Алгебра логики_методическое пособие
учебно-методический материал по информатике и икт (8, 10 класс)

ГБОУ гимназия № 11

Василеостровского района Санкт-Петербурга

«Алгебра логики»

Санкт-Петербург

Введение

Данное пособие предназначено для учащихся 8 и 10 классов при освоении темы «Математические основы информатики. Элементы алгебры логики» (учебник «Информатика»  Л.Л.Босова, А.Ю.Босова). В данном пособии представлен теоретический материал по данным темам, рассмотрены примеры. Представлены задания для самостоятельной работы учащихся.

§ 1. История развития логики

Логика (от греч. Logos – слово, понятие, рассуждение, разум) – наука, изучающая законы и формы мышления.

Вначале логика возникла и развивалась в недрах философии как единой науки, объединявшей всю совокупность представлений людей об окружающем мире и самом человеке, его мышлении. При этом первоначально законы и формы правильного мышления изучались в границах ораторского искусства, как одного из средств воздействия на умы людей, убеждения их в целесообразности определенного поведения.

Этапы развития логики:

I этап – формальная логика.

Основатель – древнегреческий философ Аристотель (384-322 гг. до н.э.), первым систематизировал формы и правила мышления, сформулировал основные законы мышления, ввел основные формы абстрактного мышления, разработал теорию умозаключений и доказательств.

Античную логику, основанную Аристотелем, принято называть формальной логикой.

Формальная логика связана с анализом обычных рассуждений, выражаемых разговорным языком.

II этап – математическая логика

 Основатель – немецкий ученый философ и математик Г.В.Лейбниц (1646-1716), высказал  идею о возможности математизации логики. Он пытался создать универсальный язык, с помощью которого разрешались бы споры между людьми, каждому понятию и суждению можно было бы дать числовую характеристику и установить такие правила  оперирования с этими числами, которые позволили бы сразу определить, истинно данное суждение или ложно.

Будущую теорию (которую он так и не завершил) он называет «всеобщая характеристика». Она включала все логические операции, свойства которых он ясно представлял

Математическая логика – запись рассуждений с помощью символов.

III этап – математическая логика (булева алгебра).

Основатель – английский математик Джордж Буль (1815-1864), перенес на логику законы и правила алгебраических действий, ввел логические операции, предложил способ записи высказываний в символической форме.

Алгебра логики (математическая логика) оперирует с двоичными переменными, принимающими только два значения – «истина» или «ложь».

Клод Шеннон (1916-2001). Его исследования позволили применить алгебру логики в вычислительной технике

§ 2. Основные формы мышления

Мышление всегда существует в каких-то формах. Основными формами мышления являются:

• понятие
• высказывание
• умозаключение

Понятие – фиксирует основные, существенные признаки предмета, которые отличают его от других объектов.

Примеры понятий: компьютер, автомобиль, ученик, дерево, яблоко.

Понятие имеет две стороны: содержание и объем.

Содержание понятия – совокупность существенных признаков объекта, отраженных в этом понятии. Например, содержанием понятия «ромб» является совокупность двух существенных признаков: быть параллелограммом и иметь равные стороны.

Объем понятия – множество предметов, на которые это понятие распространяется. Например, объем понятия «треугольник» выражает всю совокупность замкнутых геометрических фигур, состоящих из трех сторон.

Умозаключение - форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, может быть получено новое суждение (заключение).

В русском языке слово «умозаключение» используется в двух значениях: для обозначения процесса рассуждения, размышления, приводящего к некоторому выводу, и для обозначения результата этого процесса.

Ещё в древности было известно рассуждение, ставшее классическим образцом верного логического умозаключения:

Все люди смертны.

Сократ  человек.

Сократ смертен.

Посылками умозаключения по правилам логики могут быть только истинные суждения.

Высказывание – это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними.

Свое понимание окружающего мира человек формулирует в форме высказываний (суждений, утверждений).

Высказывание – повествовательное предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно. Оно может быть выражено с помощью естественных или формальных языков.

