Конспект урока "Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии"
план-конспект урока по математике (9 класс) на тему

Мастер - класс «Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии» разработан в рамках проведения районного конкурса «Учитель года 2013»

Цель мастер – класса: демонстрация слушателям (и/или обмен опытом), как сделать урок алгебры для учащихся 9 класса более интересным путем подбора занимательных и необычных задач; мотивация учебно – познавательной деятельности учащихся (создание эмоциональных ситуаций, занимательности, и даже присутствие парадоксальности в предлагаемых заданиях для заинтересованности учеников)  

Предмет: алгебра 9 класс

Учитель математики: Башурова И.Н.

Место урока в данной теме: 1-ый

Формы работы: фронтальная, индивидуальная

Тип урока: урок изучения нового материала

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

Цель урока: организация деятельности учащихся для вывода формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Задачи урока:

образовательные: повторить материал о геометрической прогрессии, проверить умения находить n-й член геометрической прогрессии, создать условия для выведения формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии; систематизировать и обобщить изученный материал о прогрессиях;

развивающие: способствовать развитию у учащихся умений и навыков пользования новой формулы, развивать логическое мышление и умение применять рациональные способы при решении задач;

воспитательные: содействовать воспитанию: 1) интереса к изучению математики путем подбора интересных задач,  2) внимательности, сообразительности.

План урока

1. Мотивация учебной деятельности «Настроимся на урок!»
2. Актуализация опорных знаний учащихся
3. Постановка проблемы, после чего учащиеся пытаются сформулировать тему и цель урока
4. Изучение нового материала
5. Физкультминутка
6. Закрепление изученного материала в ходе выполнения упражнений
7. Контроль и самопроверка знаний
8. Подведение итогов. Рефлексия.
9. Информация о домашнем задании

Ход урока

1. Мотивация учебной деятельности «Настроимся на урок!»

Приветствие. Сегодня нам предстоит восхождение на пик Знаний. Перед вами плакат – игровое поле с изображением горного пейзажа. Здесь вы видите маршрут восхождения и привалы. Привалы пронумерованы – их 5. На столе лежат конверты с заданиями для каждого привала. Эпиграфом  к уроку я взяла такие слова:

“Прогрессио – движение вперед

Закончился двадцатый век.

Куда стремится человек?
Изучены космос и море,
Строение звезд и вся Земля.
Но математиков зовет
Известный лозунг:
“Прогрессио – движение вперед”.

Мы продолжаем изучать прогрессии. Более правильно и точно тему урока сформулируем чуть позже.

2. 1-й привал «Игровой». Актуализация опорных знаний учащихся

1. Проверка д/з (фронтально)
2. Устное решение задач:

Задача 1 - я задумала некоторую геометрическую прогрессию. Задайте мне только 2 вопроса, чтобы с помощью ответов вы быстро смогли бы назвать первый член этой прогрессии, который неизвестен. (Задумано 3, 6, 12, 24…) 

Вопросы учащихся: 1) во сколько второй член больше первого? (в 2 раза)

                                      2) чему равен второй член прогрессии? (6)

Задача 2: (Задача Магницкого, задача на вычисление суммы арифметической прогрессии) Часы бьют каждый час и отбивают столько ударов, сколько показывает часовая стрелка. Сколько ударов отобьют часы в течение 12 часов? (78 раз). Аналогия с задачей о К. Гауссе. Карл Гаусс нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи учеником начальной школы.

Задача 3: Фигуры составлены из квадратов, как показано на рисунках:

а) Сколько квадратов в 15-ой строке?                  

         4…

Варианты ответов: А. 29    Б. 32     В. 31     Г. 15

        Ответ: В. 31

б) Сколько квадратов в 11-ом столбце?

1     2      3     4      5…

Варианты ответов: А. 512    Б. 256     В. 1024     Г. 128

        Ответ: В. 1024

3. Постановка проблемы, после чего учащиеся пытаются сформулировать тему и цель урока

 Рассмотрим 2 старинные задачи.

