Исследовательский проект ученицы 9 класса "Дополнительные построения при решении геометрических задач"
учебно-методический материал по геометрии (9 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное

Учреждение

«Средняя школа «Перспектива»

Проектно-исследовательская работа

Решение геометрических задач методом

дополнительных  построений

     Автор:

Тышлек Вероника,

ученица 9а класса

Руководитель:

Мозглякова Татьяна

Александровна,

Учитель математики

Г. Новый Уренгой

2026г.

Содержание

1.Введение………………………………………………………..……………..3                                                                                                

2.Основные виды дополнительных построений…………………………………………………………………….4

3. Анализ заданий ОГЭ по теме «Решение геометрических задач методом дополнительных построений»………………………………………………………………………5

4. Решение задач методом дополнительных построений………………………………………………….………………….6

5. Заключение…………….……………………………………………………12

6.Литература……………………………………………………………………13

Введение

Тема «Решение геометрических задач методом дополнительных построений»  является одной из самых сложных для понимания тем учебного предмета «Геометрия». В заданиях основного государственного экзамена (ОГЭ) по математике она отражена в базовом и повышенном уровнях блока «Алгебра». Во второй  части это задание 25 (в заданиях 23, 24 применяется очень редко), где необходимо решить геометрическую задачу, чаще всего для решения которой необходимо использовать метод дополнительных построений. Рассмотрев прототипы этого задания на сайте ФИПИ и сайте «Решу.ОГЭ», а также в различных сборниках по подготовке к экзаменам, я пришла к выводу, что они достаточно разнообразны и требуют определенных знаний и умений от обучающихся. Метод дополнительных построений является высшей формой проявления геометрической интуиции, поэтому для его использования важно глубокое понимание свойств геометрических фигур и многократная практика решения задач высокого уровня сложности. Именно использование дополнительных построений вызывает особое затруднение среди сдающих экзамен, т.к. в школьной программе очень мало внимания уделяется этому вопросу. Многие учащиеся просто не приступают к выполнению этого задания, а если берутся, то делают неправильно.

Цель работы: Создать презентацию с основными видами дополнительных построений и примерами задач, которые необходимо решать методом дополнительных построений для подготовки к ОГЭ по математике.

Для достижения цели были определены следующие задачи:

1. Рассмотреть основные виды дополнительных построений для решения геометрических задач
2. Проанализировать задания ОГЭ по теме «Решение задач методом дополнительных построений»
3. Научиться решать геометрические задачи методом дополнительных построений и разработать алгоритм их решения.

4.Создать презентацию с решением основных типов задач по теме «Решение геометрических задач методом дополнительных построений»

Объект исследования: геометрические задачи, для решения которых необходимо использовать метод дополнительных построений.

Предмет исследования: решение задач методом дополнительных построений.

Методы исследования: анализ сборников для подготовки к ОГЭ, систематизация и анализ полученных результатов.

1. Основные виды дополнительных построений

   В треугольниках:

• Проведение отрезка, соединяющего вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне. Например, проведение медианы или биссектрисы, для использования их свойств.
• Удвоение отрезка. Например, удвоение медианы треугольника, что позволяет использовать его свойства

• Проведение прямой, параллельной противолежащей стороне. Позволяет использовать свойства углов при параллельных прямых.
• Откладывание отрезка, равного данному. Например, откладывание отрезка, равного меньшей стороне, для использования свойств равнобедренного треугольника.
• На продолжении одной из сторон треугольника отложить отрезок, равный другой стороне. Позволяет использовать свойство равнобедренного треугольника или свойство внешнего угла. 
• Продолжение отрезка до пересечения со стороной. Позволяет использовать неравенство треугольника
• Проведение прямой через данную точку перпендикулярно данной прямой. Позволяет рассматривать подобные треугольники. 

 В четырехугольниках:

• Построение вспомогательной окружности. Если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то вокруг него можно описать окружность. Частным случаем является ситуация, в которой два противоположных угла равны 90°
• Построение окружности, вписанной в четырёхугольник. Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него вписывается окружность. 
• Построение треугольника, одна из сторон которого содержит биссектрису одного из внутренних углов. Вторая сторона совпадает со стороной данной фигуры, а третья или параллельна другой стороне, или получается при её продолжении. Построенный треугольник обычно равнобедренный
•    Построение линии, параллельной боковой стороне трапеции. В результате фигура разделяется на параллелограмм и треугольник.
• Проведение радиусов в точки касания окружности или в вершины вписанного многоугольника. В задачах с окружностями это создает равнобедренные или прямоугольные треугольники.

