Рабочая программа кружка"ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА"
рабочая программа по математике (7 класс)

Рабочая программа кружка «Занимательная математика» в 7 классе

Содержание:

1. Пояснительная записка
2. Описание места учебного предмета в учебном плане
3. Общая характеристика учебного курса
4. Личностные, метапредметные, предметные  результаты освоения конкретного учебного курса
5. Содержание учебного курса
6. Учебно-тематическое планирование
7. Информационно-методическое обеспечение

Пояснительная записка

Программа курса «Занимательная математика» по составлена в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования, Примерных программ внеурочной деятельности под редакцией В.А.Горского.

 Организация педагогом различных видов деятельности школьников во внеучебное время, позволяет закрепить знания по предмету, повысить качество успеваемости, активизировать умственную и творческую деятельность учащихся, сформировать интерес к изучению математики.

Программа данного курса представляет систему занятий, направленных на формирование умения нестандартно мыслить, анализировать, сопоставлять, делать логические выводы, на расширение кругозора учащихся, рассчитана на 34 часа, 1 час  в неделю.

Актуальность курса состоит в том, что он направлен на расширение знаний учащихся по математике, развитие их теоретического мышления и логической культуры.

Новизна данного курса заключается в том, что программа включает новые для учащихся задачи, не содержащиеся в базовом курсе. Предлагаемый курс содержит задачи по  разделам, которые обеспечат более осознанное восприятие учебного материала. Творческие задания позволяют решать поставленные задачи и вызвать интерес у обучающихся. Включенные, в программу задания позволяют повышать образовательный уровень всех учащихся, так как каждый сможет работать в зоне своего ближайшего развития.

Отличительные особенности данного курса состоит в том, что этот курс подразумевает доступность предлагаемого материала для учащихся, планомерное развитие их интереса к предмету. Сложность задач нарастает постепенно. Приступая к решению более сложных задач, рассматриваются вначале простые, входящие как составная часть в решение трудных. Развитию интереса способствуют математические игры, викторины,  проблемные задания и т.д.

Цель программы:

• Создание условий и содействие интеллектуальному развитию детей.
• Привитие интереса учащихся к математике.
• Отрабатывать навыки решения нестандартных задач.
• Воспитание настойчивости, инициативы.
• Развитие математического мышления, смекалки, математической логики.
• Развитие математического кругозора, мышления, исследовательских умений учащихся и повышение их общей культуры.
• Развитие у учащихся умений действовать самостоятельно  (работа с сообщением, рефератом, выполнение творческих заданий).
• Создать своеобразную базу для творческой и исследовательской деятельности учащихся.
• Повысить информационную и коммуникативную компетентность учащихся.
• Формирование умений выдвигать гипотезы, строить логические умозаключения, пользоваться методами аналогии, анализа и синтеза.

Формы и методы проведения занятий

    Изложение теоретического материала факультативных занятий может осуществляться с использованием традиционных словесных и наглядных методов: рассказ, беседа, демонстрация видеоматериалов, наглядного материала, а также интернет ресурсов.

    При проведении занятий по курсу на первое место выйдут следующие формы организации работы: групповая, парная, индивидуальная.

 Методы работы: частично-поисковые, эвристические, исследовательские, тренинги.

Ведущее место при проведении занятий должно быть уделено задачам, развивающим познавательную и творческую активность учащихся. Изложение материала может осуществляться с использованием активных методов обучения.

Важным условием организации процесса обучения на факультативных занятиях является выбор учителем рациональной системы форм и методов обучения, её оптимизация с учётом возрастных особенностей учащихся, уровня математической подготовки, а также специфики образовательных и воспитательных задач.

Формы организации деятельности обучающихся:

-    индивидуально-творческая деятельность;
-    творческая деятельность в малой подгруппе (3-6 человек);

-     коллективная творческая деятельность,

-    работа над проектами,
-    учебно-игровая деятельность (познавательные игры, занятия);
-    игровой тренинг;

-    конкурсы, турниры.

Общая характеристика курса

Обучение детей организуется  в форме игры, обеспечивающих эмоциональное взаимодействие и общение со взрослым. Создаются условия для свободного выбора ребёнком содержания деятельности и возникновения взаимообучения детей. Основное место занимает содержание взаимодействия и общение взрослого с детьми, основанное на понимании того, что каждый ребёнок обладает неповторимой индивидуальностью  и ценностью, способен к непрерывному развитию.

        Формируются такие качества и свойства психики детей, которые определяют собой общий характер поведения ребенка, его отношение ко всему окружающему и представляют собой «заделы» на будущее, так как именно в этот период  складывается потенциал для дальнейшего познавательного, волевого и эмоционального развития ребёнка.

Задачи   данного курса решаются в процессе ознакомления детей с разными областями математической  действительности: с количеством и счетом, измерением и сравнением величин, пространственными и временными ориентировками.

Данный курс создаёт условия для развития у детей познавательных интересов, формирует стремление ребёнка к размышлению и поиску, вызывает у него чувство уверенности в своих силах, в возможностях своего интеллекта. Во время занятий по предлагаемому курсу происходит становление у детей развитых форм самосознания и самоконтроля, у них исчезает боязнь ошибочных шагов, снижается тревожность и необоснованное беспокойство. В результате этих занятий  ребята достигают значительных успехов в своём развитии.

         Методы и приёмы организации деятельности на занятиях по развитию познавательных способностей ориентированы на усиление самостоятельной практической и умственной деятельности, а также познавательной активности детей. Данные занятия носят не оценочный, а в большей степени развивающий характер. Поэтому основное внимание на занятиях обращено на такие качества ребёнка,  развитие и совершенствование которых очень важно для формирования полноценной мыслящей личности.  Это – внимание, восприятие, воображение, различные виды памяти и мышление.        

Личностные, метапредметные результаты освоения конкретного учебного курса:

Личностными результатами изучения курса «Занимательная математика» являются  формирование следующих умений и качеств:

• развитие умений ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи, понимать смысл поставленной задачи;
• креативность мышления, общекультурное и интеллектуальное развитие, инициатива, находчивость, активность при решении математических задач;
• формирование готовности к саморазвитию, дальнейшему обучению;
• выстраивать конструкции (устные и письменные) с использованием математической терминологии и символики, выдвигать аргументацию, выполнять перевод текстов с обыденного языка на математический и обратно;
• стремление к самоконтролю процесса и результата деятельности;
• способность к эмоциональному восприятию математических понятий, логических рассуждений, способов решения задач, рассматриваемых проблем.

Метапредметным результатом изучения курса является формирование универсальных учебных действий (УУД).

• Регулятивные УУД:
• самостоятельно обнаруживать и формулировать учебную проблему, определять цель УД;
• выдвигать версии решения проблемы, осознавать (и интерпретировать в случае необходимости) конечный результат, выбирать средства достижения цели из предложенных, а также искать их самостоятельно;
• составлять (индивидуально или в группе) план решения проблемы (выполнения проекта);
• разрабатывать простейшие алгоритмы на материале выполнения действий с натуральными числами, обыкновенными и десятичными дробями, положительными и отрицательными числами;
• сверять, работая по плану, свои действия с целью и при необходимости исправлять ошибки самостоятельно (в том числе и корректировать план);
• совершенствовать в диалоге с учителем самостоятельно выбранные критерии оценки.
• Познавательные УУД:
• формировать представление о математической науке как сфере человеческой деятельности, о ее значимости в развитии цивилизации;
• проводить наблюдение и эксперимент под руководством учителя;
• осуществлять расширенный поиск информации с использованием ресурсов библиотек и Интернета;
• определять возможные источники необходимых сведений, анализировать найденную информацию и оценивать ее достоверность;
• использовать компьютерные и коммуникационные технологии для достижения своих целей;
• создавать и преобразовывать модели и схемы для решения задач;
• осуществлять выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;
• анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления;
• давать определения понятиям.
• Коммуникативные УУД:
• самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, договариваться друг с другом и т. д.);
• в дискуссии уметь выдвинуть аргументы и контраргументы;
• учиться критично относиться к своему мнению, с достоинством признавать ошибочность своего мнения и корректировать его;
• понимая позицию другого, различать в его речи: мнение (точку зрения), доказательство (аргументы), факты (гипотезы, аксиомы, теории);
• уметь взглянуть на ситуацию с иной позиции и договариваться с людьми иных позиций.

Предметные результаты.

• Учащиеся должны научиться анализировать задачи, составлять план решения, решать задачи, делать выводы.
• Решать задачи на смекалку, на сообразительность.
• Решать логические задачи.
• Работать в коллективе и самостоятельно.
• Расширить  свой математический кругозор.
• Пополнить свои математические знания.
• Научиться работать с дополнительной литературой.

Содержание учебного курса

Раздел 1: Решение логических задач. 

Тема 1. Задачи типа "Кто есть кто?"
Существует несколько методов решения задач типа «Кто есть кто?». Один из методов решения таких задач –метод графов. Второй способ, которым решаются такие задачи – табличный способ.

Тема 2. Круги Эйлера.

Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие.

Тема 3. Задачи на переливание.

Задачи на переливания, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости.

Тема 4. Задачи на взвешивание.

Достаточно распространённый вид математических задач. Поиск решения осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой.

Тема 5. Олимпиадные задания по математике.

Задачи повышенной сложности.

Итоговое занятие:  Математический КВН

Раздел 2: Текстовые задачи

Тема 6. Текстовые задачи, решаемые с конца.

Познакомить учащихся с решением текстовых задач с конца. Решение нестандартных задач.

Тема 7. Задачи на движение.

Работа по теме занятия. Решение задач.

Тема 8. Задачи на части

Работа по теме занятия. Решение задач.

Тема 9. Задачи на проценты

Работа по теме занятия. Решение задач.

Итоговое занятие:  Математическое соревнование (математическая карусель).

Объяснение правил математической карусели. Математическая карусель.

Раздел 3: Геометрические задачи

Тема 10. Историческая справка. Архимед

Работа по теме занятия. Доклад ученика об Архимеде.

Тема 11. Геометрия на клетчатой бумаге. Формула Пика.

Работа по теме занятия. Решение задач.

Тема 12. Решение задач на площадь.

Работа по теме занятия. Решение задач.

Тема 13. Геометрические задачи (разрезания).

Решение геометрических задач путём разрезания на части.

Итоговое занятие:  Математическое соревнование.

Виды математических соревнований.

Раздел 4: Математические головоломки

Тема 14. Математические ребусы

Ввести понятие математического ребуса, совместно обсудить решения трёх заданий. Решение математических ребусов.

Итоговое занятие:  Математический КВН

                                            Учебно – тематическое планирование:

Планируемые результаты изучения учебного курса

В ходе освоения содержания программы факультативных занятий «Занимательная математика» ожидаются:

Развитие общеучебных умений, навыков и способов познавательной деятельности школьников;

Освоение учащимися на более высоком уровне общих операций логического мышления: анализ, синтез, сравнение, обобщение, систематизация и др., в результате решения ими соответствующих задач и упражнений, дополняющих основной материал курса;

Повышение уровня математического развития школьников в результате углубления и систематизации их знаний по основному курсу;

Основные знания и умения учащихся

В результате работы на кружке “Занимательная математика” учащиеся должны знать:

основные способы решения нестандартных задач; основные понятия, правила, теоремы.

Учащиеся должны уметь:

решать нестандартные задачи, применяя изученные методы;

применять основные понятия, правила при решении логических задач;

создавать математические модели практических задач;

проводить небольшие математические исследования, высказывать собственные гипотезы и доказывать их.

