Задачи по теме "Центральные и вписанные углы".
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс)

Задачи по теме «Центральные и вписанные углы»

1. Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.

2. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.

3.

Найдите градусную меру центрального ∠MON, если известно, NP  — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°.

4.

Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.

5.

Найдите градусную меру ∠ACB, если известно, что BC является диаметром окружности, а градусная мера центрального ∠AOC равна 96°.

6.

В окружности с центром O AC и BD  — диаметры. Угол ACB равен 26°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

7.

Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?

8.

Точки A и B делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 9:11. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах.

9.

В угол величиной 70° вписана окружность, которая касается его сторон в точках A и B. На одной из дуг этой окружности выбрали точку C так, как показано на рисунке. Найдите величину угла ACB.

10.

Величина центрального угла AOD равна 110°. Найдите величину вписанного угла ACB. Ответ дайте в градусах.

11.

Точки A, B, C и D лежат на одной окружности так, что хорды AB и СD взаимно перпендикулярны, а ∠BDC = 25°. Найдите величину угла ACD.

12.

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 48°.

13.

Точка О  — центр окружности, ∠AOB = 84° (см. рис.). Найдите величину угла ACB (в градусах).

14.

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что  Длина меньшей дуги AB равна 63. Найдите длину большей дуги.

15.

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA  =  38°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

16.

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC  =  15° и ∠OAB  =  8°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

17. На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB  =  66°. Длина меньшей дуги AB равна 99. Найдите длину большей дуги.

18.

В угол C величиной 83° вписана окружность с центром O, которая касается сторон угла в точках A и B. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

19.

Сторона AC треугольника ABC содержит центр описанной около него окружности. Найдите , если . Ответ дайте в градусах.

20.

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 30°. Ответ дайте в градусах.

21. В угол C величиной 157° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O  — центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

22.

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 6,5. Найдите AC, если 

23.

AC и BD  — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 36°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

24.

Площадь круга равна 90. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 60°.

ОТВЕТЫ

1. Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60°. Найдите радиус окружности.

Решение. Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный, его боковые стороны равны радиусу.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть AOB равен x, тогда x + 60° + 60° = 180°, где x = 60°. Треугольник, у которого все углы равны,  — равносторонний треугольник; значит, радиус равен 6.

Ответ: 6.

2. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла OAB.

Решение. Вписанные углы ВСD и ВАD опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны. Тем самым, угол OAB  =  30°.

Ответ: 30.

3.

Найдите градусную меру центрального ∠MON, если известно, NP  — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°.

Решение. Треугольник MON — равнобедренный. Тогда ∠MON = 180° − 2·18° = 144°.

Ответ: 144.

4.

Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.

Решение. Дуга FD, не содержащая точку Е, равна 360° − 150° − 68° = 142°, поэтому ∠DEF = 71°.

Ответ: 71.

5.

Найдите градусную меру ∠ACB, если известно, что BC является диаметром окружности, а градусная мера центрального ∠AOC равна 96°.

Решение. Так как ∠AOC и ∠AOB  — смежные, ∠AOB = 180° − ∠AOC = 84°. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается, поэтому градусная мера дуги AB равна 84°. Угол ACB  — вписанный и равен половине дуги, на которую опирается, поэтому ∠ACB = 42°.

Ответ: 42.

Приведем решение Артура Ахметьянова.

Треугольник AOC равнобедренный, поскольку AO  =  OC как радиусы окружности, тогда

6.

В окружности с центром O AC и BD  — диаметры. Угол ACB равен 26°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение. Угол ACB  — вписанный, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то есть AОВ = 52°. Угол ВОD  — развернутый, поэтому угол AOD равен 180° − 52° = 128°.

Ответ: 128.

7.

Прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?

Решение. Пусть R  — радиус описанной окружности. Так как окружность описана вокруг прямоугольного треугольника, то ее центр лежит на середине гипотенузы. Таким образом, гипотенуза равна 2R.

По теореме Пифагора имеем:

Ответ: 6,5.

8.

Точки A и B делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 9:11. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах.

Решение. Дуги окружности относятся как 9:11, что в сумме дает 20 частей. Поэтому длина меньшей дуги составляет  от всей окружности, тем самым, она равна . Так как угол AOB  — центральный, то он равен той дуге на которую он опирается. Таким образом, .

Ответ: 162.

9.

В угол величиной 70° вписана окружность, которая касается его сторон в точках A и B. На одной из дуг этой окружности выбрали точку C так, как показано на рисунке. Найдите величину угла ACB.

Решение. Угол ACB  — вписанный, он равен половине дуги AB. Угол АОВ  — центральный, опирающийся на ту же дугу. Проведём радиусы ОА и ОВ в точки касания. Сумма углов четырёхугольника AOBD равна 360°. Поэтому

Ответ: 55.

10.

Величина центрального угла AOD равна 110°. Найдите величину вписанного угла ACB. Ответ дайте в градусах.

Решение. Угол AOB смежный с углом AOD, поэтому AOB = 180° − 110° = 70°. Центральный угол AOB и вписанный угол ACB опираются на одну дугу. Поэтому 

Ответ: 35.

11.

