Логические задачи с ответами 6 класс
олимпиадные задания по математике (6 класс)

Олимпиадные задачи
6 класс

1. Арифметика

1. На карточках записаны цифры: 1, 2, 0. Из этих карточек составлены числа и записано неверное равенство. Покажите, как, переместив только одну карточку, сделать равенство верным.

Ответ: 101 – 102 = 1

2. МУХА + УХА + ХА + А = 2000.

Решение: Со всей определенностью можно утверждать, что А = 5, и М = 1 или 2. Допустим А = 0, тогда Х · 3 должно оканчиваться на 0. Этого не может быть, так как при умножении любого числа на 3 результат не оканчивается на 0. В таком случае число Х = 6, так как при А = 5 и Х · 3 должно оканчиваться на 8. Сумма У + У должна оканчиваться на 8. Это возможно при У = 4 или 9. Итак, У = 4. М может быть равным только 1. Ответ:1465 + 465 + 65 + 5 = 2000.

3. Квадрат натурального числа состоит из цифр 0; 2; 3; 5. Найти его.

Решение: Квадрат числа не может оканчиваться цифрами 2 или 3, или одним нулём. Значит, последняя цифра равна 5, тогда цифра десятков равна 2. Следовательно, искомое число 3025 = 552.

4. АТУ+ИАЗ=ИИТЕ
НЕГ:ИОГ=Е
ПАУ-НЗ=ППА

Каждая буква здесь обозначает определенную цифру. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры. Математические знаки показывают действия, которые производятся и по горизонтали и по вертикали. Определив числовое значение каждой буквы, расставьте буквы соответственно их числовому значению — от 0 до 9. При этом получится математический термин.
Решение: Скорее всего, И=1, А = 9, Г=0 или Г=5. Значит, 9ТУ + 19З = 11ТЕ. Значит, У+З=1Е, в то же время из последнего примера П9У-НЗ=ПП9, имеем что У-З=9, то есть У=6,З=7 или У=7,З=8. Пусть У=7,З=8, тогда Е=5, а значит Г=0. Тогда из Н50 : 1О0=5, получим, что О=3, Н=6. Рассмотрим П97-68=ПП9 , П=2. Тогда Т=4. Итак, Г=0, И=1, П=2, О=3, Т=4, Е=5, З=6, А=9. Ответ: Гипотеза.

5. Кассир продал все билеты в первый ряд кинотеатра, причем по ошибке на одно из мест было продано два билета. Сумма номеров мест на всех этих билетах равна 857. На какое место продано два билета?

Решение: Выясним, сколько мест могло быть в первом ряду. Во-первых, их не больше 40, так как сумма натуральных чисел от 1 до 41 равна 861. Во-вторых, их не меньше 40, так как сумма натуральных чисел от 1 до 39 равна 780, и даже после прибавления к ней 39, результат будет меньше 857. Значит в первом ряду ровно 40 мест. Теперь несложно определить, на какое место был продан лишний билет: 1 + … + 40 = 820; 857 – 820 = 37.

6. Когда солдаты строились в колонну по 4, по 5 или по 6 человек, то каждый раз один оставался лишним, а когда построились в колонну по 7, лишних не осталось. Каким могло быть наименьшее количество солдат?

Решение: следовательно, если от этого числа отнять 1, то разность должна делиться и на 4, и на 5, и на 6, то есть на 60. Числа 61, 121, 181, 241 на 7 не делятся. Значит, наименьшее число солдат 301. Ответ: 301

7. Крестьянин попросил взять у царя одно яблоко из его сада. Царь разрешил. Пошел крестьянин к саду и водит: весь сад огражден тройным забором, имеет одни ворота, вход в которые охраняет сторож. Подошел крестьянин к Первову сторожу и говорит: «Царь разрешил мне взять одно яблоко из сада». На что сторож ему сказал: «Возьми, но при выходе отдашь мне половину тех яблок, что возьмёшь и ещё одно». Эти же слова повторили крестьянину 2 и 3 сторожа, охранявшие другие ворота. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы после того, как он отдаст положенную часть 3 сторожам, у него осталось одно яблоко?

Решение: Рассуждаю, начиная с конца, чтобы пройти из сада через последние ворота, крестьянин должен иметь 4 яблока, так как половина этих яблок и ещё одно 4 : 2 +1 = 3 яблока он отдаст сторожу и у него останется 4 – 3 = 1 яблоко. Подходя из сада ко вторым воротам, у крестьянина должно быть по условию задачи 2·(4 + 1) = 10 яблок, подходя к первым воротам яблок, было 2·(10 + 1) = 22.

Ответ: 22 яблока должен взять крестьянин, чтобы после того, как он отдаст положенную часть 3 сторожам, у него осталось одно яблоко.

8. Лошадь съедает копну сена за 2 суток, корова – за 3, овца – за 6 суток. За какое время съедят копну сена лошадь, корова и овца вместе?

Решение: Лошадь съедает копны сена за 1 сутки, корова – за копны за сутки, овца – копны в сутки. Значит, ++= 1 за одни сутки.

Ответ: 1 копну за 1 сутки.

9. К числу 43 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45. Ответ. 2430, 6435

10. Три рыбака решили сообща сварить на костре уху. Первый дал два окуня, второй четыре, а третий рыбак внес свою долю деньгами, дав 60 рублей. Как должны разделить между собой эти деньги первые два рыбака?

Решение. На уху пошло 6 окуней, то есть каждому досталось по 2. Первый съел свои 2 окуня, то есть сколько дал, то и съел. Значит, третий съел два окуня из улова второго рыбака. Следовательно, все деньги должен взять второй рыбак.

11. Охотник встретил двоих пастухов. У одного пастуха было три куска хлеба, у второго - пять кусков. Все куски хлеба одинакового размера. Все трое разделили и съели весь хлеб поровну. Охотник дал пастухам после еды 8 монет на двоих. Как пастухи разделили эти деньги?

Решение: каждый съел по 2 и 2/3 куска хлеба. Поэтому первый пастух дал охотнику только 1/3 куска, а второй еще 2 и 1/3 куска. Ответ: Первый получил 1 монету, второй 7.

12. Было совершено 52 распила и получили 72 полена. Сколько всего было бревен?

Т.к. после каждого распила число бревен увеличивается на 1. Значит 72-52=20 Ответ: 20 бревен.

2. Задачи на составление уравнения

1. Количество отсутствующих в классе составляло 1/6 всех присутствующих. После того, как один ученик вышел, количество отсутствующих стало составлять 1/5 присутствующих. Сколько учеников в классе?

Решение: Пусть сейчас в классе х человек, тогда отсутствующих . После того, как вышел 1 человек, отсутствующих стало, что по условию задачи составляет 1/5 присутствующих, т.е. . Получили уравнение =, т.е. х=36. Значит, сейчас присутствуют 36 человек, а отсутствуют 6. Следовательно, в классе 42 человека.

2. Петя съел 1/3 всех яблок и ещё 2 яблока, Сеня съел 1/4 всех яблок и ещё 1 яблоко, а Коля — половину тех яблок, которые остались после Пети и Сени. После этого осталась 1/6 часть первоначального числа яблок. Сколько яблок было вначале?

Решение: х – всего яблок. , х=36.

3. Отцу 41 год, старшему сыну 13 лет, дочери 10 лет и младшему сыну 6 лет. Через сколько лет возраст отца будет равен сумме лет его детей?

Решение: Обозначим искомое количество лет через х. Составим уравнение: 13+х+10+х +6+х=41+х. Тогда х=6. Ответ: через 6 лет.

4. На двух кустах сидело 25 воробьев. После того как с первого куста перелетело на второй 5, а со второго улетело 7 воробьев, то на первом кусте осталось вдвое больше воробьев, чем на втором. Сколько воробьев было на каждом кусте первоначально?

Решение: Пусть x – количество воробьёв на первом кусте. Тогда x–5=2·(25–x–7+5). Решаем, и получаем, что x = 17.

3. Задачи на проценты

1. Число увеличено на 25%. На сколько процентов нужно уменьшить результат этого увеличения, чтобы получить первоначальное число?

Решение: Первоначальное = х, новое = 1,25х. 1,25х = 100%

х = ?%

Получили 80%, значит, надо уменьшить на 20%.

2. У старшего брата на 25% больше денег, чем у младшего. Сколько процентов своих денег старший должен дать младшему, чтобы денег у них стало поровну?

Решение: Пусть у младшего х рублей, тогда у старшего 1,25х. Чтобы у них стало одинаково, старший должен отдать 0,125х рублей. Итак, 1,25х = 100%

1,125 х = ?%

Получили 90%, значит отдать старший брат должен 10% своих денег.

3. Картофель подешевел на 20%. На сколько больше можно купить картофеля на ту же сумму?

Решение. Т.к. картофель подешевел на 20% , то на весь купленный ранее картофель надо затратить 80% имевшихся денег, а на оставшиеся 20% купить еще 1/4 часть картофеля, что составляет 25%.

4. Первый множитель увеличился на 10%, а второй множитель уменьшился на 10%. Как при этом изменилось произведение?

Решение. Пусть множимое х, а множитель у, тогда новое множимое 1,1х, а 0,8у – новый множитель. Новое произведение равно 0,99ху, следовательно, произведение уменьшилось на 1%.

4. Числовая задача (построение примера, доказательство невозможности его построения).

1. Половина — это его треть. Что же это за число?

Решение: если половина есть треть числа х, то все число х содержит 3 раза по половине, то есть 0,5 · 3 = 1,5

2. Найдите сумму чисел 1+2+…+870+871.

Решение. Запишем сумму S=1+2+…+871 так: S= 871+… +2+1. Сложив эти равенства, получим 2S=(1+871)+(2+870)+…(436+436). Откуда 2 S =872·871, S=379756.

3. Какой цифрой заканчивается сумма 135х+31у+56х+у , если х и у натуральные числа?

Решение. Число 135х оканчивается на 5; 31у оканчивается на 1, число 56х+у оканчивается на 6; следовательно, сумма 135х+31у+56х+у оканчивается на 2.

4. Продолжите ряд чисел: 10,8,11,9,12,10 до 8 числа. По какому правилу он составлен?

Решение. 10,8,11,9,12,10,13,11,…Правило следующее: на нечетных местах ряда стоят последовательно натуральные числа, начиная с 10, а на четных, начиная с 8.

5. На какую цифру оканчивается число 2100?

Решение. Представим число 2100 в виде 2100= (24)25=1625, следовательно, оно оканчивается на 6.

6. Из числа 12345678910111213…5960 вычеркнуть 100 цифр так, чтобы полученное число было наибольшим?

Решение. Наибольшее возможное число должно начинаться с наибольшего количества девяток . Будем двигаться по числу слева направо, вычеркивая все цифры, кроме 9. вначале мы вычеркнем 27 цифр: 12345678 - 8 цифр 101112112314151617181- 19 цифр и получим число 9920212223242526272829…5960 (еще 19 цифр)и т.д. Таким образом, до каждой очередной девятки мы вычеркиваем 19 цифр. Сделав еще 2 шага, мы вычеркиваем 38 цифр и получим число 999995051525354555657585960( до следующей 9 еще 19 цифр). За предыдущие шаги было вычеркнуто 84 цифры (осталось вычеркнуть еще 16), следовательно, до очередной 9 мы не доберемся. Наибольшая цифра, до которой можно добраться, вычеркнув 15 цифр - это 7. Вычеркнув далее цифру 5, мы получим наибольшее возможное число 99999785960.

7. Задумано трехзначное число, у которого с любым из чисел 543,142 и 562 совпадает с одним из разрядов, а 2 других не совпадают. Какое число задумано?

Решение. Если первая цифра искомого числа 5, то либо вторая цифра 4, либо третья 2 (т.к. требуется совпадение разряда со вторым числом). И то и другое приводит к противоречию: совпадение либо с 1, либо с третьим будет в двух разрядах, следовательно, первая цифра не 5. Рассуждая аналогично, убеждаемся, что вторая цифра искомого числа не 4, а третья не 2. Остается единственная возможность: число 163.

8. К трехзначному числу слева приписали 3 и оно увеличилось в 9 раз. Что это за число?

Проверкой убеждаемся, что 87*9=873, т.е. искомое число 87

9. Какое число больше: 2379*23782378 или 2378*23792379?

