подбор материала по теме сложные проценты в егэ
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (11 класс) на тему

1. Вспомним:

1)1% - это 0,01

2) Основные соотношения и выражениями, встречающиеся при решении задач на проценты:

• Числоaсоставляетp%от числа в:

a =  = 0,01bp

• Числоа увеличили на p%:

a·(1+0,01p)

• Числоа увеличили сначала на p%, а потом еще наq%:

a·(1+0,01p)·(1+0,01q)

• Числоа уменьшили на p%:

a·(1 - 0,01p)

3)Задачи, связанные с изменением цены

Пусть So – первоначальная цена, S – новая (окончательная ) цена.

• Повышение цены на a%nраз на a%

S= So ·(1+0,01a)S= So ·(1+0,01a)n

• Понижение  цены на a%nраз на a%

S= So ·(1-0,01a)S= So ·(1-0,01a)n

• Удобно пользоваться схематичной записью:

So ·(1+0,01a)

a%        

Sоd%

So·(1+0,01a)(1-0,01d)

Пример 1.

Цена товара сначала понизилась на 5%, а затем повысилась на 5%.Изменилась ли первоначальная цена и если да, то на сколько процентов?

S= Sо(1-5·0,01) (1+5·0,01)

So

                   5%                             5%

Sо(1-5·0,01)

S= Sо(1-5·0,01) (1+5·0,01)= Sо(1-25·0,0001).

Ответ. Понизилась на 25%.

Пример 2.

После двух последовательных понижений цены товар стал стоить 2400 руб. Какова исходная цена товара, если после первого понижения его цена была 3200 руб., а процент второго пониженения был на 5% больше, чем процент первого?

Xруб

У%

X(1 – 0,01y)=3200

                                                        (y+5)%

2400 руб.

Получаем систему:      

                                                  3200·(1-(y+5)·0,01) = 2400;

(1-(y+5)·0,01) = ;       (y+5)·0,01 = ;        y+5 = 25;      y=20%

X(1 – 0,01·20)=3200;    X·0,8=3200;       X=4000.

Ответ:    4000руб; 20%.

Пример 3.

31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк Х рублей.  Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

1 способ.

Имеем уравнение: 5 624 297,25 – 1,145Х – Х=0;

                                        Х=2 622 050.

Таким образом,   ежегодная  выплата составляет   2 622 050 руб.

Ответ: 2 622 050 руб.

2 способ.

Ответ: 2 622 050 руб.  

Пример 4.

31 декабря 2014 года Алексей  взял в банке 6 902 000рублей в кредит под 12,5% годовых.Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк Х рублей.  Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя  равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение.

1 способ.

Имеем уравнение:11055669,43359375-  4,814453125Х = 0;

                                    Х=2 296 350.

Таким образом,   ежегодная  выплата составляет   2 296 350 руб.

Ответ: 2 296 350руб.  

2 способ.

Пусть S– cумма кредита, годовые а%.,в=1+0,01а.

31.12.2015 г.S1 = Sb-X

31.12.2016г.S2 = S1b-X = (Sb-X)b-X = Sb2 – (1+b)X

31.12.2017 г. S3 = S2b-X= (Sb2 – (1+b)X)b –X = Sb3 – (1+b+b2)X=

                                 = Sb3 –

31.12.2018г. S4 = S3b-X= Sb4 – (1+b+b2)bX-X= Sb4 – (1+b+b2+b3)X=

= Sb4 –

При S=6 902 000, в = 1,125 находим  Sиз уравненияSb4 –

Напомним: (a-1)(a2+a+1)= a3-1            отсюда  a2+a+1 =

     (a-1)(а3+a2+a+1)= a4-1    отсюдаа3+a2+a+1 =

Пример5.

31 декабря 2014 года Антон взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на определенное количество процентов), затем Антон переводит определенный транш. Антон выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 510 тыс. рублей, во второй – 649 тыс. руб. Под какой процент банк выдал кредит Антону?

