Теорема о трех перпендикулярах
учебно-методический материал по геометрии (10 класс)

Теорема о трех перпендикулярах

Вариант 1

1. Дополните утверждение теоремы:

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, ________________________________________________

2. По рисунку перечислите три перпендикуляра, о которых говорится в теореме о трех перпендикулярах.

3. Дополните утверждение теоремы:

Прямая проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней,___________________________________________________________________

4. ABCD — квадрат, MB — перпендикуляр к плоскости квадрата. Угол MCD = ______ т.к.

Треугольник MNK равнобедренный с основанием МК. Из точки N к плоскости треугольника проведен перпендикуляр NC. Точка А — середина стороны МК. Прямая АС перпендикулярна МК, т.к.______________________________________________________

5. Треугольник  MNK  равнобедренный с основанием MK. Из точки N к плоскости треугольника проведен перпендикуляр NC. Точка A — середина стороны MK. Прямая  AC перпендикулярна MK, т.к ________________________________________________

Теорема о трех перпендикулярах

Вариант 2

1. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.

2. Установите правильную последовательность действий в доказательстве теоремы: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

1. Докажем, что а ⊥ AM.

2. Отсюда следует, что прямая, а перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АМН, в частности, а ⊥ AM.

3. Рассмотрим плоскость АМН.

4. На рисунке отрезок АН — перпендикуляр к плоскости α, AM — наклонная, а – прямая, проведенная в плоскости α через точку М перпендикулярно к проекции НМ наклонной.

5. Прямая а перпендикулярна к этой плоскости, так как она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АН и МН (а ⊥ МН по условию и а ⊥ АН, так как AH ⊥α)

Ответ: _______________________________________________________________________

3. Объясните, о каких трех перпендикулярах идет речь в теореме о трех перпендикулярах ____________________________________________________________________________

4. Докажите теорему: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

5. Прямая CD перпендикулярна плоскости треугольника ABC. DM ⊥AB. Точка К лежит на отрезке DM, так что СК ⊥ DM. Докажите, что прямая СК ⊥ плоскости ADB. Установите правильную последовательность действий в доказательстве.

1. По теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, в силу того, что DM⊥AB, то и СМ ⊥ АВ.

2. Прямая СК перпендикулярна двум пересекающимся прямым АВ и DM в плоскости ADB, а, значит, самой плоскости ADB.

3. Тогда и любая прямая из плоскости СDМ ⊥ АВ, в числе и СК ⊥ АВ,

Ответ: _______________________________________________________________________