Задания для подготовки к ЕГЭ база и профиль
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (11 класс)

Вариант № 926

1. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование.

При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

2. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

3. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

4. Платежный терминал в течение рабочего дня может выйти из строя. Вероятность этого события 0,07. В торговом центре независимо друг от друга работают два таких платёжных терминала. Найдите вероятность того, что хотя бы один из них в течение рабочего дня будет исправен.

5. Найдите корень уравнения:        6. Найдите корень уравнения 

7. Найдите корень уравнения           8. Решите уравнение 

9. Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью  м/с под острым углом  к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью  (м/с), где  кг  — масса скейтбордиста со скейтом, а  кг  — масса платформы. Под каким максимальным углом  (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,3 м/с?

10. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы:  где t  — время в минутах,  К,  К/мин  К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1700 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

11. Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу  тонн представляют собой две пустотелые балки длиной  метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой  где m  — масса экскаватора (в тоннах), l  — длина балок в метрах, s  — ширина балок в метрах, g  — ускорение свободного падения (считайте  м/с). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 250 кПа. Ответ выразите в метрах.

12. В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора  Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением  Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе  кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением  (с), где   — постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 62,4 с. Ответ дайте в киловольтах.

13. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 900 рублей, через два года был продан за 16 929 рублей.

14. Катер в 10:00 вышел из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость катера равна 11 км/ч.

15. На изготовление 780 деталей первый рабочий тратит на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 840 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?

16. Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в  На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в  Найдите скорость баржи на пути из A в  Ответ дайте в км/ч.

Вариант № 138

1. Биатлонист четыре раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые два раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

2. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,6?

3. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая  — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая  — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

4. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

5. Найдите корень уравнения 

6. Найдите корень уравнения:  В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

7. Решите уравнение          8. Найдите корень уравнения 

9. Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне  через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу воды  кг/с. Проходя по трубе расстояние x, вода охлаждается от начальной температуры  до температуры  причeм  где   — теплоeмкость воды,   — коэффициент теплообмена, а   — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 84 м.

10. Груз массой 0,5 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону  где t  — время с момента начала колебаний, T  =  2 с  — период колебаний,  м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле  где m  — масса груза в килограммах, υ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 46 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

11. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону  где   — начальная масса изотопа, t  — время, прошедшее от начального момента, T  — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 148 мг. Период его полураспада составляет 4 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 37 мг.

12. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой  где  − температура нагревателя (в градусах Кельвина),  − температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя  КПД этого двигателя будет не меньше  если температура холодильника  К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

13. Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

14. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути  — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

15. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй  — 12% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

16. На изготовление 391 детали первый рабочий затрачивает на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 460 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Вариант № 257

1. Прямая y  =  −5x + 2 параллельна касательной к графику функции y  =  x2 + 5x + 3. Найдите абсциссу точки касания.

2. На рисунке изображён график   — производной функции  и шесть точек на оси абсцисс: x1, x2, ..., x6. В скольких из этих точек функция  возрастает?

3. На рисунке изображён график функции y  =  F(x)  — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f(x)  =  0 на отрезке [−2; 4].

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t  =  3 с.

5. На рисунке изображены графики функций  и  которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

6. На рисунке изображён график функции  Найдите a.

7. На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b и c  — целые. Найдите 

8. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

9. Найдите точку минимума функции 

10. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

11. Найдите точку максимума функции 

12. На рисунке изображён график функции  Найдите 

Вариант № 357

1. На рисунке изображены график функции y  =  f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

2. Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени  с.

3. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

4. На рисунке изображён график функции  и одной из первообразных некоторой функции  определённой на интервале  Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения  на отрезке 

5. На рисунке изображён график функции вида  где числа a, b и c  — целые. Найдите 

6. На рисунке изображён график функции  Найдите значение f(−6).

7. На рисунке изображён график функции  Найдите a.

8. На рисунке изображён график функции  Найдите значение x, при котором 

9. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

10. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

11.

Найдите точку максимума функции 

12. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

Вариант № 398

1.  а)  Решите уравнение 

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

2.  а)  Решите уравнение 

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

3.  а)  Решите уравнение 

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

4.  Решите неравенство: 

5.  Решите неравенство: 

6.  Решите неравенство: 

7.  Решите неравенство 

8.  31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая  — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

9.  31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

10.  Ольга хочет взять в кредит 100 000 рублей под 10% годовых. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. На какое минимальное количество лет Ольга может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24 тысяч рублей?

11.  В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 4,2 млн. руб. Условия возврата таковы: 

— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года. 

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.

— в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 4,2 млн. руб. 

— суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.

Найдите r, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 6,1  млн. рублей.

12.  В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S  — целое число. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

− в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей

 Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей.

13.  В июле 2023 года планируется взять кредит в банке на 6 лет в размере S тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 16% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо одним платежом выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Вариант № 042

1.  На борту самолёта 28 кресел расположены рядом с запасными выходами и 16  — за перегородками, разделяющими салоны. Все эти места удобны для пассажира высокого роста. Остальные места неудобны. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 400 мест.

