Урок №3,4. Действительные числа. Приближенные вычисления.
план-конспект урока по математике (10 класс) на тему

Поурочные разработки

по дисциплине «МАТЕМАТИКА» 1 курс

ТЕМА 1 РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ

Разработчик: преподаватель 1 категории Н.В.Васильева

Урок № 3, №4. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА ПРОЦЕНТЫ.

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ.

Тип занятия:

Урок овладения новым материалом

Вид занятия:

Аудиторное теоретическое занятие

Цели: 

Образовательные:

- рассмотреть множество действительных чисел;

- рассмотреть множество рациональных чисел;

- рассмотреть множество иррациональных чисел;

- дать определение абсолютной погрешности;

- - дать определение относительной погрешности;

- сформировать умение записывать бесконечную десятичную дробь в виде обыкновенной;

- сформировать умение выполнять действия с десятичными и обыкновенными дробями.

Воспитательные:

- воспитывать положительное отношение к приобретению новых знаний;

- воспитывать ответственность за свои действия и поступки;

- вызвать заинтересованность новым для студентов подходом изучения математики.

Развивающие:

- формировать навыки познавательного мышления;

- формировать умения и навыки учебного труда.

Задачи:

1. Закрепить изученный материал, меняя виды работы, по данной теме "Действительные числа. Проценты".

2. Развивать навыки и умения, в выполнении действий с десятичными и обыкновенными дробями, развивать логическое мышление, правильную и грамотную математическую речь, развитие самостоятельности и уверенности в своих знаниях и умениях при выполнении разных видов работ.
3. Воспитывать интерес к математике путём введения разных видов закрепления материала: устной работой, работой с учебником, работой у доски, ответами на вопросы и умением делать самоанализ, самостоятельной работой; стимулированием и поощрением деятельности учащихся.

План:

I. Организационный момент.

II. Новая тема:
"Действительные числа. Проценты.

Приближенные вычисления"
1.Теоретическая часть.
2. Практическая часть. 
3. Работа по учебнику и у доски.
4. Самостоятельная работа по вариантам.

III. Итог.
1. По вопросам.

IV. Домашнее задание.

Ход урока

I. Организационный момент.

Эмоциональный настрой и готовность преподавателя и обучающихся на урок. Сообщение цели и задач.

II. Новая тема: “Целые и рациональные числа. Проценты”:

Теоретическая часть

Вопросы

1. Какие из данных десятичных дробей являются иррациональными числами: 23,5; 2,(5); 3,12131415...; -0,1010010001...?
2. На числовой прямой постройте точки с координатами 6, -1,5, √2, -√2.
3. Может ли сумма двух иррациональных чисел быть рациональным? Приведите пример.

Как видно из таб. 1.1.1, предложенной в лекции, рациональные числа можно представить в виде обыкновенной дроби p/q. Некоторые из них можно записать в виде конечной десятичной дроби. Например, 2/5 = 0,4; 7/100 = 0,07 и т.д. Но существуют рациональные числа, которых нельзя представить в виде конечной десятичной дроби. Например, 1/3 = 0,333…,17/9 = 1,888… .

Такие бесконечные десятичные дроби называются периодическими. Повторяющиеся числа называются периодом. Для краткости их записывают следующим образом: 0,333...= 0,(3); 1,888... = 1,(8).

Пример 1

Записать числа в виде десятичной дроби.

1. 11/3.
2. 215/99.
3. 594/11.

Решение:

1. Разделим уголком число 11 на 3. Получаем бесконечную десятичную дробь с периодом 3.

11/3 = 3,666... = 3,(6).

2. При делении числа 2215 на 99 получаем бесконечную десятичную дробь с периодом 17.

215/99 = 2,1717... = 2,(17).

3. При делений числа 594 на 11 получаем целое число 54. Каждое целое число или конечная десятичная дробь можно записать в виде бесконечной десятичной дроби с периодом нуль.

594/11 = 54 = 54,(0).

Пример 2

Представить в виде обыкновенной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь . 0,1515

Решение:

Обозначим х = 0,1515...

Т.к. период дроби двухзначное число, то умножим обе части равенства на 100.

Получим, 100х = 15,1515... .

Найдём разность выражений:

100х-х = 15,1515...-0,1515...;

99х = 15.

Решая уравнение, получим x = 15/99.

Как видно из таблицы, иррациональные числа – бесконечные десятичные непериодические дроби. Например, √2; и т. д.

Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.