Решение. Пусть, а=2378, б=2379, тогда можно составить таблицу:

Из которой следует, что 2379*23782378=2378*23792379.

10. Верно ли что число 1 234 537 896 543 является квадратом некоторого натурального числа?

Решение. Число 1234537896543 не является квадратом натурального числа, т.к. квадрат натурального числа может оканчиваться только цифрами 0,1,5,6,9.

5. Фигуры, нахождение многоугольника с указанными свойствами или на площади и разрезания.

1. Коридор длины 6 м покрыт тремя трёхметровыми ковровыми дорожками, причём нигде дорожки не лежат в три слоя. Докажите, что какие-то две из них перекрываются не меньше, чем на 1,5 м.

Решение: Занумеруем дорожки слева направо. Закрасим все такие участки, где первая дорожка перекрывается со второй, а вторая с третьей. Суммарная длина таких перекрытий равна 3 м: три дорожки длины 9 м должны уместиться на коридоре длины 6 м. Следовательно, какое-то из этих трёх перекрытий не меньше 1,5 м (а какое-то другое – не больше 1,5 м).

2. Проведите 3 прямые так, чтобы тетрадный лист разделился на наибольшее число частей. Сколько получится частей? Проведите 4 прямые с тем же условием. Сколько теперь получилось частей?

3. Можно ли разрезать шахматную доску на прямоугольники размером 3х1?

Решение. Пусть шахматную доску 8х8 удалось разрезать на п прямоугольников размером 3х1, тогда сумма площадей всех многоугольников равна 3п=64, что неверно, т.к. п – целое число. Ответ. Нет.

4. У шахматной доски отпилили 2 поля: левое нижнее и правое верхнее. Можно ли покрыть такую шахматную доску «костями» домино размером 2х1?

Решение. Каждая кость домино накрывает одно черное и одно белое поле шахматной доски. От шахматной доски отпилили 2 черных поля. Следовательно , осталось на 2 белых больше и, покрыть доску костями домино нельзя.

5. Посередине участка квадратной формы устроена квадратная клумба. Площадь участка равна 100 м2. Сторона клумбы в 2 раза меньше стороны участка. Чему равна площадь клумбы?

Решение. Т.к. площадь квадрата 100м2, то его сторона равна 10 м, тогда сторона клумбы - 5 м , а ее площадь 25 м 2.

6. Как разрезать прямоугольник со сторонами 4х9 на минимальное число частей, чтобы из них сложить равновеликий квадрат?

Решение. Поскольку площади прямоугольника и квадрата должны быть равны, то сторона квадрата 6. Поэтому откладываем по 6 на больших сторонах прямоугольника и делаем ступенчатый разрез, о котором можно догадаться, вспомнив о центральной симметрии прямоугольника.

7. Все треугольники, изображенные на рисунке, имеют равные стороны. Радиус каждой из окружностей равен 2 см. Окружности касаются друг друга и сторон квадрата. Чему равен периметр «звездочки», нарисованной жирной линией?

Ответ: 64 см

6. Логическая задача.

1) на движение

1. Могут ли три человека преодолеть расстояние в 60 км за 3 часа, если у них в распоряжении имеется двухместный мотоцикл? Скорость мотоцикла 50 км/ч, скорость пешехода 5 км/ч.

Решение. 1 час : Два человека (А и В) едут на мотоцикле и проезжают 50 км, а третий человек (С) идёт пешком и проходит 5 км.

2 час: Человек (В) сходит с мотоцикла и идёт пешком. Он проходит 5 км. Человек (С) идёт пешком и проходит ещё 5 км. Человек (А) возвращается на 40 км и ждёт человека (С) там.

3 час: Два человека (А и С) на мотоцикле добираются до пункта назначения. Человек (В) проходит ещё 5 км и оказывается в пункте назначения. Ответ. Могут

2. Мотоциклист, велосипедист и пешеход движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. Когда велосипедист поравнялся с пешеходом, мотоциклист отставал от них на 6 км. Когда мотоциклист догнал велосипедиста, пешеход отстал от них на 3 км. Какое было расстояние между пешеходом и велосипедистом, когда мотоциклист догнал пешехода?

Решение.

Изобразим упомянутые в условии ситуации:

Сразу видно, что третье расположение следовало первому и предшествовало второму. Рассмотрим движение мотоциклиста и велосипедиста относительно пешехода.

Сколько километров относительно пешехода проехал мотоциклист от первой до второй ситуации? 3+6=9 километров

Сколько километров относительно пешехода проехал велосипедист от первой до второй ситуации? 3 километра.

Во сколько раз скорость мотоциклиста относительно пешехода больше скорости велосипедиста относительно пешехода? 9/3=3 раза.

Сколько километров относительно пешехода проехал мотоциклист между первой и третьей ситуациями? 6 километров

Сколько километров относительно пешехода за это же время проедет велосипедист? Т.к. его относительная скорость втрое меньше, то 6/3=2 километра.

Ответ: 2 километра

2) на взвешивание

1. Из девяти монет одна фальшивая: она легче остальных. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь определить, какая именно?

Решение. Разобьём монеты на 3 кучки по 3 монеты и проведём взвешивания.

Первое взвешивание: положим по 3 монеты на каждую чашку весов.

Возможны два случая:

1. Равновесие, тогда на весах только настоящие монеты, а фальшивая среди тех монет, которые не взвешивались.

2. Одна из кучек легче, то в ней фальшивая монета.

Второе взвешивание: теперь требуется найти фальшивую среди трёх монет( по методу первого взвешивания).

2. Известно, что монеты: 1к., 2к., 3к. и 5 к. весят, соответственно, 1, 2, 3 и 5 граммов.

Среди четырёх монет (по одной каждого достоинства) одна фальшивая. Она отличается весом от настоящей. Как с помощью взвешиваний на чашечных весах без гирь определить фальшивую монету?

Решение. Чтобы узнать какая монета фальшивая выполним следующие взвешивания:

Если при первом взвешивании будет равновесие, то бракованная монета – 5 к.

Если при втором, то бракованная монета – 1 к.

Если же равновесия не будет, то обе монеты, 1 к. и 5 к., - настоящие, а одна из монет, 2 коп или 3 коп, - бракованная.

Кроме того, из второго взвешивания можно будет сделать вывод легче или тяжелее настоящей фальшивая монета.

Если при первом взвешивании перевесит та же чашка весов, что и при втором, то фальшивая монета – 2 к., иначе 3к.

3. Имеется 10 мешков монет. В 9 мешках монеты настоящие (весят по 10г), а в одном фальшивые (весят по 11 г) Одним взвешиванием на электронных весах определить, в каком мешке фальшивые монеты?

Решение. Занумеруем мешки и возьмем из каждого мешка количество монет, соответствующее его номеру ( из первого мешка 1 монету, из второго –2…)Всего мы возьмем 1+2+3+…+10=55 монет. Если бы все они были настоящие, то их общая масса составила 550г, но среди них есть и фальшивые, поэтому эта масса будет больше. Если фальшивые монеты в 1 ящике, то разница в массе составит 1 г., а если во втором- 2 г. и т.д. Определив эту разницу, мы и узнаем в каком мешке фальшивые монеты.

3) на принцип Дирихле

1. Пятнадцать мальчиков собрали вместе 100 орехов. Докажите, что какие-то двое из них собрали одинаковое количество орехов.

Решение: Предположим противное – тогда мальчики собрали не меньше, чем 0 + 1 + 2 + … + 14 = 105 орехов. Противоречие.

2. Верно ли, что среди любых 34 разных натуральных чисел, не превосходящих 50, всегда можно выбрать два числа, одно из которых вдвое больше другого?

Решение: Да, верно. Разобьем числа на такие пары-клетки: (1,2), (3,6), (5,10), …, (25,50); (4,8), (12,24), (20,40); (16,32). Добавим к этим 17-ти парам ещё не использованные 16 чисел, не превосходящих 50 (27, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 45, 47, 48, 49), каждое из них образует отдельную клетку. Всего получилось 33 клетки, поэтому в одну из них попадут хотя бы два данных числа. В «одноместную» клетку они попасть не могут, значит, они попали в пару, так что одно из них действительно в два раза больше другого.

3. В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.

Решение: Предположим, что ящиков с конфетами каждого из трёх сортов привезли не более восьми, тогда всего привезли бы 8 · 3 = 24 ящика. Это противоречит условию задачи. Значит, найдутся 9 ящиков с одинаковым сортом конфет.

4. 10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причем известно, что среди них есть школьники, решившие ровно одну задачу, школьники, решившие ровно две задачи и школьники, решившие ровно три задачи. Докажите, что есть школьник, решивший не менее пяти задач.

Решение: Из условий следует, что найдутся 7 школьников, решивших 35 – 6 = 29 задач. Так как 29 = 4 • 7 + 1, то найдется школьник, решивший не менее пяти задач.

5. Пятеро молодых рабочих получили на всех зарплату – 1500 рублей. Каждый из них хочет купить себе магнитофон ценой 320 рублей. Докажите, что кому-то из них придется подождать с покупкой до следующей зарплаты.

Решение: Если бы каждый из рабочих мог купить магнитофон, то у них в сумме было бы не менее 5 • 320 = 1600 рублей.

6. Сто человек сидят за круглым столом, причем более половины из них – мужчины. Докажите, что какие-то два мужчины сидят друг напротив друга.

Решение: Разобьем всех людей на 50 пар так, что в каждой паре – два человека, сидящих друг напротив друга. Ясно, что в одной из этих пар-«клеток» оба человека – мужчины.

7. В городе 15 школ. В них обучается 6015 школьников. В концертном зале городского дворца культуры 400 мест. Доказать, что найдётся школа, ученики которой не поместятся в этот зал.

Решение: Предположим, что в каждой школе не более 400 учеников. Значит, в 15 школах не более 15 · 400 = 6000 школьников. Но по условию в школах обучаются 6015 человек. Значит, найдется школа, в которой больше 400 учеников. Поэтому ученики этой школы не поместятся в зал на 400 мест.

4) на взаимно однозначное соответствие

1. В кругу стоят девочки: Ася, Катя, Галя и Нина, одетые в зелёное, голубое, белое, розовое платья. Девочка в зелёном платье (не Ася и не Катя) стоит между девочкой в голубом платье и Ниной. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Катей. Какого цвета платье было надето на каждой из девочек?

Ответ: Галя – в зелёном, Катя – в голубом, Ася – в белом, Нина – в розовом.

2. Учащиеся школы решили организовать инструментальный ансамбль. Михаил играет на саксофоне. Пианист учится в 9 классе. Ударника зовут не Валерием, а ученика 10 класса зовут не Леонидом. Михаил учится не в 11 классе. Андрей – не пианист и не ученик 8 класса. Валерий учится не в 9 классе, ударник - не в 11. Леонид играет не на контрабасе. На каком инструменте играет Валерий и в каком классе он учится?

Решение.

Валерий играет на контрабасе. Для того, чтобы определить в каком он классе составим ещё одну таблицу.

Ответ. Валерий играет на контрабасе и учится в 11 классе.

3. В семье 4 ребенка. Младшему 5, старшему 15 лет. Двум другим 8 и 13 лет.
Имена детей: Боря, Галя, Вера и Аня. Какой возраст каждого ребенка, если одна девочка ходит в детский сад. Аня старше Бори. Сумма лет Ани и Веры делится на 3.

Ответ: Аня 13, Боря 8, Вера 5, Галя 15

4. Царь призвал ко двору трех богатырей. И спрашивает: - Кто убил Змея Горыныча?
Илья Муромец сказал: — Змея убил Добрыня Никитич.
Добрыня Никитич сказал: — Змея убил Алёша Попович.
Алёша Попович сказал: — Я убил змея.
Только один богатырь сказал правду, остальные два слукавили. Так кто же убил Змея Горыныча?

Решение. Допустим, Илья слукавил, тогда Змея убил, например, Алеша. Тогда двое других богатырей сказали правду, но это противоречит условию. Тогда пусть сам Илья и убил, а сказал неправду из скромности. Тогда и другие богатыри соврали. Значит правду сказал Илья Муромец: Змея убил Добрыня Никитич.

