Не бойтесь решать "просто"
статья по математике на тему

Не бойтесь решать «просто».

      Последние годы внешний мониторинг перешел из разряда редких единичных случаев в категорию постоянной головной боли для учителя и ученика. Прошло время стандартных заданий, когда учителя точно знали, на какие вопросы придется отвечать ученикам, чтобы они справились с работой. Теперь проверяющие соревнуются, кажется, еще и между собой в оригинальности заданий. И вот ученики сидят в растерянности над очередной дидактической находкой, а учителя, проверяя написанное, в ярости вопрошают небеса – «как можно было не ответить на такой элементарный вопрос?! Хоть бы на пальцах посчитали». А умеют ли наши ученики «считать на пальцах»? Готовы ли они решать задание «просто», без использования формул, на уровне здравого смысла? Вопрос не праздный. В заданиях ОГЭ по математике много вопросов, проверяющих именно наличие этого здравого смысла у ребенка, рассчитанные на человека, который ничего в математике не знает, но, хотя бы, умеет читать. И что, все дети решают такие задания? Да ничего подобного. Наши ученики, к сожалению, к 9 классу теряют этот «здравый смысл» и умение «считать на пальцах». Им проще по правилу решить квадратное уравнение, чем ответить по таблице на простейший вопрос. Они боятся простоты конструкции. И в этом, к сожалению, и наша с вами вина. Часто ли мы даем возможность ученику «посчитать на пальцах»? Да почти никогда. Почти все подобные попытки ученика пресекаются на корню – ведь это нерационально, не по формулам, не соответствует нашим предложениям о должном. «Делай так» - самый популярный лозунг нашего преподавания. А что значит «решить рационально»? Недавно наш методист дал такой ответ, с которым я совершенно согласна: «рационально –это так, как лучше для ученика». Не для нас с вами, с нашим опытом и знаниями, а для ребенка, у которого никакого опыта еще нет (и, возможно, не появится). Дайте ему приобрести этот опыт. Не мешайте, по возможности. Дайте ребенку «пощупать» тему, поработать с ней, порисовать (если можно), «посчитать пальцем». И вот когда ученик почувствует «на пальцах» тему, можно переходить и к абстракциям. А можно и не переходить. Кто-то сделает нужные выводы сам, кто-то с помощью учителя, а для кого-то тема так и останется понятой на уровне «посчитай пальцем». Но кто сказал, что это хуже тупого зазубривания последовательности символов, смысл которого ускользает?

Вот несколько примеров, которые, надеюсь, объяснят мою мысль.

1. Последовательности. Очень показательная тема для нашего разговора. Рассмотрим несколько задач.

Дана арифметическая прогрессия: 35; 32; 29; …  Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

1 способ. Запишем условие для формулы n-го члена а.п.

Значит, первый отрицательный член прогрессии идет под номером 13. Найдем его.

              2 способ. Найдем закономерность и продолжим ряд: 35; 32; 29; 26; 23; 20; 17; 14; 11; 8; 5; 2; -1; … Видим, что первый отрицательный член ряда равен -1 и стоит на 13 месте.

Сравните сами два решения. Конечно, вы тут же скажете: «А если нужное число окажется не на 13-м, а на 113-м месте?», и будете правы с точки зрения человека опытного и знающего. А я смотрю сейчас на задание с точки зрения «среднего» ученика. Какое решение ему понятнее? Конечно, второе. Даже если для его решения ему придется исписать два листа, он доберется до ответа, ПОНИМАЯ, что делает. К тому же у него появится мотив рассмотреть и другой, формульный способ решения. А если этого мотива так и не появится, стоит ли навязывать ему «правильное» решение без правильного понимания?

Последовательность задана формулой  .  Является ли число -8 членом данной последовательности?

1 способ. Выясним, существует ли натуральное решение уравнения

  Решим уравнение.   Видим, что натуральных решений нет, следовательно, число -8 не является членом данной последовательности.

2 способ. Вычислим первые члены ряда:

                                                                      Дальше члены ряда только уменьшаются.  Видим, что число -8 в ряду не встречается.

Сравните сами, какой способ вашим ученикам  будет понятнее, и какие вопросы вызывает каждое решение.

В геометрической прогрессии   Найдите сумму первых шести ее членов.

1 способ.

2 способ. Вычислим первые 6 членов прогрессии.

Сложим получившиеся числа, это и будет ответ:

 .

2. Тригонометрия. Одна из первых групп вопросов – вычислите значение тригонометрической функции, например,  от (29/3) π, или –(15/4)π. И вот учитель вдохновенно втолковывает ученикам о четности- нечетности, периодичности и т.д. А ученик с тоской думает о том, что никогда он эту тригонометрию не освоит. Да отсчитайте вы эти 29 третьих долей пальцем и посмотрите на окружности значение. Гораздо полезнее. Ученик с математическим складом ума быстро поймет, как можно укоротить эту деятельность при необходимости. Но для меня необходимость умствования в случае небольших чисел очень сомнительна. Ученик, действующий строго по правилам, приведенным в учебнике для поиска таких значений, как правило, плохо понимает, что он нашел, даже если ответ правильный. Я, вообще, на первых уроках тригонометрии предлагаю всем ученикам «пальцем» отсчитывать от 0 в положительную и отрицательную стороны третьи, четвертые, шестые доли π, по несколько кругов – очень полезная деятельность.

Найдите значение

1 способ. В силу четности функции y=sinx   Перепишем аргумент:

В силу периодичности синуса

2 способ. Отсчитаем по тригонометрической окружности от 0 в отрицательном направлении 29 третьих долей π:

 Видим, что число -(29/3)π попадает в ту же точку, что и π/3 и имеет те же координаты. То есть

Вообще, привычку считать «на пальцах» надо всячески поощрять в современной школе. Детям не хватает именно такой деятельности. Отсутствие привычки «мыслить просто» приводит к тому, что ученики ищут сложности там, где их нет, считают математику неподъемно сложной наукой.