Урок геометрии в 10 классе Тема: «Правильные и полуправильные многогранники».2016г.
методическая разработка по математике (10 класс) по теме

Тема урока: «Правильные  и полуправильные многогранники».

2016 год

Класс:10.

Тип урока: комбинированный. 

Вид урока: изучение нового материала и первичное закрепление полученных знаний.

Цель: познакомить учащихся с правильными и полуправильными  многогранниками.

Задачи:

Образовательные:

• способствовать формированию знаний о правильных многогранниках;
• содействовать в ходе исследовательской работы выводу соотношения между числами вершин, граней и ребер выпуклого многогранника.

Развивающие:

• создать условия для развития познавательного интереса и творческой активности учащихся;
• развивать логическое и пространственное мышление;
• развивать кругозор обучающихся путем осуществления межпредметных связей (с химией, физикой, биологией) в связи с реализацией естественно–математического  профиля химико-биологической специализации.
• способствовать развитию навыков сознательного и рационального использования ПК в своей деятельности.

Воспитательные:

• воспитание чувства ответственности, умения работать в коллективе, в паре;
• создание условий для целостного восприятия общей картины мира. 

Формы организации познавательной деятельности: фронтальная, индивидуальная, групповая, коллективная.

Методы  и приемы обучения: объяснительно-иллюстративный; частично-поисковый; исследовательский; метод проектов; словесный; наглядный (демонстрация компьютерных презентаций, показ моделей многогранников),  практический. 

Оборудование:

• наборы моделей геометрических тел;
• каркасные модели правильных многогранников;
• рабочие “листы изучения новой темы” на печатной основе;
• карточки с заданиями;
• наборы открыток “Алмазный фонд”, “Оружейная палата”;
• книги и журналы по тематике урока;
• экран;
• мультимедийный проектор;
• компьютер. 

ЭОР: презентации обучающихся “Платоновы тела”, “Кристаллы и правильные многогранники” в рамках проекта “Кристаллы”.

Компьютерное программное обеспечение: программа Microsoft Office PowerPoint 2010.

Подготовка к уроку.

• Подготовить с группой обучающихся презентации в рамках проекта “Кристаллы”.
• Подготовить для каждого ученика “лист изучения новой темы”.

Структура урока.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Вступительное слово учителя:

   “Чешский писатель Карел Чапек, восхищаясь формами кристаллов в коллекциях Британского музея, в своих “Записках из Англии” писал: “Я должен еще сказать о кристаллах, формах, красках. Есть кристаллы огромные, как колоннада храма; нежные, как плесень; острые, как шипы; чистые, лазурные, зеленые; как ничто другое в мире, огненные, черные; математически точные, совершенные; похожие на конструкции сумасбродных ученых… И в человеке таится сила кристаллизации. Чтобы быть равным природе, надо быть точным математически и геометрически”.

Кристаллами восхищаются поэты, художники, свойства кристаллов изучают различные науки, например, химия, физика, кристаллография. А что в кристаллах, в первую очередь, может привлечь внимание математиков?                    (Ответ обучающихся: Правильная геометрическая форма, кристаллы принимают форму многогранников).

   Понятие о многогранниках вам уже знакомо. Цель сегодняшнего урока: выделить особые группы  многогранников и дать им определение; выявить свойство, характерное для всех выпуклых многогранников, установить существует ли закономерность между числами ребер, вершин и граней выпуклого многогранника.

 2. Психологическая минутка.

 а) Рефлексия. Психологический тест. (Приложение 1).

 (По итогам теста можно выбрать  обучающихся для выполнения индивидуальных заданий.)                                                                                 Учитель: Вот и познакомились ближе: вы – с собой, я – с вами. Можно переходить к следующему этапу урока. 

б) Небольшое сообщение о коллекции Алмазного фонда, Оружейной палаты. Сообщение подготовлено учениками дома  по  индивидуальным карточкам. (Приложение 2).

3. Актуализация опорных знаний.                                                                                     Выполнение практического задания.

Цель: проверка умений работать с понятиями о многогранниках, выпуклых многогранниках; развитие пространственного мышления.

Работа с моделями геометрических тел.                                                                                                              В набор входят модели следующих тел: тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра, додекаэдра, цилиндра, конуса, четырехугольной пирамиды, усеченной пирамиды, шестиугольной призмы, наклонного параллелепипеда, невыпуклого многогранника.