Задача 1: Однажды один мудрец предложил богатому купцу такую сделку: « Я буду ежедневно отдавать тебе по 100 000 руб. А ты мне в первый день за 100 000 руб. дашь 1 руб., во второй день за 100 000руб. – 2 руб. И так каждый день ты будешь увеличивать предыдущее число денег в 2 раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнем». Купец обрадовался такой удаче. Он подсчитал, что за 30 дней получит от незнакомца 3 000 000 руб. На следующий день они пошли к нотариусу и узаконили сделку. Кто в этой сделке проиграл, купец или мудрец?

Решение. Составим последовательность чисел, которую составят рубли, отданные купцом: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128,256, 512, 1024…

Это геометрическая прогрессия, в которой количество дней  n = 30.

- Целесообразно ли составить всю последовательность за 30 дней и найти её сумму? Конечно, нет. Это громоздкая работа.

- Как вы думаете, возможен ли другой способ нахождения суммы 30-ти членов геометрической прогрессии? (Да, надо найти )

Тогда послушайте еще одну историю о награде изобретателя шахматной доски.

Задача 2: Шахматы – одна из самых древних игр. Она существует уже многие века и неудивительно, что с нею связаны различные придания, правдивость которых, за давностью времени, невозможно проверить.

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

Индийский царь Шерам призвал к себе изобретателя шахмат ученого Сету и предложил, чтобы он сам выбрал себе награду за создание интересной и мудрой игры. Царя изумила скромность просьбы, услышанной им от изобретателя: тот попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую – 2, за третью – еще в 2 раза больше, т.е. 4, за четвертую – еще в 2 раза больше и т.д. Много ли зерна получил ученый Сету?

Решение. Составим последовательность чисел, которую составят рубли, отданные купцом: 1, 2, 4, 8, 16…

Это геометрическая прогрессия, в которой количество дней  n = 64. Необходимо найти

Вопросы ученикам: 1)умеем ли  находить сумму первых n членов геометрической прогрессии? 2)Сформулируйте тему урока; 3)Чем будем заниматься на уроке?

Учащиеся пытаются сформулировать тему и цель урока.

4. 2-й привал «Вывод формулы». Изучение нового материала

Для решения ранее рассмотренных старинных задач необходимо получить, вывести формулу для вычисления суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Пусть дана геометрическая прогрессия (), обозначим сумму первых n её членов через :

 .                                                               (1)

Умножим обе части этого равенства на знаменатель прогрессии :

 .

Учитывая, что

,

Получим

.                                                 (2)

Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведем подобные члены:

,

 = .

Отсюда следует, что при

                                                                                                  (I)

Мы получили формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии, в которой . Если , то все члены прогрессии равны первому члену и .

При решении многих задач удобно пользоваться формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде. Подставим в формулу (I) вместо выражение . Получим

,                                                                  (II)

Для первичного закрепления рассмотрим примеры 1-3 учебника на стр. 160-161

5. 3-й привал. Физкультминутка

1. Дыхательное упражнение «Свеча»: исходное положение  - сидя за партой. Представьте, что перед вами стоит большая свеча. Сделайте глубокий вдох и постарайтесь одним выдохом задуть свечу. А теперь представьте перед собой 5 маленьких свечек. Сделайте глубокий вдох и задуйте эти свечи маленькими порциями выдоха. Повторить ещё раз.
2.  Упражнения для моторики «Кулак – ребро - ладонь»: на столе, последовательно сменяя, выполняются следующие положения рук: ладонь на плоскости, ладонь, сжатая в кулак и ладонь ребром на столе. Выполнить 4-5 раз. Упражнения выполняются каждой рукой отдельно, затем двумя руками вместе.

6. 4-й привал «Старинные задачи». Закрепление изученного материала в ходе выполнения упражнений

- Кто желает у доски решить задачу про купца и мудреца?