2.  В группе шесть человек, среди них  — Михаил и Олег. Группу случайным образом делят на 3 пары. Найдите вероятность того, что Михаил и Олег окажутся в одной паре.

3.  Фабрика выпускает сумки. В среднем на 92 качественных сумки приходится 8 сумок, имеющих скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что выбранная в магазине сумка окажется с дефектами.

4.  В сборнике билетов по географии всего 30 билетов, в 12 из них встречается вопрос по теме «Регионы России». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме «Регионы России».

5.  У Дины в копилке лежит 7 рублёвых, 5 двухрублёвых, 6 пятирублёвых и 2 десятирублёвых монеты. Дина наугад достаёт из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма составит менее 60 рублей.

6.  Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

7.  Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,5. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше трёх попыток.

8.  Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

9.  При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем 810 г, равна 0,97. Вероятность того, что масса окажется больше, чем 790 г, равна 0,91. Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем 790 г, но меньше, чем 810 г.

10.  При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование.

При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

11.  Чтобы выйти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей  — 1 очко, если проигрывает  — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

12.  Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,4 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,9?

13.  Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая  — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая  — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

14.  Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

15.  В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

16.  При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем  — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.

Вариант № 187

1.  Из множества натуральных чисел от 58 до 82 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 6?

2.  Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 40 докладов  — в первый день 16 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

3.  Для подтверждения скидки магазин отправляет покупателю на телефон сообщение с трёхзначным кодом, все цифры которого различны и нечётны. У Пети разряжен телефон. Какова вероятность того, что он случайно угадает код? Ответ округлите до тысячных.

4.  В группе шесть человек, среди них  — Михаил и Олег. Группу случайным образом делят на 3 пары. Найдите вероятность того, что Михаил и Олег окажутся в одной паре.

5.  Фабрика выпускает сумки. В среднем на 92 качественных сумки приходится 8 сумок, имеющих скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что выбранная в магазине сумка окажется с дефектами.

6.  Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,4 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,9?

7.  В одном ресторане в г. Тамбове администратор предлагает гостям сыграть в «Шеш-беш»: гость бросает одновременно две игральные кости. Если он выбросит комбинацию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит комплемент от ресторана: чашку кофе или десерт бесплатно. Какова вероятность получить комплемент? Результат округлите до сотых.

8.  Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

9.  При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем  — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.

10.  Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени»?

11.  В магазине три продавца. Каждый из них занят обслуживанием клиента с вероятностью 0,7 независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты.

12.  При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем 810 г, равна 0,97. Вероятность того, что масса окажется больше, чем 790 г, равна 0,91. Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем 790 г, но меньше, чем 810 г.

13.  В ящике четыре красных и два синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

14.  Платежный терминал в течение рабочего дня может выйти из строя. Вероятность этого события 0,07. В торговом центре независимо друг от друга работают два таких платёжных терминала. Найдите вероятность того, что хотя бы один из них в течение рабочего дня будет исправен.

15.  В коробке 8 синих, 6 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?

16.  В городе 48 % взрослого населения  — мужчины. Пенсионеры составляют 12,6 % взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15 %. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».

Вариант № 320

1.  Максим с папой решил покататься на колесе обозрения. Всего на колесе 30 кабинок, из них 11 − синие, 7 − зеленые, остальные  — оранжевые. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Максим прокатится в оранжевой кабинке.

2.  В сборнике билетов по химии всего 35 билетов, в 7 из них встречается вопрос по теме "Кислоты". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Кислоты".

3.  В группе шесть человек, среди них  — Михаил и Олег. Группу случайным образом делят на 3 пары. Найдите вероятность того, что Михаил и Олег окажутся в одной паре.

4.  Фабрика выпускает сумки. В среднем на 92 качественных сумки приходится 8 сумок, имеющих скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что выбранная в магазине сумка окажется с дефектами.

5.  Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.

6.  Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

7.  При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование.

При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

8.  Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.

9.  Стрелок стреляет по одному разу по каждой из пяти одинаковых мишеней. Вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,8. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно четыре мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно три мишени»?

10.  Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,56. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

11.  В ящике три красных и три синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

12.  Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,6?

13.  При изготовлении подшипников диаметром 72 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на 0,01 мм, равна 0,97. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 71,99 мм или больше чем 72,01 мм.

14.  В одном ресторане в г. Тамбове администратор предлагает гостям сыграть в «Шеш-беш»: гость бросает одновременно две игральные кости. Если он выбросит комбинацию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит комплемент от ресторана: чашку кофе или десерт бесплатно. Какова вероятность получить комплемент? Результат округлите до сотых.

15.  Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 7 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 6 очков, в случае ничьей  — 1 очко, если проигрывает  — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.

16.  Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства  — яйца высшей категории, а из второго хозяйства  — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Вариант № 402

1.  В сборнике билетов по истории всего 25 билетов, в 5 из них встречается вопрос по теме "Великая Отечественная Война". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Великая Отечественная Война".

2.  В кармане у Серёжи было четыре конфеты  — «Ласточка», «Красная шапочка», «Маска» и «Взлётная», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Серёжа случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Красная шапочка».

