Вписанные и центральные углы в задачах трех уровней
план-конспект урока по геометрии (8 класс)

Вписанные и центральные углы в задачах трех уровней

Автор: Леонова Ирина Алексеевна, учитель математики МБОУ «Локшинская СОШ» с. Локшино Ужурского района Красноярского края Контакт: +7 923 322 24 36

Класс: 8

УМК: Геометрия 7-9 классы. Авт. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.

Предмет: геометрия

Тип урока: закрепление материала.

Место урока в теме и в программе.

Второй урок по теме «Вписанные и центральные углы». Проводится после изучения свойств центральных и вписанных углов.

Ключевая идея фрагмента урока.

В ходе закрепления свойств вписанных и центральных углов окружности предлагаются задания трех уровней сложности: базового, повышенного и олимпиадного. С задачами базового уровня учащиеся знакомятся во время проведения фронтального опроса и совместного решения задач-одноходовок. Слабоуспевающие учащиеся отрабатывают навык решения базовых задач при выполнении индивидуальной самостоятельной работы. В случае затруднения, они могут воспользоваться одной подсказкой. Обучающимся, имеющим повышенный интерес к математике, предоставляется возможность познакомиться с задачами повышенного и олимпиадного уровней («задачами на вырост») и попробовать решить их самостоятельно с помощью 1-3 подсказок. Подсказка в задачах олимпиадного уровня – это и поддержка в решении незнакомой задачи, и возможность самообучения некоторым способам решения олимпиадных задач по геометрии (например, выполнение дополнительных построений). Включение олимпиадных задач в урок позволяет поддержать интерес к сложным задачам, выявляет способности обучающихся.

Ученикам дается право самостоятельного выбора заданий, что развивает их инициативу и самостоятельность, мотивирует их к активной познавательной деятельности. Право выбора – это поддержка ученика и придание ему «статусности». Обучающиеся пробуют соизмерять свои возможности, учатся контролировать свою деятельность и оценивать работу на уроке.

Цели урока.

• образовательные: способствовать формированию навыка применения свойств вписанных и центральных углов окружности при решении задач;
• развивающие: развить умение делать самостоятельный выбор способа решения; умение высказывать свои идеи; умение давать оценку результату своей деятельности и приобретенному опыту;
• воспитательные: способствовать формированию интереса к математике, инициативности и самостоятельности.

Организационно-педагогические условия.

• Формы работы: фронтальная, индивидуальная.
• Оснащение урока: проектор, раздаточные материалы трёх уровней, Листы самопроверки, Маршруты индивидуального роста (МИРы)
• В содержании урока использовались олимпиадные задания по математике по теме «Вписанные и центральные углы». Источники: Банк ФИПИ, Школково , материалы XIV Открытой Краевой олимпиады по геометрии среди учащихся 8-11 кл. им. проф. С.А. Анищенко Очный тур 8 класс

Технологическая карта урока

Планируемые результаты

Приложение 1.

«Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу — это значит пережить приключение» В. Произволов

Приложение 2.

Приложение 3.

Приложение 4

Задания трех уровней сложности с подсказками и ответами.

Задания базового уровня

№1. (№1) Угол АСВ вписан в окружность с центром О. Найдите угол АСВ, если угол АОВ равен 33˚. (Источники: Банк ФИПИ)

Подсказка

Что можем сказать про углы AOB и ACB, какая тогда связь между ними есть? Ответ: 16,5˚

№2. (№2) Треугольник АВС вписан в окружность с центром О. Точки О и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ. Найдите угол АОВ, если угол АСВ равен 35 ˚.

Подсказка

Что можем сказать про углы AOB и ACB, какая тогда связь между ними есть?

Ответ: 70˚

№3. (№8) Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Угол АВD равен 37˚, а угол САD равен 58˚. Найдите угол АВС.

Подсказка

Поищите угол, равный углу СAD (окружность поможет вам в этом)! Осталось посчитать искомый угол ABС как сумму двух углов.

Ответ: 95˚

№4. (№14)

Точки А и С разбивают окружность на две дуги, одна из которых равна 280˚ и на которой отмечена точка В. Найдите угол ВАС, если АВ=АС.

Подсказка

Найдем градусную меру меньшей дуги AC! Тогда какой угол теперь можем найти? Зная один из углов равнобедренного треугольника ABC, мы можем найти нужный нам угол!

Ответ: 100˚

№5. (№18)

На окружности с центром О отмечены точки А и В так, что угол АОВ равен 45˚. Длина меньшей дуги АВ равна 91. Найдите длину большей дуги.

Подсказка

Зная длину меньшей дуги и её градусную меру, можем найти длину дуги градусной мерой 1°, а, следовательно, и длину большой дуги.

Ответ: 637

Задания повышенного уровня

№1 (№15) Точка О – центр окружности, на которой лежат точки А, В и С. Известно, что угол АВС равен 105˚, угол ОАВ - 24˚. Найдите угол ВСО.

Подсказка 1. Чем являются AO, BO и CO? Можем ли получить равенство каких-нибудь углов теперь?

Подсказка 2

Всё верно, AO=BO=CO – как радиусы, ∠OBA = ∠OAB, ∠OBС = ∠OСB – как углы при основании равнобедренных треугольников! Как теперь мы можем найти ∠OBC, если знаем ∠OBA и ∠ABC?

Ответ: 81˚

№2 (№16) Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ=ВС и угол АВС равен 107˚. Найдите величину угла ВОС.

