параллелограмм. Угол ВНК=90⁰, значит, НВСК — прямоугольник, откуда ВН=СК=5 и ВС=НК=6. Поскольку трапеция равнобедренная, углы ВАН и CDK равны. Треугольники ABH и CDK прямоугольные, BH=CK, ˪BAH=˪CDK,  следовательно, эти треугольники равны, откуда AH=KD= 5. Большее основание трапеции AD=AH+HK+KD=5+6+5=16

Ответ: 16.

2. Угол ACB — вписанный, опирается на дугу AB, поэтому он равен половине дуги AB, то есть величина дуги AB равна 2 · 79° = 158°. Поскольку BD — диаметр, градусная мера дуги BAD равна 180°. Градусная мера дуги AD равна разности градусных мер дуг BAD и AB: 180° − 158° = 22°. Угол AOD — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, он равен 22°.

Ответ: 22.

3. Из прямоугольного треугольника АВН, найдём ВН:

Площадь ромба можно найти как произведение основания на высоту:

Ответ: 156.

4. Введем обозначения, как показано на рисунке и проведём медиану треугольника AH. В прямоугольном треугольнике ABC длины катетов равны 3 и 4, поэтому гипотенуза равна  В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из прямого угла, равна половине гипотенузы, т. е. 5 : 2 = 2,5.

Ответ: 2,5.

5. Проверим каждое из утверждений.

1) «Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии.»— верно, при четном количестве углов оси симметрии проходят через противоположные вершины и через середины противоположных сторон.

2) «Прямая не имеет осей симметрии.» — неверно, прямая имеет бесконечное число осей симметрии.

3) «Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.» — верно, ромб является параллелограммом, а середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии.

4) «Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии.» — неверно, у равнобедренного треугольника одна ось симметрии.

Ответ: 13.

   2.       Ф. Имя ___________________________________________

Ответы:

1. 125
2. 6
3. 28
4. 2
5. 12

Решение:

1. Так как ˪1 и ˪2, односторонние и их сумма равна 180°, прямые, которые заключают эти углы, — параллельны. Найдем угол, смежный с углом 3: 180⁰-55⁰=125⁰. Этот угол и угол 4 соответственные и равные, так как прямые параллельны. Таким образом, угол 4 = 125°.

Ответ: 125.

2. Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный, его боковые стороны равны радиусу.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть AOB равен x, тогда x + 60° + 60° = 180°, где x = 60°. Треугольник, у которого все углы равны, — равносторонний треугольник; значит, радиус равен 6.

Ответ: 6.

3. Площадь получившейся фигуры равна разности площадей квадрата и прямоугольника: 6 · 6 − 4 · 2 = 28.

Ответ: 28.

4. Опустим перпендикуляр из точки B на прямую AO для получения прямоугольного треугольника. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему: tgAOB=4:2=2

Ответ: 2.

5. Проверим каждое из утверждений.

1) «Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны» — верно по признаку подобия треугольников.

2) «Вертикальные углы равны» — верно, это теорема планиметрии.

3) «Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой» — неверно, это утверждение справедливо только для равностороннего треугольника.

Ответ: 12.

 3. .       Ф. Имя ___________________________________________

Ответы:

1. 36
2. 144
3. 1600
4. 67,5
5. 13

Решение:

1. Углы AOD и DOB — смежные, вместе составаляют развёрнутый угол, следовательно, ∠AOD = 180° − ∠DOB = 180° − 108° = 72°. Поскольку OK — биссектриса угла AOD, ∠AOK = ∠KOD = ∠AOD/2 = 72°/2 = 36°.

Ответ: 36.

2. Треугольник MON — равнобедренный. Тогда ∠MON = 180° − 2·18° = 144°.

Ответ: 144.

3. Все стороны квадрата равны, поэтому сторона длина стороны квадрата равна 160:4=40. Найдём площадь квадрата как квадрат его стороны: S=40²=1600

Ответ: 1600.

4. Проведём вспомогательное построение. Заметим, что дуга BC составляет ровно четверть окружности, следовательно, она равна 360°/4 = 90°. Угол BAC — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается, значит, он равен половине дуги BC: 90°/2 = 45°. Треугольник ABC — равнобедренный, следовательно,:

Ответ: 67,5.

5. Проверим каждое из утверждений.

1) «Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части» — верно по свойству равнобедренного треугольника.

2) «В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны» — неверно, это утверждение справедливо исключительно для ромба, а не для прямоугольника.

3) «Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу» — верно, т. к. окружность — множество точек, находящихся на заданном расстоянии от данной точки.

Ответ: 13.

   4.       Ф. Имя ___________________________________________

Ответы:

1. 18
2. 42
3. 25
4. 2
5. 13

Решение:

 1. Так как треугольник АВС равносторонний, то его медиана BH является и биссектрисой, и высотой. Тогда треугольник ABH - прямоугольный. Тогда:

Ответ: 18

2. Так как ∠AOC и ∠AOB — смежные, ∠AOB = 84°. Центральный угол равен дуге на которую он опирается, поэтому градусная мера дуги AB равна 84°. Угол ACB — вписанный и равен половине дуги, на которую опирается, поэтому ∠ACB = 42°.