3.  Фабрика выпускает сумки. В среднем на 92 качественных сумки приходится 8 сумок, имеющих скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что выбранная в магазине сумка окажется с дефектами.

4.  В группе шесть человек, среди них  — Михаил и Олег. Группу случайным образом делят на 3 пары. Найдите вероятность того, что Михаил и Олег окажутся в одной паре.

5.  Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 60 выступлений  — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 24 выступления, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

6.  Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 17 пассажиров, равна 0,87. Вероятность того, что окажется меньше 14 пассажиров, равна 0,58. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 14 до 16.

7.  Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени»?

8.  Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,4 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,9?

9.  Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °C, равна 0,91. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °C или выше.

10.  В городе 52 % взрослого населения  — мужчины. Пенсионеры составляют 17,8 % взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 10 %. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».

11.  В одном ресторане в г. Тамбове администратор предлагает гостям сыграть в «Шеш-беш»: гость бросает одновременно две игральные кости. Если он выбросит комбинацию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит комплемент от ресторана: чашку кофе или десерт бесплатно. Какова вероятность получить комплемент? Результат округлите до сотых.

12.  При изготовлении подшипников диаметром 75 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на 0,01 мм, равна 0,961. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 74,99 мм или больше чем 75,01 мм.

13.  В ящике четыре красных и два синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

14.  В торговом центре два одинаковых автомата продают жвачку. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится жвачка, равна 0,4. Вероятность того, что жвачка закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня жвачка останется в обоих автоматах.

15.  При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование.

При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

16.  Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10 разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом очередном Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Маши уже есть две разные принцессы из коллекции. Какова вероятность того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить ещё 2 или 3 шоколадных яйца?

Вариант № 206

1.  Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 71 м/с?

8.  Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 5 м/с?

13.   На рисунке изображен график производной функции  определенной на интервале  Найдите точку экстремума функции  на интервале 

14.  Прямая  является касательной к графику функции  Найдите ординату точки касания.

15.  Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t  =  3 с.

16.  Найдите наименьшее значение функции  на отрезке [6; 8].

17.  Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

18.  Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

19.  Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

20.  Найдите наименьшее значение функции 

21.  Найдите точку минимума функции 

22.  Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

23.  Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

24.  Найдите наименьшее значение функции 

25.  Найдите точку минимума функции 

26.  Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

27.  Найдите точку максимума функции 

28.  Найдите точку максимума функции 

29.  Найдите точку минимума функции 

30.  Найдите точку минимума функции 

Вариант № 426

7.  На рисунке изображён график некоторой функции  Функция   — одна из первообразных функции  Найдите площадь закрашенной фигуры.

8.  Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

12.  На рисунке изображён график некоторой функции  Функция   — одна из первообразных функции  Найдите площадь закрашенной фигуры.

13.  Прямая  является касательной к графику функции  Найдите a.

16.  Найдите точку минимума функции 

17.  Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

18.  Найдите точку минимума функции 

19.  Найдите наибольшее значение функции 

20.  Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

21.  Найдите наибольшее значение функции  на отрезке [−26; −0,5].

22.  Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

23.  Найдите точку максимума функции 

24.  Найдите точку максимума функции 

25.  Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

26.  Найдите точку минимума функции 

27.  Найдите точку минимума функции 

28.  Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

29.  Найдите точку максимума функции 

30.  Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

Вариант 6363

3.  На рисунке изображён график некоторой функции  Функция   — одна из первообразных функции  Найдите площадь закрашенной фигуры.

8.  Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t  =  4 с.

10.   На рисунке изображён график функции y  =  f(x), определённой на интервале (−3; 8). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

11.  На рисунке изображён график дифференцируемой функции  определённой на интервале (−1; 10). Найдите количество решений уравнения  на отрезке [4; 8].

12.  Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени  с.

13.  Прямая y  =  −4x − 8 является касательной к графику функции y  =  x3 − 3x2 − x − 9. Найдите абсциссу точки касания.

14.   На рисунке изображён график   — производной функции  определённой на интервале (−6; 5). В какой точке отрезка [−1; 3] функция  принимает наибольшее значение?

15.  Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

16.  Найдите точку максимума функции 

17.  Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

18.  Найдите точку минимума функции 

19.  Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

20.  Найдите точку минимума функции 

21.  Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

22.  Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

23.  Найдите наибольшее значение функции  на отрезке [−18; −2].

24.  Найдите точку максимума функции 

25.  Найдите точку минимума функции 

26.  

Найдите точку максимума функции 

27.  Найдите точку максимума функции 

28.  Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

29.  Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

30.  Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

Вариант № 871

1.  Прямая  параллельна касательной к графику функции  Найдите абсциссу точки касания.

4.  Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t  =  1 с.

8.  Материальная точка движется прямолинейно по закону  (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

15.  Материальная точка движется прямолинейно по закону  где х  — расстояние от точки отсчёта (в метрах), t  — время движения (в секундах). Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t  =  2 с.