Подсказка 1. Пользуясь равнобедренностью треугольника и знанием одного из углов, вы можете вычислить все углы треугольника ABC!

Подсказка 2. Осталось понять, какая связь будет между найденным углом BAC и искомым ВОС и посчитать ответ. (Вспомните про связь вписанного и центрального углов в окружности!)

Ответ: 73˚

№3 (№17). Точка О – центр окружности, на которой лежат точки А, В и С. Угол АВС равен 61˚ и угол ОАВ равен 8˚. Найдите угол ВСО.

Подсказка 1.

Чем являются AO, BO и CO? Можем ли получить равенство каких-нибудь углов теперь?

Подсказка 2

Всё верно, AO=BO=CO – как радиусы, ∠OBA = ∠OAB, ∠OBС = ∠OСB – как углы при основании равнобедренных треугольников! Как теперь мы можем найти ∠OBC, если знаем ∠OBA и ∠ABC?

Ответ:53˚

Задания олимпиадного уровня

№1. На чертеже четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω. Прямая, проходящая через точку D, параллельно AB, пересекает ω в точке P. Известно, что ∠P DC = 12˚, ∠DPB = 56˚. Найдите величину угла ∠ABC. Ответ дайте в градусах. (Школьный этап ВcОШ по математике, 10 класс, 2024–2025 учебный год)

Подсказка 1. Найти внутренние односторонние углы при параллельных прямых AB и DP и секущей BP, применить свойство и найти неизвестный угол

Подсказка 2. Рассмотреть равенство вписанных углов, опирающихся на дугу CP.

Подсказка 3. Используя найденные углы, вычислить величину угла ∠ABC

Решение. Заметим, что ∠ABP = 180˚ − ∠DPB = 180˚ − 56˚ = 124˚ (внутренние односторонние углы при параллельных прямых AB и DP и секущей BP). Из равенства вписанных углов, опирающихся на дугу CP, получим ∠PBC = ∠PDC = 12˚ . Наконец, ∠ABC = ∠ABP − ∠PBC = 124˚ − 12˚ = 112˚ .

Ответ: 112˚

№2. Около треугольника АВС описана окружность с центром О, ∠ВАО=20º. Найдите градусную меру угла, образованного прямыми, содержащими высоты АР и ВН данного треугольника. (XIV Открытая Краевая олимпиада по геометрии среди учащихся 8-11 кл. им. проф. С.А. Анищенко Очный тур 8 класс)

Подсказка 1.

Построить диаметр АМ и найти величину углов МСА и МВА

Подсказка 2

Найти величину угла МСВ

Подсказка 3

Обозначить точку пересечения прямых ВН и АР точкой Е. Найти в четырехугольнике РСНЕ угол С, а затем угол РЕН.

Решение. 1. Пусть АМ – диаметр окружности, следовательно, ∠ МСА = ∠ МВА= 90º .

2. ∠ МАВ = 20º = 1/2∪МВ=∠МСВ. 3. ∠ВСА = 90º - 20º = 70º. 4. ВН∩АР=Е. Рассмотрим четырехугольник РСНЕ: ∠Р =∠Н=90º, следовательно, ∠РЕН =180º - 70º = 110º. Следовательно, угол между прямыми АР и ВН равен 70º.

Ответ: 70º.

Приложение 5.

Лист самоконтроля

Уровень базовый

Нормы оценок:

Оценка «5»: 4,5-5 баллов

Оценка «4»: 3,5-4 балла

Оценка «3»: 2,5-3 балла

Лист самоконтроля

Уровень повышенный

Нормы оценок:

Оценка «5»: 8-9 баллов

Оценка «4»: 5-7 баллов

Оценка «3»: 3-4 балла

Лист самоконтроля

Уровень олимпиадный

Нормы оценок:

Оценка «5»: 8-10 баллов

Оценка «4»: 5-7 баллов

Оценка «3»: 2-4 балла

Приложение 6.

Имя ученика: _______________________________________

Тема урока___________________________________________

Учебная задача урока:_________________________________

Уровень (подчеркнуть)

Базовый Повышенный Олимпиадный

Что я думаю об уроке?

Приложение 7.

Вячеслав Викторович Произволов — математик, автор задач для школьников, кандидат физико-математических наук.

Деятельность

• Значительную часть жизни занимался проблемами математического образования и популяризацией математики среди школьников и учителей.
• В течение многих лет был членом редколлегии журнала «Квант». В зону его ответственности прежде всего входил раздел «Задачник „Кванта“», но он уделял внимание и другим разделам. Многие задачи, придуманные Произволовым, публиковались на страницах журнала.
• Много лет подряд был членом методической комиссии и жюри Московской математической олимпиады, председателем методической комиссии и жюри Турнира математических боёв имени А. П. Савина. Для этих соревнований он также сочинял задачи.
• Многие преподаватели проводили занятия математических кружков, составленные из задач Произволова, которые так и назывались «Задачи Произволова».

Многие из тех, кому довелось общаться с Вячеславом Викторовичем, отмечали его высокую требовательность к содержанию задач (как своих, так и задач других авторов). В частности, он говорил: «В задаче должен быть факт!».

• Автор книги «Задачи на вырост». Впервые она была опубликована в 1995 году, второе расширенное издание — в 2003 году. Книга содержит большое количество авторских задач, придуманных для проведения различных математических олимпиад. Значительная часть из них публиковалась в журнале «Квант».