Задания школьного этапа всероссийской олимпиады школьников по математике 2021-2022 учебный год
олимпиадные задания по математике (9 класс)

Задания школьного этапа  всероссийской олимпиады  школьников

по математике

2021-2022 учебный год

9 класс

Время, отводимое на решение задач  120 минут

Максимальное количество баллов – 35 баллов

1.  Натуральное число называется палиндромом, если оно не изменяется при записывании его цифр в обратном порядке (например, 121 — палиндром,  а 2017 — нет). Найдите все представления числа 2017 в виде суммы двух палиндромов.
2. Постройте график функции: .

3. Решите уравнение:    2х2-3х =2х +1

4. Два спортсмена бегают по одной замкнутой дорожке. Скорость каждого постоянна, и на пробег всей дорожки один тратит на 5 с меньше другого. Если они начнут пробег с общего старта одновременно и в одном направлении, то окажутся рядом через 30с. Через какое время они встретятся, если побегут одновременно с общей линии старта в противоположных направлениях?

5.  В равностороннем треугольнике АВС со стороной a точки M, N, P, Q расположены так, как показано на рисунке. Известно, что MA + AN = PC + CQ = a. Найдите величину угла NOQ.

Решение заданий

школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике

2021-2022 учебный год

9 класс

Решение каждой задачи оценивается Жюри из 7 баллов в соответствии с критериями и методикой оценки, разработанной центральной предметно-методической комиссией:

1. Натуральное число называется палиндромом, если оно не изменяется при записывании его цифр в обратном порядке (например, 121 — палиндром,  а 2017 — нет). Найдите все представления числа 2017 в виде суммы двух палиндромов.

Решение: 

Например, 2017=2002+15

Так как 2002 не подходит (остаётся 15, а это не палиндром), значит, большее слагаемое имеет вид 1AA1 (два трёхзначных числа в сумме дают меньше 2000).

Тогда второе слагаемое должно заканчиваться на 6, так как оно равно 2017 – 1AA1,т. е. имеет вид 6B6. Итак, 2017 – 1AA1 = 6B6. Получаем 2017 − 1001 − 606 = AA0 + B0 ,т. е. 41 = AA + В,  откуда AA = 33, В = 8.

Ответ: 2017 = 1331 + 686.

2. Постройте график функции: .

Решение:   =  х + 6;     ОДЗ: х1

3.Решите уравнение:    2х2-3х =2х +1

Решение:  ОДЗ: х2 -3х ≥0,  х(х-3) ≥0 возможны два случая:

            х ≥ 0,        или        х ≤ 0,

            х-3 ≥ 0;        х-3 ≤ 0;

Итак, х Є (-∞;0]U[3;+∞).

Решаем уравнение 2х2-3х =2х +1, представляя 2х2= х2 + х2,

х2 + х2-3х =2х +1,  то ( х2 = 1, получаем два уравнения:  х=-1 и  х=1, решаем их, при этом первое уравнение имеет корень х= -0,2, а во  втором уравнении

х=-1не является корнем уравнения, сделав проверку.

Значит, решением уравнения является х= -0,2.

Ответ: х= -0,2.

4.Два спортсмена бегают по одной замкнутой дорожке. Скорость каждого постоянна, и на пробег всей дорожки один тратит на 5 с меньше другого. Если они начнут пробег с общего старта одновременно и в одном направлении, то окажутся рядом через 30с. Через какое время они встретятся, если побегут одновременно с общей линии старта в противоположных направлениях?

Решение:

5. В равностороннем треугольнике АВС со стороной a точки M, N, P, Q расположены так, как показано на рисунке. Известно, что MA + AN = PC + CQ = a. Найдите величину угла NOQ.

Решение:

        С

        Р

        О        Q        

        М

                 А        N           В

По условию задачи AN = a – AM, следовательно, AN = MC.

Аналогично AP = QC. Из этих равенств и равенства ∠A = ∠C = 60° следует, что ∆ANP = ∆CMQ. Отсюда ∠ANP = ∠QMC, ∠APN = ∠MQC.

 По теореме о сумме углов треугольника ∠ANP + ∠APN = 120°, поэтому ∠OMP + ∠OPМ = 120°, а значит, ∠MOP = 60°. Углы MOP и NOQ вертикальные, поэтому ∠NOQ = 60°.

Ответ. 60°