Об объектах можно судить верно или неверно, т.е. высказывание может быть истинным (верным) или ложным (неверным).  Высказывание не может быть выражено повелительным или вопросительным предложением, т.к. оценка их истинности или ложности невозможна.

Одно и то же высказывание разными людьми может восприниматься как истинное или ложное в зависимости от их взглядов, жизненного опыта, особенностей национальной культуры, воспитания, образования и т.д.

Примеры высказываний:

• Земля – планета Солнечной системы (истинное высказывание).
• 3 + 6 > 10 (ложное высказывание).
• Площадь прямоугольного треугольника равна произведению катетов (ложное высказывание).
• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов (истинное высказывание).
• Если на улице дождь, то асфальт – мокрый (истинное высказывание).
• Свободу и комфорт человеку дают деньги (истинное или ложное высказывание, субъективно).
• Солнце светит для всех  (истинное высказывание).
• Все ученики любят информатику (ложное высказывание).
• Некоторые ученики любят информатику (истинное высказывание)
• Ты любишь информатику? (не высказывание, т.к. предложение не повествовательное).
• Посмотри в окно (не высказывание).
• Х*Х<0 (ложное высказывание, т.к. х*х всегда неотрицательно).
• 2*Х -5>0 (не высказывание, так как результат зависит от Х, значение которого неизвестно).

Задание 1

Какие из приведенных фраз являются высказываниями? Определите значение высказывания (истина или ложь):

1. Обязательно займись спортом.
2. Переводчик обязательно должен знать хотя бы два языка.
3. Ты играешь в футбол?
4. Пять больше трех.
5. Каждый ромб является параллелограммом.
6. В марте 28 дней.
7. Все мальчики – драчуны.
8. Все ученики любят биологию
9. Некоторые ученики любят историю
10. А ты любишь информатику?
11. Посмотри в окно
12. Х*Х*X<0
13. 2*Х -5>0 при X = 3
14. Без труда не выловишь и рыбку из пруда.
15. Как хорошо быть генералом!
16. Революция может быть мирной и немирной.
17. Зрение бывает нормальное, или у человека имеется дальнозоркость или близорукость.
18. Познай самого себя
19. Талант всегда пробьет себе дорогу
20. Москва – столица Эстонии
21. На улице хорошая погода.
22. В город прилетели инопланетяне.
23. Сколько в мире прекрасных людей!
24. Я люблю математику.
25. Кто пойдет в кино?
26. Переведите 1 Кб в биты.
27. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Высказывания могут быть простыми и сложными.

Простое высказывание содержит только одну простую мысль. Истинность или ложность простого высказывания устанавливается в результате соглашения на основании здравого смысла. Например,

Квадрат – это ромб.

Звезды видны на небе только ночью.

Наступила зима.

Учебный год начинается 1 января.

Составное (сложное) высказывание содержит несколько простых высказываний, соединенных между собой союзами (и, или, не) или логическими связками (если…, то… и др.).

Например, составное высказывание «Лил дождь, и дул холодный ветер» состоит из двух простых высказываний: «Лил дождь», «дул холодный ветер», соединенных союзом «и».

Истинность или ложность составных высказываний вычисляется с помощью использования алгебры высказываний.

 Например, составное высказывание «Принтер является устройством печати, а процессор является устройством вывода информации» является ложным, т.к. одно из простых высказываний, входящих в него является истинным, а другое – ложным.

Задание 2

1. Определите, какие из следующих предложений являются высказываниями, а какие нет. Определите их истинность или ложность.

• Математика – царица наук.
• Ты знаешь теорию вероятностей?
• Выучи урок, заданный по алгебре.
• Есть школьники, которые знают математику на “5”.
• Все школьники любят математику.

2. Укажите, какие высказывания простые, а какие сложные, определите их значения.

• Если две прямые параллельны, то они пересекаются
• Идет урок биологии.
• На следующем уроке будет контрольная работа или объяснение новой темы.
• Сегодня или завтра в гости приедет брат.

3. Укажите в следующих сложных высказываниях логические союзы.

• Если будет хорошая погода, то мы пойдем в парк.
• Треугольники с равными сторонами не являются равнобедренными.

