Векторы в пространстве
презентация к уроку по геометрии (11 класс)

Слайд 1

Слайд 2

Понятие вектора в пространстве Вектор(направленный отрезок) – отрезок, для которого указано какой из его концов считается началом, а какой – концом. Длина вектора – длина отрезка AB. А В M

Слайд 3

Коллинеарные векторы Два ненулевых вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или параллельных прямых. Среди коллинеарных различают: Сонаправленные векторы Противоположно направленные векторы

Слайд 4

Сонаправленные векторы Сонаправленные векторы - векторы, лежащие по одну сторону от прямой, проходящей через их начала. Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором. Равные векторы

Слайд 5

Равные векторы Равные векторы - сонаправленные векторы, длины которых равны. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Слайд 6

Противоположно направленные векторы Противоположно направленные векторы – векторы, лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через их начала. Противоположные векторы

Слайд 7

Противоположные векторы Противоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны. Вектором, противоположным нулевому, считается нулевой вектор.

Слайд 8

Признак коллинеарности Доказательство

Слайд 9

Доказательство признака коллинеарности

Слайд 1

Слайд 2

Определение компланарных векторов Компланарные векторы – векторы, при откладывании которых от одной и той же точки пространства, они будут лежать в одной плоскости. Пример: B А C D A 1 B 1 C 1 D 1

Слайд 3

О компланарных векторах Любые два вектора всегда компланарны. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. α если

Слайд 4

Признак компланарности Доказательство

Слайд 5

Задачи на компланарность Компланарны ли векторы: а) б) Справка Решение Известно, что векторы , и компланарны. Компланарны ли векторы: а) б) Справка Решение

Слайд 6

Решение

Слайд 7

Решение

Слайд 8

Решение

Слайд 9

Доказательство признака компланарности С O A 1 B 1 B A

Слайд 10

Свойство компланарных векторов

Слайд 11

Задача 1. Задача на доказательство B А C D A 1 B 1 C 1 D 1 M 1 M 2 Решение

Слайд 12

Решение B А C D A 1 B 1 C 1 D 1 M 1 M 2

Слайд 1

Слайд 2

Правило треугольника А B C

Слайд 3

Правило треугольника А B C Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:

Слайд 4

Правило параллелограмма А B C

Слайд 5

Свойства сложения

Слайд 6

Правило многоугольника Сумма векторов равна вектору, проведенному из начала первого в конец последнего(при последовательном откладывании). B A C D E Пример

Слайд 7

Пример C A B D A 1 B 1 C 1 D 1

Слайд 8

Правило параллелепипеда B А C D A 1 B 1 C 1 D 1 Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда, равен сумме векторов, проведенных из той же точки и лежащих на трех измерениях параллелепипеда.

Слайд 9

Свойства B А C D A 1 B 1 C 1 D 1

Слайд 10

Вычитание векторов Вычитание Сложение с противоположным

Слайд 11

Вычитание Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору .

Слайд 12

Вычитание B A Правило трех точек C

Слайд 13

Правило трех точек Любой вектор можно представить как разность двух векторов, проведенных из одной точки. А B K

Слайд 14

Сложение с противоположным Разность векторов и можно представить как сумму вектора и вектора, противоположного вектору . А B O

Слайд 15

Умножение вектора на число

Слайд 16

Свойства Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Слайд 17

Свойства

Слайд 18

Скалярное произведение Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Справедливые утверждения Вычисление скалярного произведения в координатах Свойства скалярного произведения

Слайд 19

Справедливые утверждения скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины

Слайд 20

Вычисление скалярного произведения в координатах Доказательство

Слайд 21

Доказательство формулы скалярного произведения O A B α O B A O B A

Слайд 22

Доказательство формулы скалярного произведения

Слайд 23

Свойства скалярного произведения 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . (переместительный закон) (распределительный закон) (сочетательный закон)

Слайд 24

Разложение вектора По двум неколлинеарным векторам По трем некомпланарным векторам

Слайд 25

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам Теорема. Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Доказательство

Слайд 26

Доказательство теоремы O A A 1 B P Пусть коллинеарен . Тогда , где y – некоторое число. Следовательно, т.е. разложен по векторам и .

Слайд 27

Доказательство теоремы не коллинеарен ни вектору , ни вектору . Отметим О – произвольную точку.