5. Михаилу в викторине предложили выбрать один из ящиков. В одном из ящиков спрятан приз. Михаил получил 4 подсказки
- приз в желтом или красном ящике
- приз в зеленом или синем ящике
- приз в зеленом ящике
- в желтом ящике приза нет
Три подсказки ошибочны, но только одна правильная.
Андрей подумал и открыл правильный ящик. Какого цвета?

Ответ: Желтый

5) на круги Эйлера

1. На спортивные соревнования в ЛМШ ходили 220 школьников. При этом некоторые из них участвовали в чемпионатах, а остальные были зрителями. В легкоатлетической эстафете приняли участие 30 человек, в соревнованиях по волейболу – 26, пионерболу – 32, футболу – 31, шахматам – 28 и теннису – 36 человек. 53 школьника приняли участие более чем в одном соревновании; из них 24 школьника участвовали 3 или более раз, 9 школьников – не менее 4 раз и 3 школьника – даже 5 раз (в последнюю тройку входит и один чудак, который выступал во всех шести соревнованиях). Сколько из школьников были зрителями?

Решение: В сумме в них были 30 + 26 + 32 + 31 + 28 + 36 = 183 школьника. Число школьников, игравших хотя бы один раз, равно 183 – 53 – 24 – 9 – 3 – 1 = 93. Оставшиеся 127 школьников были зрителями.

2. Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28, французским – 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским – 10, немецким и французским – 5, всеми тремя языками – 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком?

Решение: только английским владеет 13 человек, только французским – 30, только немецким – 20 человек. 20 человек не знают ни одного из этих языков.

6) комбинаторные задачи

1. Сколькими способами победитель «Поля чудес» может выбрать два приза из 50 имеющихся?

Решение: (50 × 49)/2=1225.

2. Сколькими способами можно из 50 участников собрания выбрать председателя и секретаря?

Решение: 50 × 49=2450.

3. Сколькими способами можно зажечь свет в нашем классе? (в классе 3 лампочки, у каждой – отдельный выключатель)

Решение: а) прямой подсчет – перебор возможных способов: 0 лампочек (все выключены) – 1 случай, 1 лампочка – 3 случая, по 2 лампочки – 3 случая, все 3 – 1 случай – то есть 1 + 3 + 3 + 1 = 8; б) рассмотрение ситуации по отдельности для каждой лампочки – либо «вкл», либо «выкл»; правило произведения: 2 × 2 × 2 = 8; графическое отображение в виде дерева возможностей.

4. В гардеробе в беспорядке лежат 20 пар ботинок. 10 пар черных и 10 пар белых. Сколько нужно взять ботинок, чтобы среди них оказалась хотя бы одна пара (правый и левый ботинок) одного цвета? В гардеробе темно и нельзя отличить правый ботинок от левого.

Решение: Мы можем вытащить по 10 ботинок разного цвета (10 белых левых и 10 черных левых) получается вытянули 20 ботинок и останутся ещё 20 ботинок ( 10 белых правых и 10 черных правых) и соответственно следующий 21 ботинок в любом случае окажется. Ответ. 21

5. В темной комнате 10 арбузов и 8 дынь (дыни и арбузы не различимы на ощупь). Сколько нужно взять фруктов, чтобы среди них было не менее 2 арбузов?

Решение. Для того, чтобы достать не менее 2 арбузов, нужно взять не менее 10 фруктов. Если взять меньше, то среди них могут оказаться 8 дынь и арбузов будет меньше, чем 2.

6. Сколько диагоналей у тридцатичетырехугольника ?

Решение. Каждая вершина многоугольника соединена диагоналями со всеми остальными вершинами, кроме двух соседних. Таким образом, каждая диагональ 34-хугольника соединена диагоналями с 31 вершиной. Поэтому диагоналей у 34-хугольника 34*32:2=17*31=527.

7) Математические игры

1. В двух кучках лежат предметы, по 100 предметов в каждой. За ход разрешается взять произвольное количество предметов, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Найдите выигрышную стратегию для второго игрока.

Решение: Второму игроку достаточно повторять ходы первого, но только в другой кучке. Таким образом, только после ходов второго в количество предметов в кучках становится равным, следовательно, ситуация, когда в обеих кучках не останется ни одного предмета, также может наступить только после хода второго, а, значит, он не проиграет. Поскольку с каждым ходом количество предметов в кучках уменьшается, игра закончится, и так как второй не проиграет – он выиграет.

2. У ромашки а) 12 лепестков; б) 11 лепестков. За ход разрешается оторвать либо один лепесток, либо два рядом растущих лепестка. Проигрывает тот, кто не может сделать хода.

Решение: В обоих случаях выигрывает второй. Своим первым ходом он разбивает лепестки на две одинаковых группы, а дальше действовать симметрично.

3. Волк и Заяц играют в следующую игру: на доске написано некоторое натуральное число с ненулевой последней цифрой. Ход состоит в том, что из числа вычитают какую-нибудь его ненулевую цифру и пишут результат вместо старого числа. Выигрывает тот, кто первым получит нуль.

Решение: Первый игрок постоянно вычитает из числа его последнюю (ненулевую!) цифру.

4. Имеется две кучи конфет: в первой – 40, во второй – 45. За ход нужно одну кучу съесть, а другую разделить на две (не обязательно равные). Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение: В этой игре выигрывает первый игрок. Он всегда съедает нечётную кучку, а чётную делит на две нечётных – в результате после его хода оказываются две нечётных кучки, а после хода второго – снова одна нечётная и одна чётная кучка. Единственная позиция, в которой невозможно сделать ход – позиция (1,1), которая могла получиться только после хода первого игрока.

5. Круг разделили на 6 секторов, в каждом лежит селедка. За ход можно одну селедку передвинуть в соседний сектор. Можно ли собрать все селедки ровно за 20 ходов?

Решение. Предположим, что нужно собрать все селедки в 1 секторе, тогда селедку второго сектора можно передвинуть или 1 или 5 ходами; из третьего сектора – или 2 или 4 ходами; из пятого сектора – 2 или 4 ходами; из четвертого сектора - 3 ходами; из шестого – 1 или 5 ходами. В любом случае количество ходов будет нечетным, значит, за 20 ходов собрать селедки нельзя.

8) разные

1. В токарном цехе завода вытачиваются детали из металлических заготовок. Из одной заготовки вытачивают одну деталь. Стружку, которая остается при изготовлении шести деталей, можно переплавить и приготовить еще одну заготовку. Сколько деталей можно сделать таким образом из 36 металлических заготовок?

Решение. Из 36 заготовок - 36 деталей. Так как стружка из каждых 6 деталей дает еще одну заготовку, то получаем из стружек 36 деталей еще 6 заготовок. Это еще 6 деталей. 36+6=42 детали. Но можно забыть, что от 6 последних заготовок остается стружка на еще одну деталь. Итого 36+6+1=43 детали.

2. На озере расцвела одна лилия. Каждый день число ее цветков удваивалось, а на 20-й день всё озеро покрылось цветами. На который день покрылась цветами половина озера?

Решение: Начнём с конца. Пусть сегодня половина озера покрылась цветами. Через сколько дней покроется всё озеро? Завтра! И это будет 20-й день.

Ответ: за 19 дней.

3. Ваня, Петя, Катя и Олег вместе съели 70 бананов. Причем каждому сколько-то досталось. Ваня съел больше всех. Катя и Петя вместе съели 45 бананов. Сколько бананов досталось Олегу?

Решение: Катя и Петя съели 45 бананов, кто-то из них съел не меньше 23 бананов. Значит, Ваня съел не менее 24 бананов. Петя, Катя и Ваня вместе съели не менее 69 бананов. Но раз Олегу тоже что-то досталось, то Катя, Петя и Ваня съели 69 бананов. А значит Олег 1 банан.

4. Пассажир проехал половину пути и лег спать и спал до тех пор, пока не осталось ехать половину того пути, который он проехал спящим. Какую часть всего пути пассажир спал?

Ответ: Спал пассажир на протяжении двух третей от половину всего пути, то есть на продолжении одной трети всего пути.

5. От Нижнего Новгорода до Астрахани теплоход идет 5 суток, а обратно 7 суток. Сколько времени будут плыть плоты от Нижнего Новгорода до Астрахани.

Решение. Когда теплоход идет от Нижнего Новгорода до Астрахани ( по течению реки), за сутки он проходит 1/5 пути, а когда обратно- 1/7 пути. Поэтому 1/5-1/7=2/35- «2 скорости течения», откуда 1/35 часть пути в сутки- скорость течения. Следовательно, плоты будут плыть от Нижнего до Астрахани 35 суток.

6. Гриша с папой пошли в тир. Уговор был такой: Гриша делает 5 выстрелов и за каждое попадание в цель получает право сделать еще 2 выстрела. Всего Гриша сделал 17 выстрелов. Сколько раз он попал в цель.

Решение. Гриша сделал на 12 выстрелов больше, чем первоначальные 5 по уговору, значит, он попал в цель 6 раз, т.к. именно за 6 попаданий полагается 12 лишних выстрелов.

7. На день рождения Малыша Фрекен Бок испекла торт. Малыш и торт весили столько же, сколько Карлсон и Фрекен Бок. Когда торт съели, Карлсон весил столько же, сколько Фрекен Бок и Малыш. Докажите, что Карлсон съел кусок торта, весивший столько же, сколько Фрекен Бок до дня рождения.

Решение. М – Малыш, Б - Фрекен Бок, Т- торт, К - Карлсон , Тк – кусок торта, который съел Карлсон, Тб - кусок торта, который съела Фрекен Бок, Тм - кусок торта, который съел Малыш.

Т + М = К + Б.

Тк + Тм + Тм + М = К + Б.

К + Тк = Б + Тб + М + Тм.

Прибавим к обеим частям этого равенства Тк, получаем: К + 2Тк = Б + М + Т. Так ка М + Т = К + Б , то К + 2Тк + 2Б + К, 2Тк = 2Б, Тк = Б.

Литература

• заочный математический конкурс (6-8 классы, г. Москва) ;
• зимний турнир Архимеда (6-7 класс, г. Москва)
• олимпиада по геометрии памяти И. Ф. Шарыгина (8-11 классы, г. Москва);
• барнаульский турнир математических боев (8-11 классы, г. Барнаул);
• уральский турнир юных математиков (8-11 классы, г. Киров);
• международный конкурс-игра «Кенгуру» (3-10 классы, по всем регионам);
• экономико-математическая олимпиада (9-11 классы, г. Москва);
• международная олимпиада школьников «Туймаада» (8-11 классы, г. Якутск);
• турнир им. М. В. Ломоносова (6-11 классы, г. Москва); международный математический Турнир городов (8-11 классы, г. Москва);
• Кубок памяти А. Н. Колмогорова (9-11 классы, г. Казань);
• олимпиада по математике и криптографии (9-11 классы, г. Москва).
• Олимпиада им. Леонарда Эйлера (8 класс, г. Киров);
• ЗАОЧНАЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА (6-11 классы, г. Москва);

• ;task=cat_view&gid=41&Itemid=35-в данном разделе выложены задачи республиканских олимпиад для школьников Татарстана по математике.
• -литература по подготовке к математическим олимпиадам
• - турнир Городов
• - математика он-лайн Олимпиада «Сократ
• #1

Приложение

Логические задачи

1. В токарном цехе завода вытачиваются детали из металлических заготовок. Из одной заготовки вытачивают одну деталь. Стружку, которая остается при изготовлении шести деталей, можно переплавить и приготовить еще одну заготовку. Сколько деталей можно сделать таким образом из 36 металлических заготовок ?

Ответ. Из 36 заготовок - 36 деталей. Так как стружка из каждых 6 деталей дает еще одну заготовку, то получаем из стружек 36 деталей еще 6 заготовок. Это еще 6 деталей. 36+6=42 детали. Но можно забыть, что от 6 последних заготовок остается стружка на еще одну деталь.

Итого 36+6+1=43 детали.

2. Поезд шел из Москвы в Петербург без остановок со скоростью 120 км/ч. Другой поезд также без остановок шел ему навстречу из Петербурга в Москву со скоростью 80 км/ч. Вопрос: на каком расстоянии будут эти поезда за 1 час до их встречи ?

Ответ: за 1 час до встречи они будут на расстоянии 200 км (120+80)

3. У мальчика есть столько же братьев, сколько и сестер, а у его сестры в два раза меньше сестер, чем братьев. Вопрос: сколько в семье сестер и братьев?

