Математическое моделирование экономических задач на оптимизацию
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (9, 10, 11 класс)

Математическое моделирование

экономических задач на оптимизацию

Содержание

Введение                                                                                                                  3

Основная часть

Глава I.   Механизм решения задач на оптимизацию           .                          5

Глава II. Задачи на оптимизацию

2.1. Исследование линейной функции                                                          7

2.2.  Логическое рассуждение                                                                        8

2.3.  Исследование квадратичной функции                                                  9

2.4. Использование производной и компромиссный вариант                   11

Глава III. Задача о витамине С                                                                             13

Заключение                                                                                                             15

Список литературы                                                                                                16

Введение

Российский математик 19 века П. Л. Чебышев говорил, что «особую важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека – как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды».

 Большую часть своих сил каждый из нас тратит на поиск наилучшего или другими словами оптимального  решения поставленной задачи. Мы ежедневно отвечаем на непростые вопросы, как при наименьших затратах, достичь наилучших результатов – высокого жизненного  уровня, максимальной прибыли, минимальных затрат времени. Именно этот фактор определяет актуальность моей работы. В современном обществе умение моделировать различные жизненные, экономические и производственные ситуации стало особенно важно.

Представителям самых разных специальностей приходится постоянно решать задачи по выбору оптимального условия: инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции; конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей; экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т. д. Задачи подобного рода носят общее название — задачи на оптимизацию (от латинского слова optimum — «наилучший»),

Целью моей работы является найти наиболее рациональные способы решения задач на оптимизацию.

Я поставила перед собой следующие задачи:

1. Изучить литературу и материалы по заданной теме.
2. Рассмотреть различные способы решения задач на оптимизацию.
3. Познакомить учащихся моего класса с методами решения задач такого типа.
4. Смоделировать задачу на оптимизацию для своей выгоды.

В процессе изучения теоретического материала у меня возникла гипотеза, что для решения задач на оптимизацию можно использовать знания, полученные в 7-9 классах школы.

Методы исследования: систематизация теоретического материала,  обобщение накопленного материала, анализ методов решения задач оптимизации, математические методы обработки результатов исследования, табличная и графическая интерпретация данных, математические расчеты с использованием методов решения задач оптимизации.

Я выбрала эту тему не случайно. Задачи на оптимизацию встречаются в ЕГЭ и вызывают затруднения у учащихся. Я решила подробно изучить эту тему для того, чтобы как следует подготовиться к экзамену и помочь понять эти задачи моим одноклассникам.

Глава 1

Механизм решения задач на оптимизацию

Большинство старшеклассников знают, что на экзамене по математике есть задача с экономическим содержанием. Такие задачи связаны со знанием некоторых специфических математических моделей из области экономики, умением переводить сформулированные в виде текста условия в уравнения и неравенства и пониманием того, как решения полученных уравнений и неравенств соотносятся с тем, что написано в условии задачи.

К наиболее сложным задачам с экономическим содержанием относятся так называемые «задачи на оптимизацию» или экстремальные задачи. Эти задачи описывают разнообразные ситуации, с которыми граждане, предприятия и компании могут встретиться в своей экономической деятельности. Математикам удалось разработать методы решения задач на наибольшее и наименьшее значение, или, как их еще называют, задач на оптимизацию.

Для решения таких задач вводится целевая функция, экстремальное (наибольшее или наименьшее)  значение которой надо найти. Это может быть прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства, издержки обращения, уровень обслуживания или дефицитности, число комплектов, отходы и т. д. Кроме функции задаются математические ограничения, которые выражаются в виде уравнений и неравенств. Их совокупность образует область допустимых решений (область экономических возможностей). План, удовлетворяющий системе ограничений задачи, называется допустимым. Допустимый план, доставляющий функции цели экстремальное значение, называется оптимальным.

Для решения таких задач наиболее часто используются:

• метод перебора вариантов,
• логических рассуждений,
• исследование функций элементарными методами,
• исследование функций с помощью производной.

Так как с понятием производной я знакома поверхностно, то в своей работе я остановилась на способах, доступных ученикам 8-9 класса.

Глава 2

Задачи на оптимизацию

2.1. Исследование линейной функции

Задача 1. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратных метров и номера «люкс» площадью 49 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» — 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель?

