УЧЕБНЫЙ ПРОЕКТ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 8 КЛАССА ПО ТЕМЕ «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА»
проект по математике (8 класс) на тему

УДК 372.851

УЧЕБНЫЙ ПРОЕКТ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ УЧАЩИХСЯ
8 КЛАССА ПО ТЕМЕ «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА»

Фролова В.В., Пырков В.Е.

Аннотация: В работе представлена разработка учебного проекта по математике для учащихся 8 класса, посвященного теореме Пифагора. Описаны организационная часть работы учителя по подготовке проекта и возможный вариант его представления учащимися. Сформулированы методические рекомендации к выполнению проекта учащимися и критерии оценки каждого этапа их работы над проектом.

Ключевые слова: обучение математике, управляемая самостоятельная деятельность, проектная деятельность, учебный проект, теорема Пифагора.

TRAINING PROJECT IN MATHEMATICS FOR STUDENTS
IN 8TH GRADE ON THE TOPIC "PYTHAGOREAN THEOREM"
Frolova V. V., Pyrkov V. E.

Abstract: The paper presents the development of a training project in mathematics for pupils of the 8th class on the Pythagorean theorem. Describes the organizational part of the work of teachers in preparing the draft and a possible option for the submission of project by students. Methodical recommendations to implementation of the project students and the assessment criteria of each stage of the project.

Key words: teaching mathematics, self-managed activity, the project activity, educational project, Pythagorean theorem.

Проектное обучение является одной из современных педагогических технологий, набирающих популярность среди учителей математики, т.к. оно в большей степени удовлетворяет требованием к организации учебного процесса, предъявляемыми современным ФГОС. Деятельность ученика при реализации проекта позволяет ему самореализоваться как личности, развивать его коммуникативную компетенцию, рефлексивное мышление, активность и инициативность. При организации проектной деятельности учащихся в процессе обучения математике, важную роль играет выбор содержания учебного материала, на основе которого будет выполняться проект. Большой потенциал для организации проектной деятельности учащихся при изучении геометрии имеет тема «Теорема Пифагора». Проектная работа на эту тему была реализована нами с учащимися 8 класса «Б» МБОУ СОШ №4 г.Аксая Ростовской области. Рассмотрим основные аспекты организации деятельности учителя и учащихся при разработке данного проекта.

Перед налом работы над проектом учитель математики должен мотивировать обучающихся на его выполнение, объяснить, что такое проект и какое значение процесс проектирования имеет для успешной реализации целей.

Далее следует обсудить с учащимися, в чем заключается учебная проблема проекта, каковы могут быть способы её разрешения и конечный результат. В теории проектирования это соответствует первому этапу работы над проектом и называется «разработкой проектного задания».

 На следующем занятии осваиваются второй этап работы над проектом - планирование его разработки. В соответствии с заданным алгоритмом проектировочной деятельности определяются:

• срок выполнения проекта - 2 недели. На последнем занятии планируется презентация проекта. Промежуточная отчетность осуществляется на каждом уроке в виде представления конспектов собранного материала и рефлексивной оценки хода и состояния работы;
• форма работы - групповая в сочетании с индивидуальной. Учитель предлагает организовать 3 группы: "Историки", "Теоретики" и "Практики": "Историки" подбирают материалы, которые рассказывают об интересных фактах из жизни Пифагора, о создании пифагорейской школы и основных направлениях математических открытий, сделанных ими. "Теоретики" изучают предложенную литературу и ищут различные способы доказательства теоремы Пифагора. "Практики" получают задание найти в литературе практические задачи, которые решаются с помощью теоремы Пифагора;
• способ оформления результатов - индивидуальные листы от каждой группы содержащие необходимую текстовую информацию и иллюстрации к ней;
• критерии оценивания работы группы:

1. четкость формулировки целей, задач проекта: умение выделять проблему и обосновывать ее актуальность, умение формулировать цель, задачи;
2. оценка содержания проекта: логичность, оригинальность, глубина анализа, объем выполненной работы, самостоятельность выводов, наличие источников информации;
3. оценка устного выступления: грамотность речи, четкость, эмоциональность изложения;
4. оценка презентации проекта: оригинальность изложения, интересные художественные решения, логичность изложения, оформление текстовой информации, полнота ответов на дополнительные вопросы.

Следующий этап работы над проектом - его реализация в соответствии с намеченным планом. Работа строится на основе самоорганизации детей. Учитель сохраняет за собой функции общего организационного руководства, консультирования, помощи в обеспечении литературными источниками, рубежного контроля при выполнения проекта.

В ходе реализации проекта намеченный план и сроки выполнения проекта могут корректироваться, перераспределяться обязанности, дополняться сценарий защиты проекта. Заметим, что этап защиты проекта является едва ли не самым важным компонентом технологии проектного обучения с точки зрения его психолого-педагогического потенциала. На этом этапе в концентрированном эмоционально, остро переживаемом учащимися состоянии, формируются и закрепляются такие важные чувства и качества, как личная ответственность и гордость за результаты своей и коллективной работы‚ удовлетворенность процессом творческой деятельности и собственной самореализацией, осознание социальной значимости и личностного смысла выполненной работы и самого процесса поисковой и проектировочной деятельности, потребность осознать свои интересы, склонности, способности, наметить путь своего дальнейшего развития.

