исследовательская работа по математике
проект по математике (8 класс) на тему

Визитная карточка проекта

«Теорема о четырех красках»

Доклад

Тема: Теорема о четырех красках

Выполнил ученик 8 класса «Большебащелакской ООШ»

Латкин Илья

ВВЕДЕНИЕ

Исследовательская работа посвящена изучению «Теоремы о четырех красках».

Цель проекта - понять, и изучить теорему о четырёх красках.

Задачи:

1.Изучить имеющуюся литературу по данной теме.

2.Провести исследование по данной теме.

3.Рассказать о теореме четырёх красок.

4.Проверить данную теорему на практике.

К задачам хотелось бы отнести: обзор истории изучения данной теоремы, поиск практического применения ее не только в математике, но и в других научных дисциплинах, например, в географии. К методам исследования относятся поисковый, исторический, картографический и другие.

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ТЕОРЕМЫ

С тех пор, как появились первые географические карты, встал и вопрос о том, как их лучше всего раскрашивать. С одной стороны, каждая отличная от прочих территория должна быть окрашена в свой цвет. С другой стороны, строгая функциональность не допускала кричащей пестроты. Да и типографские возможности тех времен были не так уж велики. В связи с этим, географы поставили перед математиками задачу, на первый взгляд казавшуюся довольно простой: каким минимальным количеством красок может быть раскрашена карта так, чтобы каждая из соприкасающихся на ней фигур имела свой цвет? Впервые этот вопрос сформулировал англичанин Френсис Гутри в далеком 1852 г. А об ответе - доказательстве или опровержении - математики спорят до сих пор.

Итак, в 1852 г. студент-математик Ф. Гутри обратил внимание своего преподавателя А. де Моргана на «проблему 4 красок». Поначалу солидным математикам она показалась вполне очевидным фактом, не требующим доказательств. Однако уже в 1879 г. в первом томе «Трудов Королевского географического общества» была опубликована статья выдающегося британского математика А. Кэмпе, в которой содержалось предположение о том, что соблюсти все необходимые условия при раскрашивании любой географической карты возможно, используя для этого лишь 4 краски. Это предположение автор статьи достаточно весомо доказывал, применяя внушительные аргументы и вычисления.

Казалось бы: предположили и доказали, так и раскрашивайте. Но математики, как известно, уважают точность. А потому между ними разгорелись споры на эту тему. Одни пытались теорему доказать, другие - опровергнуть. В ходе этих споров уже к концу XIX в. было доказано, что простейшая карта может быть раскрашена с применением трех, а сложнейшая - пяти цветов. Однако случай с применением именно 4 цветов оставался загадкой.

Доказательство «первопроходца» Альфреда Кэмпе было опровергнуто уже в 1880 г. предложенное в этом же году Питером Тэтом иное доказательство было столь же успешно опровергнуто в 1891 г. После многих неудачных попыток доказать гипотезу для любого числа стран, математики решили доказать её, начиная с малых натуральных чисел. Так П. Франклин в 1913 году доказал гипотезу для карты, в которой не более чем 25 стран, со временем он увеличил это число до 38.

С увеличением числа стран лавинообразно растет и число различных вариантов их взаимного расположения, и число вариантов раскраски карт. Проблема становилась совершенно неприступной.

Заслуженный российский математик и инженер, профессор Вячеслав Афанасьевич Горбатов в своей книге, вышедшей в 1964 г. предложил свое классическое доказательство теории четырех красок, занявшее около 30 страниц. Но, по неизвестным причинам, оно прошло незамеченным и не встретило ни подтверждений, ни опровержений.