16.  Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

17.  Найдите наибольшее значение функции 

18.  Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

19.  Найдите точку максимума функции 

20.  Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

21.  Найдите точку максимума функции 

22.  Найдите точку максимума функции 

23.  Найдите наибольшее значение функции 

24.  Найдите точку максимума функции 

25.  Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

26.  Найдите точку минимума функции 

27.  Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

28.  Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

29.  Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

30.  Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

Вариант №40

1.  В доме, в котором живёт Тамара, 9 этажей и несколько подъездов. Нумерация квартир начинается с №1. На каждом этаже находится по 3 квартиры. Тамара живёт в квартире №85. В каком подъезде живёт Тамара?

2.  В университетскую библиотеку привезли новые учебники по обществознанию для двух курсов, по 130 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 8 полок, на каждой полке помещается 30

учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?

3.  На автозаправке клиент отдал кассиру 1000 рублей и залил в бак 24 литра бензина. Цена бензина 36 рублей за литр. Сколько рублей сдачи должен получить клиент?

4.   Летом килограмм клубники стоит 60 рублей. Мама купила 2 кг 200 г клубники. Сколько рублей сдачи она должна получить с 200 рублей?

5.  В среднем за день во время конференции расходуется 80 пакетиков чая. Конференция длится 8 дней. В пачке чая 100 пакетиков. Какого наименьшего количества пачек чая хватит на все дни конференции?

6.  В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в 9 из них встречается вопрос по теме «Круглые черви». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Круглые черви».

7.  Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,4. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

8.  На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,25. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

9.  

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 4 часа.

10.  На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?

11.   План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 10 м × 10 м. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в м2.

12.  На рисунке изображён план местности (шаг сетки плана соответствует расстоянию 1 км на местности). Оцените, скольким квадратным километрам равна площадь озера Каменное, изображённого на плане. Ответ округлите до целого числа.

17.   Дачный участок имеет форму квадрата, стороны которого равны 30 м. Размеры дома, расположенного на участке и имеющего форму прямоугольника,  — 8 м × 5 м. Найдите площадь оставшейся части участка. Ответ дайте в квадратных метрах.

18.  Какой наименьший угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 11:00?

19.  Человек стоит на расстоянии 7,6 м от столба, на котором висит фонарь, расположенный на высоте 6 м. Длина тени человека равна 3,8 м. Какого роста человек (в метрах)?

20.  От столба к дому натянут провод длиной 17 м, который закреплён на стене дома на высоте 4 м от земли (см. рис.). Найдите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 15 м. Ответ дайте в метрах.

21.  Найдите значение выражения 

22.  Найдите значение выражения 

23.  Найдите значение выражения 

24.  Найдите значение выражения 

25.  Найдите значение выражения 

26.  Ивану Кузьмичу начислена заработная плата 20 000 рублей. Из этой суммы вычитается налог на доходы физических лиц в размере 13%. Сколько рублей он получит после уплаты подоходного налога?

27.  Только 50% из 7000 выпускников города правильно решили задачу № 8. Сколько выпускников из этого города правильно решили задачу № 8?

28.  Площадь земель фермерского хозяйства, отведённых под посадку сельскохозяйственных культур, составляет 24 гектара и распределена между зерновыми и овощными культурами в отношении 5 : 3 соответственно. Сколько гектаров занимают овощные культуры?

29.  Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 22 500 рублей. Какую сумму он получит после уплаты налогов? Ответ дайте в рублях.

30.  Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 17 400 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

31.  Найдите корень уравнения 

32.  Решите уравнение 

33.  Найдите корень уравнения 

34.  Найдите корень уравнения 

35.  Решите уравнение  Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Вариант № 123

1.  На бензоколонке один литр бензина стоит 32 руб. 60 коп. Водитель залил в бак 30 литров бензина и купил бутылку воды за 48 рублей. Сколько рублей сдачи он получит с 1500 рублей?

2.  В пачке 250 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 700 листов. Какого наименьшего количества пачек бумаги хватит на 8 недель?

3.  По тарифному плану «Просто как день» компания сотовой связи каждый вечер снимает со счёта абонента 22 рубля. Если на счёте осталось меньше 22 рублей, то на следующее утро номер блокируют до пополнения счёта. Сегодня утром у Лизы на счёте было 400 рублей. Сколько дней (включая сегодняшний) она сможет пользоваться телефоном, не пополняя счёта?

4.  Света отправила SMS-cообщения с новогодними поздравлениями своим 19 друзьям. Стоимость одного SMS-сообщения 1 рубль 90 копеек. Перед отправкой сообщения на счету у Светы было 37 рублей. Сколько рублей останется у Светы после отправки всех сообщений?

5.  Диагональ экрана телевизора равна 113 дюймам. Выразите диагональ экрана в сантиметрах, если в одном дюйме 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.

6.  В чемпионате по гимнастике участвуют 80 спортсменок: 23 из Аргентины, 29 из Бразилии, остальные  — из Парагвая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Парагвая.

7.  Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,4. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

8.  Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,3. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две такие батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся неисправными.

9.  

Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 36 шашистов, среди которых 15 спортсменов из России, в том числе Евгений Коротов. Найдите вероятность того, что в первом туре Евгений Коротов будет играть с каким-либо шашистом из России.

10.  На семинар приехали 3 учёных из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Каждый учёный подготовил один доклад. Порядок докладов определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад учёного из России.

16.   Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил относительно земли равна 1,65 м, а наибольшая h2 равна 2,65 м. Ответ дайте в метрах.