Ответ: 3 сестры и 4 брата.

4. Половина — это его треть. Что же это за число?

А ответ очень прост: если половина ? есть треть, то все число содержит 3 раза по ?, то есть ? х 3 = 1 ? (1,5)

5. Пассажир проехал половину пути и лег спать и спал до тех пор, пока не осталось ехать половину того пути, который он проехал спящим. Какую часть всего пути пассажир спал?

Ответ: Спал пассажир на протяжении двух третей от половину всего пути, то есть на продолжении одной трети всего пути.

6. Охотник встретил двоих пастухов. У одного пастуха было три куска хлеба, у второго - пять кусков. Все куски хлеба одинакового размера.
Все трое разделили и съели весь хлеб поровну. Охотник дал пастухам после еды 8 монет на двоих. Как пастухи разделили эти деньги?

Ответ: Первый получил 1 монету. Второй 7.
Объяснение: каждый съел по 2 и 2/3 куска хлеба. Поэтому первый пастух дал охотнику только 1/3 куска, а второй еще 2 и 1/3 куска.

7. В пруду растет 1 лист лилии. К вечеру каждого дня число листьев удваивается. На какой день пруд будет покрыт листьями наполовину, если полностью он будет покрыт лилиями через 100 дней?

Ответ: через 99 дней

8. На конференцию в Мадагаскаре приехали 10 делегатов. Они не понимают языки друг друга. Какое минимальное число переводчиков понадобится для обслуживания этой конференции, если известно, что каждый переводчик знает только два языка.

Ответ: 9

9. Во дворе дети катались на велосипедах. Самые маленькие на 3-хколесных. Школьники на 2-хколесных. Миша сосчитал, что у всех велосипедов было 12 колес. Сколько на 3-х и 2-х колесных велосипедов было на улице?

Ответ: два трехколесных и три двухколесных

10. В пакетике находятся конфеты трех разных сортов. На ощупь они одинаковые. Вопрос: какое минимальное число конфет надо взять наугад из пакетика, чтобы среди взятых конфет были хотя бы
а) две конфеты одного сорта;
б) три конфеты одного сорта.

Ответ: а)4 б)7

11. Ваня, Петя, Катя и Олег вместе съели 70 бананов. Причем каждому сколько-то досталось. Ваня съел больше всех. Катя и Петя вместе съели 45 бананов. Сколько бананов досталось Олегу?

Ответ: Катя и Петя съели 45 бананов, кто-то из них съел не меньше 23 бананов. Значит, Ваня съел не менее 24 бананов.
Петя, Катя и Ваня вместе съели не менее 69 бананов.
Но раз Олегу тоже что-то досталось, то Катя, Петя и Ваня съели 69 бананов.
А значит Олег 1 банан.

12. Было совершено 52 распила и получили 72 полена. Сколько всего было бревен?

Ответ: 20 бревен. Т.к. после каждого распила число бревен увеличивается на 1. Значит 72-52=20

13. В гардеробе в беспорядке лежат 20 пар ботинок. 10 пар черных и 10 пар белых. Сколько нужно взять ботинок, чтобы среди них оказалась хотя бы одна пара (правый и левый ботинок) одного цвета? В гардеробе темно и нельзя отличить правый ботинок от левого.

Ответ: Когда мы возьмем 21 ботинок, то обязательно в руках у нас окажется какая-то пара. Всё просто 21 ботинок будет парным одного цвета. …Мы можем вытащить по 10 ботинок разного цвета (10 белых левых и 10 черных левых) получается вытянули 20 ботинок и останутся ещё 20 ботинок ( 10 белых правых и 10 черных правых)и соответственно следующий 21 ботинок в любом случае окажется нужным

14. Две мухи между собой соревнуются. Они бегут от пола к потолку, а затем обратно. Первая муха бежит и вверх и вниз с одинаковой скоростью.
Вторая муха бежит вниз вдвое быстрее, чем первая. А вверх она бежит вдвое медленнее. Какая из мух победит?

Ответ: первая.

Чтобы решить эту задачку нужно нарисовать первый этап. Первая муха достигнет потолка, а вторая будет только на половине пути к потолку.
И первая уже достигнет пола, когда вторая только достигнет потолка.

Задачки с подвохом

1. Как может куриное яйцо, которое бросили, пролететь два метра и не разбиться?

Ответ: яйцо подкинули больше чем на два метра, поэтому оно разобьется не когда пролетит 2 метра, а когда упадет на землю.

2. Три ласточки вылетели из гнезна. Какова вероятность того, что через 10 секунд они будут находиться в одной плоскости?

Ответ: 100%. Потому что три точки всегда образуют одну плоскость.

3. Шесть кошек ловят шесть мышей за шесть минут. Сколько времени нужно одной кошке для ловли одной мышки.

Ответ: шесть минут

4. Двое подошли к реке. У берега реки стоит одна лодка. На лодке можешь переправиться только один человек. Как этим двум удалось переправиться на другой берег без посторонней помощи?

Ответ: Они находились на разных берегах реки.

5. У треугольника стороны равны 13, 18 и 31 сантиметр. Чему же равна площадь этого треугольника?

Ответ. Площадь этого треугольника равна 0. Т.к. такого треугольника не существует, получается линия (сумма двух любых сторон в треугольнике всегда больше длины третей)

6. Как то солдат в Древнем Риме, который был в карауле, подошел к центуриону и сказал, что этой ночью видел сон, в котором варвары нападали на крепость с юга.
Центурион в это особо не поверил, но меры принял. Тем же вечером варвары действительно напали на крепость с юга и их атака была отбита.
После сражения центурион поблагодарил солдата за предупреждение, а затем взял его под стражу. За что был взят солдат под стражу?

Ответ: солдат видел сон, а значит он спал во время караула. В это время он был обязан не спать.

7. На столе стоит 6 стаканов. Первые три полный, вторые три пустые.
Как сделать, чтобы полные стаканы и пустые чередовались между собой?
При этом трогать можно только один стакан.

Ответ: Нужно взять второй стакан и перелить его содержимое в пятый.

Задачи на соответствие

1. В семье 4 ребенка. Младшему 5, старшему 15 лет. Двум другим 8 и 13 лет.
Имена детей: Боря, Галя, Вера и Аня.
Какой возраст каждого ребенка, если одна девочка ходит в детский сад. Аня старше Бори. Сумма лет Ани и Веры делится на 3.

Ответ: Аня 13, Боря 8, Вера 5, Галя 15

2. В банке работают: заведующий, контролер и кассир. Их имена: Борис, Иван, Саша.
У кассира нет братьев, сестер и он меньше всех ростом. Саша женат на сестре Бориса и ростом выше контролера.
Какое имя у кассира, контролера и заведующего?

Ответ: Иван - кассир, Саша - заведующий, Борис - контролер.

3. У четырех школьников следующие имена: Петр, Андрей, Федор и Иван. Фамилии: Петров, Андреев, Федоров, Иванов. Ни у кого из них собственные имя и фамилия не одинаковые. У Андреева имя не Иван. Имя школьника с фамилией Федоров - фамилия школьника, чье имя фамилия Петра.

Ответ: Петр Андреев, Андрей Иванов, Федор Петров, Иван Федоров.

4. Михаилу в викторине предложили выбрать один из ящиков. В одном из ящиков спрятан приз. Михаил получил 4 подсказки
- приз в желтом или красном ящике
- приз в зеленом или синем ящике
- приз в зеленом ящике
- в желтом ящике приза нет
Три подсказки ошибочны, но только одна правильная.
Андрей подумал и открыл правильный ящик. Какого цвета?

Ответ: Желтый

5. В пассажирском поезде Петербург-Москва едут пассажиры. Сидоров, Петров и Иванов. У машиниста, электрика и кондуктора такие же фамилии.
Подсказки:
- В Москве живет Иванов
- Пассажир, однофамилец кондуктора, живет в Питере
- Кондуктор живет на половине пути от Питера до Москвы
- Пассажир, который ближе к месту жительства кондуктора, чем другие пассажиры - в три раза старше кондуктора
- 20 лет в тот день исполниломь пассажиру Петрову
- У электрика Сидоров (из бригады) выиграл в биллиард
Какая фамилия у машиниста?

Ответ: Сидоров

6. Три сестры: Полли, Сара и Ада. Они приехали из деревни в большой город учиться. Одна сестра стала строителем, одна архитектором, а третья поваром. Позже все сестры вышли замуж. Одного мужа звали господин Адамсон, второго просто Педро, а третьего величали доктором Смитом. Ни у кого в семьях не совпали первые буквы профессии, имени мужа и жены. (Сара не стала строителем и ее муж не Смит). Жена Педро не строитель. Как зовут жену доктора?

Ответ: Ада. Она же повар.

7. Царь призвал ко двору трех богатырей. И спрашивает: - Кто убил Змея Горыныча?
Илья Муромец сказал: — Змея убил Добрыня Никитич.
Добрыня Никитич сказал: — Змея убил Алёша Попович.
Алёша Попович сказал: — Я убил змея.
Только один богатырь сказал правду, остальные два слукавили. Так кто же убил Змея Горыныча?

Правду сказал Илья Муромец: Змея убил Добрыня Никитич. Вывод: 2 слукавили заведамо известно, т.е. если правду сказал "Алёша Попович сказал: — Я убил змея.", то высказывание "Добрыня Никитич сказал: — Змея убил Алёша Попович." тоже правда, а это исключают условия задачи! Все просто!!!

Комбинаторика

Задача 1: Сколькими способами можно зажечь свет в нашем классе? (в классе 3 лампочки, у каждой – отдельный выключатель)

Решение: Обсуждение путей решения: а) прямой подсчет – перебор возможных способов; упорядочение перебора – то есть суммирование 1 + 3 + 3 + 1 = 8; б) рассмотрение ситуации по отдельности для каждой лампочки – либо «вкл», либо «выкл»; правило произведения: 2 × 2 × 2 = 8; графическое отображение в виде графа с кратными дугами и в виде дерева перебора.

Задача 2: Комбинация из трёх букв на автомобильном номере состоит только из тех русских букв, у которых есть похожие латинские, а именно из А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х. Сколько всего таких комбинаций?

Задача 3: Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?

Решение: Перебор по положениям белой ладьи.

Задача 4: а) В магазине «Все для чая» продаются 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить там набор «чашка + блюдце»?

б) В тот же магазин завезли еще 4 вида чайных ложек. Сколькими способами можно купить комплект «чашка + блюдце + ложка»?

в) Известно, что одна из чашек, одно из блюдец и одна из ложек – золотые. Сколькими способами можно купить набор из 3-х различных предметов, в котором

в1) нет золотых предметов?

в2) 1 золотой предмет?

в3) 2 золотых предмета?

в4) 3 золотых предмета?

г) Сколькими способами в магазине можно купить комплект из двух предметов?

д) сколькими способами можно купить комплект из 1 предмета?

е) Ясно, что «купить 0 предметов» можно единственным способом. Каков смысл равенства 1 + 12 + 47 + 60 = 6 × 4 × 5?

Решение:

а) по правилу произведения получаем 5 × 3 = 15.

б) 5 × 3 × 4 = 60.

в1) считаем количество не-золотых предметов: 4 чашки, 2 блюдца, 3 ложки. По правилу произведения получаем 4 × 2 × 3 = 24.

в2) подметим, что 1 золотой предмет – либо чашка, либо ложка, либо блюдце. Если это чашка, то имеем 1 × 2 × 3 = 6 способов, если это блюдце, то число способов равно 4 × 1 × 3 = 12, наконец, для ложки получаем 4 × 2 × 1 = 8 способов. Итого – 26.

в3) возможны 2 разумных перебора – либо по парам золотых предметов («чашка + блюдце», «чашка + ложка", «ложка + блюдце"), либо перебор не-золотых предметов. При обоих подходах получаем 1 × 1 × 3 + 1 × 2 × 1 + 4 × 1 × 1 = 9 способов.

После задач в2) и в3) формулируем правило суммы и когда им надо пользоваться.