Для выполнения алгебраических операций над действительными числами, эти числа заменяем на их приближения. Например, для нахождения суммы √10 и √5 с помощью калькулятора находим значения данных корней, затем округляем до нужной степени, а затем полученные рациональные числа складываем.

√10+√5 = 3,1622776...+2,2360679... ≈ 3,2+2,2 = 5,4 ≈ 5.

Вопросы для самоконтроля

1. Представьте число 7/18 в виде бесконечной десятичной дроби. (Ответ: 0,3(8))
2. Запишите в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь 1,1(6). (Ответ: 7/6)
3. Выполните действия и запишите ответ в виде десятичной дроби: 1/3+1,25. (Ответ: 1,58(3))

2. Погрешности приближений.

В практической деятельности человеку приходится измерять различные величины. Результатом измерений являются числа. Т.к. измерения производятся не всегда точно, то мы обычно получаем различные приближения. При этом необходимо знать погрешность этого приближения.

Определение. Если число a является приближенным значение некоторой величины, истинное значение которой равно числу x, то модуль разности чисел x и a называется абсолютной погрешностью данного приближения и обозначается ∆х.

∆х = |x-a|.

Из этого определения следует, что

x = a±∆x.

Т.к. в большинстве случаев истинное значение искомой величины неизвестно, то нельзя найти и абсолютную погрешность. Можно лишь указать в каждом конкретном случае положительное число, больше которого не может быть эта абсолютная погрешность. Это число называется границей абсолютной погрешности и обозначается h.

∆х = |x-a| ≤ h.

a-h ≤ x ≤ a+h.

Абсолютная погрешность приближения не характеризует качество измерений. Например, при измерении длины и диаметра проводника получили результаты: l = 10,0±0,1мм, D = 2,5±0,1мм. Какое из этих измерений точнее?

Для оценки качества измерений или вычислений будем пользоваться понятием относительной погрешности.

Определение. Относительной погрешностью ω приближенного значения a величины х называется отношение абсолютной погрешности ∆x этого приближения к модулю числа х.

ω = ∆x/|x|.

Т.к. в большинстве случаев истинное значение х неизвестно, то на практике относительную погрешность оценивают некоторым числом ε, большим этой погрешности. В качестве ε можно взять отношение h/|a| или любое число, большее этого отношения, но достаточно близкое к нему.

Число ε называется границей относительной погрешности.

Относительную погрешность обычно выражают в процентах. В вышеуказанном примере

ε1 = 0,1/10 = 1%, ε2 = 0,1/2,5 = 4%.

Естественно, чем меньше граница относительной погрешности, тем точнее измерение или вычисление.

Практическая часть

ЗАДАНИЕ 1. Записать в виде десятичной дроби, выразить в процентах.

1/8 =
3/5 =
1/4 =
3/4 =

ЗАДАНИЕ 2. Выполните действия:

1/3+1/2+1/6=
1/2 -1/3=
1/3*1/4=
5/8:1/5=

ЗАДАНИЕ 3. Записать в виде периодической десятичной дроби:

1/3 =
1/2 =
2/3 =

ЗАДАНИЕ 4. Запишите дроби в виде дроби, знаменатель которой есть произведение двух последовательных натуральных чисел, представить полученные дроби в виде разности двух дробей и составить сумму этих дробей.

1/2  =
1/6 =
1/12 =
1/20 =
1/30 =
1/42 =

ЗАДАНИЕ 5.  Имеется одна чашка кофе. В первый раз отпила 1/6 часть чашки и долила чашку кипяченой водой. Второй раз отпила 1/3 часть наполненной чашки и опять долила водой до полной чашки. В третий раз отпила 1/2 часть и опять долила водой. В четвертый раз выпила всю чашку. Спрашивается, сколько чашек я выпила?

Давайте вернемся к нашим процентам. Число увеличили сначала на 10%, а потом еще на 10%. На сколько процентов увеличили число за два раза?

ЗАДАНИЕ 6.  Хранили 2 т. лука-севка, содержащего 60 % воды. Содержание воды к весне уменьшилось до 56 %.Сколько тонн лука- севка осталось  в результате?

ЗАДАНИЕ 7.   Найти 25% от 80.

ЗАДАНИЕ 8.   Найти сумму 1/4+1/2+3/4

ЗАДАНИЕ 9.   Является ли число -12 рациональным

ЗАДАНИЕ 10. Свежие грибы содержат 72% воды, а сушенные 12%. Сколько надо собрать свежих грибов, чтобы получить  14 кг сушеных грибов?

а) 40
б) 44
в) 45
г) 60кг

Основная литература

Дополнительная литература