Информационно-методическое обеспечение:

1. Примерные программы внеурочной деятельности. Начальное и основное образование. Под редакцией В.А.Горского. М. «Просвещение» 2011г.
2. Внеурочная деятельность школьников. Методический конструктор.М. «Просвещение» 2011г.
3.  Екимова М.А., Кукин Г.П. Задачи на разрезание. М.: МЦНМО, 2002
4. Зайкин М.И. Математический тренинг: Развиваем комбинационные способности: Книга для учащихся 4-7 классов общеобразовательных учреждений. М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1996.
5. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. М: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1979.
6. Лоповок Л.М. Математика на досуге: Кн. для учащихся средн. школьного возраста. М.: Просвещение, 1981.
7. Мерлин А.В., Мерлина Н.И. Задачи для внеклассной работы по математике (5-11 классы): Учеб. Пособие, 2-е изд., испр. М.: Издат-школа, 2000. и др

Графы.

Слово граф в математике означает картинку, где нарисовано несколько точек, некоторые из которых соединены линиями. Графами являются блок схемы программ для ЭВМ. Теория графов является частью   и комбинаторики.  А удобство формулировок комбинаторных задач в терминах графов привела к тому, что теория графов стала одним из мощнейших аппаратов комбинаторики. Понятие о графах Математические графы с дворянским титулом граф связывает общее происхождение от латинского слова графио - пишу. Типичными графами являются схемы авиалиний, которые часто вывешивается в аэропортах, схемы метро, а на географических картах изображение железных дорог.

Понятие графа. Рёбра и вершины.

Графом в математике называется картинка из точек, соединенных палочками (более строгое определение существует, но на практике никогда не требуется). Эти точечки называются вершинами графа, а палочки (они могут быть и кривыми; некоторые графы вообще  невозможно нарисовать так, чтобы все палочки были прямыми)- рёбрами графа. Две вершины, соединенные ребром, называются соседними. Последовательность ребер, соединяющих две вершины, называются путём.

 Поскольку теория графов не входит в школьную программу по математике, то в условиях олимпиадных задач не бывает слова “граф”. Однако задачи по теории графов легко узнаваемы - чаще всего это задачи про людей и знакомства (а также прочие виды отношений), либо про города и дороги (и прочие линии связи).

Примеры решения задач

Задача №1:  

Встретились три подруги Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было чёрное платье, на другой – красное, на третьей – белое. Девочка в белом говорит Черновой: “Нам надо поменяться платьями, а то цвет наших платьев не соответствует фамилиям!!!” Кто, в какое платье одет?

1 способ. Из условия следует, что на Беловой не белое платье, на Черновой не чёрное, на Красновой не красное. Поставим минусы в соответствующие клетки таблицы:

По условию девочка в белом не Чернова – поставим минус в соответствующей клетке. Теперь очевидно, что бело платье может быть только на Красновой, - поставим в соответствующую клетку плюс. Т.к. на Черновой не в белом, и не чёрное платье, значит на ней красное. Т.к. На Белове не может быть не в красном и не белое значит на ней чёрное.

2 способ. Эту задачу можно решить с помощью рисунка(графа).

Задача № 2.

Футбол

Четыре футбольных команды: итальянская команда «Милан», испанская – «Реал», российская – «Зенит», английская – «Челси» встретились в групповом этапе лиги чемпионов по футболу. Их тренировали тренеры из этих же четырех стран: итальянец Антонио, испанец Родриго, русский Николай, англичанин Марк. Известно, что национальность у всех четырех тренеров не совпадала с национальностью команд. Требуется определить тренера каждой команды, если известно:

а) Зенит не тренируется у Марка и Антонио.

б) Милан обещал никогда не брать Марка главным тренером.

Решение Исходя из условий задачи, получаем следующую таблицу.

Сразу можем сделать вывод, что российская команда «Зенит» тренируется у испанца Родриго. Теперь получили, что итальянская команда «Милан» тренируется у русского Николая. Внесем и эти изменения в таблицу. Приходим к выводу, что английская команда «Челси» тренируется у итальянца Антонио и испанская команда «Реал» тренируется у англичанина Марка.

Ответ. Российская команда «Зенит» тренируется у испанца Родриго; итальянская команда «Милан» тренируется у русского Николая; английская команда «Челси» тренируется у итальянца Антонио; испанская команда «Реал» тренируется у англичанина Марка.

Задача № 3

Компьютерные игры

В компьютерном классе на уроке информатики, во время отсутствия учителя, пять ребят – Максим, Настя, Саша, Рома, Сережа – отвлеклись от нужной работы и стали играть в такие игры: пасьянс «Паук», гонки, сапер, «Марио», тетрис. Каждый из них играл только в одну игру.

• Саша думал, что в «Марио» играет Настя.

• Настя предполагала, что Рома играет в тетрис, а Максим – в гонки.

• Рома считал, что Сережа играет в гонки, а Саша – в сапера.

• Максим думал, что Настя раскладывает пасьянс «Паук», а в «Марио» играет Рома.

В результате оказалось, что все они ошиблись в своих предположениях. Кто и во что играл?

Решение

Сборник задач

1) Студенты

Дина, Соня, Коля, Рома и Миша учатся в институте. Их фамилии – Бойченко, Карпенко, Лысенко, Савченко и Шевченко.

Мать Ромы уехала в длительную командировку.

Родители Дины никогда не встречались с родителями Коли.

Студенты Шевченко и Бойченко играют в одной баскетбольной команде.

Услышав, что родители Карпенко собираются поехать в город, мать Шевченко пришла к матери Карпенко и попросила, чтобы та отпустила своего сына к ним на вечер, но оказалось, что отец Коли уже договорился с родителями Карпенко и пригласил их сына к Коле.

Отец и мать Лысенко – хорошие друзья родителей Бойченко. Все четверо очень довольны, что их дети собираются пожениться.

Установите имя и фамилию каждого из молодых людей и девушек.

2)Мушкетёры

Артос, Портос, Арамис и Д’Артаньян – четыре талантливых молодых мушкетёра. Один из них лучше всех сражается на шпагах, другой не имеет равных в рукопашном бою, третий лучше всех танцует на балах, четвертый без промаха стреляет с пистолетов. О них известно следующее:

• Артос и Арамис наблюдали на балу за их другом – прекрасным танцором.

• Портос и лучший стрелок вчера с восхищением следили за боем рукопашника.

• Стрелок хочет пригласить в гости Артоса.

• Портос был очень большой комплекции, поэтому танцы были не его стихией.

Кто чем занимается?

3) "Пепси", "Кока-Кола", квас и "Спрайт"

В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся «Пепси», «Кока-кола», квас и «Спрайт». Известно, что «Спрайт» и «Пепси» не в бутылке, сосуд с «Кока-колой» находится между кувшином и сосудом с квасом, в банке – не «Кока-кола» и не «Спрайт». Стакан находится около банки и сосуда с «Пепси». Как распределены эти жидкости по сосудам?

4) «Евровидение-2009»

В конкурсе «Евровидение-2009» страны Норвегия, Исландия, Азербайджан и Турция заняли первых четыре места. На следующий день на вопрос, кто какое место занял, представители стран ответили так:

Норвегия: Азербайджан занял первое место;

Исландия: Мы заняли не второе место;

Азербайджан: Турция заняла первое место;

Турция: Мы заняли не четвертое место.

Позже стало известно, что все эти ответы были ложными. Какая страна заняла первое место?

5) .В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжков. «Замечательно, что у одного из нас белые, у другого чёрные, а у третьего рыжие волосы, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии!», - заметил черноволосый. «Ты прав»,-сказал Белов. Какой цвет волос у художника?

6) Три поросёнка

Жили-были на свете три поросенка, три брата: Ниф-Ниф, Наф-Наф, Нуф-Нуф. Построили они три домика: соломенный, деревянный и кирпичный. Все три брата выращивали возле своих домиков цветы: розы, ромашки и тюльпаны. Известно, что Ниф-Ниф живет не в соломенном домике, а Наф-Наф – не в деревянном; возле соломенного домика растут не розы, а тот, у кого деревянный домик, выращивает ромашки. У Наф-Наф аллергия на тюльпаны, поэтому он не выращивает их. Узнайте, кто в каком домике живет ,и какие цветы выращивает.

7) Соревнование по фехтованию

Артос, Портос и Арамис в соревновании по фехтованию заняли три первых места. Какое место занял каждый из них, если Портос занял не второе и не третье место, а Арамис – не третье?

8) Три девочки: Мария, Катя  и Иванка – одеты в платья различных  цветов – синее, желтое,  и  белое.  У  Марии платье  не белое,  у Кати  платье  не белое  и не желтое. Скажите,  какого  цвета  платье у  каждой из  девочек?

9) В бутылке,  в  стакане, в кувшине и в банке  находятся  молоко,  лимонад,  квас  и вода. Известно, что вода  и молоко  не в бутылке,  сосуд  с  лимонадом  стоит между  кувшином и сосудом с квасом, в банке  не  лимонад  и не вода.  Стакан  стоит около  банки и сосудом с молоком. В какой  сосуд  налита  каждая из  жидкостей.

                                                                          9

10) На  столе  лежат  в ряд  четыре  фигуры: треугольник, ромб, круг,  квадрат. Цвета  этих                                                                            фигур – зеленый,  желтый,  синий, красный.  В  каком порядке лежат фигуры и каков цвет каждой из них,  если фигура  красного цвета  лежит между зеленой и синий, справа от желтой фигуры  лежит ромб,  круг  лежит правее треугольника и ромба, причем  треугольник не лежит с краю, и, наконец, фигура синего цвета не лежит рядом с фигурой желтого цвета.

11) Победителями первенства  школы по  шахматам оказались восьмиклассник Белов,  девятиклассник Черняк и десятиклассник Рыженко.

-Обратите внимание,- заметил  один из них, - среди нас есть рыжий,  блондин, т.е. беловолосый и я брюнет, т. е черноволосый.  Но, ни одна из фамилий  не соответствует цвету волос ее  обладателя.

 Действительно, забавно, - согласился восьмиклассник.

Какого цвета  волосы  у  каждого  из  победителей.

12) На одном вечере среди гостей, оказалось, пять офицеров: пехотинец, артиллерист, лётчик, связист и сапер. Один из них был капитаном, трое - майорами и один - подполковник. Также известно, что:  1.У Яноша такое же звание, как и у сапера и ещё одного офицера, который служит в другом роде войск;  2.Офицер связист и Ференц - неразлучные друзья;  3. На днях офицер-лётчик вместе с Белой и Лайошем побывал у кого-то в гостях;  4. Недавно у артиллериста перестал работать радиоприёмник и он попросил Лайоша помочь связисту устранить неисправность;  5. Ференц чуть было не стал лётчиком, но потом по совету своего друга сапера избрал другой род войск;  6. Янош по званию старше Лайоша, а Бела - старше Ференца;  7. Пятый офицер, Андраш, накануне вечера был в гостях у Лайоша.  Определите имя каждого офицера, его звание и род войск, в котором он служит.

13) Любители музыки

В клубе «Отдых» познакомились 3 любителя клубной музыки видов техно, хаус, рейв. Один говорит: «Вы какую музыку больше любите? Я техно люблю!». Другой ответил, что любит хаус, а третий сказал, что не любит ни техно, ни хаус, но зато обожает рейв. Интересно то, что все они были в банданах и рубашках черного, белого и желтого цветов, но цвет банданы и рубашки совпадал только у любителя техно. А у любителя хаус ни рубашка, ни бандана не были белыми. А любитель рейв был в желтой рубашке. Определите цвет рубашек и бандан каждого из любителей клубной музыки.