Решение задачи 1: в прогрессии известно , найдем сумму n = 30 её членов. По формуле имеем:

(для экономии времени дать готовый ответ)

Следовательно, купец отдал мудрецу 1 073 741 823 руб. Как же разрешилась проблемная сделка? Кто в ней проиграл, купец или мудрец? Понятно, что в данной сделке проиграл купец, так как он получил 3 000 000 руб., а отдал 1 073 741 823 руб.

Ответ: проиграл купец.

Решение задачи 2: в прогрессии известно , найдем сумму n = 64 её членов. По формуле имеем:

В итоге общее число зерен на 64 клетках шахматной доски составило число 18 446 744 073 709 551 615 (18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 миллиарда 709 миллионов 551 тысяча 615). Если бы царю удалось засеять пшеницей всю поверхность Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктидой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, за 5 лет он смог бы рассчитаться.

И все-таки, история о шахматах могла закончиться иначе.

Индусский царь не в состоянии  был выдать подобной награды. Но он мог бы легко, будь он силен в математике, освободиться  от столь обременительного долга. Для этого нужно было лишь предложить изобретателю самому отсчитать себе зерно за зерном всю причитавшуюся ему пшеницу. Чтобы отсчитать миллион зерен, понадобилось бы не менее 10 суток неустанного счета. Чтобы отсчитать себе все зерно изобретателю потребовалось бы примерно 586 549 402 017 лет.

7. 5-й привал. Контроль и самопроверка знаний

Заполнить таблицу:

Проверка:

8. Подведение итогов. «Пик Знаний»

Что нового, интересного узнали на уроке?

Еще раз прочтите формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Рефлексия.

Учитель: У каждого из вас на столе карточки (красная, зелёная, жёлтая). Уходя из класса, прикрепите на доску одну из них.

Карточка зеленого цвета обозначает: “Я удовлетворён уроком, урок был полезен для меня, я много, с пользой и хорошо работал на уроке, и получил заслуженную оценку, я понимал всё, о чём говорилось и что делалось на уроке”.

Карточка желтого цвета обозначает: “Урок был интересен, я принимал в нём активное участие, урок был в определённой степени полезен для меня, я отвечал с места, я сумел выполнить ряд заданий, мне было на уроке достаточно комфортно”.

Карточка красного цвета обозначает: “Пользы от урока я получил мало, я не очень понимал, о чём идёт речь, мне это не очень нужно, домашнее задание я не понял, к ответу на уроке я был не готов”.

9. Информация о домашнем задании

«Покупка лошади»

  В старинной арифметике Магницкого есть следующая забавная задача.

Некто продал лошадь за 156 руб. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал её покупать и возвратил продавцу говоря:

-Нет мне расчёта покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.

Тогда продавец предложил другие условия:

-Если по-твоему цена лошади высока, то купи только её     подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно.      

Гвоздей в каждой подкове 6 шт. За первый гвоздь дай мне всего 1/4 коп., за второй 1/2 коп., за третий – 1 коп. и т.д.

Покупатель   принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придётся уплатить не более 10 руб. На сколько покупатель проторговался?

    Решение: 

        за 24 подковных гвоздя пришлось уплатить                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              

                ; ; 1; 2; 4; 8; 16; … копеек.

 Эти числа составляют геометрическую прогрессию  ,  q =2,  n=24. Найдите сумму первых 24-х членов этой прогрессии: ≈ 41943 руб.  

То есть 41943 рубля. За такую цену и лошадь продать не жалко!

Интересные факты о геометрической прогрессии:

1) Химия.  При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растет по геометрической прогрессии.

2) Геометрия. Вписанные друг в друга правильные треугольники образуют геометрическую прогрессию.

Какие величины в треугольнике образуют геометрическую прогрессию? (площади, периметры)

3) Физика. И в физических процессах встречается эта закономерность. Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получаются два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам,  раскалывает их еще на 4 части и т.д. – это геометрическая прогрессия.

4) Биология. Микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени их число удваивается.