Решение.

Целевая функция f = 2000x + 4500y показывает прибыль отеля за сутки, требуется найти её наибольшее значение.

Математические ограничения:

21x + 49y = 1099 (*), x ≥ 0, y ≥ 0, x и  y – целые числа.

Из равенства (*) следует у =  . Заметим, что x принимает значения от 0 до . Подставим значение у в целевую функцию    f = 2000x +  ,

f = ,    f = . Это возрастающая линейная функция, поэтому наибольшее значение принимает при наибольшем значении х. Учитывая, что x – целое число, x = 50, f(50) = 104500.

Итак, наибольшую сумму 104500 рублей предприниматель получит, если в отеле будет 50 стандартных номеров и 1 номер «люкс».

2.2. Логическое рассуждение

Задача 2. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 га. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором – 300 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 10 000 р/ц, а свёклу – по цене 13 000 р/ц. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение.

 На втором поле урожайность свёклы выше, чем у картофеля, её цена выше, поэтому выгодней засеять второе поле свёклой. Выручка от продажи составит 300 ×10×13000 = 39000000 рублей.

 На первом поле урожайность картофеля выше, но его стоимость ниже. Относительная урожайность картофеля равна , относительная цена - . При умножении получим: , значит, на этом поле выгодней посадить картофель. Выручка от продажи составит 300×10×10000=30000000 рублей.

Итак, фермер получит наибольший доход 30000000 + 39000000 = 69000000 рублей.  

II способ. Эту задачу можно было решить как и предыдущую с помощью введения линейной функции.

Общий доход составит 400х+26000+39000-1900y=100(4x-19y+650) тыс. руб. Рассмотрим целевую функцию f(x,y) =100(4x - 19y + 650), где х∈ [0; 10], у ∈ [0; 10].  Это квадрат со стороной 10. Целевая функция – это множество прямых, параллельных прямой у = х, некоторые из которых проходят через точки указанного квадрата, а некоторые – нет. Рассмотрим две угловые «крайние» точки (0;10) и (10;0), подставляя координаты этих точек, найдём наибольшее значение f(10,0) = 69000 тыс. руб.

2.3 Исследование квадратичной функции

Задача 3. Производство x тыс. единиц продукции обходится в q = 0,5x 2 + x + 7 млн. рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн. рублей) составляет px − q. При каком наименьшем значении p через три года суммарная прибыль составит не менее 75 млн рублей?

Решение. Прибыль (в млн. рублей) за один год выражается величиной  px − q = px – (0,5x 2 + x + 7) = px - 0,5x 2 - x - 7 = - 0,5x 2 + (p – 1)х – 7. Получили целевую функцию f = - 0,5x 2 + (p – 1)х – 7 - это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вниз, достигает своего наибольшего значения в вершине

х0 = .  

Найдем значение целевой функции при x = p – 1:

Прибыль за 3 года составит не менее 75 млн. рублей, а за один год не менее 25 млн. рублей, если ,

P2 – 2p + 1 – 14 – 50 ≥ 0

P2 – 2p – 63 ≥ 0,

p  - 7 или  p ≥  9

 Поскольку цена продукции не может быть отрицательной, то условию задачи удовлетворяет  p ≥  9.

Таким образом, искомая наименьшая цена составляет 9 тыс. руб.

2.4. Использование производной и компромиссный вариант

Задача 4. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2  часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2  часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара. За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей. Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Решение. Пусть на первом заводе работают суммарно  x2 , а на втором  - y2 часов в неделю. Требуется найти максимум суммы f = 3x + 4y (1) при условии   500(x2 + y2) = 5 000 000, откуда x2 + y2 = 10000 (*). Выразим из последнего равенства y: , тогда f = 3x + 4. Исследуем полученную функцию на максимум с помощью производной:

Приравниваем к нулю. Чтобы дробь была равна 0, нужно, чтобы числитель дроби был равен нулю.

  x = ± 60, условию задачи удовлетворяет   x =  60

Тогда y = . Вычисляем значение функции

  f = .

Итак, на заводе можно произвести 500 единиц товара.

II способ (без производной).