в4) 1 способ. ( = 1 × 1 × 1). Усложняем задачу ученикам: как получить ответ другим способом? Вот этот способ: так как всего возможностей 60 (см. задачу б)), а в задачах в1)–в3) были найдены 24 + 26 + 9 = 59 из них, то на долю задачи в4) остался последний, единственный, способ. Обращаем внимание школьников на необязательность, но желательность проверки равенства 60 = 24 + 26 + 9 + 1 при самостоятельном решении подобных задач.

г) по правилу суммы – 5 × 3 + 5 × 4 + 3 × 4 = 47 способов.

д) 5 + 4 + 3 = 12.

е) смысл состоит в том, что мы добавляем для каждого предмета еще одну возможность – либо покупать его, либо нет. Это значит, что мы как бы вводим шестую «липовую чашку», четвертое «липовое блюдце" и пятую «липовую ложку». Если выбран «липовый" предмет, это означает, что мы данный вид посуды просто не покупаем. Но теперь есть всего 6 × 4 × 5 способов выбрать набор из 3-х предметов (некоторые из которых будут липовыми), а сумма слева представляет собой разбиение на случаи «0 липовых», «1 липовый", «2 липовых", «3 липовых".

Задача 1: а) У скольких двузначных чисел все цифры чётные? б) А у скольких трёхзначных?

Решение: (а) оформить также в виде таблицы. Про (б) – 3 способа: разветвленное дерево, таблица, где строки занумерованы парами и трёхмерная таблица

Задача 2: а) У скольких двузначных чисел все цифры разные? б) А у скольких трёхзначных? в) А у скольких 11-значных?

Решение: Дополнительно можно изобразить все числа в виде таблицы, и получить второе решение с вычитанием лишних случаев (грубо говоря, квадрат минус диагональ).

Задача 3: На окружности отмечены 5 красных и 7 синих точек. Рассмотрим всевозможные отрезки (хорды) с концами в отмеченных точках. У скольких отрезков концы а) разного цвета; б) одинакового цвета?

Решение: Очень полезно разобрать два решения: с деревом перебора и с таблицей. Отметить формулу сложения случаев.

Задача 4: В обычном домино на половинках доминошек бывает от 0 до 6 точек. Всего в комплекте 28 доминошек. А сколько доминошек будет в комплекте, где на половинке возможно от 0 до 13 точек?

Решение: 105. Поскольку задача двухходовая, часто дают неправильные ответы. В этом случае рекомендовать проверить способ решения на обычном домино. При разборе обязательно оформить рассуждения в виде таблицы.

Задача 5: Сколькими способами можно разменять 50 руб монетами в 1 и 2 руб?

Решение: 26. Каждый способ однозначно задается числом 2-рублевых монет, а их может быть от 0 до 25.

Задача 6: Сколькими способами можно поставить на доску черного и белого королей так, чтобы они не били друг друга?

Решение: Если черный король стоит в углу доски (4 поля), то белого короля на доску можно поставить 60 способами. Если черный король стоит на границе доски (но не в углу – 6 × 4 = 24 поля), то белого короля можно поставить на любое из 58 «незапрещенных» полей. Для всех остальных (их 36) положений черного короля имеется ровно 55 «незапрещенных» положений белого короля. Итого получаем 4 × 60 + 24 × 58 + 36 × 55 = 3612 способов.

Задача 7: В детский сад привезли кубики: красные и синие. Каждому из 100 детей выдали по 3 кубика, и каждый ребенок построил из своих кубиков башню. Какое наибольшее число различно раскрашенных башен могло получиться? А если выдали по 4 кубика? По 5? По 6? По 7?

Решение: 8, 16, 32, 64, 100. Полезно обратить внимание на последний ответ и причины его появления в ряду степеней двойки.

Задача 8: Сигнальное устройство состоит из пяти одноцветных лампочек, расположенных в ряд. Сколько различных сигналов можно подать с его помощью? А сколько, самое меньшее, надо взять лампочек, чтобы можно было подать 200 различных сигналов? А 1000 сигналов?

Решение: 32 сигнала. Для 200 сигналов нужно взять 8 лампочек, для 1000 сигналов – 10 лампочек.

Задача 9: Назовем число забавным, если все его цифры делятся на 4. Сколько забавных чисел среди четырёхзначных? А среди шестизначных?

Решение: 54 = 2 × 3 × 3 × 3; 486 = 2 × 35.

Задача 10: Как известно, компьютер работает с двоичными кодами, которые представляют собой записи, составленные из нулей и единиц (например, 11001011). Количество знаков в коде называется его длиной. Сколько разных символов можно закодировать двоичными кодами длины 5? Длины 6?

Задача 11: Во рту у марсианина есть 10 гнезд для зубов. В каждом гнезде либо есть зуб, либо его нет. Известно, что любые два марсианина отличаются набором зубов (т.е., если взять любых двух, то найдется гнездо, в котором у одного есть зуб, а у другого нет). Каково наибольшее возможно число марсиан?

Решение: Закодируем марсиан двоичными числами – ведь для каждого зуба имеется ровно две возможности: либо этот зуб есть, либо его нет. Таким образом, общее число марсиан не больше, чем число «кодировок» зубов, которое равно 2¹º = 1024.

Задача 12: Сигнальный флажок состоит из шести горизонтальных полосок белого, синего или красного цвета, причём верхняя полоска всегда синяя, а соседние полоски – разноцветные. Сколько бывает разных сигнальных флажков?

Решение: 32. Для каждой следующей полоски есть ровно две возможности! Придумайте способ их кодирования числами 0 и 1. Учтите, что таких способов существует не один, а несколько (а кстати, сколько??)

Задача 13: Назовем две цифры близкими, если они отличаются на 1. Кроме того, будем считать близкими цифры 0 и 9. Сколько существует различных десятизначных чисел, у которых любые две соседние цифры – близкие?

Решение: 9 • 29.

Задача 14: Из Манчестера в Ливерпуль ведут два шоссе с односторонним движением, пересеченные десятью проселками (см. рисунок). Машина выезжает из М в Л по одному из шоссе, и, доезжая до любой развилки, может либо свернуть на проселок, либо не сворачивать. Свернув, она проезжает проселок до конца и продолжает опять по другому шоссе (по тем же правилам). Сколькими разными способами можно проехать из Манчестера в Ливерпуль?

Задача 15: Имеется 10 различных книг. Сколькими различными способами можно выбрать из них одну или несколько книг для подарка?

Решение: «Одну или несколько» – значит, любое число, кроме нуля книг. Добавим еще и возможность подарить 0 книг – тогда общее число способов подарить книги будет равно 2¹º (объясните, почему?). Можно напомнить о связи этой задачи с задачей о «липовых» чашках-ложках-блюдцах.

Задача 1: Сколькими способами Алексей Николаевич может построить 50 шестиклассников в шеренгу?

Задача 2: Сколько сторон и диагоналей у 50-угольника?

Задача 3: Сколькими способами можно расставить на шахматной доске размером 50 × 50 пятьдесят ладей, не бьющих друг друга?

Решение: 50! Это пара к задаче 1 (а также 7 и 8).

Задача 4: Сколькими способами победитель «Поля чудес» может выбрать два приза из 50 имеющихся?

Решение: 50 × 49/2. Это пара к задаче 2. Каждый выбранный приз – вершина 50-угольника, а пара выбранных призов – это сторона или диагональ.

Задача 5: Сколькими способами можно выдать 50 шестиклассникам два наряда: на уборку апельсиновых корок и дежурство в столовой?

Задача 6: Сколькими способами можно из 50 участников собрания выбрать председателя и секретаря?

Решение: 50 × 49. Это пара к задаче 5. Дадим председателю наряд на уборку корок, а секретарю – наряд на столовую. И наоборот.

Задача 7: Есть два письма и 50 разных конвертов. Сколькими способами можно упаковать письма в конверты?

Решение: 50! Это пара к задаче 3. Кодировка такая: по горизонтали разложим письма, а по вертикали – конверты. Будем ставить ладью на пересечении горизонтали и вертикали тогда и только тогда, когда письмо, соответствующее горизонтали, кладем в конверт, соответствующий вертикали.

Задача 8: Есть 50 разных конфет. Сколькими способами можно раздать их по одной 50 шестиклассникам?

Решение: 50! Это пара к задаче 1 (а также задачам 2 и 7). Тот, кто получил первую конфету, встанет в шеренгу самым первым, получивший вторую конфету – вторым, и т.д.

Задача 9: Сколькими способами можно расставить в таблице 5 × 10 числа от 1 до 50?

Решение: 50! Это пара к задаче 8 (а значит, и к задаче 1). Занумеруем конфетки числами от 1 до 50, а шестиклассников посадим в клетки таблицы 6 × 8. Дальнейшее очевидно.

Задача 10: Сколькими способами можно отметить в таблице 5 × 10 две клетки?

Решение: это еще одна пара к задаче 2 (и к задаче 4). Расположим в таблице 5 × 10 точки, соответствующие 50 вершинам многоугольника. Отрезок, соединяющий пару вершин, – это либо сторона, либо диагональ. Нам нужно посчитать и те, и другие.

Задача 11: а) В левом верхнем углу доски 10 × 8 стоит ладья. Двое по очереди ходят ею, причём разрешается ходить только вправо или вниз. Выигрывает тот, кто ставит ладью в правый нижний угол. Кто выиграет при правильной игре: тот, кто ходит первым, или его партнер?

б) В одной кучке лежит 7 спичек, в другой – 9. За один ход разрешается взять любое число спичек, но только из одной кучки. Выиграл тот, кто взял последнюю спичку. Кто выиграет при правильной игре?

Решение: Заметим, что ладья может сдвинуться всего вправо на 9 клеток, а вниз – на 7. Будем кодировать каждый такой сдвиг взятием спичек из кучки. (А когда сдвинуться нельзя – это значит, что кучка опустела!) Выигрышная стратегия: сначала взять 2 спички из кучки-9 (встать ладьей на диагональ), а затем повторять ходы противника в другой кучке (возвращать ладью на диагональ).

Задача 12: а) В городе Колоколамске живут 10 шпионов по кличкам Нелли, Одри, Долли, Тилли, Чарли, Петя, Штирлиц, Супер, Вилли, Деловой. Нелли шпионит за Супером, Одри – за Чарли и Тилли, Долли – за Одри, Штирлицем и Вилли, Тилли – за Петей и Деловым, Чарли – за Долли и Деловым, Петя – за Штирлицем и Долли, Штирлиц – за Тилли и Петей, Супер – за Нелли и Вилли, Вилли – за Чарли, Деловой – за Одри и Вилли. Какое наибольшее число шпионов сможет выстроиться в очередь так, чтобы перед каждым, кроме первого, стоял тот, за кем он шпионит?

б) Какое наибольшее количество различных цифр можно выписать в ряд так, чтобы, подчеркнув любые две соседних, мы получили двузначное число, делящееся на 7 или 13? Число 07 тоже считается двузначным.

Решение: Все 10. Например, 0784291356. Теперь к задаче 12a. Закодируем шпионов цифрами (Нелли = Ноль, Одри = Один, и т.д.) Шпионство обозначим стрелочкой:

0 → 7;

1 → 4,3;

2 → 1,6,8;

3 → 5,9;

4 → 2,9;

5 → 6,2;

6 → 3,5;

7 → 0,8;

8 → 4;

9 → 1,8.

Обратим внимание на то, что выписаны все «двузначные числа», которые делятся на 7 или 13. Дальше остается решить любую из задач.

Задача 13: а) Летучая ладья ходит как обычная, только не может становиться на соседнюю клетку. Может ли она пройти по доске 4 × 4, побывав на каждой ее клетке ровно один раз?

б) Хромая ладья ходит как обычная, но только на соседнюю клетку. Может ли она пройти по доске 4 × 4, побывав на каждой ее клетке ровно один раз?

Решение: Поля доски для летучей ладьи и поля доски для хромой ладьи находятся в таком соответствии:

(Если на левом рисунке может сделать ход хромая ладья, то на правом ход между аналогичными клетками будет у летучей ладьи. И наоборот: для каждого хода летучей ладьи на правом рисунке будет существовать соответствующий ход хромой ладьи на левом.)

Принцип Дирихле

Задача 1: Пятнадцать мальчиков собрали вместе 100 орехов. Докажите, что какие-то двое из них собрали одинаковое количество орехов.