17.  Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Первая комната имеет размеры 4 м × 4 м, вторая  — 4 м × 3,5 м, кухня имеет размеры 4 м × 3,5 м, санузел  — 2 м × 1,5 м. Найдите площадь всей квартиры (в квадратных метрах).

18.  На рисунке показано, как выглядит колесо с 7 спицами. Сколько будет спиц в колесе, если угол между соседними спицами в нём будет равен 15°?

19.  Масштаб карты такой, что в одном сантиметре 2,5 км. Чему равно расстояние между городами A и B (в км), если на карте оно составляет 12 см?

20.  Человек стоит на расстоянии 4,2 м от столба, на котором висит фонарь, расположенный на высоте 5 м. Тень человека равна 2,8 м. Какого роста человек (в метрах)?

21.  Найдите значение выражения 

22.  Найдите значение выражения 

23.  Найдите значение выражения 

24.  Найдите значение выражения 

25.  Найдите значение выражения 

26.  Число больных гриппом в школе уменьшилось за месяц в пять раз. На сколько процентов уменьшилось число больных гриппом?

27.  Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 16 000 рублей. Какую сумму он получит после уплаты налога на доходы? Ответ дайте в рублях.

28.  Призёрами городской олимпиады по математике стали 36 учащихся, что составило 6% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

29.  В магазине вся мебель продаётся в разобранном виде. Покупатель может заказать сборку мебели на дому, стоимость которой составляет 5% от стоимости купленной мебели. Шкаф стоит 3200 рублей. Во сколько рублей обойдётся покупка этого шкафа вместе со сборкой?

30.  Цена на электрический чайник была повышена на 24% и составила 2480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

31.  Решите уравнение 

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

32.  Найдите корень уравнения 

33.  Найдите корень уравнения 

34.  Найдите корень уравнения 

35.  Найдите корень уравнения 

Вариант № 188

1.  Для ремонта требуется 57 рулонов обоев. Какое наименьшее количество пачек обойного клея нужно для такого ремонта, если 1 пачка клея рассчитана на 5 рулонов?

2.  Поезд Омск–Новосибирск отправляется в 18:37, а прибывает в 3:37 на следующий день (время московское). Сколько часов поезд находится в пути?

3.  Сырок стоит 7 рублей 20 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 60 рублей?

4.  Аня купила проездной билет на месяц и сделала за месяц 30 поездок. Сколько рублей она сэкономила, если проездной билет на месяц стоит 207 рублей, а разовая поездка  — 20 рублей?

5.  В школе есть четырёхместные туристические палатки. Какое наименьшее число палаток нужно взять в поход, в котором участвует 25 человек?

6.  Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,05. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две такие батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся неисправными.

7.  Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

8.  Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,08. Найдите вероятность того, что в течение года обе лампы перегорят.

9.  На семинар приехали 6 учёных из Норвегии, 5 из России и 9 из Испании. Каждый учёный подготовил один доклад. Порядок докладов определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад учёного из России.

10.  На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 6 прыгунов из России и 8 прыгунов из Китая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что первым будет выступать прыгун из Китая.

11.   На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см  1 см изображена трапеция (см. рис.). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

12.   Найдите площадь ромба, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

13.  План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1 м × 1 м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

14.   Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

15.  На рисунке изображён план местности (шаг сетки плана соответствует расстоянию 1 км на местности). Оцените, скольким квадратным километрам равна площадь озера Шушелово, изображённого на плане. Ответ округлите до целого числа.

16.  Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 метров и 30 метров. Хозяин планирует обнести его изгородью и отгородить такой же изгородью квадратный участок со стороной 15 метров (см. рис.). Найдите суммарную длину изгороди в метрах.

17.  Колесо имеет 12 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

18.  Масштаб карты такой, что в одном сантиметре 2,5 км. Чему равно расстояние между городами A и B (в км), если на карте оно составляет 12 см?

19.   Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил относительно земли равна 1,65 м, а наибольшая h2 равна 2,65 м. Ответ дайте в метрах.

20.  На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,8 м, если длина его тени равна 1 м, а высота фонаря равна 9 м?

21.  Найдите значение выражения 

22.  Найдите значение выражения 

23.  Найдите значение выражения 

24.  Найдите значение выражения 

25.  Найдите значение выражения 

26.  Клиент взял в банке кредит 12000 рублей на год под 13% годовых. Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в банк ежемесячно?

27.  В школе французский язык изучают 162 учащихся, что составляет 18% от числа всех учащихся школы. Сколько учащихся в школе?

28.  В магазине вся мебель продаётся в разобранном виде. Покупатель может заказать сборку мебели на дому, стоимость которой составляет 10% от стоимости купленной мебели. Шкаф стоит 3100 рублей. Во сколько рублей обойдётся покупка этого шкафа вместе со сборкой?

29.  В школе девочки составляют 51% числа всех учащихся. Сколько в этой школе всего учащихся, если девочек в ней на 16 человек больше, чем мальчиков?

30.  Цена на электрический чайник была повышена на 22% и составила 2196 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

31.  Найдите корень уравнения  Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

32.  