Задание 3

Из приведенных простых высказываний и словосочетаний составьте сложные высказывания, используя различные союзы или связки:

1. Поедем на дачу.
2. Хорошая погода.
3. Мы поедем на пляж.
4. Сергей приглашает нас в театр.
5. Сергей приглашает нас в кино.
6. После школы я пойду работать.
7. После школы я поступлю в институт.
8. Сильный ветер.
9. Отсутствие ветра.
10. Плохая погода.

§ 3. Алгебра высказываний

Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.

В алгебре логики простые высказывания заменяют логическими переменными, которые обозначаются латинскими буквами, причем значениями  переменных могут быть только 0 (ложь) или 1 (истина).

Например:

A = Все мальчики – хулиганы. = 0 – ложное высказывание

B = В школе дети изучают информатику. = 1 – истинное высказывание

В алгебре логики над высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получают новые составные высказывания. Составное высказывание можно представить в виде формулы (логического выражения), в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие логические функции.

Логические операции – логические действия над логическими переменными.

§ 4. Таблицы истинности

Для каждой логической операции и логического выражения можно построить таблицу истинности.

Таблица истинности – таблица, в которой определены все возможные значения входящих логических переменных и соответствующие им значения функции.

Количество строк (q) в таблице истинности можно вычислить по формуле

q = 2n

где n – количество логических переменных.

Количество столбцов в таблице истинности равно количеству логических переменных плюс количество логических операций в логическом выражении.

Таблицу истинности необходимо заполнить по столбцам, выполняя логические операции в необходимой последовательности.

§ 5. Основные логические операции

1. Конъюнкция (логическое умножение)

 от лат. Conjunctio – связываю, соответствует союзу И.

Обозначение: ∩, &, and, ·, И

Например:

На автостоянке стоят «Мерседес» и «Жигули» 

Обозначим высказывания:

А = На автостоянке стоит «Мерседес».

В = На автостоянке стоят «Жигули».

Конъюнкция:

На автостоянке стоят «Мерседес» и «Жигули» = A ∩ B

Таблица истинности для конъюнкции

Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно.

Пример:  Даны высказывания:

А – «Число 10 – четное» = ИСТИНА =1

В – «Число 10 – отрицательное» = ЛОЖЬ = 0

С – «Число 10 кратно 2» = ИСТИНА = 1

A ∩ B – «Число 10 – четное и отрицательное» - ЛОЖЬ = 1 ∩ 0 = 0

A ∩ С – «Число 10 четное  и кратное 2» - ИСТИНА = 1 ∩ 1 = 1

Графическое представление конъюнкции

2. Дизъюнкция (логическое сложение)

от лат. Disjunctio – различаю, соответствует союзу ИЛИ.

Обозначение:   U , |, + , или, or.

Например:

На автостоянке стоят «Мерседес» или «Жигули».

Обозначим высказывания:

А=На автостоянке стоит «Мерседес».

В=На автостоянке стоят «Жигули».

Дизъюнкция:

 На автостоянке стоят «Мерседес» или «Жигули» = A U B

Таблица истинности для конъюнкции

Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, если хотя бы одно высказывание истинно.

Пример:  Даны высказывания

А – «Число 10 – четное» = ИСТИНА = 1

В – «Число 10 – отрицательное» = ЛОЖЬ = 0

С – «Число 10 - простое» = ЛОЖЬ = 0

А U В – «Число 10 – четное или отрицательное» - ИСТИНА = 1 U 0 = 1

А U С – «Число 10 четное или простое» - ИСТИНА = 1 U 0 = 1

В U С – «Число 10 отрицательное или простое» - ЛОЖЬ = 0 U 0 = 0

Графическое представление дизъюнкции

3. Исключающая дизъюнкция

 соответствует речевому обороту «либо, либо»

Обозначение: xor

Например:

Либо дождя не будет, либо небо голубое.

Обозначим высказывания:

А= Дождя не будет

В= Небо голубое.

Исключающая дизъюнкция:

Либо дождя не будет, либо небо голубое = A xor B 

Таблица истинности для исключающей дизъюнкции

Исключающая дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны или истинны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.