Решение: Предположим противное – тогда мальчики собрали не меньше, чем 0 + 1 + 2 + … + 14 = 105 орехов. Противоречие.

Задача 2: 10 друзей послали друг другу праздничные открытки. Каждый послал 5 открыток. Докажите, что двое послали открытки друг другу.

Решение: Всего было послано 50 открыток. Число «неориентированных» пар школьников равно , поэтому на какую-то пару приходится не менее двух открыток, ч.т.д.

Задача 3: Докажите, что в любой момент однокругового чемпионата найдутся две команды, сыгравшие одинаковое число матчей.

Решение: Не может существовать двух команд, одна из которых не сыграла ни одного матча, а другая – все матчи.

Задача 4: Числа 1, 2, …, 7 разбиты на две группы. Докажите, что произведение чисел хотя бы в одной из групп меньше 72.

Задача 5: Цифры 1, 2, …, 9 разбили на 3 группы. Докажите, что произведение чисел в хотя бы одной группе меньше 72.

Решение: Перемножим числа в трёх группах и докажем, что 9! < 72³.

Задача 6: Докажите, что из любых 10 чисел можно выбрать несколько, сумма которых делится на 10.

Решение: Эта задача содержит идею «вспомогательной последовательности сумм». Рассмотрим 10 сумм a1, a1 + a2, …a1 + a2 + … + a10. Среди них либо есть сумма, делящаяся на 10, либо две суммы с одинаковыми последними цифрами.

Задача 7: Докажите, что из 65 целых чисел всегда можно найти ровно 9 таких, сумма которых делится на 9.

Решение: Рассмотрим, сколько из чисел имеют одинаковые остатки при делении на 9. Если какой-то из остатков повторяется не менее 9 раз, то берем ровно 9 чисел с этим остатком. Если же такого остатка нет, то среди 65 чисел обязательно встретятся все 9 различных остатков. Возьмем по одному «представителю» – их сумма будет кратна 9.

Задача 8: Докажите, что из 65 целых чисел либо найдутся 9 таких, что каждое из чисел этой девятки, кроме последнего, делится на число, стоящее за ним, либо найдется девять таких чисел, что ни одно из них не делится на другое.

Решение: Будем выписывать в строчку числа до тех пор, пока следующее делится на предыдущее. Когда встретится число, не делящееся на предыдущее, начнем им новую строчку. В дальнейшем для каждого нового числа проверяем его делимость на последние числа во всех уже выписанных строчках, и если оно делится, то вписываем его. Если же делимости ни на одно из чисел нет, то снова начинаем новую строчку. В результате таких операций получим либо табличку, в которой более 8 строк, либо табличку, в которой хотя бы одна из строк содержит более восьми чисел.

Задача 9: Верно ли, что среди любых 34 разных натуральных чисел, не превосходящих 50, всегда можно выбрать два числа, одно из которых вдвое больше другого?

Решение: Да, верно.

Разобьем числа на такие пары-клетки:

(1,2), (3,6), (5,10), …, (25,50);

(4,8), (12,24), (20,40);

(16,32);

Добавим к этим 17-ти парам ещё не использованные 16 чисел, не превосходящих 50 (27, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 45, 47, 48, 49), каждое из них образует отдельную клетку. Всего получилось 33 клетки, поэтому в одну из них попадут хотя бы два данных числа. В «одноместную» клетку они попасть не могут, значит они попали в пару, так что одно из них действительно в два раза больше другого.

Задача 10: Докажите, что из 26 различных натуральных чисел, не превосходящих 50, всегда можно выбрать два числа, одно из которых делится на другое.

Решение: Разобьем числа на «цепочки»:

1-2-4-8-16-32;

3-6-12-24-48;

5-10-20-40;

…

25-50;

27;

…

49

Иначе говоря, каждая цепочка однозначно задана своим наименьшим нечётным делителем. Цепочек всего 25, поэтому какие-то два из 26 чисел попадут в одну и ту же цепочку.

Задача 11: Попробуйте обобщить предыдущую задачу, если вместо 50 в условии будет стоять произвольное чётное число 2N. (Какое число должно стоять вместо числа 26?)

Решение: N + 1

Задача 12: Дано 20 различных натуральных чисел, меньших 70. Рассматриваются всевозможные их попарные разности (из большего числа вычитают меньшее). Докажите, что среди них всегда найдутся четыре одинаковых.

Решение: Простая оценка числа попарных разностей не дает требуемого результата. Правильная оценка строится так: будем считать, что числа упорядочены по возрастанию, и рассмотрим числа a2 – a1, a3 – a2, …, a20 – a19. Сумма этих 19 натуральных чисел равна a20 – a1, то есть меньше 70 – 1. Но если предположить, что среди них нет четырёх равных, то там не более трёх единиц, трёх двоек, …, трёх шестерок и еще одно число, не меньшее 7. Сумма таких чисел не меньше, чем 3 • (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) + 7 = 70. Получили противоречие, доказывающее, что четыре равных разности найдутся даже среди выписанных 19 разностей соседних чисел.

Задача 13: В последовательности 2, 0, 0, 0, 2, 2, 4,…каждый член, начиная с пятого, равен последней цифре суммы предшествующих четырёх членов. а) Встретятся ли в этой последовательности еще раз подряд 4 цифры 2, 0, 0, 0? б) Встретятся ли в ней четыре подряд цифры 0, 0, 8, 2 ?

Решение: а) Да. б) Да. Последовательность рано или поздно зациклится, потому что четверка последовательных цифр однозначно определяет следующую цифру. При этом последовательность обратима с любого места, то есть в ее период входят все цифры, включая самые первые. Цифры 0,0,8,2 встретятся в ней как раз перед вторым появлением четверки 2,0,0,0, потому что если продлить вправо 0,0,8,2, то последовательно получим 0,0 и 0.

Задача 1: Коридор длины 6 м покрыт тремя трёхметровыми ковровыми дорожками, причём нигде дорожки не лежат в три слоя. Докажите, что какие-то две из них перекрываются не меньше, чем на 1,5 м.

Решение: Занумеруем дорожки слева направо. Закрасим все такие участки, где первая дорожка перекрывается со второй, а вторая с третьей. Суммарная длина таких перекрытий равна 3 м: три дорожки длины 9 м должны уместиться на коридоре длины 6 м. Следовательно, какое-то из этих трёх перекрытий не меньше 1,5 м (а какое-то другое – не больше 1,5 м).

Задача 2: Окружность длины 6 м покрыта тремя трёхметровыми дугами, причём никакие три дуги не имеют общих точек. Докажите, что какая-то пара дуг имеет пересечение не меньше, чем 1 м.

Задача 3: В комнате площадью 6 кв.м постелены на полу три ковра площади 3 кв.м каждый. Верно ли, что какие-нибудь 2 из них пересекаются по площади, не меньшей 1 кв.м.?

Решение: Будем считать, что сначала на пол положен первый ковёр, затем второй, затем третий, то есть ковёр с меньшим номером не может лежать на ковре с большим номером. Суммарная площадь ковров равна 9, площадь ковров, лежащих непосредственно на полу, не больше 6, значит, часть ковров площадью не меньше 3 лежит на других коврах.

Эта площадь складывается из:

1) части третьего ковра, лежащей непосредственно на втором,

2) части третьего ковра, лежащей непосредственно на первом

3) части второго ковра, лежащей на непосредственно на первом.

Отсюда следует, что одна из этих частей не меньше 1.

Задача 4: В комнате площадью 6 кв.м постелены на полу три ковра площади S кв.м каждый. Известно, что S > 2. Докажите, что какие-нибудь 2 из них пересекаются по площади, не меньшей S – 2 кв.м.

Задача 5: В комнате площадью 6 кв.м на полу постелены 4 ковра площади 2 кв.м каждый. Верно ли, что какие-то два из них обязательно перекрываются по площади, не меньшей 1 кв.м?

Решение: Нет, неверно. Контрпример строится очень легко.

Задача 6: Внутри квадрата со стороной 1 расположены 4 прямоугольника, площадь каждого из которых не менее 1/2. Докажите, что хотя бы два из них имеют общую часть площади не менее 1/6.

Задача 7: На кафтане площади 1 расположены 4 заплаты, площадь каждой из которых не менее 5/8. Докажите, что какие-то две из них имеют общую часть площади не менее 1/3.

Решение: «Излишек» площади состоит из 6 ( = 4 • 3/2) попарных пересечений (при этом возможны тройные и четверные пересечения). Обозначим через S1 площадь, покрытую только один раз, S2 – площадь двойных пересечений, через S3 – площадь тройных и через S4 – площадь четверных пересечений. Сумма всех площадей попарных пересечений равна S2 + 3S3 + 6S4. С другой стороны, по условию S1 + 2S2 + 3S3 + 4S4 ≥ 4 • 5/8 = Умножая это неравенство на 2 и вычитая очевидное условие 3(S1 + S2 + S3 + S4) ≤ 3 (квадрат не обязательно покрыт целиком!), получаем неравенство – S1 + S2 + 3S3 + 5S4 ≥ 2. Следовательно, S2 + 3S3 + 6S4 ≥ 2 и какое-то из попарных пересечений заплат не меньше 2/6.

Задача 8: На спортивные соревнования в ЛМШ ходили 220 школьников. При этом некоторые из них участвовали в чемпионатах, а остальные были зрителями. В легкоатлетической эстафете приняли участие 30 человек, в соревнованиях по волейболу – 26, пионерболу – 32, футболу – 31, шахматам – 28 и теннису – 36 человек. 53 школьника приняли участие более чем в одном соревновании; из них 24 школьника участвовали 3 или более раз, 9 школьников – не менее 4 раз и 3 школьника – даже 5 раз (в последнюю тройку входит и один чудак, который выступал во всех шести соревнованиях). Сколько из школьников были зрителями?

Решение: Это классическая задача на «круги Эйлера» и формулу включений и исключений – в ней необходимо тщательно разобраться с составом участников соревнований. В сумме в них были 30 + 26 + 32 + 31 + 28 + 36 = 183 школьника. Число школьников, игравших хотя бы один раз, равно 183 – 53 – 24 – 9 – 3 – 1 = 93. Оставшиеся 127 школьников были зрителями.

Задача 9: На кафтан площади 1 поставлены 5 заплат. Площадь каждой из них равна 1/2. Докажите, что найдутся две заплаты, пересекающиеся по площади не менее 1/5.

Решение: Обозначим через xk площадь части кафтана, покрытую ровно k заплатами (k = 0, 1, …, 5). По условию площадь кафтана равна 1, а сумма площадей заплат – 5/2: S0 = x0 + x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1,S1 = x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 = 5/2. Сумма площадей всех 10 попарных пересечений заплат равна S2 = x2 + 3x3 + 6x4 + 10x5. Оценим ее: S2 ≥ – 3x0 – x1 + x2 + 3x3 + 5x4 + 7x5 = 2S1 – 3S0 = 2, поэтому хотя бы одно из 10 попарных пересечений будет по площади не меньше 2/10. Равенство возможно, только если x0 = x1 = x4 = x5 = 0 и все 10 попарных пересечений равны по площади!

Задача 10: На кафтане площади 1 имеется 5 заплат площади 1/3. Докажите, что найдутся такие две заплаты, площадь общей части которых не меньше 1/15.

Задача 11: На кафтане площади 1 имеется 9 заплат площади 1/5. Докажите, что найдутся такие две заплаты, площадь общей части которых не меньше 1/45.

Математические игры

Задача 1: В двух кучках лежат предметы, по 100 предметов в каждой. За ход разрешается взять произвольное количество предметов, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Найдите выигрышную стратегию для второго игрока.

Решение: Второму игроку достаточно повторять ходы первого, но только в другой кучке. Таким образом, только после ходов второго в количество предметов в кучках становится равным, следовательно, ситуация, когда в обеих кучках не останется ни одного предмета, также может наступить только после хода второго, а, значит, он не проиграет. Поскольку с каждым ходом количество предметов в кучках уменьшается, игра закончится, и так как второй не проиграет – он выиграет.

Задача 2: В трёх кучках лежат предметы, по 100 предметов в каждой. За ход разрешается взять произвольное количество предметов, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Найдите выигрышную стратегию для первого игрока.

Решение: Забирая все предметы из одной кучки, первый сводит игру к игре «две кучки по 100», в которой он играет уже вторым.

