Векторы в пространстве
презентация к уроку по геометрии (11 класс)
Серия презентаций по геометрии 11 класс Атанасян "Векторы в пространстве"
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 127.15 КБ |
![]() | 170.87 КБ |
![]() | 521.73 КБ |
![]() | 681.09 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Понятие вектора в пространстве Вектор(направленный отрезок) – отрезок, для которого указано какой из его концов считается началом, а какой – концом. Длина вектора – длина отрезка AB. А В M
Коллинеарные векторы Два ненулевых вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной прямой или параллельных прямых. Среди коллинеарных различают: Сонаправленные векторы Противоположно направленные векторы
Сонаправленные векторы Сонаправленные векторы - векторы, лежащие по одну сторону от прямой, проходящей через их начала. Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором. Равные векторы
Равные векторы Равные векторы - сонаправленные векторы, длины которых равны. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
Противоположно направленные векторы Противоположно направленные векторы – векторы, лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через их начала. Противоположные векторы
Противоположные векторы Противоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны. Вектором, противоположным нулевому, считается нулевой вектор.
Признак коллинеарности Доказательство
Доказательство признака коллинеарности
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Определение компланарных векторов Компланарные векторы – векторы, при откладывании которых от одной и той же точки пространства, они будут лежать в одной плоскости. Пример: B А C D A 1 B 1 C 1 D 1
О компланарных векторах Любые два вектора всегда компланарны. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. α если
Признак компланарности Доказательство
Задачи на компланарность Компланарны ли векторы: а) б) Справка Решение Известно, что векторы , и компланарны. Компланарны ли векторы: а) б) Справка Решение
Решение
Решение
Решение
Доказательство признака компланарности С O A 1 B 1 B A
Свойство компланарных векторов
Задача 1. Задача на доказательство B А C D A 1 B 1 C 1 D 1 M 1 M 2 Решение
Решение B А C D A 1 B 1 C 1 D 1 M 1 M 2
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Правило треугольника А B C
Правило треугольника А B C Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:
Правило параллелограмма А B C
Свойства сложения
Правило многоугольника Сумма векторов равна вектору, проведенному из начала первого в конец последнего(при последовательном откладывании). B A C D E Пример
Пример C A B D A 1 B 1 C 1 D 1
Правило параллелепипеда B А C D A 1 B 1 C 1 D 1 Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда, равен сумме векторов, проведенных из той же точки и лежащих на трех измерениях параллелепипеда.
Свойства B А C D A 1 B 1 C 1 D 1
Вычитание векторов Вычитание Сложение с противоположным
Вычитание Разностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору .
Вычитание B A Правило трех точек C
Правило трех точек Любой вектор можно представить как разность двух векторов, проведенных из одной точки. А B K
Сложение с противоположным Разность векторов и можно представить как сумму вектора и вектора, противоположного вектору . А B O
Умножение вектора на число
Свойства Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.
Свойства
Скалярное произведение Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Справедливые утверждения Вычисление скалярного произведения в координатах Свойства скалярного произведения
Справедливые утверждения скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату его длины
Вычисление скалярного произведения в координатах Доказательство
Доказательство формулы скалярного произведения O A B α O B A O B A
Доказательство формулы скалярного произведения
Свойства скалярного произведения 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . (переместительный закон) (распределительный закон) (сочетательный закон)
Разложение вектора По двум неколлинеарным векторам По трем некомпланарным векторам
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам Теорема. Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Доказательство
Доказательство теоремы O A A 1 B P Пусть коллинеарен . Тогда , где y – некоторое число. Следовательно, т.е. разложен по векторам и .
Доказательство теоремы не коллинеарен ни вектору , ни вектору . Отметим О – произвольную точку.
Доказательство теоремы Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим: Тогда: -
Разложение вектора по трем некомпланарным векторам Если вектор p представлен в виде где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам , и . Числа x, y, z называются коэффициентами разложения. Теорема Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Доказательство
Доказательство теоремы С O A B P 1 P 2 P
Доказательство теоремы Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом. Допустим: Тогда: -
Базисные задачи Вектор, проведенный в середину отрезка Вектор, проведенный в точку отрезка Вектор, соединяющий середины двух отрезков Вектор, проведенный в центроид треугольника Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда
Вектор, проведенный в середину отрезка, С A B O Доказательство равен полусумме векторов, проведенных из той же точки в его концы.
Доказательство С A B O
Вектор, проведенный в точку отрезка С A B O m n Доказательство Точка С делит отрезок АВ в отношении т : п .