Слайд 28

Доказательство теоремы Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим: Тогда: -

Слайд 29

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам Если вектор p представлен в виде где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам , и . Числа x, y, z называются коэффициентами разложения. Теорема Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Доказательство

Слайд 30

Доказательство теоремы С O A B P 1 P 2 P

Слайд 31

Доказательство теоремы Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим: Тогда: -

Слайд 32

Базисные задачи Вектор, проведенный в середину отрезка Вектор, проведенный в точку отрезка Вектор, соединяющий середины двух отрезков Вектор, проведенный в центроид треугольника Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда

Слайд 33

Вектор, проведенный в середину отрезка, С A B O Доказательство равен полусумме векторов, проведенных из той же точки в его концы.

Слайд 34

Доказательство С A B O

Слайд 35

Вектор, проведенный в точку отрезка С A B O m n Доказательство Точка С делит отрезок АВ в отношении т : п .

Слайд 36

Доказательство С A B O m n

Слайд 37

Вектор, соединяющий середины двух отрезков, С A B D M N С A B D M N Доказательство равен полусумме векторов, соединяющих их концы.

Слайд 38

Доказательство С A B D M N

Слайд 39

Вектор, проведенный в центроид треугольника, Центроид – точка пересечения медиан треугольника. С O A B M Доказательство равен одной трети суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины треугольника.

Слайд 40

Доказательство С O A B M K

Слайд 41

Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма, A B C D O M Доказательство равен одной четверти суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины параллелограмма.

Слайд 42

Доказательство A B C D O M

Слайд 43

Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда, C A B D A 1 B 1 C 1 D 1 Доказательство равен сумме векторов, лежащих на трех его ребрах, исходящих из одной вершины.

Слайд 44

Доказательство C A B D A 1 B 1 C 1 D 1

Слайд 1

Слайд 2

единичные векторы координатные векторы координаты вектора

Слайд 3

Теорема. Любой вектор можно разложить по трём некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом. , , координатные векторы координаты вектора

Слайд 4

Пользуясь разложениями векторов по координатным векторам, записать их координаты. Пользуясь координатами векторов, запишем их разложения по координатным векторам.

Слайд 5

Задача. В прямоугольном параллелепипеде , , а . Найти координаты векторов , , , , , , и .

Слайд 6

Задача. В прямоугольном параллелепипеде , , а . Найти координаты векторов , , , , , , и .

Слайд 7

Задача. В прямоугольном параллелепипеде , , а . Найти координаты векторов , , , , , , и .

Слайд 8

Задача. В прямоугольном параллелепипеде , , а . Найти координаты векторов , , , , , , и .

Слайд 9

Задача. В прямоугольном параллелепипеде , , а . Найти координаты векторов , , , , , , и .

Слайд 10

Задача. В прямоугольном параллелепипеде , , а . Найти координаты векторов , , , , , , и .

Слайд 11

Задача. В прямоугольном параллелепипеде , , а . Найти координаты векторов , , , , , , и .

Слайд 12

Задача. В прямоугольном параллелепипеде , , а . Найти координаты векторов , , , , , , и .

Слайд 13

Если вектор лежит в некоторой из координатных плоскостей или параллелен ей, а так же лежит или параллелен некоторой из координатных осей, то его соответствующие координаты равны нулю. , , ,

Слайд 14

Соответствующие координаты противоположных векторов противоположны.

Слайд 15

Сумма векторов Каждая координата суммы двух и более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Разность векторов Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат данных векторов. Произведения вектора на число Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число . Правила нахождения координат

Слайд 16

Правила нахождения координат Каждая координата суммы двух и более векторов равна сумме соответствующих координат данных векторов. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат данных векторов. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Слайд 17

Задача. , и . Определить координаты векторов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Решение. 1)

Слайд 18

Задача. , и . Определить координаты векторов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Решение. 1) 2 )

Слайд 19

Задача. , и . Определить координаты векторов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Решение. 1) 2 ) 3)

Слайд 20

Задача. , и . Определить координаты векторов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Решение. 1) 2 ) 3) 4)

Слайд 21

Координаты вектора , , координатные векторы координаты вектора Соответствующие координаты равных векторов равны . Соответствующие координаты противоположных векторов противоположны .

Слайд 22

Координаты вектора Позволяют определять координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов с известными координатами.