Из равенства (1) выразим y =   и подставим в (*):

x2 +  = 10000

x2 +  = 10000

16x2 +  = 160000

 – квадратное уравнение с параметром f. Полученное уравнение имеет решение, если D ≥ 0:

D = ,

,

,    (f - 500)(f + 500) ≤ 0,  -500 ≤ f ≤ 500.

Так как ищем наибольшее значение f, то f = 500.

Как видно, для решения задачи достаточно было знаний о квадратных уравнениях и решение неравенств.

Глава 3

Задача о витамине С

Изучение задач на оптимизацию вдохновило меня сочинить задачу для пользы своему организму и для финансовой выгоды.

Задача. Известно, что 1кг апельсинов содержит 150 мг витамина С, а 1кг яблок  - 75 мг витамина С. Сколько апельсинов и сколько яблок следует включить в дневной рацион, чтобы при минимальных затратах в нем оказалось 75 мг витамина С, не менее 0,25 кг апельсинов и не менее 0,25 кг яблок, если 1кг апельсинов стоит 60р., а 1кг яблок – 40р.?

Занесем данные в таблицу:

Ограничения имеют вид:

х ≥ 0,25;      у ≥ 0,25;   150х + 75у = 75,

                                     2х + у = 1,

                                      у = -2х +1.

Целевая функция: f (х, у) = 60х + 40у.

Необходимо найти такие х и у, при которых целевая функция принимает минимальное значение. Построим область допустимых решений задачи.

Пусть 60х + 40у = 0; отсюда у = -3х/2. Построим график функции          у = -3х/2 и будем осуществлять параллельный перенос его вдоль оси ОУ вверх, т.е. это равносильно увеличению значений выражения 60х + 40у.

Чтобы целевая функция принимала минимальное значение, ее график должен пересечь отрезок М1М2  в точке М2. Она является точкой пересечения прямых   у = 0,25 и у = -2х +1.

Получим:        -2х +1 = 0,25,         х = 0,375

Далее находим: f (х, у) = 60∙0,375 + 40∙0,25 = 16,25р.

Итак, чтобы дневной рацион содержал 75 мг витамина С и чтобы затраты при этом были минимальные, человеку необходимо ежедневно съедать 0,375 кг апельсинов и 0,25 кг яблок.

Заключение

Работая над своим проектом, я доказала, что многие задачи на оптимизацию, встречающиеся в литературе по подготовке к экзаменам можно решить, используя знания о линейных функциях, квадратичных функциях, умение решать уравнения и неравенства. При разборе задач на оптимизацию, я выработала конкретный алгоритм, который позволяет «перевести» любую реальную ситуацию на математический язык, построить ее модель, проанализировать, применив в ходе анализа имеющиеся знания, умения, навыки и решив математически сформулированную задачу дать  ответ на поставленный вопрос. Я доказала, что математика становится  живым инструментом поисков оптимальных решений в организации производства, инновационных открытий, повышения производительности труда, а значит, служит  положительной  динамике развития страны и экономики в целом.        

Задачи на оптимизацию – это уже настоящие исследовательские задачи, очень близкие по смыслу (но не по методам решения) к задачам с параметром. Сложность таких задач в том, что не всегда есть готовые методы решения и задача может потребовать своего подхода. Успех в решении таких задач заключается в систематическом тренинге.

Думаю, что в дальнейшем рассмотрю другие, более сложные задачи на оптимизацию.

Список литературы

Гущин Д. Д. Встречи с финансовой математикой. – Сант-Петербург, 2016. – 34 с.

Гущин Д. Д. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ: математика»: http://ege.sdamgia.ru.

Козырев В. М. Основы современной экономики. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 544 c.

Фёдорова В. П. Методический подход к решению задач №17 ЕГЭ по математике: https://4ege.ru/matematika/53007-metodicheskiy-podhod-k-resheniyu-zadach-17-ege-po-matematike.html

Экономические задачи: учебно-методическое пособие / сост. В.А. Молчанов. – Саратов: ГАУ ДПО «СОИРО», 2017. – 44 с.

Ященко И. В. и др. ЕГЭ 2020. Математика: 50 вариантов типовых тестовых заданий. – М.: Экзамен, 2019. – 247 c.