Исключающая дизъюнкция может быть представлена в виде:

4. Инверсия (отрицание)

 от лат. Inversio – переворачиваю. Логическое отрицание образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что …».

Обозначение: Ā, ¬A, ⌉A, не A.

Например:

Обозначим высказывание:

A = Я люблю информатику.

Инверсия:

Я не люблю информатику = ¬A 

Неверно, что я люблю информатику = ¬A

Таблица истинности для инверсии

Инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно и наоборот, ложна, когда высказывание истинно.

Пример: Даны высказывания

А – «Число 10 – четное» = ИСТИНА = 1

В – «Число 10 – отрицательное» = ЛОЖЬ = 0

С – «Луна – спутник Земли» = ИСТИНА = 1

Не А – «Неверно, что число 10 – четное» = ЛОЖЬ = 0

Не В – «Число 10 – неотрицательное» = ИСТИНА = 1

Не С – «Луна – не является спутником Земли» = ЛОЖЬ = 0

Графическое представление конъюнкции

5. Импликация (логическое следование)

 соответствует речевому обороту ЕСЛИ A, ТО B; В, ЕСЛИ А; КОГДА А, ТОГДА В

Обозначение:  →

Например:

Если на улице дождь, то асфальт мокрый .

Обозначим высказывания

А=На улице дождь.

В=Асфальт мокрый.

Импликация:

Если на улице дождь, то асфальт мокрый = A → B

Таблица истинности для импликации

Импликация истинна всегда, за исключением случая, когда A истинно, а B ложно.

Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.

Импликация может быть представлена в виде:

Пример:  Даны высказывания

А – «Число 10 – четное» = ИСТИНА = 1

В – «Число 10 – отрицательное» = ЛОЖЬ = 0

С – «Число 10 - простое» = ЛОЖЬ = 0

А → В – «Если число 10 – четное, то оно - отрицательное» = ЛОЖЬ = 1 →  0 = 0

А → С – «Число 10 простое, если четное» = ЛОЖЬ = 1 →  0 = 0

6. Эквивалентность (равнозначность)

 соответствует речевым оборотам ЭКВИВАЛЕНТНО; ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА.

Обозначение: ↔, =

Например:

Число кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится нацело на 3

Обозначим высказывания:

А = Число делится на 3 без остатка.

В = Сумма цифр числа делится нацело на 3.

Эквивалентность:

Число кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится нацело на 3 = A ↔ B

Таблица истинности для эквивалентности

Эквивалентность истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или ложны.

Пример:  Даны высказывания

А – «Число 10 – четное» = ИСТИНА = 1        

В – «Число 10 – отрицательное» = ЛОЖЬ = 0

С – «Число 10 - простое» = ЛОЖЬ = 0

А ↔ В – «Число 10 – четное, тогда и только тогда, когда оно - отрицательное» = ЛОЖЬ = = 1 ↔ 0 = 0

В ↔ С – «Число 10 такое же простое, как и отрицательное» = ИСТИНА = 0 ↔ 0 = 1

Эквивалентность может быть представлена в виде:

Порядок выполнения логических операций

1. Операции в скобках
2. Отрицание
3. Конъюнкция (логическое умножение)
4. Дизъюнкция (логическое сложение)
5. Импликация
6. Эквивалентность

Порядок выполнения логических операций в следующих формулах:

A v B ⇒ C & D ⇔ ¬A

A v (B ⇒ C) & D ⇔ ¬A

Задание 1

Определите, в каком порядке необходимо вычислять значение логического выражения:

Упражнения по записи высказываний в виде логических выражений

1. «Летом Петя поедет в деревню и, если будет хорошая погода, то он будет рыбачить»

A = Летом Петя поедет в деревню

B = будет хорошая погода

C = он будет рыбачить

2. «Точка Х принадлежит интервалу [A;B]»

3. «Точка Х не принадлежит интервалу [A;B]»

Задание 2

Записать высказывание  в форме логического выражения. Определить значение выражения:

• Приставка есть часть слова, и она пишется раздельно со словом.
• Рыбу ловят сачком или крючком, или приманивают мухой или червячком.
• Буква «а» - первая буква в слове «аист» или «сова».
• Я поеду в Таллинн и, если встречу там друзей, то мы интересно проведем время.