Решение.b=1+0,01a

100a2+14900a–159000-64900=0;

a2+149a-1590=0;

a1=10; a2=-159.

По смыслу задачи a>0, поэтому кредит выдан под 10%.

Ответ: 10%.

Пример6.

31 декабря 2014 Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых.Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платеж. Весь долг Тимофей выплатил за з равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

1 способ.

12 108 096-3,64Х =0

Х= 3 326 400; 3Х=9 979200

10 090 080 – 2,2Y =0;                                 Y= 4 586 400;     2Y= 9 172 800

Значит,   3Х-2Y= 9 979200 - 9 172 800 = 806 400.

Ответ:806 400 руб.

II способ.

1. S3 = S2b-X= (Sb2 – (1+b)X)b –X = Sb3 – (1+b+b2)X= Sb3 –

По условию задачиSb3 –  =0, откуда  Х =

2. S2 = S1b-Y = (Sb-Y)b-Y= Sb2 – (1+b)Y, откуда   Sb2 – (1+b)Y=0, Y =

Пример 7. (Демонстрационный вариант КИМ ЕГЭ 2015)

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000рублей в кредит под 10% годовых.Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа.  Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя   равными ежегодными платежами?

Решение.

1 способ.

Пусть S руб. – cумма кредита, ежегодный платеж равен Х руб., годовые составляют a%,  тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициентb=1+0,001a.

По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому  имеем уравнение:

Sb3  =0.      ОткудаX=.  

Ответ.3 993 000 руб.

Пример8.Вбанк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. Вконце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же φксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Решение.

50% годовых означает, что каждый год сумма на счету вкладчика увеличивается в 1,5 раза.

Будем рассуждать следующим образом:

1. Вкладчик ничего не добавляет к первоначальной сумме:

2. Первая добавка х рублей была внесена через год:

3. Вкладчику это понравилось, и он стал повторять процесс (вносить х руб.) каждый год:

Через 5 лет вкладчик забрал все деньги из последнего столбика:

а) Добавки принесли доход

1,5х +1,52х +1,53х +1,54х =x(1,5 +1,52 +1,53 +1,54)=  =3·х·(1,54-1)= .

б) Известно, что размер вклада увеличился на 725%, т.е. увеличился в 8,25 раз

1,55·3 900 + = 3 900·8,25;             =3 900·8,25 - 1,55·3 900;

Х= 210.

Ответ:  210руб.

Примечание: Применим формулу суммы п-первых членов геометрической прогрессии:Sn=

Пример 6. (Демонстрационный вариант КИМ ЕГЭ 2015)

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000рублей в кредит под 10% годовых.Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определенную сумму ежегодного платежа.  Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя   равными ежегодными платежами?

Решение.

1 способ.

Пусть S руб. – cумма кредита, ежегодный платеж равен Х руб., годовые составляют a%,  тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициентb=1+0,001a.

По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому  имеем уравнение:

Sb3  =0.      ОткудаX=.  

Ответ.3 993 000 руб.

   Задача 3. УМК для экспертов

 15-го января  был выдан полугодовой кредит  на развитие  бизнеса. В  таблице  представлен график его погашения.  

В  конце  каждого  месяца,  начиная  с  января,  текущий  долг  увеличивался  на  5%,  а   выплаты  по  погашению  кредита  происходили  в  первой  половине  каждого  месяца,  начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях  больше суммы самого кредита?

  Решение. Представим таблицей реальную ситуацию, описанную в условии задачи:

15%+14,5%+14%+13,5%+13%+52,5% =122,5%

122,5% - 100% = 22,5%

      Ответ: 22,5.

Ресурсы:

1. http://www.prosv.ru      – сайт издательства, Просвещение, рубрика ,,математика,,/ ;

2. http://www.edu.ru-//www.edu.ru -Центральный образовательный портал, содержит нормативные документы Министерства, стандарты;

3. http://www.pedsovet.su/;

4. http://nsportal.ru/shkola/obshchepedagogicheskie-tekhnologii/library/2015/03/04/