Алгоритмы квадрата и куба
статья по математике (7 класс)

РФ ДВФО Приморский край

КОНСПЕКТ ФАКУЛЬТАТИВА ПО МАТЕМАТИКЕ

АЛГОРИТМЫ КУБА И КВАДРАТА

Часть первая:

геометрические интерпретации степени квадрата и куба, алгоритмы постройки квадрата и куба, разбор исходных арифметических уравнений.

Для 7– 11 классов средних общеобразовательных школ

Алексей Владимирович Левченко

Приморский край.

2023 год

Факультатив по степени куба и квадрата, геометрический и арифметический алгоритмы построения куба и квадрата.
Автор: Алексей Владимирович Левченко
Цель: закрепление понятий степени квадрата и куба, арифметические и геометрические алгоритмы построения квадрата и куба, исходные формулы.

С алгоритмом постройки квадрата, мы уже знакомились на факультативах по Пифагоровым последовательностям. Кратко повторим, с некоторыми дополнениями:

Основными уравнениями третьей и второй степени, где все переменные – натуральные числа, является квадратное уравнение, вида:

 у² = х² + 2х + 1

и кубическое уравнение, вида:

y³ = x³ + 3x² + 3x + 1

Геометрические интерпретации этих уравнений:

Любой исходный квадрат x², с натуральной стороной икс, может быть надстроен до квадрата y² – со стороной х+1, минимальным числом единичных квадратов, в их количестве:

2x + 1

Надстройка:

1. Две смежных стороны по икс каждая, исходного квадрата х², достраиваются точно такими же,  всего – 2х.

2. Промежуток в месте схождения сторон, достраивается новой вершиной – 1.

Иными словами уравнение описывает то, как из любого квадрата х², получается следующий квадрат у², у которого сторона больше на единицу.

Любой исходный куб x³, с натуральной стороной икс каждая, может быть надстроен до куба y³ – со стороной х+1, минимальным числом единичных кубов, в их количестве:

3x² + 3x + 1.

Отметим, что если предыдущих – «нулевого» квадрата, и «нулевого» куба не существовало (х=0), то закономерно – самый первый квадрат во всей последовательности – единичный, со стороной один; и самый первый куб во всей последовательности кубов – так же единичный, со стороной один.

[Нулевой, виртуальный «квадрат» (и «куб»), со стороной, равной нулю – точка.

Но это разумеется – только допущение, чистая условность.

Точка это точка, и ничего более.

Это важно.

Отметим: надстройки от точки – до первого, единичного квадрата, и первого единичного куба, так же как и все последующие надстройки, подчиняются и алгоритму, и формулам].

Все остальные квадратные и кубические уравнения, являются частными случаями от исходных.

Например алгебраическое уравнение второй степени, вида:

аx² + bx + c = 0; a≠0; где коэффициенты a, b, c, это вещественные, или комплексные числа.

И алгебраическое уравнение третьей степени, вида:

ax³ + bx² + cx + d = 0; a≠0; где коэффициенты такие же*.

С позиции именно  геометрии двумерного квадрата, трёхмерного куба – в модели реального пространства, эти уравнения не имеют решений, поскольку прямо предполагают невозможное существование виртуальных, псевдо-геометрических фигур, предшествующих не имеющей размеров точке, [нулевому «квадрату» и «кубу»].

Смысл ненулевых уравнений: 

y² = аx² + bx + c,  

y³ = ax³ + bx² + cx + d,

где натуральные коэффициенты жёстко не фиксированы как в исходных >> 

у² = х² + 2х + 1,  

y³ = x³ + 3x² + 3x + 1

(либо не являются результатом сложения двух и более надстроек на фигуру):

=>

то в этих случаях, рассчитываются геометрические фигуры, лишённые некоторого количества единичных квадратов [недостроенные квадраты], лишённые некоторого количества единичных кубов, [недостроенные кубы], либо с их излишком, включая разумеется прямоугольники, параллелепипеды, и иные геометрические формы.

Возможно поэтому, большинство известных математиков древности, оперировали разными квадратными и кубическими уравнениями, но тогда ещё не приравненными к нулю.

Дополнительно рассмотрим алгоритм постройки куба, и квадрата (как грани куба), начиная с виртуальных, «квадрата» и «куба» с нулевыми размерами – от геометрической точки.

Начнём с линейки кубов:

1) «Нулевой куб», точка, надстраивается до размеров следующего куба – одним единичным кубом, со стороной один, 1×1×1 (1³)

Определим нумерацию элементов в последовательности кубов: «нулевой куб», будет у нас под номером Ноль, единичный куб, под номером Один.        

Разница между размерами кубов – ровно единица, (т.е. – единичный куб).

Разницы между именно надстройками для кубов, здесь пока нет, поскольку до нулевого объекта, точки, «надстраивать» было совершенно нечего, и нечем.

2) Надстроим единичный куб, №1, до размеров следующего №2, 2×2×2 (2³):        

-- к одной грани единичного куба, присоединяем такой же куб;

-- к смежной (!) грани тоже. 

-- к верхней так же.

-- заполняем четырьмя единичными кубами, промежутки между уже имеющимися кубами:

куб 2³ готов.

-- подсчитываем: для надстройки, использовано 7 единичных кубов.

То есть: разница между новым кубом 2³ и предыдущим 1³, ровно 7.

Разница между самими надстройками:

-- точку надстраивали одним кубом, а единичный куб – семью, 7-1=6.        

3) Надстраиваем куб №2,  2³, до следующего, №3: 3³:

-- к боковой грани куба, 2², плюсуем такую же, объёмную (!) грань из единичных кубов 2².