§6. Порядок составления таблиц истинности для логических функций (логических выражений)

1. Определить количество строк в таблице истинности.

Количество строк = 2n, где n – количество логических переменных.

2. Определить количество столбцов в таблице истинности, равное количеству логических переменных плюс количество логических операций.

3. Построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов.
4. Ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов.
5. Заполнить столбцы входных переменных наборами значений.
6. Заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.

Пример 1

Построить таблицу истинности для логического выражения

 В данном выражении 2 логические переменные (a, b), 2 логические операции, причем сначала выполняется конъюнкция, а затем дизъюнкция.

1. Количество строк в таблице истинности 2n = 22  = 4 (+ 1 строка для «шапки»).
2. Количество столбцов – 4 (2 переменные + 2 логические операции)
3. Построить таблицу. Ввести названия столбцов. Учесть порядок выполнения логических операций.

4. Заполнить столбцы значений логических переменных. Перечислить все возможные сочетания значений логических переменных, причем соответствующие им двоичные числа расположить в порядке возрастания: 00, 01, 10, 11.

5. Заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя логические операции.

Пример 2

Построить таблицу истинности для логического выражения

1. Количество строк в таблице истинности = 2n = 22 = 4 (учесть, что нужно добавить еще одну строку для указания названия столбцов)
2. Количество столбцов  таблице истинности = 2 (количество логических переменных) + 5(количество логических операций) = 7
3. Определить порядок действий в заданном логическом выражении

4. Построить таблицу. Ввести названия столбцов. Учесть порядок выполнения логических операций.

5. Заполнить столбцы значений логических переменных.

6. Заполнить таблицу истинности по столбцам, выполняя логические операции.

Задание 1

Составить таблицы истинности следующих выражений:

§ 7. Равносильные логические выражения

Логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают, называются равносильными.

Для обозначения равносильности логических выражений используется знак «=».

Например, логические выражения равносильны:

Задание 1

Доказать, используя таблицы истинности, что логические выражения равносильны:

1. \/ =
2. 
3.  =

§ 8. Законы алгебры логики. Правила преобразования логических выражений

Законы логики отражают наиболее важные закономерности логического мышления. В алгебре логики законы логики записываются в виде формул, которые позволяют проводить преобразования логических выражений. Применение законов логики позволяет сокращать количество переменных в логических выражениях.

1. Закон тождества:         А = А

Всякое понятие и суждение тождественно самому себе.

2. Закон непротиворечия  или  

Не могут быть одновременно истинными суждение и его отрицание

3. Закон исключенного третьего:

Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано.

4. Закон двойного отрицания:

Если отрицать дважды некоторое высказывание, то в результате получится исходное высказывание.

5. Переместительный закон (закон коммутативности):

A v B = B v A                A & B = B & A

При операциях логического умножения или сложения можно менять местами логические переменные.

В математике: ab = ba; a + b = b + a

6. Сочетательный закон (закон ассоциативности):

A v (B v C) = (A v B) v C

A & (B & C) = (A & B) & C

Если в логическом выражении используются только операция логического умножения или только операция логического сложения, то можно пренебрегать скобками или расставлять их произвольно.

В математике: (ab)c=a(bc); (a+b)+c =a+(b+c)

7. Распределительный закон (дистрибутивности):

A v (B & C) = (A v B) & (A v C)

A & (B v C) = (A & B) v ( A & C)

В алгебре логики  можно выносить за скобки общие множители и общие слагаемые.

