Контрольная работа 9 класс
методическая разработка по геометрии (9 класс)

Вариант 1

1. Две стороны треугольника равны соответственно 1 см и  см, а угол между ними составляет 135°. Найдите третью сторону треугольника.
2. В треугольнике ABC A = 60°, B = 45°, АСС =  см. Найдите сторону ВС.
3. Большая диагональ и большая сторона параллелограмма соответственно равны см и 2 см, а его острый угол составляет 30°. Найдите меньшую сторону параллелограмма.
4. В равнобокой трапеции ABCD с основаниями AD и ВС. ВС = 4 cм, BDC = 30°, BDA = 45°. Найдите радиус окружности, описанной вокруг трапеции, и ее боковую сторону.

Вариант 2

1. Две стороны треугольника равны соответственно 3 см и 8 см, а угол между ними составляет 60°. Найдите третью сторону треугольника.
2. В остроугольном треугольнике ABC: AB =  см, ВС =  см, A = 45°. Найдите угол С.
3. Большая диагональ параллелограмма равняется  см и образует со сторонами углы, которые равняются соответственно 15° и 45°. Найдите большую сторону параллелограмма.
4. Стороны треугольника равны 16 см, 18 см и 26 см. Найдите медиану, проведенную к большей стороне треугольника.

Ответы и решения к задачам контрольной работы

Вариант 1

1. Пусть в треугольнике ABC (рис. 54) АВ = 1 см, АС =  см, A = 135°, тогда по теореме косинусов имеем: ВС2 = АВ2 + АС2 – 2АВ ∙ AC ∙ cosА;

ВС2 = 12+  – 2 ∙ 1 ∙  ∙ cos135°; ВС2 = 19 + 2 ∙ 3 ∙ ; ВС2 = 25. ОтсюдаВС = 5 см.

Ответ. 5 см.

2. По теореме синусов имеем: ; ; ;

ВС =  = 3 (см).

Ответ. 3 см.

3. Пусть в параллелограмме ABCD (рис. 55) ВС = 2 см, АС = см,

ВАС = 30°, тогда ABC = 180° - 30° = 150°.

Из треугольника ABC имеем: АСС2 = АВ2 + ВС2 – 2 АВ ∙ ВС ∙ cosВ.

19 = АВ2 + 12 + 2АВ ∙ 2 ∙ , АВ2 + 6АВ – 7 = 0, отсюда АВ = -7 (не удовлетворяет условию задачи) или АВ = 1 (см).

Ответ. 1 см.

4. Окружность, описанная около трапеции ABCD (рис. 56), совпадает с окружностью, описанной около треугольника BCD. По теореме синусов из треугольника BCD имеем: = 2R, отсюда R = = = 4(см); DBC =BDA = 45°.

Из треугольника BCD имеем:  = 2R, отсюда CD = 2RsinDBA =

= 2 ∙ 4 ∙ sin45° = 8 ∙  = 4 (см).

Ответ. 4 см, 4 см.

Вариант 2

1. Пусть в треугольнике ABC (рис. 57) АВ = 3 см, АСС = 8 см, А = 60°, тогда за теоремой косинусов имеем:

ВС2 = АВ2 + АСС2 – 2АВ ∙ AC ∙ cosa = 9 + 64 – 2 ∙ 3 ∙ 8 ∙  = 73 – 24 = 49.

Отсюда ВС = 7 см.

Ответ. 7 см.

2. За теоремой синусов имеем: ; ; sinc = . Итак, C = 60°.

Ответ. 60.

3. Пусть в параллелограмме ABCD (рис. 58) АСС- см, BCA = 15°, BAC = 45°, тогда A = ВАС + CAD = 15° + 45° = 60°, В = 180° - А = 120°. Из треугольника ABC имеем: ; ; ВС = 2 ∙  = = (см).

Ответ.  см.

4. Пусть в треугольнике ABC (рис. 59) АВ = 18 см, ВС = 16 см, АСС = 26 см, AD =DC.

Из треугольника ABD имеем: АВ2 = AD2 + BD2 – 2 AD ∙ BD ∙ cos ADB. (1)

Из треугольника BDC имеем: BC2 = BD2 + DC2 – 2BD ∙ DC ∙ cosBDC. (2)

Добавивши почленно равенства (1) и (2), имеем: АВ2 + ВС2 = 2AD2 + 2BD2, 182 + 162= 2 ∙ 132+ 2 ∙ BD2, отсюда BD2 = 121, BD = 11 (см).

Ответ. 11 см.