2. Анализ заданий ОГЭ по теме «Решение геометрических задач методом дополнительных построений»

Решение задания 25 ОГЭ, в котором используется дополнительное построение – одна из самых сложных тем в школьной математике. Рассмотрев задания №25 на сайте ФИПИ и сайте «Распечатай и реши», а также в различных сборниках по подготовке к экзаменам, мы увидели, что чаще всего встречается метод продления сторон фигуры или проведения параллельных прямых. Так как решение геометрических задач таким способом является темой повышенной сложности, в школьной программе ей уделяется очень мало внимания и времени, т.е. на уроках устойчивого навыка решения подобных задач мы получить не можем. В данной работе мы решили рассмотреть решения геометрических задач с помощью дополнительного построения и научиться делать это быстро и без особых затруднений.

Вот такие задачи мы нашли на  сайте ФИПИ:

1. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18.
2. Определить площадь треугольника, если две стороны и медиана, выходящая из общей вершины этих сторон, имеют длины 3, 7 и 4 (соответственно).
3. В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM  =  4 : 1. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM.
4. Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM.
5. Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает ее боковые стороны AB и CD в точках E и Fсоответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD  =  42, BC  =  14, CF : DF  =  4 : 3.
6. Углы при одном из оснований трапеции равны 53° и 37°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 2. Найдите основания трапеции.
7. Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно

20 и 25, а основание BC равно 5. Биссектриса угла ADC проходит

через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Примеры решения задач на построение приведены в Приложении.

 Выполнив решение многих геометрических задач методом дополнительных построений, мы обнаружили, что решение выполняется по одному алгоритму:

1. Проанализируйте данные:

  если есть медиана — попробуйте её удвоить;

  если есть биссектриса — ищите равнобедренный треугольник или симметрию.

2. Ищите параллельность:

  если есть средние точки сторон — проведите среднюю линию;

  если есть трапеция — продлите боковые стороны до пересечения.

3. Работайте с углами:

  если даны углы 30°, 45° или 60° — достраивайте до прямоугольных или равносторонних треугольников.

4. Связывайте удаленные части:

  если элементы чертежа находятся в разных концах фигуры, используйте параллельный перенос (например, перенос диагонали трапеции).

Заключение

В ходе написания работы мы рассмотрели основные виды дополнительных построений, разобрались с решением задач методом дополнительных построений (задание 25 ОГЭ), подробно изучили виды заданий и отточили свои навыки в решении подобных задач.

Мы выяснили, что дополнительные построения — это не просто «рисование лишних линий», а логический инструмент, позволяющий перевести задачу с языка неизвестных соотношений на язык известных теорем (Пифагора, Фалеса, признаков подобия). Главная сложность заключается в том, что в условии задачи нет прямого указания на эти линии, поэтому навык их проведения развивается только через глубокое понимание свойств геометрических фигур и многократную практику решения задач высокого уровня сложности. Метод дополнительных построений является высшей формой проявления геометрической интуиции. Он превращает статичный чертеж в динамическую структуру, позволяя увидеть скрытые закономерности. Включение этого раздела в проектную работу демонстрирует высокий уровень математической подготовки и умение применять нестандартные методы мышления.

Решение типовых заданий оформили в виде презентации, которая будет использована учителем в подготовке учащихся к экзамену по математике

Приложение

Решение задач методом дополнительных построений

1.Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18.

Решение:

2.В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK : KM  =  4 : 1. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM.

Решение:

3.Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника ABK к площади четырехугольника KPCM.

Решение:

4.Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает ее боковые стороны AB и CD в точках E и Fсоответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD  =  42, BC  =  14, CF : DF  =  4 : 3.

Решение:

5.Углы при одном из оснований трапеции равны 53° и 37°, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 6 и 2. Найдите основания трапеции.

Решение:

6.Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно

20 и 25, а основание BC равно 5. Биссектриса угла ADC проходит

через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Решение:

7. Определить площадь треугольника, если две стороны и медиана, выходящая из общей вершины этих сторон, имеют длины 3, 7 и 4 (соответственно).

Решение:

Литература

1.Геометрия по Киселеву

2.Сборники задач И.Ф. Шарыгина

3.Метод дополнительных построений при решении геометрических задач в курсе планиметрии по учебнику Л 

4.Статья «Метод дополнительных построений при решении геометрических задач ОГЭ и ЕГЭ»: методические материалы на Инфоурок