В математике за скобки можно выносить только общие множители: ab + bc = b(a + c)

8. Законы де Моргана:

9. Законы поглощения:

Av (A & B) = A                A & (A v B) = A

10. Законы идемпотентности:

A v A = A                A & A = A

11. Свойства конъюнкции и дизъюнкции:

A v 0 = A                 A & 0 = 0

A v 1 = 1                 A & 1 = A

Применение законов алгебры логики для упрощения логических выражений

1. Упростить логическое выражение:

= {7} =  = {3} =   = A

{7} – распределительный закон

{3} – закон исключенного третьего:

Для более наглядного восприятия заданное выражение можно записать, используя математические знаки действий:

2. Упростить логическое выражение:

Способ 1. Применим закон дистрибутивности:

= {7} =  = {2} = A v 0 = A

Способ 2. Перемножим скобки на основании закона дистрибутивности:

Запишем данное выражение, используя знаки математических действий:

Задание 1

Упростить выражения:

§9. Получение логического выражения по таблице истинности

Способ 1

1. Выбрать значения переменных, для которых значение функции равно 1;
2. Записать конъюнкцию всех переменных для каждой строки, где функция равна 1 (если значение переменной равно 0, то берется ее отрицание);
3. Логически сложить полученные выражения;
4. Упростить полученное выражение.

Пример 1.

Определить функцию, которой соответствует заданная таблица истинности.

1. Запишем конъюнкции для строк, в которых F = 1:

2. Полученные выражения сложим логически.

3. Упростим логическую функцию

4. Итак, логическая функция:

Пример 2.

Определить функцию, которой соответствует заданная таблица истинности.

1. Запишем конъюнкции для строк, в которых F = 1:

2. Полученные выражения сложим логически.

3. Упростим логическую функцию

4. Итак, логическая функция:

Способ 2

1. Выбрать значения переменных, для которых значение функции равно 0;
2. Записать конъюнкцию всех переменных для каждой строки, где функция равна 0 (если значение переменной равно 0, то берется ее отрицание);
3. Логически сложить полученные выражения;
4. Упростить полученное выражение.
5. Записать инверсию от полученной функции.

Пример 1.

Определить функцию, которой соответствует заданная таблица истинности.

1. Запишем конъюнкции для строк, в которых F = 0:

2. Полученные выражения сложим логически.

3. Упростим логическую функцию, равную

4. Запишем инверсию для полученной функции

5. Итак, логическая функция:

Пример 2. Определить функцию, которой соответствует заданная таблица истинности.

1. Запишем конъюнкции для строк, в которых F = 0

2. Полученные выражения сложим логически.

3. Упростим логическую функцию

4. Запишем инверсию для полученной функции

4. Итак, логическая функция:

Задание 1

1. Символом F обозначена логическая функция от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

Какое выражение соответствует F?

2.  Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение соответствует F?

3. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение соответствует F?

4. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение соответствует F?

5. Символом F обозначена логическая функция от двух аргументов (A и B), заданная таблицей истинности. Какое выражение соответствует F?

        1) A → (¬A ∨ ¬B)        2) A ∧ B         3) ¬A → B         4) ¬A ∧ ¬B 

6. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение соответствует F?

1) X ∨ Y ∧ Z          2) X ∨ Y ∨ Z         3) X ∧ Y ∨ Z          4) ¬X ∨ ¬Y ∧ ¬Z 

7. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение соответствует F?

        1) ¬(X ∧ Y) ∧ Z        2) ¬(X ∨ ¬Y) ∨ Z   3) ¬(X ∧ Y) ∨ Z           4) (X ∨ Y) ∧ Z 

8. Символом F обозначена логическая функция от двух аргументов (A и B), заданная таблицей истинности. Какое выражение соответствует F?

        1) A → (¬(A ∧ ¬B))  2) A ∧ B         3) ¬A → B         4) ¬A ∧ B 

9. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F (см. таблицу). Какое выражение соответствует F?

        1) (X ↔ Z) ∧ (¬X → Y)        2) (¬X ↔ Z) ∧ (¬X → Y)  

        3) (X ↔  ¬Z) ∧ (¬X → Y)        4) (X ↔  Z) ∧ ¬(Y → Z)

10. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F. Какое выражение соответствует F?

        1) X ∨ Y → Z        2) ¬X ∨ Y → Z   3) ¬X ∧ Z → Y        4) X ∨ ¬Z → Y