14) В авиационном подразделении служат Потапов, Щедрин, Семенов, Коновалов и Самойлов. Их специальности (они перечислены не в том же порядке, что и фамилии): пилот, штурман, бортмеханик, радист и синоптик. Об этих людях известно следующее:

1. Щедрин и Коновалов не умеют управлять самолетом.

                                                                   10

2. Потапов и Коновалов готовятся стать штурманами.

3. Щедрин и Самойлов живут в одном доме с радистом.

 4. Семенов был в доме отдыха вместе со Щедриным и сыном синоптика.

5. Потапов и Щедрин в свободное время любят играть в шахматы с бортмехаником.

6. Коновалов, Семенов и синоптик увлекаются боксом.

 7. Радист боксом не увлекается.(7)

15) Три клоуна Бим, Бам и Бом вышли на арену в красной, зелёной и синей рубашках. Их туфли были тех же трёх цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зелёных туфлях, а в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?(8)                                                              Ответы

1.  Миша Карпенко; Рома Савченко; Коля Лысенко; Соня Бойченко; Дина Шевченко.

2.   Арамис – стрелок; Д’Артаньян – танцор; Портос – шпажист; Артос – рукопашник.

3. Квас в банке; «Пепси» в кувшине; «Кока-кола» в бутылке; «Спрайт» в стакане.

4. Норвегия – первое место; Исландия – второе место; Азербайджан – третье место; Турция – четвертое место.

5. Черный.

6.  Наф-Наф живет в кирпичном домике и выращивает розы; Ниф-Ниф живет в деревянном домике и выращивает ромашки; Нуф-Нуф живет в соломенном домике и выращивает тюльпаны.

7.  Арамис – второе место; Артос – третье место; Портос – первое место.

8.   Мария в желтом,  Иванка в белом, а  Катя в  синем  платье.

9.  Молоко  в кувшине,  лимонад в бутылке,  квас в банке,  вода в стакане.

10.  На  столе лежат: желтый квадрат,  зеленый  ромб,  красный треугольник,  синий  круг.

11.   Белов рыжий, брюнет  Рыженко, а Черняк – блондин.

12.Янош-майор-лётчик
Ференц-майор-артиллерист
Бела-подполковник-связист
Лайош-капитан-пехотинец
Андраш - майор – сапер

13. У любителя техно рубашка и бандана белого цвета; у любителя хаус черная рубашка и желтая бандана; у любителя рейв желтая рубашка и черная бандана.

14)Пилот-Семенов, штурман-Щедрин Бортмеханик - Коновалов, радист-Потапов, синоптик - Самойлов.

15. Бим в красной рубашке и красных туфлях, Бам в синей рубашке зеленых туфлях, Бом в зеленой рубашке и синих туфлях.

Заключение

При выполнении данной работы мы познакомились с биографией Кэрролла Льюиса и даже посмотрели фильм «Алиса в стране чудес» в кинотеатре «Мир Луксор». Научились решать задачи типа «КТО есть кто».

Предлагаем следующие алгоритмы решения задач. Которые подтвердились в ходе нашей исследовательской работы:

.Решение задач с помощью таблицы.

1)Выделяем элементы множеств. Определяем количество строк и столбцов и заполняем их заголовки

2)Выделяем ключевые условия.

3).При заполнении таблицы помни, что каждая строка, и каждый столбец должны содержать один знак +.                           2. Решение задач с использованием метода графов или схем.

1) Ставим точки - вершины графа.

2)Находим соседние вершины и соединяем их ребрами (линиями); пунктир, если утверждение ложное и стрелками, если утверждение верное.

3)Пишем ответ.

Решение логических задач с помощью кругов Эйлера

Круги Эйлера – задачи на пересечение или объединение множеств Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче

. Вниманию учащихся предлагается несколько шуточных логических задач, направленных на активизацию мышления обучающихся.

1. Гусь стоит 20 рублей и еще половину того, сколько стоит он на самом деле. Сколько стоил гусь?
2. Два спортсмена на соревновании пробежали по стадиону 8 кругов. Сколько кругов пробежал каждый?
3. Назовите два числа, разность которых равнв их сумме.
4. Сколько будет: два плюс два умножить на два?

Задача 1. Домашние любимцы. У всех моих подруг есть домашние питомцы. Шестеро из них любят и держат кошек, а пятеро - собак. И только у двоих есть и те и другте. Угадайте, сколько у меня подруг?

Решение: Изобразим два круга, так как у нас два вида питомцев. В одном будем фиксировать владелиц кошек, в другом - собак. Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие животные, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру 2 так как кошки и собаки есть у двоих. В оставшейся части "кошачьего" круга ставим цифру 4 (6 - 2 = 4). В свободной части "собачьего" круга ставим цифру 3 (5 - 2 = 3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня 4 + 2 + 3 = 9 подруг.

Ответ. 9 подруг.

Задача 2. Библиотеки. В классе 30 учеников. Все они являются читателями школьной и районной библиотек. Из них 20 ребят берут книги в школьной библиотеке, 15 - в районной. Сколько учеников не являются читателями школьной библиотеки?

Решение: Пусть круг Ш изображает читателей только школьной библиотеки, круг Р - только районной. Тогда ШР - изображение читателей и районной, и школьной библиотек одновременно. Из рисунка следует, что число учеников, не являющихся читателями школьной библиотеки, равно:

(не Ш) = Р - ШР. Всего 30 учеников, Ш = 20 человек, Р = 15 человек. Тогда значение ШР может быть найдено так (см. рисунок): ШР = (Ш + Р) - 30 = (20 + 15) - 30 = = 5, т.е. 5 учеников являются читателями школьной и районной библиотек одновременно. Тогда (не Ш) = = Р - ШР= 15 - 5= 10.

Ответ: 10 учеников не являются читателями школьной библиотеки.

Задача 3. Любимые мультфильмы. Среди школьников пятого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: "Белоснежка и семь гномов", "Винни Пух", "Микки Маус". Всего в классе 28 человек. "Белоснежку и семь гномов" выбрали 16 учеников, среди которых трое назвали еще "Микки Маус", шестеро - "Винни Пух", а один написал все три мультфильма. Мультфильм "Микки Маус" назвали 9 ребят, среди которых пятеро выбрали по два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм "Винни Пух"?

Решение: В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Только "Белоснежку" выбрали 16-6-3-1=6 человек. Только "Микки-Маус" выбрали 9-3-2-1=3 человека.

Только "Винни-Пух" выбрали 28-(6+3+3+2+6+1)=7 человек. Тогда, учитывая, что некоторые выбрали по несколько мультфильмов, получаем, что "Винни-Пух" выбрали 7+6+1+2=16 человек.

Задача 4. Хобби. Из 24 учеников 5 класса музыкальную школу посещают 10 человек, художественную школу - 8 человек, спортивную школу - 12 человек, музыкальную и художественную школу- 3, художественную и спортивную школу - 2, музыкальную и спортивную школу - 2, все три школы посещает 1 человек. Сколько учеников посещают только одну школу? Сколько учащихся ни в чем себя не развивают?

Решение: В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Только музыкальную школу посещают 10-3-2-1=4 учащихся. Только художественную школу посещают 8-3-2-1=2 учащихся. Только спортивную школу посещают 12-2-2-1=7 учащихся.

Только одну школу посещают 4+2+7=13 учеников.

Ни в чем себя не развивают 24-(4+2+7+3+2+2+1)=3 учащихся.

Ответ. 13 учеников посещают только одну школу, 3 учащихся себя не развивают.

Задача 5. О головоломках. На полке стояло 26 различных математических игр - головоломок. В 4 из них поиграл и Гриша, и Саша. Игорь попробовал проиграть 7 игр, которых не касались ни Гриша, ни Саша, и две головоломки, в которые играл Гриша. Всего Гриша играл в 11 математических игр - головоломок. Во сколько головоломок сыграл Саша?

Решение: Так как Гриша всего проиграл в 11 игр, из них 4 головоломки решены Сашей и 2 головоломки - Игорем, то 11 - 4 - 2 = 5 - игр проиграно только Гришей. Следовательно, 26 - 7 - 2 - 5 - 4 = 8 - головоломок решено только Сашей. А всего Саша играл в игр.

Ответ. 12 игр решил Саша.

Задача 6. В классе 35 учеников. Из них 20 человек занимаются в математическом кружке, 11 — в биологическом, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?

Изобразим эти кружки на рисунке. Можем, например, начертить большой круг, а в нем два поменьше. В левый круг, обозначенный буквой М, поместим всех математиков, а в правый, обозначенный буквой Б, всех биологов. Очевидно, в общей части кругов, обозначенной буквами МБ, окажутся те самые биологи-математики, которые нас интересуют. Остальных ребят класса, а их 10, попросим не выходить из внешнего круга, самого большого. Теперь посчитаем: всего внутри большого круга 35 ребят, внутри двух меньших 35 — 10 = 25 ребят. Внутри «математического» круга М находятся 20 ребят, значит, в той части «биологического» круга, которая расположена вне круга М, находятся 25 — 20 = 5 биологов, не посещающих математический кружок. Остальные биологи, их 11 — 5= = 6 человек, находятся в общей части кругов МБ. Таким образом, 6 биологов увлекаются математикой.

«Задачи на переливание»

Задачи на переливание – это задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости.

Типы задач на переливание, алгоритмы их решения

          Все задачи на переливание можно представить двумя типами:

• «Водолей» - задачи, в которых необходимо получить некоторое количество жидкости с помощью нескольких пустых емкостей из бесконечного источника, из которого можно наливать жидкость, и в который ее можно выливать.
• «Переливашка» - задачи, в которых  необходимо разделить жидкость в большей емкости с помощью нескольких меньших по объему емкостей, жидкость можно только переливать из одной емкости в другую.

Первый тип задач  кажется полегче,  второй - сложнее.

       В задачах на переливание разрешены следующие операции:

• заполнение жидкостью одного сосуда до краев;
• переливание жидкости в другой сосуд или выливание жидкости;

          При решении таких задач необходимо учитывать следующие замечания:

• разрешается наливать в сосуд ровно столько жидкости, сколько в нем помещается;
• разрешается переливать всю жидкость из одного сосуда в другой, если она в него вся помещается;
• разрешается отливать из одного сосуда в другой столько жидкости, сколько необходимо, чтобы второй сосуд стал полным.

         Каждую задачу на переливание таким методом можно решать двумя способами:

а) начать переливания с большего сосуда;

б) начать переливания с меньшего сосуда.

          Какой из способов более рационален (т.е. каким способом мы быстрее получим нужное количество жидкости) зависит от условий задачи. Изначально это определить нельзя.

При решении задач первого типа («Водолей») можно использовать такой алгоритм:

1. Наполнить большую емкость жидкостью из бесконечного источника.
2. Перелить из большей емкости в меньшую емкость.
3. Вылить жидкость из меньшей емкости.
4. Повторить действия 1-3 до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество жидкости.

 При решении задач второго типа («Переливашка») можно использовать следующий алгоритм:  

1. Из большей емкости наполнить емкость промежуточного объема.
2. Перелить жидкость из промежуточной емкости в самую маленькую емкость.
3. Перелить жидкость из самой маленькой емкости в большую емкость.
4. Повторять действия 2-3 до тех пор, пока емкость промежуточного объема не станет пустой.
5. Если емкость промежуточного объема опустела, то  повторить действия 1-5 до тех пор, пока не будет получено обозначенное в условии задачи количество жидкости.