-- к смежной грани тоже.

-- к верхней так же.

-- заполняем получившиеся промежутки между гранями – ('впадинами' прямоугольного сечения) – тремя объёмными 'сторонами', длиной разумеется по два единичных куба каждая.

-- заполняем одним единичным кубом место для вершины, куб 3³ готов.

-- подсчитываем: для надстройки, использовано 19 единичных кубов.

То есть: разница между новым кубом 3³ и предыдущим 2³, ровно 19.

Разница между самими надстройками:

-- 1³, надстраивали 7 кубами, а 2³ – девятнадцатью, 19-7=12.

-- таким образом: арифметическое выражение этой надстройки: 6×2+7.

4) Надстраиваем куб №3,  3³, до следующего, №4: 4³:

-- к боковой грани куба, 3², плюсуем такую же, объёмную 'грань' из единичных кубов 3².

-- к смежной грани тоже.

-- к верхней так же.

-- заполняем получившиеся промежутки между гранями – (впадинами прямоугольного сечения) – тремя объёмными 'сторонами', длиной разумеется по три единичных куба каждая.

-- заполняем одним единичным кубом место для вершины, куб 4³ готов.

-- подсчитываем: для надстройки, использовано 37 единичных кубов.

То есть: разница между новым кубом 4³ и предыдущим 3³, ровно 37.

Разница между самими надстройками:

-- 2³, надстраивали 19 кубами, а 3³ – тридцатью семью, 37-19=18.

-- таким образом: выражение этой надстройки: 6×3+19 =>

=> сумма, [произведения > коэффициента шесть на сторону предыдущего куба] – с величиной предыдущей надстройки.

5) Надстраиваем куб №4,  4³, до следующего, №5: 5³:

-- к боковой грани куба, 4², плюсуем такую же, объёмную 'грань' из единичных кубов 4².

-- к смежной грани тоже.

-- к верхней так же.

-- заполняем получившиеся промежутки между гранями – (впадинами прямоугольного сечения) – тремя объёмными 'сторонами', длиной разумеется по четыре единичных куба каждая.

-- заполняем одним единичным кубом место для вершины, куб 5³ готов.

-- подсчитываем: для надстройки, использовано 61 единичных куба.

То есть: разница между новым кубом 5³ и предыдущим 4³, ровно 61.

Разница между самими надстройками:

-- 3³, надстраивали 37 кубами, а 4³ – шестьюдесятью одним, 61-37=24.

-- таким образом: выражение этой надстройки: 6×4+37 =>

=> сумма, [произведения > коэффициента шесть на сторону предыдущего куба] – с величиной предыдущей надстройки.

В силу правил арифметики, равенства сторон куба, все вышеуказанные соотношения, неуклонно соблюдаются для всей бесконечной линейки последовательных кубов, и надстроек для них.

То есть:

-- любая одна надстройка на куб – всегда нечётная.

-- разница между самими надстройками – всегда чётная

--  одна надстройка, увеличивает сторону куба на единицу.

-- каждая последующая надстройка, больше предыдущей на 6x, где шесть – это постоянный коэффициент, равный разнице между надстройками единичного и нулевого кубов. Переменная x, это длина стороны предыдущего куба.

-- Поэтому, увеличение надстроек, являет собой прогрессию, формула которой:

Sc = 6х + k 

где Sc [superstructure cube – надстройка для куба],

х – сторона надстраиваемого куба;

k – величина предыдущей надстройки.

Другая равнозначная формула надстройки куба, нам уже известна:

3x²+3x+1.

Формирование линейки последовательных квадратов, аналогична:

смежные стороны надстраиваются такими же, и соединяются новой вершиной –. одним единичным квадратом.

Формулы были выведены нами на предыдущих факультативах:

х² = 2у+1, где игрек – сторона надстраиваемого квадрата, 1 – постоянный коэффициент, (геометрически, единичный квадрат новой вершины);

икс – сторона предыдущего квадрата;

2у+1 – непосредственно вся надстройка.

-- принципиальная разница между надстройками квадрата и куба состоит в том, что некоторые надстройки 'квадрата до квадрата' – могут являться натуральными квадратами (см. Пифагоровы тройки), а надстройка 'куба до куба' – кубом никогда не является.

Эти неизменные зависимости, а именно:

-- любой натуральный квадрат – всегда является надстройкой для другого, вычисленного для этой цели натурального квадрата (Пифагоровы тройки);

-- два квадрата, участвующие в таком слиянии, всегда разной величины.

И никогда – равной, из чего следует невозможность получить натуральный квадрат, при суммировании двух одинаковых натуральных квадратов. Если не добавить единичных.

-- любой натуральный куб – никогда не может являться надстройкой ни для какого натурального куба. Равно как и любое количество надстроек, не будет кубом.

Последнее, хорошо видно из формулы куба:

x³ + 3x² + 3x + 1 = y³;

где

3x² + 3x + 1 

это надстройка на куб x³, для формирования куба y³, у которого сторона стала равной х+1.

Посмотрим, может ли сама надстройка всё же – быть кубом?

Возьмём её арифметически, и предположим равенство с неким произвольным кубом а³.

Получим выражение:

3x² + 3x + 1 = а³.

Или ещё нагляднее с переносом:

а³ – 3x² – 3x – 1 = 0

Теперь видно:

какие бы натуральные величины переменных ни взять – равенство категорически невозможно: всегда будет мешать «лишняя» единица.

Она же, (в виде больших чисел) в любых суммах надстроек – не позволит приравнять к нулю и любые другие, всевозможные варианты сумм двух кубов.