Точки A, B, C и D лежат на одной окружности так, что хорды AB и СD взаимно перпендикулярны, а ∠BDC = 25°. Найдите величину угла ACD.

Решение. Треугольник BOD  — прямоугольный, сумма его острых углов равна 90°. Поэтому ∠ABD = ∠OBD = 90° − 25° = 65°. Углы ABD и ACD опираются на одну дугу, поэтому эти углы равны. Таким образом, ∠ACD = 65°.

Ответ: 65.

12.

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Найдите градусную меру угла C треугольника ABC, если угол AOB равен 48°.

Решение. Угол AOB является центральным углом, ACB  — вписанным. Оба угла опираются на одну и ту же дугу, следовательно, угол ACB в два раза меньше угла AOB. Тем самым, он равен 24°.

Ответ: 24.

13.

Точка О  — центр окружности, ∠AOB = 84° (см. рис.). Найдите величину угла ACB (в градусах).

Решение. Вписанный угол ACB равен половине центрального угла AOB, опирающегося на ту же дугу, поэтому он равен 42°.

Ответ: 42.

14.

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что  Длина меньшей дуги AB равна 63. Найдите длину большей дуги.

Решение. Пусть длина большей дуги AB равна  Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере, поэтому имеет место отношение:

Ответ: 747.

15.

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA  =  38°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

Решение. Угол NBA  — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую он опирается. Следовательно, дуга AN  =  2∠NBA  =  2 · 38°  =  76°. Диаметр AB делит окружность на две равные части, поэтому величина дуги ANB равна 180°. Откуда дуга NB  =  180° − 76°  =  104°. Угол NMB  — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую он опирается, то есть равен 104°/2  =  52°.

Ответ: 52.

16.

Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC  =  15° и ∠OAB  =  8°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

Решение. Проведём радиус OB. Рассмотрим треугольник AOB: AO  =  OB, следовательно, углы ∠OAB = ∠ABO  =  8°. Рассмотрим треугольник BOC: BO  =  OC, следовательно, ∠BCO = ∠OBC = ∠ABC − ∠ABO  =  15° − 8°  =  7°.

Ответ: 7.

Приведём другое решение.

Угол ABC  — вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Следовательно, величина дуги ADC равна 30°. Дуги ADC и ABC вместе составляют полную окружность, поэтому дуга ABC равна 360° − 30°  =  330°. Рассмотрим угол AOC четырёхугольника AOCB, он центральный, опирается на дугу ABC, поэтому он равен 330°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, откуда ∠ BCO  =  360° − ∠ AOC − ∠ ABC − ∠ OAB  =  360° − 330° − 15° − 8°  =  7°.

Примечание.

Внимательный читатель заметит, что угол AOC по данным задачи является острым, в то время как на рисунке он тупой. Очевидно, что это не влияет на справедливость решения  — задачу можно решить и вовсе без рисунка. Поэтому мы не стали менять тот рисунок, который был дан авторами задания.

17. На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB  =  66°. Длина меньшей дуги AB равна 99. Найдите длину большей дуги.

Решение. Пусть длина большей дуги AB равна  Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере, поэтому имеет место отношение:

Ответ: 441.

18.

В угол C величиной 83° вписана окружность с центром O, которая касается сторон угла в точках A и B. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Решение. Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания, поэтому углы CAO и OBC равны 90°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, откуда:

∠AOB  =  360° −∠CAO − ∠OBC − ∠ACB  =  360° − 90° − 90° − 83°  =  97°.

Ответ: 97.

19.

Сторона AC треугольника ABC содержит центр описанной около него окружности. Найдите , если . Ответ дайте в градусах.

Решение. Так как AC  — диаметр окружности, то дуга AC равна сумме дуг AB и BC и равна 180°. А так как углы ACB и BAC  — вписанные и опираются на эти дуги, то их сумма равна , а значит, 

Ответ: 15.

20.

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 30°. Ответ дайте в градусах.

Решение. Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны  — прямой. Таким образом, угол ACB равен 90°. Таким образом:

Ответ: 60

21. В угол C величиной 157° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B, точка O  — центр окружности. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Решение. Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания, поэтому углы CAO и OBC равны 90°. Сумма углов четырёхугольника равна 360°, откуда:

∠AOB  =  360° −∠CAO − ∠OBC − ∠ACB  =  360° − 90° − 90° − 157°  =  23°.

Ответ: 23.

22.

Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 6,5. Найдите AC, если 

Решение. Известно, что если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то угол напротив этой стороны  — прямой. Таким образом, угол C - прямой. Тогда по теореме Пифагора найдем AC:

Ответ: 5.

23.

AC и BD  — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 36°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение. Угол ACB  — вписанный, опирается на дугу AB, поэтому он равен половине дуги AB, то есть величина дуги AB равна 2 · 36°  =  72°. Поскольку BD  — диаметр, градусная мера дуги BAD равна 180°. Градусная мера дуги AD равна разности градусных мер дуг BAD и AB: 180° − 72°  =  108°. Угол AOD  — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, он равен 108°.

Ответ: 108.

24.

Площадь круга равна 90. Найдите площадь сектора этого круга, центральный угол которого равен 60°.

Решение. Площадь сектора круга, центральный угол которого равен 60°, равна шестой части площади круга. Поэтому

Ответ: 15.