Задача 3: Два миллионера по очереди кладут пятаки на круглый стол, так, чтобы они не накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Как надо играть миллионеру, который кладёт первый пятак, чтобы наверняка выиграть?

Решение: Выигрывает первый. Первый ход – положить пятак в центр стола, и дальше симметрия.

Задача 4: Двое по очереди разламывают шоколадку. За один ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из имеющихся кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто первым отломит дольку 1 × 1. Кто выигрывает при правильной игре, если шоколадка имеет размеры а) 10 × 10; б) 10 × 13. в) шоколадка 10 × 13, но первый получивший дольку 1 × 1 выигрывает.

Решение: Всюду выигрывает второй, разделив шоколадку на две, и далее действуя симметрично. В пункте в) надо играть симметрично до предпоследнего момента.

Задача 5: Двое по очереди ставят шахматных слонов в клетки доски 8 × 8 так, чтобы слоны не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре, и как ему при этом нужно играть?

Решение: Выигрывает второй. Симметрия относительно вертикальной оси или относительно центра.

Задача 6: У ромашки а) 12 лепестков; б) 11 лепестков. За ход разрешается оторвать либо один лепесток, либо два рядом растущих лепестка. Проигрывает тот, кто не может сделать хода.

Решение: В обоих случаях выигрывает второй. Своим первым ходом он разбивает лепестки на две одинаковых группы, а дальше действовать симметрично. В а) проходит и тривиальная центрально-симметричная стратегия.

Задача 7: Доска 8 × 8. За ход можно положить доминошку на любое свободное место. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход.

Решение: Выигрывает второй, стратегия – центральная симметрия.

Задача 8: В каждой клетке доски а) 11 × 11 б) 11 × 12 в) 12 × 12 стоит шашка. За ход разрешается снять с доски любое количество подряд идущих шашек либо из одного вертикального, либо из одного горизонтального ряда. Выигрывает снявший последнюю шашку.

Решение: В а) выигрывает первый. Например, первым ходом он снимает центральную шашку и дальше действовует центральносимметрично. В б) первым ходом нужно снять всю центральную (шестую) вертикаль, а дальше действовать осесимметрично. (Эта же стратегия проходит и в задаче а)). И, наконец, в в) можно сразу действовать центральносимметрично, поэтому выигрывает второй.

Задача 9: Для игры «щелк» требуется прямоугольная шоколадка (в этой задаче – шоколадка 8 × 8). За ход разрешается съесть произвольную дольку и все находящиеся справа и сверху от неё. Проигрывает тот, кто съедает левую нижнюю дольку.

Решение: Выигрывает первый. Он должен первым ходом съесть квадрат 7 × 7, и далее действовать симметрично.

Задача 10: Двое играют в следующую игру: первый выбирает любое поле на доске 8 × 8, ставит туда короля и делает ход (король может ходить в соседние и соседние по диагонали клетки), при условии, что на эту клетку раньше никто не вставал. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Решение: Выигрывает второй. Клетки разбиваются на пары стоящих рядом (например на доминошки), и как только первый поставил короля на одну из клеток пары, второй ходит на другую.

Задача 1: Игра начинается с числа 60. За ход разрешается уменьшить имеющееся число на любой из его делителей. Проигрывает тот, кто получит ноль.

Решение: Во-первых, заметим, что эта игра всегда заканчивается победой одного из игроков: числа на доске постоянно уменьшаются, поэтому рано или поздно на доске окажется число 0. Теперь докажем, что выигрывает первый. Своим ходом он всегда может забирать 1, оставляя второму нечётное число. Второй должен отнять от нечётного числа какой-нибудь его делитель, а поскольку все делители нечётных чисел нечётны, то в результате после хода второго на доске опять окажется чётное число. Таким образом, первый игрок всегда сможет сделать ход, то есть он не может проиграть. Следовательно (см. первое замечание), проиграет второй.

Задача 2: Волк и Заяц играют в следующую игру: на доске написано некоторое натуральное число с ненулевой последней цифрой. Ход состоит в том, что из числа вычитают какую-нибудь его ненулевую цифру и пишут результат вместо старого числа. Выигрывает тот, кто первым получит нуль.

Решение: Первый игрок постоянно вычитает из числа его последнюю (ненулевую!) цифру.

Задача 3: Имеется две кучи конфет: в первой – 40, во второй – 45. За ход нужно одну кучу съесть, а другую разделить на две (не обязательно равные). Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение: В этой игре выигрывает первый игрок. Он всегда съедает нечётную кучку, а чётную делит на две нечётных – в результате после его хода оказываются две нечётных кучки, а после хода второго – снова одна нечётная и одна чётная кучка. Единственная позиция, в которой невозможно сделать ход – позиция (1,1), которая могла получиться только после хода первого игрока.

Задача 4: Имеется две кучи конфет: в первой – 100, во второй – 201. За ход разрешается съесть из одной кучки любое число конфет, являющееся делителем количества конфет в другой кучке. Выигрывает тот, кто съедает последнюю конфету.

Решение: И здесь выигрышными являются позиции, в которых обе кучки содержат нечётное число конфет. Первый игрок должен своим ходом взять 1 конфету из первой кучки.

Задача 5: Два игрока ставят по очереди числа вместо звездочек в следующей системе равенств:

(в последнем равенстве справа 8 слагаемых). Второй игрок выигрывает, если все равенства выполняются, в противном случае выигрывает первый.

Решение: Эта задача кодируется игрой про 8 шашек, стоящих на диагонали шахматной доски.

Задача 6: Имеется полоска клетчатой бумаги длиной 10 клеток. В крайней правой ее клетке стоит шашка (рис. 1). Двое играющих по очереди передвигают ее влево на одну или две клетки. Проигрывает тот, кому некуда ходить.

6cm

Рис 1.

Решение: Представим себе, что шашка уже дошла до крайней левой клетки, помеченной на рис. 1 цифрой 0. Понятно, что в этом случае проиграл тот, чья очередь ходить (назовем его очередником), потому что ходить ему некуда. А вот если шашка стоит на клетках 1 или 2 то очередник одним ходом сдвинет ее на клетку 0 и выиграет. Отметим клетку 0, где очередником быть невыгодно, минусом, а выгодные для очередника клетки 1 и 2 – плюсами (рис. 2).

6cm

Рис 2.

6cm

Рис 3.

Теперь посмотрим, каково быть очередником, когда шашка стоит на клетке 3? Если сдвинуть шашку на одну клетку, она окажется на клетке 2, а если на две – на клетке 1. Обе клетки выгодны для очередника, да только очередником будет уже не тот, кто ходил, а его партнер. Он и выиграет. Получается, что клетка 3 для очередника невыгодна, а клетки 4 и 5 выгодны: с них очередник одним ходом переводит шашку на клетку 3, и его партнер, став очередником, оказывается у разбитого корыта. Продолжая в том же духе, нетрудно показать, что клетка 6 невыгодна для очередника, клетки 7 и 8 – выгодны, а клетка 9 – снова невыгодна (рис. 3). Стало быть выигрывает второй игрок.

Задача 7: Кто выигрывает в игре Баше, если длина полоски составляет 11 клеток? 12 клеток? 13 клеток? 2000 клеток?

Решение: Как видно из решения предыдущей задачи, невыгодные для очередника позиции – это клетки, номера которых имеют остаток 1 при делении на 3. Поэтому на полоске длиной 12 клеток выигрывает второй игрок, а на полосках длин 11, 13 и 2000 клеток – первый.

Задача 8: Изменим правила игры Баше: теперь за один ход можно сдвигать шашку на 1, 2, 3, 4 или 5 клеток, а длина полоски – 13 клеток.

Решение: Нарисуем эту полоску и, как в предыдущей задаче, отметим на ней плюсами и минусами клетки, выгодные и невыгодные для очередника. Получается, что невыгодные для очередника клетки (то есть клетки, на которые надо ходить, чтобы выиграть) имеют остаток 1 при делении на 6.

Задача 9: А теперь в игре Баше можно сдвигать шашку на 3, 6, 9 или 12 клеток, а длина полоски – 40 клеток.

Задача 10: Проанализируйте игру Баше, где можно сдвигать шашку на 1, 3 или 4 клетки, а длина полоски – 15 клеток. А что можно сказать про случай, если длина полоски – 2000 клеток?

Задача 1: Имеется 40 конфет. Двое по очереди едят от одной до шести из них. Выигрывает съевший последнюю конфету.

Решение: А что это, как не игра Баше? Первым ходом нужно съесть 5 конфет.

Задача 2: Имеется 40 конфет. Двое по очереди едят от 1 до 6 из них. Тот, кто съел последнюю, проигрывает.

Решение: Это тоже игра Баше, только цель в ней – достичь не нуля конфет, а одной конфеты! Все выигрышные позиции сдвинуты на 1 относительно «стандартной» игры. Первый игрок должен первым ходом съесть 4 конфеты.

Задача 3: В 6-й класс ЛМШ приехало 50 школьников. За ход разрешается съесть двух, четверых или семерых из них. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение: Выигрышными здесь являются все «позиции», в которых число школьников больше 3 и не кратно 3, а также «позиции» 2 и 3. Работает стратегия «ставь на минус!» – первым ходом игрок должен съесть двух школьников и оставить 48. Затем на каждый ход 2 он отвечает ходом 7, а на каждый ход 4 или 7 – ходом 2. Так он действует до тех пор, пока число школьников не станет равно 6, 9 или 12. В позиции «12» на ход 7 надо ответить ходом 4 (соответственно, на ход 4 нужно ответить ходом 7), а на ход 2 – также ходом 4. В позиции «9» на ход 7 отвечаем ходом 2 (и наоборот), а на ход 4 – тоже ходом 4. Наконец, в позиции «6» возможны только ходы 4 и 2, поэтому все очевидно.

Задача 4: В чашке сидит 105 микробов. За ход разрешается вытащить 2, 3 или 5 микробов. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход.

Решение: Проигрышными являются позиции вида 7k и 7k + 1. Поскольку 105 – одна из таких позиций, то в игре выигрывает второй игрок.

Задача 5: Конь стоит на поле a1. За ход разрешается передвигать коня на две клетки вправо и одну клетку вверх или вниз, или на две клетки вверх и на одну вправо или влево. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Решение: Проигрывает первый игрок. На доске проигрышными клетками являются только a1, c3, c4, d3, d4, c7, c8, d7, d8, g3, g4, h3, h4, g7, g8, h7, h8.

Задача 6: В кучке n спичек. За ход нужно взять от 1 до 3 спичек, но не столько, сколько только что взял противник. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре сторон а) при n = 12 б) при n = 13?

Решение: Для анализа игры нужно понять, что она ведется на поле n × 3, где номер строки соответствует величине последнего хода, сделанного соперником.

Задача 7: В куче – n спичек, из них 3 – обломанные, остальные – целые. За ход можно взять 1, 2 или 3 спички, но обломанные можно брать только когда кончились целые. Тот, кому досталось меньше обломанных спичек, выплачивает разницу в их числе другому. Кто победит и с каким счетом а) при n = 13; б) при n = 14?

Задача 8: Имеется две кучи по семь апельсинов. За ход разрешается съесть один апельсин из любой кучки или по одному апельсину из каждой кучки. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.

Задача 9: Король стоит на поле a1. За один ход разрешается сдвинуть его на одну клетку вверх, одну клетку вправо или одну клетку по диагонали вправо-вверх. Выигрывает тот, кто поставит короля на поле h8.

Решение: Эти две игры кодируются друг дружкой.

Задача 10:

.7mm

В начале игры фишка стоит на верхней позиции П. Игроки по очереди передвигают ее на одну позицию вниз по линиям. Игра заканчивается, когда фишка попадает на число. После этого второй выплачивает первому столько тугриков, каково это число (если число меньше 0, то на самом деле выплачивает первый второму). Сколько тугриков будет выплачено при наилучшей игре сторон, и какой игрок их получит?

Решение: Второй выплатит первому 2 тугрика.

Задача 11: В трёх кучках лежит по 7 камней. За ход можно взять любое количество камней, но только из одной кучки. Выигрывает взявший последний камень. а) Кто выигрывает в этой игре, если в нее играют 2 человека? б) Докажите, что если в эту игру играют трое, то двое из них могут сговориться и обыграть третьего.