Задание: Перед вами на столе модели геометрических тел.

1. Отложите в коробку те модели, которые не являются моделями многогранников.
2. Уберите в коробку модели невыпуклых многогранников.
3. Что называется многогранником?
4. Какие многогранники называют выпуклыми?
5. Оставьте на столе только модели правильных многогранников.
6. Какие многогранники называют правильными?( элемент опережающего обучения)

4.Изучение нового материала.

а) Работа по формированию понятия о правильных многогранниках.

  Под руководством учителя обучающиеся формулируют определение правильного многогранника (с помощью сравнения моделей).

 Учитель: Итак, выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

    Закрепление понятия о правильных многогранниках:

Задание 1.

Отметить признаки правильного многогранника символом «х»:

• Выпуклость многогранника.
• Все грани – равные правильные многоугольники.
• Все грани – правильные  многоугольники  с  одним  и  тем  же  числом  сторон.
• Равны все ребра.
• Равны все двугранные углы.
• Равны все плоские углы.  
• Равны все многогранные углы.

б). Частично–поисковая работа                                                                             (определение видов правильных многогранников).

Постановка проблемы: 

Учитель: “Много ли существует видов правильных многогранников?                                                              Как установить количество видов правильных многогранников?»  

   Предполагаемые ответы учеников: В правильном многограннике все грани – правильные многоугольники; все многогранные углы должны быть равны, в каждую вершину должно сходиться одинаковое число ребер, граней, значит нужно установить, сколько граней может сходиться в одну вершину; должен существовать многогранный угол правильного многогранника, условие его существования – сумма всех  плоских углов при вершине меньше 360° и т.д.

Оформляется работа: “лист изучения новой темы”, задание 1.                                (Приложение к уроку 3).

Задание 2.

I. Грань-правильный треугольник.

а3 – внутренний угол треугольника.

а3= 60° 

n – число граней многогранного угла.

1.  n = 3,   60° · 3 = 180° < 360°                                                                                                      
2.  n = 4,   60° · 4 = 240° < 360°

3)    n = 5,   60° · 5 = 300° < 360°

4)    n = 6,   60° · 6 = 360° (многогранный угол совпадает с плоскостью)

Вывод: Существует 3 вида правильных многогранников, гранями которых являются правильные треугольники.

                                                                Рис.1

                             Тетраэдр                           Октаэдр                        Икосаэдр

II. Грань-квадрат.

a 4 = внутренний угол квадрата.

a 4 = 90°

1) n = 3,  90° · 3 = 270° < 360°         

2) n = 4,  90° · 4 = 360° (многогранный угол совпадает с плоскостью)

Вывод: Существует 1 вид правильного многогранника, гранями которого являются квадраты.

  Рис. 2. Куб (гексаэдр)

III. Грань-правильный пятиугольник.

a5 = 180° · (5 – 2) / 5 = 108°        

1) n = 3,  108° · 3 = 324° < 360°

2) n = 4,  108° · 4 = 432° > 360°

Вывод: Существует 1 вид правильного многогранника, гранями которого являются правильные пятиугольники.

 Рис. 3. Додекаэдр

IV. Грань-правильный шестиугольник.

       a 6 = 120°

1. n = 3,  120° · 3 = 360° (многогранный угол совпадает с плоскостью)

Вывод: правильный многогранник гранями которого являются правильные шестиугольники не существует.

Вывод: существует 5 видов правильных многогранников: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр. ( стр. 77-78 учебник, рис.88-92.)

     Гексаэдр           Тетраэдр               Октаэдр                   Икосаэдр                   Додекаэдр

Учитель: Почему правильные многогранники получили такие имена?  Это связано с числом их граней.

В переводе с греческого языка:

эдрон - грань         окто - восемь

тетра - четыре         додека - двенадцать

гекса - шесть         икоси - двадцать

в) Сообщение о Платоновых телах. Презентация. (Приложение к уроку на СD).

Платон (ок. 428 – ок. 348 до н.э.)

    Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников.

г) О правильных многогранниках и  кристаллах. Презентация.                         (Приложение к уроку на СD )  (Во время просмотра презентации ребята конспектируют основной материал (формулы, выводы из формул).