Перейдем ко дню презентации проекта и рассмотрим урок-проект по теме "Теорема Пифагора".

Цели урока:

• формирование познавательного интереса к изучению геометрии, понимания роли геометрии в решении практических задач;
• формирование универсальных учебных действий: работы с дополнительной математической литературой; поиска, анализа и отбора информации по теме и написания краткого сообщения; оформления наглядности и подготовка презентации проекта;
• пополнение знаний учащихся о жизни Пифагора, о знаменитой теореме Пифагора и ее различных способах доказательства.

На доске портрет Пифагора и эпиграф: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это теорема Пифагора...» Иоганн Кеплер.

План урока:

1. Вступительное слово учителя.
2. Выступление группы «Историки».
3. Выступление группы «Теоретики».
4. Выступление группы «Практики».
5. Заключительное слово учителя.
6. Оценка проекта. Рефлексия.

Рассмотрим ниже каждый из пунктов плана подробнее.

1. Вступительное слово учителя.

В плеяде известных математиков цивилизации одно из почетных мест принадлежит замечательному древнегреческому мыслителю Пифагору Самосскому. О нём написано одновременно и много и мало. Имя Пифагора обросло огромным количеством легенд. Согласно одной из них, Пифагор путешествовал по Востоку, был в Египте, где познакомился с тайным знанием жрецов, и обязался никому его не открывать. И действительно, история сохранила для нас только лишь косвенные свидетельства его открытий, самое значительное из которых - знаменитая Теорема Пифагора.

Цель нашего учебного проекта было ответить на вопрос «Почему теорему Пифагора называют сокровищем геометрии»? На этот вопрос нам ответят три группы. Представим им слово.

2. Выступление группы «Историки».

Ученик 1. Приступив к выполнению проекта, мы поставили перед собой задачи:

• изучить биографию Пифагора;
• изучить историю открытия теоремы;
• установить какое значение имеет открытие теоремы Пифагора в развитии геометрии.

Биография Пифагора. Родился он около 570 г. до н. э. на острове Самос в городе Сидоне, расположенном у самых берегов Малой Азии. Отец Пифагора, Мнесарх, был ювелиром. Он был достаточно богат, чтобы дать сыну хорошее образование. Мать Пифагора звали Пифазис, в честь Пифии, жрицы Аполлона. Сын также был назван в честь Пифии. Он с ранних лет стремится узнать как можно больше. Чтобы ознакомиться с мудростью восточных ученых, он выехал в Египет и как будто прожил там 22 года. В Египте он создает центр своей философской системы. Ему приписывают введение слова «философ» - тот кто пытается узнать. До него ученые называли себя мудрецами – «тот кто знает».

Овладев науками, в том числе и математикой, он переехал в Вавилон, где прожил 12 лет и ознакомился с научными знаниями вавилонских жрецов. У  халдейских магов он изучает теорию чисел. И, быть может, отсюда берет корни числовая мистика, развиваемая затем в пифагорейской школе.

После возвращения на родину Пифагор создает свою школу – «Пифагорейское братство», которая вызвала недовольство жителей острова, из за чего пифагорейцы вынуждены были переселиться в южную Италию, в Кротон.

Ученик 2. Свою школу Пифагор создает как тайную организацию со строго ограниченным числом учеников из аристократии, и попасть в нее было не просто. Претендент должен был выдержать ряд испытаний; по утверждению некоторых историков, одним из таких испытаний являлся обет пятилетнего молчания, и все это время принятые в школу могли слушать голос учителя лишь из-за занавеса, а увидеть могли только тогда, когда их "души будут очищены музыкой и тайной гармонией чисел".

Пифагорейцы были увлечены построением правильных геометрических фигур с помощью циркуля и линейки. Они нашли способ построения правильных многоугольников в плоть до правильного шестиугольника и озадачились тем, как с помощью циркуля и линейки построить правильный семиугольник, но это им не удалось. Несомненно, со школы Пифагора в математику твердо вошло положение о необходимости строгих доказательств, что и придало ей значение особой науки.

Пифагор не оставил после себя собрания сочинений, т.к. он держал свое учение в тайне и передавал ученикам изустно. Поэтому все достижения пифагорейцев, заочно приписываются Пифагору.

3. Выступление группы «Теоретики». 

Ученик 1. Свои задачи в ходе проекта мы определили следующим образом: 

• отыскать несколько способов доказательства теоремы Пифагора.
• провести классификацию методов доказательства.

Теорема Пифагора имеет богатую историю. За 8 веков до нашей эры эта теорема была хорошо известна индийцам под названием «правила веревки», использовалась ими для построения алтарей, которые по священному предписанию должны иметь строгую геометрическую форму, ориентированную относительно четырех сторон горизонта. О том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 есть прямоугольный, знали за 2000 лет до н.э. египтяне, которые использовали этот факт в определении прямых углов при строительстве зданий. Доказательство теоремы самого Пифагора до нас не дошло. В настоящее время имеется свыше 500 различных доказательств теоремы Пифагора.