Найдите корень уравнения 

33.  Найдите корень уравнения 

34.  Найдите корень уравнения 

35.  Найдите корень уравнения 

Вариант № 260

1.  В доме, в котором живет Петя, один подъезд. На каждом этаже находится по 6 квартир. Петя живет в квартире № 50. На каком этаже живет Петя?

2.  Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 3500 рублей. До установки счётчиков за воду платили 1100 рублей ежемесячно. После установки счётчиков ежемесячная оплата воды стала составлять 900 рублей. Через какое наименьшее количество месяцев экономия по оплате воды превысит затраты на установку счётчиков, если тарифы на воду не изменятся?

3.  На день рождения полагается дарить букет из нечётного числа цветов. Розы стоят 100 рублей за штуку. У Вани есть 780 рублей. Из какого наибольшего числа роз он может купить букет Маше на день рождения?

4.  В доме, в котором живет Вася, один подъезд. На каждом этаже находится по 4 квартиры. Вася живет в квартире №71. На каком этаже живет Вася?

5.  Принтер печатает одну страницу за 12 секунд. Какое наибольшее количество страниц можно напечатать на этом принтере за 8 минут?

6.  На олимпиаде по русскому языку участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух аудиториях сажают по 110 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 400 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

7.  По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

8.  Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 50 выступлений  — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 14 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?

9.  Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже 36,8 °C, равна 0,71. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °C или выше.

10.  В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 15 из Норвегии, 18 из Дании, остальные  — из Швеции. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Швеции.

11.  На рисунке изображён план местности (шаг сетки плана соответствует расстоянию 1 км на местности). Оцените, скольким квадратным километрам равна площадь озера Шлинцо, изображённого на плане. Ответ округлите до целого числа.

12.   Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

13.   Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

14.   План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат 1м × 1м. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

15.   Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

16.   Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту l этого столба, если наименьшая высота h1 перил относительно земли равна 1,5 м, а наибольшая h2 равна 2,5 м. Ответ дайте в метрах.

17.  На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 4 м, а длинное плечо— 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?

18.  На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,6 м, если длина его тени равна 8 м, высота фонаря 5 м?

19.   На рисунке показано, как выглядит колесо с 7 спицами. Сколько будет спиц в колесе, если угол между соседними спицами в нём будет равен 20°?

20.   Дачный участок имеет форму квадрата, сторона которого равна 40 м. Дом, расположенный на участке, имеет на плане форму прямоугольника, стороны которого равны 9 м и 8 м. Найдите площадь оставшейся части участка, не занятой домом. Ответ дайте в квадратных метрах.

21.  Найдите значение выражения 

22.  Найдите значение выражения 

23.  Найдите значение выражения 

24.  Найдите значение выражения 

25.  Найдите значение выражения 1500 − 40 · 30 − 64.

26.  В сентябре 1 кг слив стоил 75 рублей. В октябре сливы подорожали на 40%. Сколько рублей стоил 1 кг слив после подорожания в октябре?

27.  Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 73:27. Других деревьев в парке нет. Сколько процентов деревьев в парке составляют лиственные?

28.  Цена на электрический чайник была повышена на 24% и составила 2480 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

29.  В спортивном магазине любой свитер стоит 500 рублей. Сейчас магазин проводит акцию: при покупке двух свитеров  — скидка на второй свитер 20%. Сколько рублей придётся заплатить за покупку двух свитеров в период действия акции?

30.  Мобильный телефон стоил 3500 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 2800 рублей. На сколько процентов была снижена цена?

31.  Найдите корень уравнения 

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

32.  Найдите корень уравнения 

33.  Решите уравнение 

34.  Найдите корень уравнения 

35.  Найдите корень уравнения 

Вариант № 352

1. Стоимость проездного билета на месяц составляет 650 рублей, а стоимость билета на одну поездку  — 28 рублей. Аня купила проездной и сделала за месяц 45 поездок. На сколько рублей больше она бы потратила, если бы каждый раз покупала билет на одну поездку?

2.Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 10 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 15 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 8 литров маринада?

3. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 50 выступлений  — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 18 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?

4. Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,02. Найдите вероятность того, что в течение года обе лампы перегорят.

5. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

6. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

7. Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 метров и 30 метров. Хозяин планирует обнести его изгородью и отгородить такой же изгородью квадратный участок со стороной 15 метров (см. рис.). Найдите суммарную длину изгороди в метрах.

8. Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Кухня имеет размеры 3,5 м на 3,5 м, вторая комната  — 3,5 м на 4 м, санузел имеет размеры 1,5 м на 1,5 м, длина коридора 11 м. Найдите площадь первой комнаты (в квадратных метрах).

9. Найдите значение выражения 

10. Найдите значение выражения 

11. Ивану Кузьмичу начислена заработная плата 20 000 рублей. Из этой суммы вычитается налог на доходы физических лиц в размере 13%. Сколько рублей он получит после уплаты подоходного налога?

12. В школе мальчики составляют 57% числа всех учащихся. Сколько всего учащихся в этой школе, если мальчиков в ней на 98 человек больше чем девочек?

13. Найдите значение выражения 

14. Найдите значение выражения 

15.