Примеры задач на переливание, где участвуют два сосуда, воду наливают  из водопроводного крана (реки), лишнюю воду выливают

1.  Как, имея два ведра: емкостью 5 и 9 литров, набрать из реки ровно 3 литра воды?

Решение:

1шаг - набираем 9л и переливаем в 5литровую, остается 4л 
2шаг - 5литровую выливаем и переливаем туда эти 4л 
3 шаг - теперь снова набираем 9л и доливаем из нее в 5литровую, тогда останется 8л 
4 шаг - 5литровую выливаем и отливаем 5л от 8л, останется 3л

Задача решена. В 9-литровом сосуде получили ровно 3л.

2. Как с помощью 2-литровой и 5-литровой банок отмерить ровно 1 литр? 

Решение: 

 Задача решена. В 5-литровом сосуде получили  ровно 1л.

3. Есть два кувшина емкостью 5 л и 9 л. Нужно набрать из источника 7 л воды, если можно пользоваться только кувшинами.

а) Решим задачу, наполнив первым действием 5-литровый кувшин. 


б) Решим задачу иначе. Наполним первым действием 9-литровый кувшин.

Задача решена. В 9-литровом кувшине получили  ровно 7л.

4. Для разведения картофельного пюре быстрого приготовления "Зеленый великан" требуется 1 л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров, налить 1 литр воды из водопроводного крана? 

Решение:

Задача решена. В 5-литровом сосуде получили  ровно 1л.

5. Для марш-броска по пустыне путешественнику необходимо иметь 4 литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник воды, выдают только 5-литровые фляги, а также имеются 3-литровые банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?Решение:

Задача решена. Во фляге получили  ровно 4л.

6. Имеются два сосуда вместимостью 3л и 5л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 4 л воды?

 Решение:

    Задача решена. В 5-литровом сосуде останется ровно 4л.

7. Имеются два сосуда вместимостью 8л и 5л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 7л воды?

Решение:

Задача решена. В 8-литровом сосуде получили ровно 7л.

8. Как, имея два ведра емкостью 4л и 9л, налить из водопроводного крана 6л воды?

 Решение:

     Задача решена. В 9-литровом ведре останется ровно 6л.

9. Как, имея лишь два сосуда вместимостью 5л и 7л, налить из водопроводного крана 6л воды?

     Решение:

Задача решена. В 7-литровом сосуде останется ровно 6л.

10. Имеются два сосуда вместимостью 17л и 5л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 13л воды?

 Решение:

.

Примеры задач, в которых три сосуда и воду выливать нельзя

       В задачах такого типа, воду берут не из водопроводного крана, она уже есть в каком-то сосуде, например, в самом большом. А маленькими ёмкостями мы будем переливать воду. Выливать воду нельзя. Если необходимо освободить сосуд, то лишнюю воду выливают в другой сосуд. Обычно больший сосуд – это хранилище, откуда берут воду и в него сливают лишнюю. Таблица может быть составлена на три сосуда, а можно обойтись и таблицей на два сосуда. 

1. Бидон ёмкостью 10 л наполнен молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 л в семилитровый бидон, используя при этом ещё один бидон, вмещающий 3 л. Как это сделать? 

     Первый способ решения этой задачи.

     Запись решения отражает только два сосуда. В решении покажем только два бидона 7л и 3 л. Выливать молоко  будем обратно в 10-литровый бидон. 

1 действие. Из 10-литрового бидона нальем 3-литровый бидон.

    Запись решения отражает все три сосуда. В решении  покажем как изменялось количество молока во всех трех бидонах. Т.е.  добавляем еще строку выше для 10-литрового бидона, чтобы следить за количеством молока в нем. Это не сложно: надо следить за тем, чтобы общее количество молока все время было 10 литров. 

1 действие. Из 10-литрового бидона нальем 3-литровый бидон.

Второй способ решения этой задачи. 

   Можно начать с заполнения 7-литрового бидона.  Решение получилось короче на два переливания.

2. Двое должны разделить поровну 8 вёдер кваса, находящегося в большом бочонке. Но у них есть ещё только два пустых бочонка, в один из которых входит 5 вёдер, а в другой – 3 ведра. Спрашивается, как они могут разделить этот квас, пользуясь только этими тремя бочонками?

     Решение: 

Разделить квас пополам, т.е. надо получить 4 ведра. Начнем с заполнения 3-ведерного бочонка. Из 8-ведерного будем наполнять бочонки и сливать туда квас, когда нам надо будет освободить сосуд.

Задача решена. В 5-ведерном бочонке получилось 4 ведра кваса.

Еще 4 ведра в 8-ведерном бочонке. 

3. В первый сосуд входит 8 л и он наполнен водой. Имеются еще два пустых сосуда ёмкостью 5л и 3л. Как с помощью этих сосудов отмерить ровно 1 л?

    Решение: 

Задача решена. В 3-литровом сосуде получился 1 л воды.

4. В первый сосуд входит 12 л и он наполнен водой. Имеются еще два пустых сосуда ёмкостью 5л и 8л. Как разделить воду на две равные части?

    Решение:

5. ЗАДАЧИ НА ВЗВЕШИВАНИЕ.

5-1. Имеется пакет емкостью 600 г и салфетка. Как отмерить в мешок ровно 1 кг чая из ящика, содержащего 1кг 100 г чая?

5-2. Имеются 5 монет. Три из них имеют массу по 10 г каждая. Об остальных двух монетах известно, что они имеют одинаковую массу, а на вид не отличаются от 10-граммовых. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь найти хотя бы одну монету в 10 г?

5-3. Какими четырьмя гирями можно отмерить любой вес от 1 до 40 г, если класть гири на обе чаши весов?

5-4. Как тремя взвешиваниями на чашечных весах без гирь найти одну фальшивую (более легкую) монету из 20 монет?

5-5. Среди 2001 монеты одна фальшивая. Как в два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, легче эта монета или тяжелее, чем настоящая?

5-6. Некто узнал, что корова на ярмарке стоит вчетверо дороже собаки и вчетверо дешевле лошади. Он взял на ярмарку 200 рублей и на все эти деньги купил собаку, двух коров и лошадь. Что почем?

5-7. Из трех монет одна фальшивая. Известно, что она отличается по весу от настоящих монет, то есть или более легкая, или более тяжелая. Как при помощи не более двух взвешиваний на чашечных весах определить фальшивую монету?

5-8. Из восьми одинаковых монет одно легче остальных. Найти его не более чем двумя взвешиванием на чашечных весах.

5-9..Из восьмидесяти одной монеты одна более легкая, это фальшивая монета. Как при помощи четырех взвешиваний на чашечных весах определить ее?

5-10.Как-то раз в аптеку доставили 10 флаконов лекарства по 1000 таблеток в каждом флаконе. Не успели расставить флаконы на полке, как принесли телеграмму, в которой сообщалось, что лекарство нельзя продавать, так как в одном из флаконов каждая таблетка содержит на 10 мг лекарства больше допустимой нормы. Как найти этот флакон с помощью аптечных весов с гирями

5-11.В пакете 9 кг манной крупы. Попробуйте при помощи трёх взвешиваний разделить крупу по двум пакетам: в одном - 2 кг, а в другом - 7 кг, располагая одной гирей 250 г и одной гирей 50 г.

5-12.Из девяти монет одна фальшивая (более лёгкая). Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?

5-13.Имеем старинные монеты достоинством в 1, 2, 3, 5 к., каждая из которых весит соответственно 1, 2, 3, 5 г. Среди четырех «медных» монет (по одной каждого достоинства) есть одна бракованная, отличающаяся весом от нормальной. Как с помощью взвешиваний на чашечных весах без гирь определить бракованную монету?

5-14.Как при помощи чашечных весов без гирь разделить 24 кг гвоздей на две части – 9 и 15 кг? 

5-15.В 10 мешочках одинаковые на вид монеты. Но в одном они фальшивые - на 1 г легче настоящих. Как при помощи одного взвешивания определить мешочек с фальшивыми монетами?

5-16.Среди двадцати семи монет одна фальшивая. Как найти фальшивую монету с помощью трех взвешиваний на весах с чашечками без гирь, если известно, что фальшивая монета тяжелее, чем настоящая.

5-17.Имеется 101 монета. Среди них 100 одинаковых настоящих монет и одна фальшивая, отличающаяся от них по массе. Необходимо выяснить, легче или тяжелее фальшивая монета, чем настоящая. Как это сделать с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?

5-18.Из двенадцати монет одна фальшивая, но неизвестно, она более тяжёлая или более лёгкая. Как за четыре взвешивания на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету?

5-19.Имеюся 6 гирь весом 1, 2, 3, 4, 5 и 6 г. На них нанесена соответствующая маркировка. Однако есть основания считать, что при маркировке гирь допущена одна ошибка. Как при помощи двух взвешиваний на чашечных весах, на которых можно сравнить веса любых групп гирь, определить, верна ли имеющаяся на гирях маркировка?

5. ЗАДАЧИ НА ВЗВЕШИВАНИЕ. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.

5-1. 1) Отсыпать из ящика в пакет 600 г. 2) Пересыпать их из пакета в мешок. 3) Остальные 500 г высыпать из ящика в пакет. 4) Накрыть чай в пакете салфеткой и поверх нее насыпать (до края) 100 г из мешка. 5) Пересыпать 100 г с салфетки в ящик. 6) Остальные 1000 г высыпать в мешок. Все эти этапы представлены на следующей схеме.

5-2. Надо сравнить массы любых двух монет. Потом надо сравнить массы еще двух монет. Если в обоих случаях весы уравновесились или в обоих случаях не уравновесились, то пятая монета – 10-граммовая. Если в одном из случаев весы уравновесились, а в другом не уравновесились, то уравновесившиеся монеты – 10-граммовые.

Ответ: надо сравнивать массы монет, кладя на каждую чашу весов по одной монете.

5-3. Чтобы взвесить 1 г, возьмем гирю в 1 г. Чтобы взвесить 2 г, возьмем гирю не в 2 г, а сразу в 3 г. Тогда можно будет взвесить также и 3 г, и 4 г. Следующий вес – 5 г. Возьмем наибольшую возможную для этого гирю – 9 г. Тогда 5 г получится как 9 – (1+3), а кроме того можно будет отмерить любой вес от 6 до 13 г (6 = 9–3, 7 = 9+1–3; 8 = 9–1 и т. д. до 13=1+3+9). Нам можно взять еще одну – четвертую – гирю. Возьмем ее побольше, но чтобы с ее помощью можно было взвесить 14 г. Так как у нас есть возможность отмерить 13 г, то возьмем четвертую гирю в 27 г. Тогда 14 г получится как 27 – 13. Легко проверить, что взятыми четырьмя гирями можно отмерить любой вес от 1 до 40 г. (1+3+9+27 = 40). Ответ: 1 г, 3 г, 9 г, 27 г.

5-4. Разделим монеты на три группы: 9, 9 и 2 монеты. Первое взвешивание – сравниваем вес первых двух групп. Если они одинаковы, то фальшивая монета среди двух монет третьей группы, и мы вторым взвешиванием сравниваем их между собой. Та, которая легче, – фальшивая. Если в первом взвешивании одна из групп окажется легче, то фальшивая монета в ней. Делим эту группу на три группы по три монеты. Вторым взвешиванием устанавливаем, которая из этих трех групп легче, а третьим взвешиванием находим легкую монету в этой тройке.