Указать количество бактерий, рожденных одной бактерией за 7 минут.

5) Экономика. Вклады в сбербанке ежегодно увеличиваются на одинаковый процент. Вклад составляет 1000 рублей при 4% годовых. Какую сумму получит вкладчик через 3 года?

Дополнительные задачи:

1. Когда и где происходила эта история – неизвестно. Возможно, что и вовсе не происходило; даже скорее всего, что так. Но быль это или не- быль, история достаточно занятна, чтобы её узнать. Итак, наша история начинается. Встретились как-то богач и бедняк.
   Бедняк: Сделаем такой уговор. Я буду целый месяц  приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Недаром, разумеется, но плата пустяшная, в первый день я должен по уговору заплатить – смешно вымолвить – всего только одну копейку.

Богач. (удивленно). Одну копейку?

Бедняк. ( уверенно). Одну копейку. За вторую сотню тысяч заплатишь две копейки.

Богач. Ну а дальше?

Бедняк. А дальше: за третью сотню тысяч  - четыре копейки, за четвертую – восемь, за пятую – шестнадцать. И так целый месяц, каждый день вдвое больше против предыдущего.

Богач. И потом что?

Бедняк. Все больше ничего не потребую. Только крепко держать уговор: каждое утро буду носить по сотне тысяч  рублей, а ты плати, что сговорено. Раньше месяца кончать не смей.

Богач. Ладно. Неси деньги. Я – то свои уплачу  аккуратно. Сам, смотри, не обмани: правильные деньги приноси.

Бедняк. Будь спокоен, завтра с утра жди.

Прошел день. Рано утром постучал богачу  в окошко тот самый бедняк, которого он повстречал.

Бедняк. Деньги готовь. Я свои принес. Вот мои деньги по уговору. Твой черед платить. Завтра в такое же время жди. Да не забудь, две копейки припаси.

На утро снова стук в окошко: бедняк деньги принес. Отсчитал сто тысяч, получил свои две копейки, спрятал монету в суму и ушел. Явился бедняк и на третий день – третья сотня тысяч перешла  к  богачу  за четыре копейки. Еще день, и таким же манером явилась четвертая сотня тысяч – за восемь копеек.

Перешла и пятая сотня тысяч  - за  шестнадцать копеек.

Вопрос: сколько заплатил бедняк и сколько отдал богач за тридцать дней?

2. Предположим, что в 1776 году, когда образовались США, 1 доллар был отдан по 10 % годовых. В какую сумму он превратился к 1976 году – 200 – летней годовщине образования США?
3. В романе М.Е. Салтыкова-Шедрина «Господа Головлевы» есть такой эпизод. « Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его  занимает вопрос: сколько было бы у него денег, если бы маменька, Арина Петровна, подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 руб. ассигнациями, не присвоила себе, а положила бы в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, не много: всего  800 рублей ассигнациями».

Предполагая, что Порфирию Владимировичу в момент счета было 53 года, установим, по сколько  процентов в год платил ломбард.

4. Рассмотрим еще одну гипотетическую задачу, иллюстрирующую колоссальный рост вклада при увеличении срока его хранения. Предположим, что в начале нашей эры на одну копейку ежегодно начисляли по 5 % годовых. В какую сумму превратится эта копейка через 2000 лет, т.е. к нашему времени?

Литература:

1. Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений/авт. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова, под ред. С. А. Теляковского. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2011;
2. Мартышова Л. И. Открытые уроки алгебры и начала анализа: 9-11 классы. – М.: ВАКО, 2012;
3. Олехник С. Н., Нестеренко Ю. И., Потапов М. К. Старинные занимательные задачи. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985;
4. Нагибин Ф.Ф., Канин Е. С. Математическая шкатулка: Пособие для учащихся. – 4-е изд., переб. и доп. – М.: Просвещение, 1984;
5. Кордемский Б. А., Ахадов А. А. Удивительный мир чисел: (Матем. головоломки и задачи для любознательных): Кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1986
6. Интернет - ресурсы