Ответ: 42.

3. Диагональ прямоугольника делит его на два прямоугольных треугольника. Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы, поэтому СD = 5. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:

Ответ: 25.

4. Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. По рисунку определяем это расстояние, оно равно двум клеткам, или 2 см.

Ответ: 2.

5. Проверим каждое из утверждений.

1) «Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают» — верно, т.к. совпадают точки пересечения биссектрис и серединных перпендикуляров этого треугольника.

2) «Существует квадрат, который не является ромбом» — неверно; верным будет утверждение: «Существует ромб, который не является квадратом».

3) «Сумма углов любого треугольника равна 180°» — верно по свойству треугольника.

Ответ: 13.

     5.     Ф. Имя ___________________________________________

Ответы:

1. 27
2. 128
3. 120
4. 5
5. 23

Решение:

1. Так как ВМ - медиана, следовательно, 

Ответ: 27

2. Угол ACB — вписанный, равен половине центрального угла, опирающийся на ту же дугу, то есть AОВ = 52°. Угол ВОD — развернутый, поэтому угол AOD равен 180° − 52° = 128°.

Ответ: 128.

3. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон. Найдём стороны прямоугольника. Пусть x — меньшая сторона прямоугольника. Тогда периметр прямоугольника равен 2(х+х+2)=44, откуда х=10. Поэтому площадь прямоугольника равна 10•12=120

Ответ: 120.

4. Расстояние от точки А до середины отрезка ВС равно пяти сторонам клетки, или 5 см.

Ответ: 5.

5. Проверим каждое из утверждений.

1) «Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым» — неверно, т. к. смежные углы в сумме составляют 180°.

2) «Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны» — верно, т. к. квадрат — частный случай ромба.

3) «В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности» — верно, т. к. окружность — это множество точек, находящихся на заданном расстоянии от данной точки.

Ответ: 23.

      6.    Ф. Имя ___________________________________________

Ответы:

1. 37
2. 6,5
3. 40
4. 4
5. 12

Решение:

1. Поскольку MN соединяет середины двух сторон треугольника ABC, MN является средней линией, она параллельна AC и равна её половине:

MN=АС:2=74:2=37

Ответ: 37

2. Пусть R — радиус описанной окружности. Так как окружность описана вокруг прямоугольного треугольника, то ее центр лежит на середине гипотенузы. Таким образом, гипотенуза равна 2R.

По теореме Пифагора имеем:

Ответ: 6,5.

3. Площадь параллелограмма равна произведению длины основания на высоту:

Ответ: 40.

4. Заметим, что высота, опущенная из точки B на сторону AC равна 4.

Ответ: 4.

5. Проверим каждое из утверждений.

1) «Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны» — верно, по признаку подобия треугольников.

2) «Сумма смежных углов равна 180°» — верно по свойству смежных углов.

3) «Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой» — неверно, это утверждение справедливо только для равностороннего треугольника.

Ответ: 12.

 7.         Ф. Имя ___________________________________________

Ответы:

1. 672
2. 6
3. 24
4. 4
5. 1

Решение:

1. Пусть р — полупериметр треугольника. Можно не находить высоту, а найти площадь по формуле Герона:  

Ответ: 672

2. Найдем отрезок DO: DO = OB − BD = 5 − 1 = 4. Так как OB перпендикулярен AC, треугольник AOD — прямоугольный. По теореме Пифагора имеем: . Треугольник AOC — равнобедренный так как AO = OC = r, тогда AD = DC. Таким образом, AC = AD·2 = 6.

Ответ: 6.

3. Диагонали ромба пересекаются под углом 90° и точкой пересечения делятся пополам. Из прямоугольного треугольника, катетами которого являются половины диагоналей ромба, а гипотенузой — сторона ромба, по теореме Пифагора найдем половину неизвестной диагонали:  Тогда вся неизвестная диагональ равна 8.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

Ответ: 24.

4. Из рисунка видно, что длина стороны АС равна 8. Длина средней линии равна половине длины стороны АС, следовательно, 4.

Ответ: 4

5. Проверим каждое из утверждений.

1) «Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°» — верно, по теореме о вертикальных углах.

2) «Любые две прямые имеют ровно одну общую точку» — неверно, утверждение справедливо только для пересекающихся прямых.

3) «Через любые три точки проходит ровно одна прямая» — неверно, не всегда через три точки можно провести одну прямую.

4) «Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.» — неверно, перпендикуляр, проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой.

Ответ: 1.

Источники:

 https://oge.sdamgia.ru/test?theme=20 

https://math-oge.sdamgia.ru/test?theme=12 

https://math-oge.sdamgia.ru/test?theme=15 

https://math-oge.sdamgia.ru/test?theme=95 

https://math-oge.sdamgia.ru/test?theme=41 

https://math-oge.sdamgia.ru/test?theme=57