Найдите корень уравнения 

16. Найдите корень уравнения 

17. Имеются два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй  — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 67% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 77% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

18. На изготовление 486 деталей первый рабочий затрачивает на 9 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 621 детали. Известно, что первый рабочий за час делает на 4 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Вариант № 376

1. В розницу один номер еженедельного журнала стоит 21 рубль, а полугодовая подписка на этот журнал стоит 450 рублей. За полгода выходит 25 номеров журнала. Сколько рублей можно сэкономить за полгода, если не покупать каждый номер журнала отдельно, а получать журнал по подписке?

2. Для ремонта требуется 46 рулонов обоев. Какое наименьшее количество пачек обойного клея нужно для такого ремонта, если 1 пачка клея рассчитана на 7 рулонов?

3. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,5. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две такие батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся неисправными.

4. В чемпионате по гимнастике участвуют 64 спортсменки: 20 из Японии, 28 из Китая, остальные  — из Кореи. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Кореи.

5. На рисунке изображён план местности (шаг сетки плана соответствует расстоянию 1 км на местности). Оцените, скольким квадратным километрам равна площадь озера Великое, изображённого на плане. Ответ округлите до целого числа.

6. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

7. Какой наименьший угол в градусах образуют минутная и часовая стрелки в семь часов утра?

11. В школе девочки составляют 51% числа всех учащихся. Сколько в этой школе всего учащихся, если девочек в ней на 16 человек больше, чем мальчиков?

12.Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Мария Константиновна получила 7830 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Марии Константиновны?

15. Решите уравнение  Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

16. Найдите корень уравнения 

17. Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 67 км/ч, а вторую половину времени  — со скоростью 79 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

18. На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Вариант № 891

1. Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы:  где t  — время в минутах,  К,  К/мин  К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1870 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

2. Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

3. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

4. Решите неравенство 

5. а)  Решите уравнение 

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

Вариант № 9

1. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 154 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

2. Найдите точку минимума функции 

3. а)  Решите уравнение 

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

4. Решите неравенство: 

5. Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени  моль воздуха объeмом  л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма  Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением  (Дж), где  − постоянная, а  − температура воздуха. Какой объeм  (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10 350 Дж?

Вариант № 429

1. Фабрика выпускает сумки. В среднем 3 сумки из 25 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

2. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 75 выступлений  — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 21 выступление, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

3.На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 10 прыгунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что пятнадцатым будет выступать прыгун из России.

4. В магазине три продавца. Каждый из них занят обслуживанием клиента с вероятностью 0,7 независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты.

5. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев. Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование.

При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

6. Две трубы наполняют бассейн за 48 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 1 час. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

7. Катер в 10:00 вышел по течению реки из пункта А в пункт В, расположенный в 36 км от А. Пробыв 2 часа в пункте В, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 17:00 того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/час), если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

8. Из пункта А и пункт В, расстояние между которыми 72 км, одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Известно, что за час мотоциклист проезжает на 18 км больше, чем велосипедист. Найдите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 2 часа позже мотоциклиста. Ответ дайте в км/ч.

9. а)  Решите уравнение: 

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

10. Решите неравенство 

11. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Вариант № 530

1. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,25. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

2. Биатлонист 3 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 2 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.

3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй  — решка).

4. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений  — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?

5. На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней. Юля наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

6. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 30 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 80 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 2 часа 40 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

7. Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй  — 15 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 34% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 46% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

8. Первый садовый насос перекачивает 9 литров воды за 4 минуты, второй насос перекачивает тот же объём воды за 6 минут. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 30 литров воды?

9. Васе надо решить 98 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день Вася решил 8 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 7 дней.

10. а)  Решите уравнение 

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

11. Решите неравенство: 

вариант № 249

1.

Один острый угол прямоугольного треугольника в 4 раза больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

2.

Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 4 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

3.

Угол ACO равен 24°. Его сторона CA касается окружности с центром в точке О. Сторона CO пересекает окружность в точках B и D (см. рис.). Найдите градусную меру дуги AD окружности, заключенной внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.

4. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите 

5. На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые. Найдите тангенс угла B2A2C2.

6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

7. В фирме такси в данный момент свободно 35 машин: 11 красных, 17 фиолетовых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.

8. Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 40 докладов  — в первый день 16 докладов, остальные распределены поровну между вторым и третьим днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

9. В магазине три продавца. Каждый из них занят обслуживанием клиента с вероятностью 0,2 независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты.

10. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.

11. Найдите корень уравнения: 

12. Найдите корень уравнения 

13. Найдите корень уравнения 

14.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле:  где l  — длина ребра куба в метрах,   — плотность воды, а g  — ускорение свободного падения (считайте ). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 321 126,4 Н? Ответ выразите в метрах.

15. Некоторая компания продаёт свою продукцию по цене p = 400 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют υ = 200 руб., постоянные расходы предприятия f = 600 000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле g(q) = q(p − υ) − f. Определите месячный объём производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 900 000 руб.

16.

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота  — 10.

17. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

18. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону  где   — начальная масса изотопа, t  — время, прошедшее от начального момента, T  — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 40 мг. Период его полураспада составляет 10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг.