Доказательство С A B O m n
Вектор, соединяющий середины двух отрезков, С A B D M N С A B D M N Доказательство равен полусумме векторов, соединяющих их концы.
Доказательство С A B D M N
Вектор, проведенный в центроид треугольника, Центроид – точка пересечения медиан треугольника. С O A B M Доказательство равен одной трети суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины треугольника.
Доказательство С O A B M K
Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма, A B C D O M Доказательство равен одной четверти суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины параллелограмма.
Доказательство A B C D O M
Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда, C A B D A 1 B 1 C 1 D 1 Доказательство равен сумме векторов, лежащих на трех его ребрах, исходящих из одной вершины.
Доказательство C A B D A 1 B 1 C 1 D 1
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
единичные векторы координатные векторы координаты вектора
Теорема. Любой вектор можно разложить по трём некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом. , , координатные векторы координаты вектора
Пользуясь разложениями векторов по координатным векторам, записать их координаты. Пользуясь координатами векторов, запишем их разложения по координатным векторам.
Задача. В прямоугольном параллелепипеде , , а . Найти координаты векторов , , , , , , и .
Задача. В прямоугольном параллелепипеде , , а . Найти координаты векторов , , , , , , и .
Задача. В прямоугольном параллелепипеде , , а . Найти координаты векторов , , , , , , и .
Задача. В прямоугольном параллелепипеде , , а . Найти координаты векторов , , , , , , и .
Задача. В прямоугольном параллелепипеде , , а . Найти координаты векторов , , , , , , и .
Задача. В прямоугольном параллелепипеде , , а . Найти координаты векторов , , , , , , и .
Задача. В прямоугольном параллелепипеде , , а . Найти координаты векторов , , , , , , и .
Задача. В прямоугольном параллелепипеде , , а . Найти координаты векторов , , , , , , и .
Если вектор лежит в некоторой из координатных плоскостей или параллелен ей, а так же лежит или параллелен некоторой из координатных осей, то его соответствующие координаты равны нулю. , , ,
Соответствующие координаты противоположных векторов противоположны.
Сумма векторов Каждая координата суммы двух и более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Разность векторов Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат данных векторов. Произведения вектора на число Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число . Правила нахождения координат
Правила нахождения координат Каждая координата суммы двух и более векторов равна сумме соответствующих координат данных векторов. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат данных векторов. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
Задача. , и . Определить координаты векторов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Решение. 1)
Задача. , и . Определить координаты векторов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Решение. 1) 2 )
Задача. , и . Определить координаты векторов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Решение. 1) 2 ) 3)
Задача. , и . Определить координаты векторов: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Решение. 1) 2 ) 3) 4)
Координаты вектора , , координатные векторы координаты вектора Соответствующие координаты равных векторов равны . Соответствующие координаты противоположных векторов противоположны .
Координаты вектора Позволяют определять координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов с известными координатами.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Векторы в пространстве 11 класс
Помощь учителю к теме вектора, 11 класс.Содержит тест для учащихся....
Прямоугольная система координат. Векторы в пространстве. Координаты вектора.
понятие о прямоугольной системе координат, координатах вектора....
Прямоугольная система координат. Векторы в пространстве. Координаты вектора.
понятие о прямоугольной системе координат, координатах вектора...
Занятие по геометрии на тему: "Векторы в пространстве. Операции над векторами"
Цели и задачи данного занятия: 1. Дать определение вектора, координат вектора, нулевого вектора.2. Рассмотреть понятие вектора в разных науках.3. Виды векторов (коллинеарные, сонаправленные, прот...
![](/sites/default/files/pictures/2023/10/17/picture-1046168-1697546247.jpg)
Методическая разработка урока: «Векторы в пространстве. Действия с векторами. Скалярное произведение векторов»
Методическая разработка урока обобщения и систематизации знаний с использованием эвристического метода обучения и компьютерных технологий...
![](/sites/default/files/pictures/2013/04/17/picture-167061-1366175458.jpg)
Контрольная работа по алгебре 11 класс "Предел и непрерывность функции", Наибольшее и наименьшее значение функции", "Координаты вектора, векторы в пространстве"
Контрольная работа по алгебре 11 класс "Предел и непрерывность функции"Контрольная работа по алгебре 11 класс "Наибольшее и наименьшее значение функции"Контрольная работа по геомет...
11 класс Зачет № 2 по геометрии по теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»
Зачет № 2 по геометриипо теме «Векторы в пространстве. Метод координат в пространстве»...
- Мне нравится (2)