Теоретическая тетрадь по геометрии. 8 класс
методическая разработка по геометрии (8 класс)
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Четырёхугольники
Многоугольники О: Многоугольником называется простая замкнутая ломаная О: Выпуклым многоугольником называется многоугольник, который лежит по одну сторону от каждой прямой , проведённой через две его соседние вершины. А В О: Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий две не соседние вершины многоугольника С Р АР - диагональ Теорема о сумме углов выпуклого n - угольника Т: Сумма углов выпуклого многоугольника равна ( n -2)∙180˚ n=3 180˚ n =4 360˚
Параллелограмм О: параллелограммом называется четырёхугольник, стороны которого попарно параллельны. А В АВ ΙΙ СН ВС ΙΙ НА Н С
Свойства параллелограмма 1.Т:В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны А В АВ = СН ВС = НА < А= <С Н С <В= <Н 2. Т: В параллелограмме диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам А В АО = СО О ВО = НО Н С
Признаки параллелограмма 1.Т:Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то он является параллелограммом А В АВ = СН АВСН – парал-м АВ ││СН Н С 2.Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то он является параллелограммом А В АВ=СН АВСН – парал-м АН=ВС Н С 2.Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то он является параллелограммом А В АО=ОС О ВО=ОН АВСН – парал-м Н С
Трапеция О: Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. А В АВ ΙΙ СЕ- основания ВС ΙΙ Е А – боковые стороны Е С
Виды трапеций О: Равнобедренной трапецией называется трапеция, у которой боковые стороны равны. А В АЕ=ВС АВСЕ – равнобедренная Е С Свойства равнобедренной трапеции: 1.Т:В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны 2. Т: В равнобедренной трапеции диагонали равны А В АВСЕ – равнобедренная трапеция АС=ВЕ Е С <А=<В <Е=<С О: Прямоугольной трапецией называется трапеция, у которой один из углов прямой. А В <С – прямой АВМС - прямоугольная С М
Теорема Фалеса Т: Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки . а в
прямоугольник О: прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. А В Обладает всеми свойствами пар-ма Е С А В Особое свойство прямоугольника: Т: в прямоугольнике диагонали равны. АС=ВН Н С Признак прямоугольника: Т: Если в параллелограмме диагонали равны, то он является прямоугольником. А В АС=ВН АВСН – прямоугольник Н С
Ромб О: ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. А Обладает всеми свойствами пар-ма В С Н Особое свойство ромба: Т : Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. А 1 2 АВНС – ромб АН ┴ ВС, <1=<2 и т. д. В С Н
квадрат О: Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. А В Е С Обладает всеми свойствами параллелограмма, ромба и прямоугольника.
Осевая симметрия О: Две точки А и В называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к нему А а В Прямая а - ось симметрии.
Центральная симметрия О: Две точки А и В называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АВ А О В Точка О- центр симметрии.
Площадь
Свойства площадей Т: Равные многоугольники имеют равные площади 2.Т: Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников. 3.Т: Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Площадь прямоугольника Т: Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. А В S АВСЕ = АВ∙ВС Е С
Площадь паралллелограмма О: Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из любой точки стороны к прямой , содержащей противоположную сторону. Т : Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту. А В S АВСЕ = АН∙ Е С Е Н С
Площадь треугольника Т: Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. В S ВСЕ = Н В∙ЕС Е Н С
Следствия из теоремы о площади треугольника 1.Т : Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. 2. Т:Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания. 3. Т: Если угол одного треугольник а равен углу другого трееугольника , то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. См. предыд . рис. Если <А=<К ,то А S ВСА = АВ∙ВС В С А К АН=КЕ В Н С Р Е О
Площадь трапеции Т : Площадь трапеции равна половине произведения суммы её оснований на высоту. А В S АВСЕ = ½ ( АВ+ЕС)∙АН Е Н С
Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. А АС 2 =АВ 2 +ВС 2 В С
Теорема , обратная теореме Пифагора Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный А Если АС 2 =АВ 2 +ВС 2 то треугольник АВС – прямоугольный. В С
Подобные треугольники
Пропорциональные отрезки О: Отношением отрезков АВ и НЕ называется отношение их длин. О: Отрезки АВ и НЕ называются пропорциональными отрезкам ОК и ХУ , если
Подобные треугольники. О:Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. А А 1 <А =<А 1 <В =<В 1 <С =<С 1 В С В 1 С 1 К- коэффициент подобия ∆ АВС ∆А 1 В 1 С 1
Свойства подобных треугольников. 1.Т: Отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия. ∆ АВС ∆А 1 В 1 С 1 2. Т: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. ∆ АВС ∆А 1 В 1 С 1
Первый признак подобия треугольников. Т :если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники являются подобными. А А 1 <В =<В 1 <С =<С 1 В С В 1 С 1 ∆ АВС ∆А 1 В 1 С 1
Второй признак подобия треугольников. Т:если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники являются подобными . А А 1 <В =<В 1 В С В 1 С 1 ∆ АВС ∆А 1 В 1 С 1
Третий признак подобия треугольников. Т:если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники являются подобными. А А 1 В С В 1 С 1 ∆ АВС ∆А 1 В 1 С 1
Средняя линия треугольника О: Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон Свойство средней линии Т: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны А М N MN – средняя линия ∆ MN ││ BC В С MN=0,5 ВС
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике 1.Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой 2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла А Н С В
Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника О: синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе О: косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе О: тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему A C B
Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 1. 2. 3. Если сумма двух углов равна 90˚, то синус одного равен косинусу другого, а их тангенсы обратны . ( например,у двух острых углов одного прямоугол . треугольника) 4. Если сумма двух углов равна 180˚, то их синусы равны, а тангенсы и косинусы противоположны ( например, у двух смежных углов)
Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника Чтобы найти катет прямоугольного треугольника, можно: Гипотенузу умножить на синус угла , противолежащего катету Гипотенузу умножить на косинус угла, прилежащего катету Другой катет умножить на тангенс угла, противолежащего искомому катету Чтобы найти гипотенузу прямоугольного треугольника, можно: Катет разделить на синус угла, противолежащего катету Катет разделить на косинус угла, прилежащего катету
Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 30˚ 45˚ 60˚ sin cos tg 1
Окружность
Взаимное расположение прямой и окружности Пусть есть окружность с центром О и радиусом R и прямая р.Проведём перпендикуляр из точки О к прямой р и обозначим его d . Если d>R то прямая и окружность не имеют общих точек. 2.Если d Касательная к окружности Свойства касательной: 1.Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания. О ОН ┴ а а – касательная, Н – точка касания а Н 2.Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. А О В АВ=ВС,<АВО=<СВО С Касательная к окружности Признак касательной: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной. О если ОН ┴ а, то а – касательная к окружнос ти а Н Градусная мера дуги окружности K L О:Дугой называется часть окружности, ограниченная двумя точками. Две точки A и B окружности разбивают ее на две дуги : AKB , ALB ; краткое обозначение: AB . О: Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром окружности Дуга A Е – полуокружность O A B Е Центральный угол О: Центральным углом называется угол, вершина которого находится в центре окружности <АОВ - центральный K A B O L Е Градусная мера дуги, меньшей полуокружности, равна градусной мере соответствующего центрального угла . АКВ= <АОВ Градусная мера дуги, большей полуокружности, равна 360˚минус градусная мера соответствующего центрального угла . А L В=360˚- <АОВ Вписанный угол О: Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности <ЕАВ – вписанный угол K A O В Е Свойство вписанного угла Т: Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается < ЕАВ=0,5 ЕКВ Следствия: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность - прямой Свойство хорд Т: если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды ВО∙ОК=АО∙ОЕ K A B O Е А Н О М В Е С Свойство биссектрисы угла Т:Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе ВМ –биссектриса < АВС ОН=ОЕ а С А В Свойство серединного перпендикуляра к отрезку О:Серединным перпендикуляром отрезка называется прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему Т:Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от концов отрезка. Каждая точка равноудалённая от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре. а – серединный перпендикуляр к отрезку АВ АС=СВ Четыре замечательные точки треугольника Свойство медиан треугольника: Т:Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1 считая от вершины треугольника АК, СМ, ВЕ – медианы АО:ОК=ВО:ОЕ=СО:ОМ=2:1 А М Е О В К С Четыре замечательные точки треугольника Свойство биссектрис треугольника: Т:Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и эта точка равноудалена от всех сторон треугольника АК, СМ, ВЕ – биссектрисы О равноудалена от АВ,ВС,АС А М Е О В К С Четыре замечательные точки треугольника Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника: Т:Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке и эта точка равноудалена от всех вершин треугольника а,в,с – серединные перпендикуляры ОА=ОВ=ОС а А в О с В С А Е О М В К С Четыре замечательные точки треугольника Свойство высот треугольника : Т:Высоты треугольника пересекаются в одной точке АК, СМ, ВЕ – высоты В писанная окружность О:Окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности, если все стороны многоугольника касаются окружности. Теорема об окружности, вписанной в треугольник Т: В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну Центром вписанной окружности треугольника является точка пересечения биссектрис треугольника. Теорема об окружности, вписанной в четырехугольник Т: В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны Описанная окружность О:Окружность называется описанной вокруг многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность, если все вершины многоугольника лежат на окружности . Теорема об окружности, описанной около треугольника Т: около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника . Теорема об окружности, описанной около четырехугольника Т: В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180˚
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Разработка итогового теоретического зачета по геометрии в 7 классе.
Данный материал предназначен для проведения итогового теоретического зачета по геометрии в 7 классе.Основная цель зачёта - подготовительная работа к ГИА....
Теоретический тест по геометрии 8 класс.
Тест по геометрии составлен по учебнику Л. С. Атанасян "Геометрия 7-9".Данный теоретический тест состоит из двух вариантов.В предлагаемый тест включены задания, направленные на выявлени...
Теоретические тетради по геометрии. 7 класс
В презентациях представлена теория по геометрии для учащихся 7 и 8 классов...
Теоретическая тетрадь
Компоненты математических действий необходимо знать наизусть.Очень важно при решении уравнения не только правилльные вычисления, но и поэтапное оформление....
Для теоретической тетради учащихся 5 класса.
Правила для раздачи учащимся на уроках рксского языка....
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ТЕТРАДЬ – ТВОРЧЕСКАЯ ТЕТРАДЬ НА УРОКАХ РУССКОГО ЯЗЫКА
АннотацияЗачастую на уроках русского языка учитель не уделяет должного внимания самостоятельной работе учащихся при усвоении теоретического материала. В инновационной методике работы грамотный учитель...