Вариант № 371

1.

Один острый угол прямоугольного треугольника на 32° больше другого. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

2. Основания трапеции равны 7 и 18. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

3. В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 82°. AD, BE и CF  — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

4. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен  Найдите образующую конуса.

5. В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 17, а сторона основания равна 8. Найдите высоту пирамиды.

6. Диагональ куба равна  Найдите объём куба.

7. На экзамене 45 билетов, Федя не выучил 9 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

8. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 7 из них встречается вопрос по теме "Производная". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Производная".

9. Игорь с папой решил покататься на колесе обозрения. Всего на колесе сорок кабинок, из них 21 − серые, 13 − зеленые, остальные  — красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Игорь прокатится в красной кабинке.

10. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

11. Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой отдельной попытке, равна 0,5. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше трёх попыток.

12. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.

13. Найдите корень уравнения 

14.

Решите уравнение  В ответе напишите наименьший положительный корень.

15. Найдите корень уравнения 

16. Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле  где  rпок  — средняя оценка магазина покупателями, rэкс  — оценка магазина, данная экспертами, K  — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно 7, их средняя оценка равна 0,32, а оценка экспертов равна 0,22.

17. Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой  (в килограммах) от температуры  до температуры  (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы  кг. Он определяется формулой  где  Дж/(кгК)  — теплоемкость воды,  Дж/кг  — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть  кг воды от  до кипения, если известно, что КПД кормозапарника не больше  Ответ выразите в килограммах.

18.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону  где t  — время в минутах, мин  — начальная угловая скорость вращения катушки, а мин  — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки  достигнет 4050°. Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.

Вариант № 429

1.

Острые углы прямоугольного треугольника равны 24° и 66°. Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

2.

В треугольнике ABC угол A равен 46°, углы B и C  — острые, высоты BD и CE пересекаются в точке  Найдите угол  Ответ дайте в градусах.

3. В треугольнике ABC  AH − высота,   Найдите 

4. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 16. Найдите его объём.

5.

Во сколько раз изменится объём конуса, если его высота уменьшится в 12 раз, а радиус основания не изменился.

6.

Одна из граней прямоугольного параллелепипеда  — квадрат. Диагональ параллелепипеда равна  и образует с плоскостью этой грани угол 45°. Найдите объем параллелепипеда.

7. Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 80 выступлений  — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 14 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

8. В кармане у Серёжи было четыре конфеты  — «Ласточка», «Красная шапочка», «Маска» и «Взлётная», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Серёжа случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Красная шапочка».

9. В чемпионате по гимнастике участвуют 25 спортсменок: 12 из России, 7 из Украины, остальные  — из Белоруссии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Белоруссии.

10. При двукратном бросании игральной кости в сумме выпало 8 очков. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпало 6 очков?

11. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?

12. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,98. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

13.

Решите уравнение 

14. Найдите корень уравнения 

15.

Найдите корень уравнения 

16. Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью  м/с под острым углом  к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью  (м/с), где  кг  — масса скейтбордиста со скейтом, а  кг  — масса платформы. Под каким максимальным углом  (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,25 м/с?

17. Наблюдатель находится на высоте h, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле  где  км  — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 4 километров? Ответ выразите в метрах.

18. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле  где h  — расстояние в метрах, t  — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,2 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,1 с? Ответ выразите в метрах.

вариант № 451

1.

Острые углы прямоугольного треугольника равны 62° и 28°. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

2. Найдите центральный угол AOB, если он на  больше вписанного угла ACB, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

3.

В треугольнике ABC   Найдите высоту 

4. Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высота уменьшится в 3 раза, а радиус основания останется прежним?

5. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

6. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен  Найдите образующую конуса.

7. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 66 теннисистов, среди которых 14 спортсменов из России, в том числе Антон Переделкин. Найдите вероятность того, что в первом туре Антон Переделкин будет играть с каким-либо теннисистом из России.

8. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент остановились. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 3, но не дойдя до отметки 6.

9. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 3 прыгуна из Чехии и 2 прыгуна из Боливии. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что двенадцатым будет выступать прыгун из Чехии.

10. В городе 56 % взрослого населения  — мужчины. Пенсионеры составляют 12,8 % взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 10 %. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».

11. В викторине участвуют 6 команд. Все команды разной силы, и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых трёх играх победила команда А. Какова вероятность того, что эта команда выиграет четвёртый раунд?

12. Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?

13. Найдите корень уравнения: 

14. Найдите корень уравнения 

15. Решите уравнение 

16. Груз массой 0,05 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону  где t  — время с момента начала колебаний, T = 12 с  — период колебаний,  м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле  где m  — масса груза в килограммах, υ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 11 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

17. Наблюдатель находится на высоте h, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле  где  км  — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 8 километров? Ответ выразите в метрах.

18. Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе показателей информативности In, оперативности Op, объективности публикаций Tr, а также качества сайта Q. Каждый отдельный показатель  — целое число от 0 до 4.

Составители рейтинга считают, что объективность ценится вчетверо , а информативность публикаций  — вдвое дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид

Найдите, каким должно быть число A, чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило рейтинг 1.