В апреле 1975 г. редактор Scientific American Мартин Гарднер в статье «6 сенсационных открытий» публикует следующую информацию:

«За последнее время самой большой сенсацией в области чистой математики стало открытие контрпримера к знаменитой проблеме 4 красок. Напоминаю, что эту проблему вызвала гипотеза о том, что любую плоскую карту можно «правильно раскрасить», используя лишь 4 цвета. При этом «правильной» признается такая раскраска, при которой любые 2 области, граничащие между собой, раскрашиваются разными красками. После многолетних исследований эта гипотеза стала примером утверждения, неразрешимого по Гёделю. Однако в ноябре 1974 г. специалист по теории графов У. Макгрегор, профессор университета в Уоппингерс-Фоллз (штат Нью-Йорк), сумел построить карту из 100 областей, раскрасить которую невозможно правильно, используя менее 5 цветов. Статья об этом открытии была опубликована в 1973 г. в номере Journal of Combinatorial Theory, Series В»

Несмотря на откровенную путаницу, материал об этом «открытии» вызвал бурную реакцию читателей. Приведенный в статье рисунок читатели с восторгом раскрашивали «правильно», не жалея на это ни сил, ни времени. Апогеем стало уведомление об иске на 25 млн. долларов от читателя, потратившего более 25 лет на решение проблемы четырех красок, у которого публикация вызвала тяжелейший нервный срыв и инсульт…

В итоге, как сама журнальная статья, так и многомиллионный судебный иск оказались апрельским розыгрышем. Однако математики отнюдь не сочли проблему исчерпавшей себя. Более того, искать решение стало еще интереснее, ведь в распоряжении ученых появились компьютеры! В 1976 г. математики из Иллинойского университета Кеннет Аппель и Вольфганг Хакен с помощью ЭВМ создали 1936 карт, ни одна из которых не могла опровергнуть верность теории. Доказательство заняло сотни листов. На его основании ученые утверждали, что контрпримера этой теореме существовать не может! Идея их доказательства состояла в следующем: сначала доказывается возможность раскраски для карт с числом n стран, 0, затем с помощью компьютера подтверждается возможность раскраски карт и для0.

Потратив свыше тысячи часов машинного времени, перебрав громадное число вариантов, компьютер подтвердил справедливость гипотезы. Таким образом, вековая проблема четырех красок была решена.

Это доказательство, впервые в математике полученное с помощью компьютера, получило широчайшее признание. Оставались, конечно, отдельные скептики, противившиеся тому, что такое решение не может быть проверено вручную. Возможно, именно поэтому в 1997 г. группа американских ученых предложила новое, более простое доказательство. Впрочем, идеи были аналогичны, а главным помощником исследователей по-прежнему был компьютер. В 2005 г. доказательство снова подтвердилось Джорджсом Гонтиром, который использовал для этого специализированное программное обеспечение.

Пожалуй, на этом историю теоремы о четырех красках можно считать исчерпанной. Впрочем, если вы считаете себя великим математиком, вполне можете попытаться самостоятельно ее доказать либо опровергнуть. А можете просто поиграть, ведь тренировка мозга и развитие логического мышления не вредило до сих пор еще никому.

За время существования теоремы о четырех красках на ее базе были созданы многочисленные логические игры. Поначалу играть в них можно было только на бумаге, затем появились компьютерные варианты.

ИГРА «4 КРАСКИ»

Познакомившись с проблемой четырёх красок, известный американский популяризатор математики Стивен Барр придумал логическую игру на бумаге для двух игроков и бесхитростно назвал её «Четыре краски». Вот простые правила этой любопытной игры для двоих: Для этой игры нужны четыре цветных карандаша. Первый игрок начинает игру, рисуя произвольную пустую область. Второй игрок закрашивает её любым из четырёх цветов и в свою очередь рисует свою пустую область. Первый игрок закрашивает область второго игрока и добавляет новую область, и так далее - каждый игрок раскрашивает область соперника и добавляет свою. При этом области, имеющие общую границу, должны быть раскрашены в разные цвета. Проигрывает тот, кто на своём ходу вынужден будет взять пятую краску.

