Ключевые задачи по геометрии
презентация к уроку по геометрии (7, 8, 9 класс)
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Содержание: Треугольники Биссектрисы параллелограмма Дополнительные свойства параллелограмма Трапеция
ТРЕУГОЛЬНИКИ
У равнобедренного треугольника биссектрисы, проведенные из вершин при основании равны
Если треугольник равнобедренный, то высоты, проведенные к боковым сторонам равны
Биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию
Биссектрисы параллелограмма
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник Доказательство: Т.к. АМ – биссектриса угла А, то ∟1 = ∟ 2. Т.к. АВС D – параллелограмм, то АД || ВС , значит ∟ 2 = ∟ 3 как внутренние накрест лежащие углы для секущей АМ. Значит, ∟ 1 = ∟ 3, тогда ∆ АВМ – р авнобедренный. Дано: АВС D - параллелограмм АМ – биссектриса ∟А Доказать: ∆ АВМ – равнобедренный. А В С D 1 2 3 М
Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом Доказательство: Рассмотрим ∆ АО D : ∟ 1 = ∟ 2 = ½ ∟ А, ∟ 3 = ∟ 4 = ½ ∟ D (по свойству биссектрис) ∟ А + ∟ D = 180˚ (сумма соседних углов). ∟ 2 + ∟ 3 = ½ ∟ А + ½ ∟ D = ½ ( ∟ А + ∟ D ) = ½ · 180˚ = 90˚ Значит, ∟ АО D - прямой. Дано: АВС D – параллелограмм АК и D Е – биссектрисы Доказать: ∟ АО D - прямой А В С D О Е К 1 2 3 4
Биссектрисы соседних углов пересекаются на большей стороне параллелограмма, если она в 2 раза больше смежной стороны Доказательство: Рассмотрим ∆АВО. Он равнобедренный (по свойству биссектрисы параллелограмма ): АВ = ВО. Рассмотрим ∆С D О. Он равнобедренный (по свойству биссектрисы параллелограмма): CD = CO . Т.к. С D = АВ (противоположные стороны параллелограмма), то ВО = СО. Т.к . АВ = ВО, а ВО = СО, значит АВ = ½ ВС, т.е. ВС в 2 раза больше АВ. Дано : АВС D – параллелограмм АО и D О – биссектрисы О є ВС Доказать: ВС в 2 раза больше АВ. А В О D С
Из предыдущего доказательства можно сделать ещё два вывода: Биссектрисы параллелограмма пересекутся внутри параллелограмма, если меньшая сторона больше половины соседней стороны ( рис. 1) Биссектрисы соседних углов в параллелограмме пересекутся вне параллелограмма, если меньшая сторона меньше половины соседней стороны ( рис. 2) А В С D О А В С D О Рис. 1 Рис. 2
Биссектрисы противоположных углов равны и параллельны Доказательство: Рассмотрим прямые АК и СМ: ∟ 2 = ∟ 6 (соответственные)→ АК // СМ Так как АМ // КС (по свойству противоположных сторон параллелограмма), а АК // СМ, то АКСМ – параллелограмм. Из этого следует, что АК = СМ (по свойству противоположных сторон параллелограмма). Дано: АВС D – параллелограмм АК и СМ – биссектрисы АВ = ВК = С D = D М Доказать: АК = СМ; АК // СМ А В К С D М 1 2 3 4 5 6
Все биссектрисы, пересекаясь, образуют прямоугольник Доказательство: По теореме «биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом» АК и D О, пересекаясь, образуют прямой угол; АК и В F , пересекаясь, образуют прямой угол; В F и CF , пересекаясь, образуют прямой угол; О D и СЕ, пересекаясь, образуют прямой угол. Значит, образовался четырёхугольник, у которого, все углы прямые. Значит, это прямоугольник. Дано: АВС D – параллелограмм АК, В F , CE , D О – биссектрисы Доказать: образовался прямоугольник А В О К С D F E
Дополнительные свойства параллелограмма
Дополнительные свойства параллелограмма А В С D K А В С D K N А В С D K N 1 2 3 4 А В С D K P N М А В С D K N 5
«Дополнительные свойства параллелограмма ». Биссектриса угла параллелограмма, пересекая противоположную сторону, делит его на равнобедренный треугольник и трапецию. (Частный случай – вершину – два равнобедренных треугольника). В С А D K 1 В С А D
«Дополнительные свойства параллелограмма ». А В С D K N 2 Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.
«Дополнительные свойства параллелограмма ». Биссектрисы противолежащих углов параллельны или лежат на одной прямой А В С D K N 3 А В С D
«Дополнительные свойства параллелограмма ». А В С K N D 4 Прямые содержащие биссектрисы внешних углов перпендикулярны.
«Дополнительные свойства параллелограмма ». А В С D K P N М 5 Биссектрисы всех внутренних (внешних) углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник.
Практическая задача В параллелограмме отрезок с концами на противоположных сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам. 7
А В С D Практическая задача Середина любого отрезка с концами на противоположных сторонах параллелограмма , лежит на прямой, проходящей через середины двух других сторон 6
«Дополнительные свойства параллелограмма ». А В С K ? D (СН, СК – высоты) А В С K D ? H (ВН, ВК – высоты) А H В С D K H DC ВН АD ? ВК ? (ВН, ВК – высоты) А С K D H ? ? N (ВН, ВК – высоты, BN биссектриса угла АВС 8 9 10 11 В
«Дополнительные свойства параллелограмма ». А В С K H ? D (СН, СК – высоты) 8 А В С K D H ? (ВН, ВК – высоты) 9 Угол между высотами параллелограмма, проведенными из одной вершины, равен углу параллелограмма при соседней вершине.
«Дополнительные свойства параллелограмма ». А В С K D H ? ? N (ВН, ВК – высоты, BN биссектриса угла АВС 11 Докажите, что биссектриса угла параллелограмма делит пополам угол между высотами, проведенными из вершины этого угла.
Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади данного четырёхугольника.
ТРАПЕЦИЯ
C D B A s s 1 s s 2 o Диагонали трапеции, пересекаясь, образуют четыре треугольника, два из которых равновелики, а два других – подобны с коэффициентом подобия равным отношению оснований трапеции. OAD ~ OCB (по двум равным углам), S OAD : S OCB = k 2 , где k = AD : BC = OA : OC = OD : OB .
Биссектрисы углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции, перпендикулярны (следует из того факта, что сумма этих углов равна 180° как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей). C D B A C D B A o 3 . Точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон, середина верхнего и середина нижнего основания – лежат на одной прямой.
Отрезок, проведенный из вершины тупого угла трапеции параллельно боковой стороне, делит трапецию на треугольник и параллелограмм
Диагональ трапеции делит трапецию на два треугольника, а среднюю линию трапеции на два отрезка, которые являются средними линиями этих треугольников.
Диагонали делят среднюю линию трапеции на три отрезка. Средний из них равен полуразности оснований, а два крайних равны между собой.
Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок с концами на основаниях трапеции.