5-5. Первым взвешиванием сравним тысячу монет с другой тысячью монет. Если весы уравновесятся, фальшивая монета – та, которая не попала на весы. Тогда вторым взвешиванием узнаем, тяжелее она или легче любой другой монеты. Если же весы не уравновесятся, то возьмем, например, более легкую тысячу монет и вторым взвешиванием сравним ее половины. Если они уравнялись, то фальшивая монета среди более тяжелой тысячи, то есть фальшивая монета тяжелее настоящей. А если не уравнялись, то фальшивая монета среди более легкой тысячи, то есть она легче, чем настоящая.

5-6. Самую маленькую цену – цену собаки – примем за 1 часть. Тогда цена коровы равна 4 частям, цена лошади – 16 частям, а общая цена покупки равна 1 + 8 + 16 = 25 частям. И так как 200 рублей равны 25 частям, то все цены легко определяются.

Ответ: Собака стоила 8 р., корова – 32 р., лошадь – 128 р.

5-7. Положить две монеты на чашки весов. Если они в равновесии, то фальшивая третья монета. Если они не в равновесии, то надо снять более легкую монету с чашки весов и положить на ее место третью монету. Если весы будут в равновесии, то фальшивой является снятая монета. Если весы не будут в равновесии, то более тяжелая монета — фальшивая.

5-8. Первым взвешиванием положим на чашки весов по 3 монеты. Если при этом чашки весов в равновесии, то более лёгкая монета находится среди оставшихся двух и определяется вторым взвешиванием. Если чашки весов не уравновесились, то на чашки весов уложим по одному кольцу из 3 колец более лёгкой группы.

5-9.Положить монеты в три кучки, каждая по 27 монет, затем одним взвешиванием, как и в предыдущих задачах, определить, в какой кучке фальшивая монета. Монеты из этой кучки разложить опять в три кучки, каждая по 9 монет. Одним взвешиванием определить, в какой кучке фальшивая монета. Затем монеты из этой кучки опять разложить в кучки, каждая по 3 монеты, и еще одним взвешиванием определить, в какой кучке фальшивая монета. Наконец, четвертым взвешиванием определить, какая монета фальшивая.

5-10.В данной задаче, достаточно произвести одно взвешивание. Идея состоит в том, что можно пронумеровать флаконы: 1, 2, ..., 10, затем взять одну таблетку из 1-го флакона, две - из 2-го, три - из 3-го, ..., 10 таблеток из 10-го флакона. Нетрудно подсчитать, что всех таблеток будет 55. Затем взвешиваем эти таблетки. Предположим, что они весят 5520 мг, или на 20 мг больше, чем следовало бы. Это значит, что среди отобранных две таблетки с повышенной дозой лекарства и они извлечены из второго флакона.

5-11. Раскладываем крупу по 4,5 кг на две чашки весов. После этого высыпаем крупу из одной чашки в сторону, а крупу с другой чаши вторым взвешиванием разделяем по 2 кг 250 г. Теперь поставим на одну из двух чаш гирю 250 г и возьмём с неё столько крупы, чтобы весы были в равновесии. Тогда на этой чаше весов останется 2 кг, а остальная крупа весит 7 кг. Итак, манная крупа разделена на 2 кг и на 7 кг при этом гиря 50 г оказалась лишней.

5-12. Положим на две чаши весов по три монеты. 1) если весы в равновесии, то положим на две чаши весов по одной из оставшихся монет, весы опять в равновесии, тогда оставшаяся монета фальшивая, если не в равновесии, то более лёгкая монета фальшивая, 2) если весы не в равновесии, то из лёгкой кучки положим на весы по одной монете, на каждую чашу. Весы в равновесии – оставшаяся монета фальшивая. Весы не в равновесии - более лёгкая фальшивая монета.

5-13. Делаем два взвешивания. Первое – на одной чашке весов монеты в 2 к. и 3 к., на другой – в 5 к. Второе – на одной чашке весов монеты в 1 к. и 2 к., на другой – в 3 к. При этом возможны четыре варианта.

1) Если вдруг все монеты небракованные – весы оба раза будут в равновеси

2) Если бракованной окажется монета в 1 к. – при первом взвешивании весы будут в равновесии, при втором – нет.

3) Если бракованной окажется монета в 5 к. – второй раз весы будут в равновесии, первый раз нет

4) Если оба раза весы не будут в равновесии, то бракованной окажется монета

либо в 2 к., либо в 3 к. Тогда результат первого взвешивания покажет нам, тяжелее или легче бракованная монета, чем настоящие, а результат второго взвешивания определит эту монету.

5-14.Отвешиваем 12 кг гвоздей и откладываем их в сторону. От оставшихся 12 кг отвешиваем 6 кг и откладываем их в другую сторону. От оставшихся 6 кг отвешиваем

3 кг и соединяем их с отложенными 6 кг. Получаем искомые 9 кг. гвоздей

5-15.Занумеровав мешочки натуральными числами от 1 до 10, он взял с каждого

столько монет, каков номер мешочка. Эти монеты должны весить

(1+2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10) х 10 = 550 (г). Разность между числом 550 г и действительным весом монет равна номеру мешочка с фальшивыми монетами.

5-16.Разделить на 3 группы по 9 монет и сначала установить, в какой группе фальшивая монета. Разделить группу с фальшивой монетой на 3 группы по 3 монеты в каждой и установить, в какой группе фальшивая монета. Две монеты из группы кладем на весы, если весы в равновесии, то оставшаяся монета фальшивая, если же одна монета перевесила, то ответ ясен.

5-17.Положим на чаши весов по 50 монет. Если весы в равновесии, то оставшаяся монета фальшивая, а за следующее взвешивание определим, легче она настоящей или тяжелее. Пусть весы не в равновесии. Снимем с них более тяжёлую кучку из 50 монет, а оставшиеся разложим по 25 на каждую чашу. Если весы в равновесии, то среди них нет фальшивой, значит, значит она среди более тяжёлой кучки, т. е. фальшивая монета тяжелее настоящей. В противном случае фальшивая монета более лёгкая.

5-18.Распределим монеты по две на 6 групп: I, II, III, IV, V, VI и образуем пары (I, II), (III, IV), (V, VI). Ясно, что в двух парах веса групп будут одинаковыми, например, (I=II) и (III=IV), что можно установить двумя взвешиваниями. Тогда, например, группа V легче группы VI. Снимем с каждой чаши весов по одной монете. Могут быть две возможности: а) остались монеты равных весов; б) остались монеты разных весов. В случае а) фальшивой окажется монета, которую мы снимали из группы V, она более лёгкая. В случае б) фальшивой окажется монета из группы VI, которая тяжелее других. Если окажется, что I≠II или I=II, но III≠IV, то фальшивая монета может быть найдена и меньшим числом взвешиваний.

5-19.На одну чашу весов кладем гири, маркированные 1, 2 и 3 г., а на другую - 6 г. Равновесие означает, что ошибка в маркировке возможна лишь внутри групп 1-2-3 и 4-5. При втором взвешивании на одну чашу кладем гири 3 и 5 г., на другую - 6 и 1 г. Если первая чаша перевесила, то ошибки а маркировке нет.

Задачи, решаемые с конца

1. Магия чисел. Я задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число я задумал.

2. Яблоки. Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый мальчик дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет; в свою очередь и третий дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было у каждого мальчика вначале?

3. Черт и бездельник. Однажды черт предложил бездельнику заработать. “Как только ты перейдешь через этот мост, – сказал он, – твои деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это 24 рубля”. Бездельник согласился и … после третьего перехода остался без денег. Сколько денег у него было сначала?

4. Туристы. Группа туристов отправилась в поход. В первый день они прошли 1/3 пути, в второй – 1/3 остатка, в третий – 1/3 нового остатка. В результате им осталось пройти 32 км. Сколько километров был маршрут туристов?

5. Гуси. Над озерами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на семи озерах. Сколько было гусей?

6. Крестьянин и царь. Крестьянин пришел к царю и попросил: “Царь, позволь мне взять одно яблоко из твоего сада”. Царь ему разрешил. Пошел крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен тройным забором. Каждый забор имеет только одни ворота, и около каждых ворот стоит страж. Подошел крестьянин к первому стражу и сказал: “Царь разрешил мне взять одно яблоко из сада”. “Возьми, но при выходе должен будешь отдать мне половину яблок, что возьмешь, и еще одно”, – поставил условие страж. Это же повторили ему второй и третий, которые охраняли другие ворота. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы после того, как отдаст положенные части трем стражам, у него осталось одно яблоко?

Решение задач.

1. Магия чисел. Я задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число я задумал.

Решение.
Решаем задачу с конца:
1) 2 ∙ 7 = 14 – число до деления на 7.
2) (14 + 6) : 4 = 5 – число до умножения на 4.
3) 5 ∙ 3 = 15 – число до деления на 3.
4) 15 – 5 = 10 – искомое число.
Ответ: задумано число 10.

2. Яблоки. Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый мальчик дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет; а третий дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок. Сколько яблок было у каждого мальчика вначале?

Решение.

Решаем задачу с конца с помощью таблицы.

Таким образом, первоначально яблок у первого, второго и третьего мальчиков было соответственно 13, 7 и 4.

Ответ: 13 яблок, 7 яблок, 4 яблока.

3. Черт и бездельник. Однажды черт предложил бездельнику заработать. “Как только ты перейдешь через этот мост, – сказал он, – твои деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это 24 рубля”. Бездельник согласился и … после третьего перехода остался без денег. Сколько денег у него было сначала?

Решение.

Так как после третьего перехода у бездельника денег не осталось, то после перехода моста в третий раз у него было 24 рубля, а до перехода третьего моста – 12 рублей. Тогда после перехода второго моста у бездельника было 12 + 24 = 36 (рублей), а до перехода второго моста – 36 : 2 = 18 (рублей). Рассуждая аналогично, получим, что после перехода первого моста у бездельника стало 18 + 24 = 42 (рубля), а перед переходом первого моста – 42 : 2 = 21 (рубль). Таким образом, у бездельника сначала был 21 рубль.

Ответ: 21 рубль.

4. Туристы. Группа туристов отправилась в поход. В первый день они прошли 1/3 пути, в второй – 1/3 остатка, в третий – 1/3 нового остатка. В результате им осталось пройти 32 км. Сколько километров был маршрут туристов?

Решение.

Так как осталось 32 км, а в третий день туристы прошли остаток, то 32 км будут составлять последнего 2/3 остатка, тогда сам последний остаток будет равен 32 : 2/3 = 48 (км). Эти 48 км будут составлять 2/3 длины маршрута, оставшегося пройти после первого дня. Тогда весь маршрут, который осталось пройти, будет равен 48 : 2/3 = 72 (км). Эти 72 км составляют вновь 2/3, но уже всего маршрута туристов, а значит, весь маршрут будет равен 72 : 2/3 = 108 (км).

Ответ: 108 км

5. Гуси. Над озерами летели гуси. На каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на семи озерах. Сколько было гусей?

Решение.

Так как на последнем озере сели оставшиеся гуси и больше не осталось, то там сел 1 гусь. Если бы село 2, то 1 гусь остался бы еще. Тогда к шестому озеру подлетало 1 + 12∙2 = 3 гуся. А к пятому 3 + 12∙2 = 7, к четвертому 7 + 12∙2 = 15, к третьему – 15 + 12∙2 = 31, ко второму 31 +12∙2 = 63, тогда к первому подлетело 63 + 12∙2 = 127 гусей.