Это ни в коей мере не означает, что таким рисунком опровергается гипотеза. Раскрасить области этой схемы 1 так, чтобы выполнялись все условия раскраски, что лишь подтверждает трудность доказательства проблемы. По этому поводу М. Гарднер сказал: «Я не знаю лучшего способа понять трудности, которые встречаются на пути решения проблемы четырёх красок, чем просто поиграть в эту любопытную игру»

Существуют также следующие вариации игры:

1)Карта заранее разбивается случайным образом на области различной величины, и каждый ход игры меняется игрок, который закрашивает область, а также меняется цвет (в строгой последовательности). Таким образом каждый игрок закрашивает карту только двумя цветами, а в случае если не может закрасить так, чтобы области, имеющие общую границу были раскрашены в разные цвета. пропускает ход. Игра прекращается, когда ни один из игроков больше не сможет сделать ни одного хода. Выигрывает тот, у кого общая площадь закрашенных им областей больше.

2) Квадрат разбит на несколько квадратов (в основном 4x4), и его стороны окрашены в один из четырех цветов (каждый в разный цвет). Первым ходом закрашивается квадрат, прилегающий к стороне, каждый последующий ход можно закрашивать тот квадрат, который прилегает к одному из закрашенных квадратов. Нельзя закрашивать квадрат теми цветами, которыми закрашен один из прилегающих к нему квадратов (в том числе и по диагонали) или прилегающая к квадрату сторона. Выигрывает игрок, делающий последний ход.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Задача о четырех красках относится к самой элементарной ветви топологии, называемой «геометрией расположения». Это начало топологии, ее наглядная часть. Задача же о четырех красках замечательна тем, что ее можно объяснить и первокласснику, и очень хочется нарисовать такую карту, для раскраски которой потребовалось бы пять цветов. Кстати, первоклассникам именно так и надо ставить задачу: не говорить им, что всегда достаточно четырех красок, а просить нарисовать карту, для которой четырех красок не хватает, и только спустя несколько дней сообщить, что это невозможно. Благодаря таким задачам любой человек с улицы сразу понимает, что математика очень элегантна. Ясное понимание несуществования чего-то –  чисел ли с заданными свойствами, или способов построения геометрических фигур, или алгоритмов - создает особый дискурс, который можно было бы назвать культурой невозможного. И культура невозможного, и предпринимаемые математикой попытки познания бесконечного значительно расширяют горизонты мышления. Все это, ломая традиционный стереотип математики как сухой цифирии, создает ее образ как живой области знания.

Хотя теорема доказана и принята математическим сообществом, но у части математиков её доказательство вызывает определенное недоверие в той его части, где значительную часть рутинных проверок выполнял компьютер.

Несмотря на все разногласия среди математиков решение проблемы четырёх красок есть первая математическая теорема, при доказательстве которой впервые был использован компьютер, и является примером неклассического доказательства в современной математике.

«Так решена ли проблема четырех красок?», - каждый вправе задать себе такой вопрос. Я думаю, правильный ответ на него даст время, нужно подождать.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Л. Беве, Любая карта на плоскости может быть раскрашена в четыре цвета, Квант, 1977 г., №1;
2. Е. Дынкин, В.Успенский, Математические беседы, М и Л, ГИТТЛ, 1952 г.;
3. А. А. Зыков. Основы теории графов. - М.: Вузовская книга, 2000. - С. 367-386.
4. Методы четырехцветной раскраски вершин плоских графов. - М.: КомКнига, 2000. - 48 с. - 2005 экз.
5. Родионов В. В. Методы четырехцветной раскраски вершин плоских графов. - М.: КомКнига, 2000. - 48 с. - 2005 экз. -
6. Рингель Г. Теорема о раскраске карт / Перевод с английского В. Б. Алексеева. - М.: Мир, 1977. - 256 с. - книга с доказательством проблемы для всех поверхностей, кроме плоскости и сферы