Во времена Пифагора формулировка теоремы звучала так:
площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах. Мы провели исследование, нашли много способов доказательства теоремы Пифагора и составили классификацию этих методов:

• доказательства, основанные на равновеликости фигур;
• аддитивные доказательства;
• доказательства методом построения;
• алгебраические доказательства.

Ученик 2.

 №1. Доказательство теоремы Пифагора, основанное на построении равнобедренных треугольников (Рис.1).

Дано:  АВС, АС= ВС, ∠С = 90о 

Доказать: АВ2=АС2+ВС2

Доказательство:

1)Построим: квадрат со стороной АВ; квадрат со стороной ВС; квадрат со стороной АС.

2)Построив диагонали квадратов, получим равнобедренные треугольники, равные ΔАВС.

3)Площадь квадрата со стороной АВ складывается из учетверенной площади ΔАВС, а площадь квадрата со сторонами АС и ВС – из удвоенной площади ΔАВС:

АВ2 = 4SABC, АС2 = 2SABC, ВС2 = 2SABC.

Следовательно, АВ2=АС2+ВС2.

№2. Доказательство теоремы Пифагора, предложенное древними индусами (Рис.2).

Для первого квадрата:

 (a + b)2 = c2 + 4SABC .

 Для второго квадрата:

(a + b)2 = a2 + b2 +4SABC.

Следовательно, c2+4SABC = a2+b2+4SABC и  с2 = a2 + b2 

Древние индусы не записывали доказательство, а свои рисунки сопровождали словом «СМОТРИ».

Ученик 3.

№3 Доказательство теоремы Пифагора, основанное на разрезании квадратов.

Известны доказательства теоремы Пифагора, основанные на разрезании квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе.

№4 Доказательство Бхаскари (Рис.3)

c2 - 4 (1/2 a b)=(b – a)2

c2 – 2 a b =(b – a)2 

c2 = (b – a)2 +2 a b

c2 = b2 -2 a b +a2 +2 a b

c2 = a2 + b2

Замечание: для учащихся профильных классов можно предложить также рассмотреть и другие варианты доказательства, например, доказательства Перигаля, Гофмана, Бетхера, Гутхейля и др.

Вывод группы «Теоретиков»: Всего насчитывается более пятисот доказательств теоремы. Благодаря этому теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса как теорема с наибольшим количеством доказательств. С глубокой древности математики находят новые идеи  для её доказательств. Возможно, одно из них сможет найти и кто-то из нас. Дерзайте!

4. Выступление группы «Практики».

Ученик 1. Перед нашей группой стояли следующие задачи:

• научиться решать задачи с применением теоремы Пифагора
• составить алгоритм решения таких задач
• отобрать практические задачи, решаемые с применением теоремы Пифагора
• подобрать примеры занимательных и исторических задач.

Приведем некоторые задачи предложенные учащимися. 

1. Задача о лотосе

На глубине 12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну

Ученик 2.

2. Задача о бамбуке (из древнекитайского трактата "Гоу-гу").

Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи).
Какова высота бамбука после сгибания?

3. Задача из «Арифметики» Магницкого.

Случился некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тая высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти инать.

4. Задача о мобильной связи. Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.) 

5.  Заключительное слово учителя.

Теорема Пифагора – одна из главных теорем в геометрии. Она замечательна еще тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника, ромба можно увидеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Сегодня мы много узнали о жизни Пифагора, о его знаменитой теореме. Мы с вами сегодня убедились в том , что теорема Пифагора популярна по трем причинам: простота; красота; значимость. Вот почему теорему Пифагора называют сокровищем геометрии!

Вы показали себя знатоками теоремы Пифагора, любознательными учениками, умеющими думать. Спасибо всем за активное участие в проекте.

6. Оценка проекта. Рефлексия.

Ребята, прежде чем оценить свою работу, ответьте для себя на вопросы:

1.Что нового вы узнали?

2.Что показалось вам самым интересным в содержании выступления каждой группы?

3. Что удалось вам в своей работе лучше всего? А что бы вы сделали по другому?

 По окончанию защиты проекта учащиеся получают оценку от одноклассников и учителя своего участия и индивидуального вклада в общую командную работу над проектом.

Список литературы

1. Волошинов А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. — М.: Просвещение, 1993. — 224 с.
2. Гульчевская В.Г. Современные педагогические технологии в профильном и предпрофильном обучении: Учебно-методическое пособие для системы повышения квалификации работников образования. — Ростов н/Д.: PO ИПК и ПРО, 2005. — 100 с.
3. Пахомова Н.Ю. Метод учебного проекта в образовательном учреждении: Пособие для учителей и студентов педагогических вузов.— М.: АРКТИ, 2005. — 112 с.
4. Пырков В.Е. Современные образовательные технологии в обучении геометрии. – Ростов н/Д: ПИ ЮФУ, 2009. – 62 с.
5. Фридман Е.М. Проекты? Проекты... Проекты! 5-11 классы: учебно-методическое пособие. — Ростов н/Д.: Легион, 2014. — 80 с.