Ответ: 127 гусей

6. Крестьянин и царь. Крестьянин пришел к царю и попросил: “Царь, позволь мне взять одно яблоко из твоего сада”. Царь ему разрешил. Пошел крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен тройным забором. Каждый забор имеет только одни ворота, и около каждых ворот стоит страж. Подошел крестьянин к первому стражу и сказал: “Царь разрешил мне взять одно яблоко из сада”. “Возьми, но при выходе должен будешь отдать мне половину яблок, что возьмешь, и еще одно”, – поставил условие страж. Это же повторили ему второй и третий, которые охраняли другие ворота. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы после того, как отдаст положенные части трем стражам, у него осталось одно яблоко?

Решение.

Перед последними воротами у крестьянина должно остаться (1 + 1) ∙ 2 = 4 яблока, перед вторыми – (4 + 1) ∙ 2 = 10, и перед первыми – (10 + 1) ∙ 2 = 22 яблока.

Ответ: 22 яблока.

7. Лилия на озере. На озере расцвела лилия. Каждый день число цветков удваивалось и на 20-й день все озеро покрылось цветами. За сколько дней покрылась цветами половина озера?

Решение.

Начнем с конца. Так как каждый день число цветков удваивается, а на 20-й день все озеро покрылось цветами, то половина его была покрыта цветами за один день до того, т.е. на 19-й день.

Ответ: за 19 дней.

Дополнительные задачи и задачи для самостоятельного решения.

1. Это старинная задача. Крестьянка пришла на базар продавать яйца. Первая покупательница купила у нее половину всех яиц и еще половину яйца. Вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и еще половину яйца. Третья купила всего одно яйцо. После этого у крестьянки не осталось ничего. Сколько яиц она принесла на базар?

2. Задача из книги "Арифметика" Леонтия Магницкого. Отец решил отдать сына в учебу и спросил учителя: "Скажи, сколько учеников у тебя в классе?" Учитель ответил:

"Если придет еще учеников столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, тогда будет у меня сто учеников". Сколько же учеников было в классе?

3. Мать купила яблоки. Два из них взяла себе, а остальные разделила между тремя своими сыновьями. Первому она дала половину всех яблок и половину яблока, второму – половина остатка и еще половину яблока, третьему – половину нового остатка и оставшуюся половину яблока. Сколько яблок купила мать, и сколько яблок получил каждый из сыновей?

4. Поставили самовар, а потом 7 раз садились пить чай и каждый раз выпивали половину имеющейся в нем воды. Оказалось, что после этого остался всего стакан воды. Сколько воды было в самоваре перед чаепитием?

5. Я задумал число, отнял 57, разделил на 2 и получил 27. Какое число я задумал?

6. На праздник купили торт. Но ели его очень интересно – к торту подходил человек и съедал половину того, что осталось. Всего торт ели 5 человек, а пришедшему последним (пятым) Стасу, отдали все, что осталось – полкило торта. Сколько весил торт в начале?

7. Некто прогулял 1/4  урока. На следующий день он прогулял половину урока. Каждый день количество прогулянных уроков увеличивалось в два раза. На десятый день он впервые прогулял все уроки. На какой день он прогулял четверть уроков, если их количество в каждый день одинаково.

8. Хулиган Леша с занятия украл много спичек. По дороге другие ребята увидели его и каждый забрал у него несколько. Вова забрал треть, Вася – треть оставшихся, Гриша – еще треть оставшихся, Толя – тоже треть оставшихся. В итоге Леша сжег 16 спичек, и у него после этого спичек не осталось. Сколько у него их было?

9. Три мальчика делили 120 фантиков. Сначала Петя дал Ване и Толе столько фантиков, сколько у них было. Затем Ваня дал Толе и Пете столько фантиков, сколько у них стало. И, наконец, Толя дал Пете и Ване столько, сколько у них к этому моменту имелось. В результате всем досталось поровну. Сколько фантиков было у каждого вначале?

Задачи на движение. Отношение скоростей

Задачи для обсуждения

1. Дорога от дома до школы занимает у Пети 20 минут. Однажды по дороге в школу он вспомнил, что забыл ручку. Если теперь он продолжит свой путь с той же скоростью, то придет в школу за 3 минуты до звонка, а если вернётся за ручкой – то, идя с той же скоростью, опоздает к началу урока на 7 минут. Какую часть пути он прошёл до того, как вспомнил о ручке?

2. Ослик, пройдя четверть моста, вдруг услышал гудок подъезжающей к мосту машины. Если он пойдет дальше, то машина догонит его в конце моста, а если повернет обратно, то встретит машину в начале моста. Найдите отношение скоростей ослика и машины.

3. Из пункта A в пункт B выехал велосипедист. Одновременно из пункта B в пункт A навстречу велосипедисту вышел пешеход. После их встречи велосипедист повернул обратно, а пешеход продолжил свой путь. Известно, что велосипедист вернулся в пункт A на 30 минут раньше пешехода, при этом его скорость была в 5 раз больше скорости пешехода. Сколько времени затратил пешеход на путь из В в А?

Задачи для самостоятельного решения

1. Мост состоит из 8 секторов. Пройдя три сектора моста, ослик Иа-Иа заметил сзади на дороге автомобиль, идущий со скоростью 60 км/ч. Если ослик побежит назад, то встретится с автомобилем в начале моста, а если вперед, то автомобиль нагонит его в конце моста. С какой скоростью бегает Иа-Иа?

2. Вася шел встречаться с Мишей в кафе. Пройдя две трети пути от дома до кафе, он вспомнил, что забыл дома деньги. Если Вася продолжит идти в кафе, то придет туда на 25 минут раньше Миши. А если вернется домой за деньгами, то придет на 15 минут позже Миши. Сколько времени занимает у Васи дорога от дома до кафе?

3. Из пунктов А и  В одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Доехав до середины пути, мотоциклист развернулся и  поехал в А. Доехав до А, он вновь развернулся и поехал к В. Ровно на середине пути он встретил велосипедиста. Найдите отношение скоростей мотоциклиста и велосипедиста.

4. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Скорость мотоциклиста втрое больше скорости велосипедиста. Проехав три четверти пути, мотоциклист развернулся и поехал снова в город А. Доехав до города А, он вновь поехал навстречу велосипедисту. На каком расстоянии от города А они встретятся?

5. Из пункта А в пункт B, расстояние между которыми равно 48 км,  выехал мотоциклист, одновременно с ним из B в А выехал велосипедист. Мотоциклист доехал до B, развернулся, вернулся в А, развернулся и снова поехал навстречу велосипедисту. На каком расстоянии от А они встретятся, если их скорости относятся как 4:1?

6. Без ореха (от дупла до орешника) белка бежит со скоростью 4 м/сек, а  с орехом (от орешника до дупла) – со скоростью 2 м/сек. На путь от дупла до орешника и обратно она тратит 54 секунды. Найдите расстояние от дупла до орешника. Ответ обоснуйте.

7. Собака погналась за лисицей, которая была на расстоянии 30 метров от нее. Скачок собаки равен 2 м, скачок лисицы – 1 м. В то время как лисица делает 3 скачка, собака делает 2 скачка. Какое расстояние должна пробежать собака, чтобы догнать лисицу?

8*. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали грузовик (из А) и автобус (из В). Через час оказалось, что грузовик находится точно посередине между пунктом А и  автобусом, ещё через час они оказались на одинаковом расстоянии от пункта А. Найдите отношение скоростей грузовика и автобуса.

9*. Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Через час оказалось, что велосипедист находится посередине между мотоциклистом и В, а еще через час велосипедист оказался посередине пути между А и В. Во сколько раз его скорость меньше скорости мотоциклиста? Рассмотрите два случая: 1) мотоциклист выезжает из А; 2) мотоциклист выезжает из В.

Задачи на проценты и части

Задача 1.

а) На какой коэффициент надо умножить число, чтобы оно возросло на 35%?

б) На какой коэффициент надо умножить число, чтобы оно уменьшилось на 30%?

в) Число умножили на 0,74. На сколько процентов и в какую сторону оно изменилось?

г) Число умножили на 2,74. На сколько процентов и в какую сторону оно изменилось?

Ответ. а) 1,35; б) 0,7; в) уменьшилось на 26%; г) увеличилось на 174%.

Решение. а) 35% числа x – это 0,35x. Если число x увеличить на 35%, получим х + 0,35x + 1,35x. Аналогично рассматривается пункт б. в) 0,74 от числа - это 74% от числа x. Так как 0,74<1, то число уменьшилось на 100%-74%=26%. Аналогично рассматривается пункт г.

Замечание. Решение всех задач на проценты основано как раз на переходе от процентов к долям и обратно. Главное – все время следить, от какой именно величины берется процент или как она изменяется.

Задача 2.

В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке вначале уменьшилось на 10%, а затем увеличилось на 10%. Количество воды во второй бочке, наоборот, вначале увеличилось на 10%, а затем уменьшилась на 10%. В какой бочке стало больше воды?

Ответ. В обеих бочках воды по-прежнему поровну.

Решение. Пусть в каждой бочке было по x литров. После уменьшения количества воды на 10% в первой бочке стало 0,9·x литров воды, а после увеличения на 10% (уже от нового объема!) в ней стало 1,1·0,9·x = 0,99·x литров воды. Аналогично, во второй бочке стало сначала 1,1·x литров воды, а затем 0,9·1,1·x = 0,99·x литров воды. Таким образом, в обеих бочках количество воды по-прежнему одинаковое (но меньше прежнего!).

Задача 3.

Петя купил две книги. Первая из них на 50% дороже второй. На сколько процентов вторая книга дешевле первой?

Ответ. На 331/3%.

Решение. Пусть первая книга стоит x рублей, а вторая y рублей, тогда x=1,5·y. Отсюда находим, что y=2/3·x, то есть y составляет 2/3·100%=662/3% от числа x. Таким образом, вторая книга дешевле первой на 100% − 662/3%=331/3%.

Задача 4.

В 100 г раствора имеется 1% соли. После испарения стало 2% соли. Сколько весит этот 2-процентный раствор соли?

Ответ. 50 г.

Решение. Изначально соль составляет 1%, или 1/100, от 100 г раствора, то есть 1 г. После испарения этот же 1 г составляет 2%, или 1/50, уже от нового количества раствора. Это количество мы найдем, умножив 1 г на 50.

 Задача 5.

У Буратино было некоторое число монет, на которые он мог купить либо букварь, либо курточку. Вместо этого он закопал их на поле чудес, которое ежемесячно приносило 25% дохода. Через сколько месяцев Буратино сможет купить и букварь, и курточку?

Ответ. Через 4 месяца.

Решение. Пусть у Буратино n монет. Каждый месяц число монет увеличивается на 25%, то есть в 1,25, или 5/4 раза (по сравнению с предыдущим месяцем, а не с самым началом!). Через месяц у него будет 5/4x монет, еще через месяц – уже (5/4)²·x = 25/16·x монет, потом 5/4·25/16·x = 125/64·x, и наконец, через 4 месяца 5/4·125/64·x = 625/256·x > 2x. Теперь у Буратино более чем в два раза больше денег, чем было изначально, и он наконец-то может купить и букварь, и курточку.

Задача 6.

Собаки Отгадай и Угадай соревновались в беге. Прыжок Угадая на 30% короче, чем прыжок Отгадая, но зато он успевал за то же время делать на 30% прыжков больше, чем Отгадай. Кто из них победит в соревновании?

Ответ. Отгадай победит.

Решение. Пусть Отгадай прыгает за один прыжок на S, тогда Угадай за один прыжок прыгает на 0,7S. Если Отгадай за отведенное время делает n прыжков, то Угадай за это же время делает 1,3n прыжков. Поэтому за отведенное время Отгадай преодолеет расстояние S·n, а Угадай 0,7S·1,3n = 0,91S·n < S·n. Поэтому Отгадай победит.

