Для СА-21(3.12.21) Са-22(2.12.21)
план-конспект по математике
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
1. Решение система трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом обратной матрицы Пусть задана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными Если основная матрица системы линейных уравнений является квадратной и невырожденной, то систему можно решить матричным способом (с помощью обратной матрицы). Записав систему в матричном виде, получим решение X системы уравнений: А- матрица, составленная из коэффициентов при переменных x. y. z . Х- матрица – столбец составленная из переменных величин. В- матрица – столбец составленная из свободных членов.
Пример 1. Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом обратной матрицы: Решение. Запишем систему в матричном виде , где Решение матричного уравнения будет иметь вид: Найдем обратную матрицу Сначала найдем главный определитель матрицы:
Теперь будем находить алгебраические дополнения:
Теперь будем находить алгебраические дополнения: Тогда
Теперь будем находить алгебраические дополнения: Тогда
Теперь будем находить алгебраические дополнения: Тогда
Теперь будем находить алгебраические дополнения: Тогда
Так как , то умножим обратную матрицу на матрицу столбец :
Так как , то умножим обратную матрицу на матрицу столбец :
Так как , то умножим обратную матрицу на матрицу столбец : Ответ:
Так как , то умножим обратную матрицу на матрицу столбец : Проверка: Ответ:
Метод решения систем линейных уравнений методом Крамера .
Габриель Крамер швейцарский математик . 31.08.1704 – 04.01.1752 Крамер родился в семье франкоязычного врача. С раннего возраста показал большие способности в области математики. В 18 лет защитил диссертацию. В 20-летнем возрасте Крамер выставил свою кандидатуру на должность преподавателя на кафедре философии Женевского университета. Самая известная из работ Крамера —трактат «Введение в анализ алгебраических кривых» 1750 году. Для доказательства Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем: метод Крамера
Метод Крамера Решение системы квадратных линейных уравнений A X = B , где количество неизвестных равно количеству уравнений данной системы, с невырожденной квадратной матрицей А - единственно и имеет вид : Х 1 = Δ 1 Δ , Х 2 = Δ 2 Δ , Х 3 = Δ 3 Δ , .... , Х n = Δ n Δ Где : Х 1, Х 2 , Х 3 , …, Х n - неизвестные переменные, значения которых надо найти, а Δ ; Δ 1 ; Δ 2 ; Δ 3 ; .... ; Δ n – определители, которые нужно составить по методу Крамера, а затем вычислить
Δ = а 11 а 12 ... a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ..................... a m 1 a m 2 … a mn - определитель системы, определитель основной матрицы. Δ 1 = b 1 а 12 ... a 1 n b 2 a 22 … a 2 n ..................... b m a m 2 … a mn -получается из главного определителя заменой 1-го столбца столбцом свободных членов. 1) Составим главный определитель - Δ 2 ) Составим определитель - Δ 1
3 ) Составим определитель - Δ 2 Δ 2 = а 11 b 1 ... a 1 n a 21 b 2 … a 2 n ..................... a m 1 b m … a mn -получается из главного определителя заменой 2 -го столбца столбцом свободных членов. 3 ) Составим определитель - Δ n Δ n = а 11 а 12 ... b 1 a 21 a 22 … b 2 ..................... a m 1 a m 2 … b m -получается из главного определителя заменой n -го столбца столбцом свободных членов.
Рассмотрим пример 2 Задание. Решите систему линейных уравнений методом Крамера 2Х 1 – Х 2 = 0 Х 1 + 3Х 2 = 7 Решение. Основная матрица системы имеет вид 1) Вычислим ее определитель А = -1 1 3 Δ = -1 1 3 = 6 + 1 = 7 Δ - отличен от нуля система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.
2) Составим и вычислим необходимые определители Δ 1 = 0 -1 7 3 = 7 ; Δ 2 = = 14 ; 0 1 7 3) Находим неизвестные переменные по формулам Х 1 = Δ 1 Δ = 7 7 = 1 Х 2 = Δ 2 Δ = 14 7 = 2 Ответ: Х 1 = 1, Х 2 = 2.
Рассмотрим пример 3 Задание. Решите систему линейных уравнений методом Крамера