д) О полуправильных многогранниках. Архимедовы тела. Презентация.                                (Приложение  к уроку  на СD) 

  Учитель: Полуправильным многогранником называется многогранник, у которого все его многогранные углы равны между собой (но не обязательно правильные), а все его грани - правильные многоугольники (но не все равны между собой). Полуправильные многогранники еще называют Архимедовыми телами.

  Первую из них составляют пять многогранников,                             которые получаются                                     из     Платоновых тел в результате их усечения:

•  усеченный куб;
•  усеченный     икосаэдр;
•  усеченный октаэдр;
•  усеченный тетраэдр;
•  усеченный тетраэдр.

  Вторую группу Архимедовых тел составляют два тела, именуемых квазиправильными многогранниками:

• кубооктаэдр;
• икосододекаэдр.

Третья группа Архимедовых тел, в нее входят:

• ромбокубооктаэдр;
• ромбоикосододэкаэдр.

Четвертая группа Архимедовых тел:

•  курносый куб;
•  курносый додекаэдр.

Пятая группа Архимедовых тел состоит из одного многогранника:

•  псевдоромбокубооктаэдр.

5. Исследовательская работа.

а) Мотивация деятельности. Привлекательная цель. 

    Учитель читает условие задачи (Приложение 7), предлагает ее решить. Разбираются все предложенные варианты. Так, как решение остается не найденным, то учитель предлагает провести исследовательскую работу по плану.

План исследовательской деятельности:                                

1) Выделение проблемы в предложенной ситуации.

2  Определение темы и цели исследования.

3) Формулировка гипотезы.

4) Планирование и проведение эксперимента для проверки гипотезы.

5) Анализ и обобщение результатов.

6) Формулировка выводов.

б). Исследовательская работа.                                                                                                  “Лист изучения новой темы” задание №3. (Приложение3).

1.Проблема: Найти число ребер алмаза (выпуклого многогранника).

2.Тема: Зависимость между числами вершин, граней и ребер выпуклого многогранника.

  Цель: Выявить зависимость между числами вершин, граней и ребер выпуклого многогранника.

3. Гипотеза: Если существует зависимость между числами вершин, граней и ребер, то ее можно выразить формулой и по ней найти число ребер выпуклого многогранника.

4.Эксперимент: Заполняется таблица. Выявляется зависимость.

   Если обучающиеся затрудняются в установлении зависимости, то учитель руководит их действиями (сравните числа вершин, граней и ребер для каждого многогранника; установите зависимость);

5. Анализ и обобщение результатов. Если обучающиеся затрудняются, то учитель руководит их действиями (проанализируйте получившиеся результаты; сделайте обобщение; сформулируйте вывод).

6. Формулировка выводов. Вывод: В+Г=Р+2.

   Учитель сообщает: “Теорема носит название Декарта-Эйлера. Эйлер нашел и проверил эту зависимость. За сто лет до Эйлера эта теорема была сформулирована Декартом, но не доказана. Теорема верна не только для правильных многогранников, но и для любых выпуклых многогранников и даже для некоторых невыпуклых”.

в) Практическая работа.                                                                                                  “Лист изучения новой темы”  Решение задачи исторического характера. (Приложение к уроку 4).

6.Первичное осмысление и применение изученного материала.

а) Решение задач. 

Существуют другие свойства, устанавливающие зависимость между элементами выпуклого многогранника.

Задача1 . Доказать, что сумма величин всех плоских углов на поверхности выпуклого многогранника, образуемых его ребрами, равна 360° ? (Р - Г).

7. Постановка домашнего задания.

Вспомнить виды симметрии.

Приготовить презентацию « Многогранники в природе» (индивидуально).

Учебник стр.81, вопросы 9,12,  стр. 80 № 284.

Задача на карточке. 

8. Итог урока. Выставление оценок.

Учитель предлагает ученикам ответить на вопросы:

- Что сегодня на уроке Вы изучили?

- Что нового узнали? 

- Достигли ли цели урока?

Самооценка деятельности.

- Что представляло наибольшую трудность?

- Как ты оцениваешь полученные сегодня знания?                                            («неосознанные»,  «предстоит осознать», «глубокие и осознанные»)

   Отметить галочкой или крестиком на светофорике  нужный цвет.

Рефлексия.

- С каким настроением Вы пришли на урок?

- С каким настроением Вы уйдете с урока?

- Какой момент урока был самым интересным?

- Что бы Вы изменили в уроке?

- что бы Вы хотели увидеть на следующем уроке?

Учитель: Спасибо всем за работу.