Задача 7.

Семиклассники решили пойти в поход. Первоначально девочек было 25% от числа всех участников. Но одна девочка не пришла, а вместо неё пришёл один мальчик, и тогда уже число девочек составило только 20% от числа всех участников. Сколько девочек и сколько мальчиков участвовало в походе?

Ответ. 4 девочки и 16 мальчиков.

Решение. Пусть изначально девочек было x человек, значит, всего в поход собиралось 4x человек. А на самом деле в поход пошло x − 1 девочек, а всего было 5·(x − 1) человек. Но общее количество участников похода не изменилось, значит, 4x=5·(x − 1). Отсюда найдем, что x=5. В походе же участвовало x − 1=4 девочки, а всего участников было 5·(x − 1)=20 человек. Тем самым мальчиков было

Задача 8.

Буратино предложил купить ириски. На что практичная Мальвина ответила: «Давай лучше купим леденцов. Купить их можно на 50% больше, а заплатить за них придётся больше только на 25%». Во сколько раз леденцы дешевле ирисок?

Ответ. В 6/5 раза.

Решение. Пусть куплено m ирисок или n леденцов. На ириски потрачено p рублей, а на леденцы q рублей. Значит, одна ириска стоит p/m рублей, а один леденец стоит q/n рублей. При этом по условию n=1,5m и 1,25p=q. Перемножая эти два уравнения, получим 1,25pn=1,5mq, откуда qm/pn=1,25:1,5=5/6. Чтобы узнать, во сколько раз леденцы дешевле ирисок, найдем отношение их цен. Это отношение равно q/n:p/m=qm/pn=5/6. Это означает, что цена леденца составляет 5/6 от цены ириски. Ириски, соответственно, стоят в 6/5 раза дороже леденцов, а леденцы во столько же раз дешевле ирисок.

Задача 9.

Известно, что среди шестиклассников каждый седьмой — любитель кино, а среди любителей кино каждый пятый — шестиклассник. Кого больше: шестиклассников или любителей кино?

Ответ. Шестиклассников больше.

Решение. На одного шестиклассника-любителя кино приходится 4 «просто любителя кино» и 6 «просто шестиклассников». Значит, шестиклассников больше, чем любителей кино.

Задача 10.

Буратино, спасаясь от преследования Дуремара, пробежал уже 1/5 км. Если ему удастся пробежать 40% этого, то до укрытия под мостом останется всего 3/7 того, что он пробежал. Сколько осталось пробежать Буратино?

Ответ. Еще 200 м.

Решение. 40% от 200 м – это 80 м. То есть если Буратино удастся пробежать еще 280 м, то до укрытия останется всего 3/7 от этих 280 метров, то есть 120 м. Значит, Буратино еще предстоит пробежать 80+120=200 м.

Задача 11*  

В трёх классах выполнялась контрольная работа. Оценки «5», «4», «3», «2» получили соответственно 28%, 35%, 25%, 12% учащихся. Сколько учащихся писали контрольную работу?

Ответ. Скорее всего, 100 (а вообще могло быть и 200, и 5000, и 3000000 – главное, чтобы число делилось на 100).

Решение. Пусть работу писали x учеников. Тогда пятерки получили 7/25·x ребят, четверки 7/20·x, тройки 1/4·x и двойки 3/25·x (см. задачу 1). Чтобы все эти числа были целыми, необходимо, чтобы число x делилось на 25, 20 и 4. Это условие выполняется, когда x делится на 100. Таким образом, ответом к задаче может служить любое число, кратное 100 (0, кстати, тоже). Но в трех классах навряд ли будет намного больше, чем 100 учеников, поэтому наиболее логичный ответ все-таки именно 100, а не 3000 и не 1024000000.

Задача 12*

Числитель дроби увеличили на 20%. На сколько процентов надо уменьшить её знаменатель, чтобы в итоге дробь возросла вдвое?

Ответ. На 40%.

Решение. Пусть наша дробь имеет вид m/n. Ее числитель увеличили на 20%, то есть в 1,2 раза. Пусть знаменатель уменьшился в x раз. Тогда 1,2m/x·n=2·m/n, откуда 1,2/x=2, x=0,6. Таким образом, знаменатель надо умножить на 0,6, то есть уменьшить на 40%.

Задача 13.

В растворе содержится 40% соли. Если добавить 120 г соли, то в растворе будет содержаться 70% соли. Сколько граммов соли было в растворе первоначально?

 Решение: Пусть x г весь первоначальный раствор, тогда

0.4x г – соли в первоначальном растворе,

(x + 120) г – стало раствора,

(0,4x + 120) г – стало соли в растворе, которая теперь составляет 70% раствора, т.е. 0,7 от всего раствора, составляем уравнение:

0,4x +120 = 0,7(x + 120), решив которое получим

x = 120

120 · 0,4 = 48 (г)

Ответ: 48 г.

 Задача 14.

Процесс очищения воды в водохранилище от содержания в ней тяжелых металлов состоит из четырех этапов. На каждом этапе содержание уменьшается на определенное количество процентов к их количеству на предыдущем этапе:

на 1-ом – на 25%

на 2-ом – на 20%

на 3-ем – на 15%

на 4-ом – на 10%

На сколько процентов в результате уменьшается их количество?

 Решение:

Пусть x – количество воды, тогда оставшееся количество тяжелых металлов после очистки:

На 1-ом этапе – 0,75x

На 2-ом этапе – 0,8 · (0,75x) = 0,6x

На 3-ем этапе – 0,85 · (0,6x) = 0,51x

На 4-ом этапе – 0,9 · (0,51x) = 0,459x.

Таким образом всего ушло x - 0,459x = 0,541x, т.е. 54,1% тяжелых металлов.

Ответ: 54,1%

  Задача 15.

В январе завод выполнил 105% месячного плана выпуска готовой продукции, а в феврале дал продукции на 4% больше, чем в январе. На сколько процентов завод перевыполнил двухмесячный план выпуска продукции?

 Решение:

Пусть x – месячный план, тогда

1,05x – выпущено в январе,

1,04 · (1,05x) = 1,092x – выпущено в феврале, а всего за два месяца выпущено

1,05x + 1,092x = 2,142x.

Таким образом двухмесячный план 2x, а фактически выполнено 2,142x, т.е.

2x – 100%

2,142x – y%

 y = (2,142x · 100) : (2x) = 107,1%, т.е. план перевыполнен на 7,1%.

 Ответ: 7,1%

 Задача 16.

 Сколько кг белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных грибов?

Решение. 1кг сушеных грибов – это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е. 1 кг : 0,1=10 кг обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных грибов, т.е. 10 кг : 0,05=20 кг

Ответ: 20 кг

Задача 17.

 Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Решение:  1) 22 . 0,1 = 2,2 (кг) - грибов по массе в свежих грибах; (0,1 это 10% сухого вещества)

2) 2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых из свежих (количество сухого вещества не изменилось, но изменилось его процентное содержание в грибах и теперь 2,2 кг это 88% или 0,88 сухих грибов).

Ответ: 2,5 кг. 

Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли. 

Задача 18.

 Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве? 

Решение: Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава. 

1) 10 + 15 = 25 (кг) - сплав;

2) 10/25 . 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;

3) 15/25 . 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве;

Ответ: 40%, 60%.

Концентрация.

Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения. 

Пример Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г. 

Решение. 300 . 0,87 = 261 (г). 

В этом примере концентрация вещества выражена в процентах. 

Отношения объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этой компоненты. 

Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1. 

Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле: К=р/100% к - концентрация вещества; р - процентное содержание вещества (в процентах). 

Задача 19

Имеется 2 сплава, в одном из которых, содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра? 

Решение: Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда получим (20 + х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4 . 20 = 8 (кг) серебра, в х кг второго сплава содержится 0,2х кг серебра, а в (20+х) кг нового сплава содержится 0,32 . (20+х) кг серебра. Составим уравнение: 

8 + 0,2х = 0,32 . (20 +х); х = 13 1/3. 

Ответ: 13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра. 

Задача 20.

 К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили? 

Решение. Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х) л, в котором содержаться 0,8 . (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ного раствора содержится 15 . 0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0,05х (л) соли.

Составим уравнение.

1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х);

х = 10.

Ответ: добавили 10 л 5%-ного раствора

Задача 21.

В бассейн проведена труба. Вследствие засорения её приток воды уменьшился на 60%. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, необходимое для заполнения бассейна

Решение. Пусть Х – объем воды, который должен поступить за время Т при притоке А в ед времени., т.е. Х=АТ. Так как приток уменьшился на 60%, т.е. стал составлять 0,4А, тогда время стало ТК. Получим АТ=0,4А*КТ, откуда К = 2,5, что составляет 250% от времени, необходимого на заполнение бассейна до засорения, т.е. время увеличилось на 150%

Ответ. 150%

Задача 22.

5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20%-ных сливок и к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какой жирности получилась смесь?

Решение. 0,35*5+0,2*4=р*(5+4+1), откуда р=0,255, что составляет 25,5%

Ответ. 25,5%

Задача 23.

Предварительно в двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшилось на 10%, а затем увеличилось на 10%. Количество воды во второй бочке сначала увеличилось на 10%, а затем уменьшилось на 10%. В какой бочке стало больше воды?
Решение. Пусть а – первоначальное количество воды в каждой из двух бочек. В первой бочке после уменьшения количества воды на 10% ее стало 0,9а; после увеличения на 10% воды стало 0,9а+0,09а=0,99а. Во второй бочке после увеличения количества воды на 10% ее стало а+0,1а=1,1а; после уменьшения на 10% воды стало 1,1а-0,11а=0,99.

0,99а=0,99а, следовательно, воды в бочках осталось поровну.

Ответ: воды в бочках осталось поровну.

Задача 24.

На сколько процентов увеличится площадь прямоугольника, если его длину увеличить на 20%, а ширину – на 10%.

Решение.  Пусть а – длина прямоугольника, а в – его ширина, тогда площадь равна а*в. После увеличения длины и ширины прямоугольника соответственно на 20% и на 10% его площадь стала равна 1,2а*1,1в=1,32ав, значит площадь прямоугольника увеличилась на 0,32ав, что составляет 32% от ав.

Ответ: площадь прямоугольника увеличилась на 32%.

Задача 25.

Три ящика наполнены орехами. Во втором ящике на 10% орехов больше, чем в первом, и на 30% больше, чем в третьем. Сколько орехов в каждом ящике, если в первом на 80 орехов больше, чем в третьем?
 Решение.
Пусть х орехов было в первом ящике, тогда в третьем (х-80) орехов, во втором ящике 1,1х или 1,3(х-80) орехов. Составим уравнение:

1) 1,3(х-80)=1,1х

1,3х-1,3*80=1,1х
1,3х-104=1,1х
1,3х-1,1х=104
0,2х=104
х=52
2) 520-80=440 (ор.) – было в третьем ящике;

3) 520*1,1=572 (ор.) – было во втором ящике.

 Ответ: 520 орехов было в первом ящике, 572 – во втором и 440 орехов – в третьем.

Задача 26.

 Число а составляет 80% числа в, а число с составляет 140% числа в. Найдите числа а, в, с, если известно, что с больше а на 72. 

 Решение.

По условию задачи имеем а=0,8в, с=1,4в, с-а=72. 

с-а=1,4в-0,8в=0,6в

0,6в=72

в=72/0,6

в=120

Найдем число а

а=0,8в
а=0,8*120
а=96
Найдем число с

с=1,4в
с=1,4*72
с=168
 Ответ: а=96, в=120, с=168.

Задача 27.

Число а составляет 75% числа в и 40% числа с. Число с на 42 больше, чем в. Найдите числа а и в.

 Решение. По условию задачи имеем а=0,75в, а=0,4с; с-в=42. Выразим в и с через а, получим в=4а/3, с=5а/2

с-в=42
5а/2 – 4а/3 = 42

15а/6 – 8а/6 = 42

7а/6=42
а=42*6/7
а=36
Найдем число в

в=4а/3=(4/3)*36=48
 Ответ: а=36; в=48.

Задача 28.

Собрали 100кг грибов. Оказалось, что их влажность составляет 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98%. Какой стала масса грибов после подсушивания?

 Решение.  По условию в 100кг грибов содержится 1 кг сухого вещества (100-0,99*100=1). Масса сухого вещества в общей массе грибов постоянна (1кг) и стала после подсушивания составлять 2%: (100-98=2), следовательно масса грибов после подсушивания стала равной 50кг (т. к. 2% - 1кг, то 100% - 50кг).

 Ответ: 50кг.

Задача 29.

В колбе было 200г 80%-го спирта. Провизор отлил из колбы некоторое количество этого спирта и затем добавил в нее столько же воды, чтобы получить 60%-ый спирт. Сколько граммов воды добавил провизор?

 Решение.  Пусть х граммов 80%-го спирта было взято из колбы, а затем добавлено такое же количество воды. Тогда «чистого» спирта в этих х граммов было 0,8х. Поэтому в колбе осталось 0,8(200-х) граммов «чистого» спирта. Отсюда процентная концентрация спирта, после добавления х граммов воды, стала равна (200*0,8-0,8х)*100/200, что по условию задачи составляет 60%. Получим уравнение:

(200*0,8-0,8х)*100/200=60
0,8(200-х)*100/200=60
0,4(200-х)=60
200-х=60/0,4
200-х=150
х=50
По условию задачи масса х взятого 80%-го спирта была равна массе добавленной воды, следовательно, провизор добавил 50 граммов воды.

 Ответ: 50 граммов.

Задача 30.

За первый год население некоторой деревни возросло на n человек, а за второй — на 300 человек. При этом за первый год население увеличилось на 300%, а за второй — на n%. Сколько жителей стало в деревне?

Ответ. 500.

Решение 1. Пусть изначально жителей в деревне было х, тогда за год число жителей в деревне стало х+n, а после второго х+n+300 человек. Известно, что за первый год число жителей увеличилось на 300%, т.е., так как 300% от х – это 3x, то  n=3x. Так же известно, что за второй год число жителей увеличилось на n%, т.е. на . Т.к. население увеличилось на 300 человек, то =300, зная, что n=3x, получим: 10000 = 4х2, значит х=50. После второго года число жителей в деревне стало х+n+300=4x+300=200+300=500.

Решение 2. Пусть изначально жителей в деревне было х, возросло на 300%, т.е. на 3x, значит, стало равно x+3x=4x. За второй год количество жителей выросло еще на n%, так как n% от 4x это , то жителей стало 4x+.

По условию за первый год количество людей увеличилось на n человек, значит, n=3x. Во второй год количество людей увеличилось на 300 человек, значит 300=. Подставляя n=3x во второе равенство получаем 300=. Преобразуем: 1002=4x2 т.е. 1002=(2x)2. Откуда x=50.

Задача 31.

Лёша, Тоша и Гоша кушали пряники. Лёша съел на 10% больше пряников, чем Тоша. А Гоша на 20% больше, чем Лёша. Во сколько раз Гоша скушал больше пряников, чем Тоша? 

Ответ. В 1,32 раза. 

Решение. Пусть Тоша съел х пряников, тогда Леша съел 1,1х пряников и Гоша съел 1,2×1,1х=1,32х пряников. Таким образом, Гоша съел в 1,32 больше пряников, чем Тоша. 

Задача 32.

Хомяк сидит на диете. Каждый день он съедает 20% имеющихся к этому дню защёчных запасов. Изначально за обеими щеками у него спрятано поровну запасов. Через сколько дней все запасы поместятся за одну щёку? 

Ответ. Через 4 дня. 

Решение. Пусть изначально у хомяка всего х запасов, за одну щеку помещается  х/2 запасов. Выясним, когда количество защёчных запасов хомяка окажется меньше х/2 (или равно х/2). После первого дня у хомяка останется 0,8х запасов, что больше х/2. После второго 0,8×0,8х=0,64х запасов, что тоже больше х/2. После третьего дня, количество запасов у хомяка станет 0,8×0,64х=0,512х, т.е. по-прежнему больше х/2. После четвертого дня количество запасов станет 0,8×0,512х=0,4096<х/2, значит, после четвертого дня хомяк сможет поместить остатки своих защечных запасов за одну щеку.

Задача 33.

Посевной участок под бурьян имеет прямоугольную форму. В рамках реструктуризации одну сторону участка увеличили на 20%, а другую уменьшили на 20%. Изменится ли в результате урожай бурьяна, и если изменится, то как? 

Ответ. Урожай уменьшится на 4%. 

Решение. Пусть длина одной стороны участка – a, другой – b. Тогда площадь S=ab. Пусть сторона a увеличилась на 20%. Тогда она увеличилась на 0,2a то есть стала равно 1,2a. Сторона b уменьшилась на 20%. Значит она уменьшилась на 0,2b и стала равной 0,8b. Площадь нового участка будет равна: Sн=1,2a×0,8b=0,96ab, т.е. 96% от первоначальной площади. 

Задача 34.

Цены на плюшевых мишек в октябре выросли на 50%, а перед Новым годом на них объявили 50% скидку. Когда мишка стоил дороже – 1 сентября или 31 декабря?

Ответ. 1 сентября.

Решение. Пусть 1 сентября мишка стоил х, в октябре стоимость мишки увеличилась на 50%, и стала х+0,5х=1,5х. Перед Новым годом цена на мишек уменьшилась на 50% и стала 1,5х-0,5×1,5х=1,5х-0,75х=0,75х, что составляет 75% от цены сентября. 

Задача 35.

Мама купила ирисок в три раза больше, чем леденцов. Федя накинулся на ириски и съел 20% ирисок, а Маша – на леденцы – и съела 10% леденцов. Какой процент конфет съели дети?

Ответ. 17,5% от всех конфет.

Решение. Пусть леденцов было х, тогда ирисок 3х, т.е. всего конфет 4х. Федя съел 20% ирисок, т.е. съел 0,2×3х=0,6х конфет. Маша съела 0,1х конфет, т.е. всего было съедено 0,7х конфет. Так как всего конфет 4х, то дети съели 0,7х÷4x=0,175 от всех конфет или 17,5% всех конфет.

Задача 36.

В семье 4 человека. Если Маше удвоят стипендию, общий доход всей семьи возрастет на 5%, если вместо этого маме удвоят зарплату - на 15%, если же зарплату удвоят папе - на 25%. На сколько процентов возрастет доход всей семьи, если дедушке удвоят пенсию?

Ответ. 55%.

Решение. Если Маше удвоят стипендию, семейный доход возрастёт на размер этой стипендии. Следовательно, Машина стипендия составляет 5% общего дохода. Аналогично, мамина зарплата составляет 15%, а папина – 25%. Оставшаяся доля 100%-5%-15%-25%=55% приходится на дедушкину пенсию. Значит, если ему удвоят пенсию, доход всей семьи возрастёт на 55%.

Задача 37.

Это же решение можно сформулировать по-другому. Если бы всем членам семьи вдруг стали платить вдвое больше, общий доход увеличился бы на 100%. Из этих 100 процентов 5 приходится на Машу, 15 – на маму, 25 – на папу, а остальные 55 – на дедушку.

В 7 "Г" классе хватает двоечников, но Вовочка учится хуже всех. Педсовет решил, что либо Вовочка должен к концу четверти исправить двойки, либо его исключат. Если Вовочка исправит двойки, то в классе будет 24% двоечников, а если его выгонят, то двоечников станет 25% . Какой процент двоечников в 7 "Г" сейчас? 

Ответ. 28% 

Решение. Пусть в классе n человек, из них k двоечников (считая Вовочку). Если Вовочка исправит двойки, то в классе останется k-1 двоечник – по условию это 24%, т.е.

0,24n=k-1                                 (1).

Если Вовочку выгонят, то в классе останется n-1 человек и из них k-1 двоечник – по условию это 25%, т.е.

0,25(n-1)=k-1                                 (2).

В равенствах (1) и (2) правые части равны, значит можно приравнять левые части: 0,24n=0,25(n-1), откуда 0.01n=0.25, то есть n=25. Подставим это значение в равенство (1) и найдем k: k=7. Значит сейчас в классе k/n * 100% = 28% двоечников.

Задача 38.

Крокодил Гена погружался на дно. Вначале он погрузился на 1 метр и испугался. Потом он набрался храбрости и преодолел еще половину оставшейся глубины. Затем, после небольшой передышки, он погрузился еще на 1 метр. До дна уже оставалось 30% всей глубины. На какую глубину погружался Гена?

Ответ. 7,5 метров.

Решение. Пусть вся глубина x, тогда Сначала Гена погрузился на 1 метр, а потом на половину оставшегося пути, т.е. на (х-1)/2, затем Гена погрузился еще на 1 метр и осталось до дна 30% т.е. 0,3х. Составим уравнение: 1+(х-1)/2+1+0,3х=х, откуда х=7,5. 

Площади фигур по формуле Пика.

Как определить площадь сложной фигуры? Если она нарисована на клетчатой бумаге, и площадь ее ненулевая,  все вершины имеют целые координаты, а стороны не пересекают друг друга – то удобно воспользоваться формулой Пика.

Если обозначить:  В – количество целочисленных точек внутри этой фигуры, Г  – количество целочисленных точек на ее границе, S – площадь фигуры, то

S=В+Г/2-1

Рассмотрим следующую фигуру:

Формула Пика – определение числа узлов внутри и на границе фигуры.

Обозначим все внутренние целочисленные точки красными кружками, а те, что на границах – синими. Целочисленные – это те, что лежат на пересечениях сетки (в ее узлах). Считаем те и другие: В=12, Г=4.  Определим теперь площадь по формуле: S=В+Г/2-1=12+2-1=13.

Давайте проверим правильность наших расчетов, тем более, что здесь это просто: рассчитаем площадь квадрата, обведенного красным, и вычтем площади цветных треугольников:

Вычисление площади при помощи отрезания “лишнего”

Тогда площадь квадрата Sкв=36, площадь голубого треугольника 6, площадь зеленого – 2, площадь фиолетового 15.

Площадь белого треугольника тогда: S=36-6-15-2=13.

Рассмотрим такую фигуру:

Еще один пример определения площади сложной фигуры с помощью формулы Пика

Для нее S=В+Г/2-1=4+3-1=6.

Проверим:

Отрежем лишнее

Тогда площадь прямоугольника Sпр=20, площадь голубого треугольника 5, площадь зеленого – 4, площадь фиолетового 5.

Площадь искомой фигуры тогда: S=20-5-4-5=6.

Третья фигура:

Еще один пример работы с формулой Пика

Для нее S=В+Г/2-1=4+4-1=7.

Проверим: площадь треугольников, составляющих нашу фигуру: голубого – 4, зеленого – 1, оранжевого – 2. Сумма их площадей S=4+1+2=7.

Расчет площади с помощью разрезания фигуры

Еще две фигуры:

Узлы решетки внутри и на границе фигуры

Площадь первой: S=10+2-1=11,

второй – S=10+5-1=14.