Задача 12: В коробке лежат 300 спичек. За ход можно взять из коробка не более половины имеющихся в нем спичек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение: Проигрышными позициями («минусами») являются 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127 и 255.

Задача 13: На столе лежат 9 карточек, на которых написаны натуральные числа от 1 до 9. Двое по очереди откладывают в сторону по одной карточке. Проигрывает тот, после хода которого сумма чисел на отложенных карточках станет больше 25.

Решение: Первый берет карточку с числом 5, а затем дополняет ходы противника до 10.

Задача 1: Найдите выигрышную стратегию для первого игрока в игре «щёлк» на шоколадке 2 × 100.

Решение: Выигрышные позиции – шоколадки, со столбцами длинами n + 1 и n.

Задача 2: Проанализируйте игру «щёлк» на огрызке шоколадки из трёх строчек: 2, n и n + 2 дольки. а) Кто выигрывает при n = 2,3,4,5 б) n – произвольное.

Задача 3: Игра в «двойные шахматы» ведется также, как и в обычные, только игроки делают по 2 хода за раз. Докажите, что в этой игре у второго игрока не может быть выигрышной стратегии.

Решение: Передача хода – ход конём туда-обратно, в результате чего позиция не изменится. Знатоки шахматных правил могут заметить, что на самом деле ситуация в игре всё же не вполне симметрична, так как есть, наример, правило троекратного повторения позиции (и правило 50 ходов). Полезно подумать, как можно ответить на эти возражения.

Задача 4: Докажите, что в игре «щёлк» у первого игрока есть выигрышная стратегия на любой прямоугольной шоколадке, в которой больше одной дольки (предъявлять стратегию не обязательно).

Решение: Вничью игра закончиться не может. Предположим, что выигрышная стратегия есть у второго игрока. Долька, находящаяся в правом верхнем углу съедена в любом случае после первого хода. Если у второго есть выигрышная стратегия, то у него есть выигрышный ответный ход на ход первого, состоящий в поедании только правой верхней дольки. Но этот выигрышный ход первый может с тем же успехом сделать сам с самого начала, а далее воспользоваться выигрышной стратегией второго! (А так ли получается, если в шоколадке всего одна долька?)

Задача 5: На бесконечной доске двое играют в крестики-нолики. Кто поставит пять своих в ряд – по вертикали или горизонтали – выигрывает. Докажите, что при правильной игре первый не проигрывает.

Задача 6: На доске написано число 2. За ход можно к записанному числу прибавить один из его делителей отличный от самого этого числа. Проигрывает тот, кто получит число большее 1000. Докажите, что у первого игрока есть выигрышная стратегия.

Решение: После первых двух ходов всегда получается число 4. Из него можно получить как 5, так и 6, но из 5 можно получить только 6. Следовательно, после числа 4 можно осуществить передачу хода в зависимости от того, выигрышным или проигрышным является число 6.

Задача 7: Двое играют в следующую игру: первый выбирает любое поле на доске 8 × 8, ставит туда а) короля; б) коня и делает ход этой фигурой, причём разрешается ходить только на те клетки, на которые раньше никто не вставал. Далее игроки ходят по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Решение: Выигрывает второй. Клетки разбиваются на пары стоящих «ходом короля (коня)», и как только первый поставил короля (коня) на одну из клеток пары, второй ходит на другую.

Задача 1: Может ли в месяце быть 3; 4; 5; 6 воскресений?

Задача 2: Может ли в году быть 51; 52; 53; 54 воскресенья?

Задача 3: Может ли сумма цифр трёхзначного числа быть равной 22? А равной 28?

Задача 4: Может ли произведение цифр трёхзначного числа быть равно 22? 28? 350? 730?

Задача 5: Позавчера Васе было 11 лет, а в следующем году исполнится 14. Может ли такое быть?

Задача 6: Двое близнецов родились с интервалом в 10 минут. Когда спустя 7 лет они готовились идти в первый класс, их спросили, сколько им лет. «Мне вчера исполнилось семь», – гордо ответил один. «А мне семь исполнится только завтра», – признался второй. Как такое могло быть?

Решение: Они родились в ночь с 28 февраля на 1 марта невисокосного года, а в школу поступали в високосном году. Вопрос был задан 29 февраля.

Задача 7: Можно ли в прямоугольную таблицу поставить числа так, чтобы в каждом столбце сумма была положительна, а в каждой строке – отрицательна?

Задача 8: Можно ли в таблицу 4 × 4 поставить числа – 1, 0 и 1 так, чтобы все 8 сумм чисел в строках и столбцах были различными?

Задача 9: Можно ли в прямоугольной таблице расставить натуральные числа так, чтобы в каждом столбце сумма чисел была больше 100, а в каждой строке – меньше 5 ?

Задача 10: Может ли и сумма, и произведение нескольких натуральных чисел быть равными а) 999? б) 1999?

Решение: а) Да. Например, это числа 111, 9 и много-много единиц. б) Нет. 1999 – простое число, так что среди множителей непременно присутствует само это число, а тогда сумма больше 1999.

Задача 11: Площадь прямоугольника меньше 1 кв.м. Может ли его периметр быть больше 1 км?

Решение: Да, пусть стороны равны 500 м и 1/1\,000 м.

Задача 12: На балу было юношей и девушек поровну, было 10 танцев и каждый раз танцевали все.

а) Могло ли получиться, что каждый юноша каждый следующий танец танцевал либо с более красивой, либо с более умной девушкой?

Решение: Пусть на балу 3 юноши и 3 девушки А, Б и В, причём красота возрастает в порядке АБВ, а ум – в порядке БВА. Юноши чередуют девушек по кругу в порядке АБВ.

Задача 13: Сумма положительных чисел больше 10. Может ли сумма их квадратов быть меньше 1?

Решение: Да. Возьмем 1001 число, все равны 1/100, тогда их сумма равна , а сумма квадратов – 1\,001/10\,000.

Задача 14: На занятии Вася, Леня и Стас решили все задачи. Может ли оказаться, что Стас большинство задач решил раньше Лени, Леня – большинство раньше Васи, а Вася – большинство раньше Стаса?

Решение: Например, задач всего три, первую задачу решил сперва Стас, потом Леня, потом Вася; вторую – Леня, Вася, Стас; третью – Вася, Стас, Леня.

Задача 15: Фирма проработала год, подсчитывая свою прибыль каждый месяц. Каждые два подряд идущих месяца суммарная прибыль была отрицательной.

а) Может ли суммарная прибыль за весь год быть положительной?

б) А за первые 11 месяцев?

Решение: а) Нет. Разбиваем 12 месяцев на пары, складываем и видим, что суммарная прибыль тоже должна быть отрицательной. б) Да: представим, что каждый нечётный месяц фирма работала с прибылью + 100, а в каждом чётном месяце прибыль равнялась – 101.

Задача 16: В однокруговом футбольном турнире за победу давали 2 очка, за ничью 1 очко, за поражение 0 очков. «Спартак» одержал больше всех побед. Мог ли он набрать меньше всех очков?

Решение: Да. Пусть Спартак одержал победу лишь однажды, а остальные матчи проиграл. Все матчи, в которых Спартак не участвовал, завершились вничью. Если в турнире участвовало не меньше пяти команд, то у Спартака меньше всех очков.

Задача 17: Можно ли на шахматной доске расставить а) 9 ладей; б) 14 слонов так, чтобы они не били друг друга?

Решение: Нельзя в обоих пунктах.

Задача 18: Какое наибольшее число ладей (слонов, королей, ферзей, коней) можно расставить на доске так, чтобы они не били друг друга?

Решение: 8 (12, 32, 8, 32)

Задача 19: У шахматной доски выпилены а) угловая клетка; б) две противоположные угловые клетки; в) две клетки разного цвета. Можно ли такую испорченную доску распилить на двуклеточные прямоугольники?

Решение: в) Обойдем шахматную доску ладьей по циклу. Выброшенные клетки разного цвета разобьют цикл на два куска чётной длины, и каждый кусок режется на пары соседних клеток.

Задача 20: Из 4 одинаковых с виду монет одна фальшивая (легче настоящей). Можно ли наверняка найти ее за одно взвешивание на чашечных весах без гирь?

Решение: Нельзя, поскольку при невезении после взвешивания останутся 2 подозрительные монеты.

Задача 21: На сковороде могут одновременно жариться 2 котлеты. Каждую надо обжарить с обеих сторон, причём для обжаривания одной стороны требуются 2 минуты. Можно ли поджарить 3 котлеты быстрее, чем за 7 минут?

Решение: Да. Через две минуты одну котлету переворачиваем, а вторую снимаем и вместо нее кладем третью. Через четыре минуты снимаем первую котлету, вместо нее кладем дожариваться вторую (на вторую сторону), а третью котлету переворачиваем. Через шесть минут котлеты готовы.

Задача 22: В магазин привезли платья трёх цветов и трёх фасонов. Всегда ли можно выбрать для витрины 3 платья, чтобы были представлены все цвета и все фасоны?

Решение: Не всегда. Например, если есть три красных платья трёх фасонов, и еще синее и зеленое платье первого фасона, то выбрать требуемым образом нельзя.

Задача 1: На двух кустах сидело 25 воробьев. После того как с первого куста перелетело на второй 5, а со второго улетело 7 воробьев, то на первом кусте осталось вдвое больше воробьев, чем на втором. Сколько воробьев было на каждом кусте первоначально?

Решение: Пусть x – количество воробьёв на первом кусте. Тогда x – 5 = 2 × (25 – x – 7 + 5). Решаем, и получаем, что x = 17.

Задача 2: Золотоискатель Джек добыл 9 кг. песка. Сможет ли он за три взвешиванимя отмерить 2 кг песка с помощью двухчашечных весов а) с двумя гирями – 200 г и 50 г; б) с одной гирей 200 г?

Решение: Сможет в обоих пунктах

а) сначала надо без гирь отмерить 4 кг 500 г и 2 кг 250 г, а третьим взвешиванием при помощи гирь и отмеренного веса 2 кг 500 г взвесить 2 кг.

б) При помощи гири взвесим и , потом разделим на две равные части по и, наконец, отвесим ровно 2 кг.

Задача 3: Часы показывают час дня. Найти ближайший момент времени, когда часовая и минутная стрелка совпадут.

Решение: Это произойдет через 1/11 часа.

Задача 4: Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28, французским – 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским – 10, немецким и французским – 5, всеми тремя языками – 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком?

Решение: только английским владеет 13 человек, только французским – 30, только немецким – 20 человек. 20 человек не знают ни одного из этих языков.

Задача 5: Три человека выписали по 100 различных слов. После этого слова, встречающиеся не менее двух раз, вычеркнули. В результате у одного осталось 45 слов, у другого – 68, а у третьего – 54. Докажите, что по крайней мере одно слово выписали все трое.

Решение: Если бы это было не так, то сумма всех попарных пересечений содержала бы чётное число слов.

Задача 6: Оксана Николаевна раздавала фумигаторы для шести отрядов. Каждому отряду она давала половину всех имеющихся у нее фумигаторов и еще полфумигатора. Оксана Николаевна раздала все фумигаторы. Сколько их всего было?

Решение: 63.

Задача 7: На доске написаны 10 единиц и 10 двоек. За ход разрешается стереть две любые цифры и, если они были одинаковыми, написать двойку, а если разными – единицу. Если последняя оставшаяся на доске цифра – единица, то выигрывает первый игрок, а если двойка – то второй. Докажите, что игрок, который ходит вторым, всегда выигрывает.

Решение: Чётность количества единиц не меняется.

Задача 8: Каких натуральных чисел, меньших 200,000, больше: тех, которые делятся на 8 и не делятся на 9, или тех, которые делятся на 9 и не делятся на 8?

Решение: Первых. Добавим и к тем, и к другим все числа, кратные 72. Тогда вопрос превратится в такой: каких чисел больше – тех которые делятся на 8 или тех, которые делятся на 9? Ответ на этот вопрос очевиден.

Задача 1: На озере расцвела одна лилия. Каждый день число ее цветков удваивалось, а на 20-й день всё озеро покрылось цветами. На который день покрылась цветами половина озера?

Решение: Начнём с конца. Пусть сегодня половина озера покрылась цветами. Через сколько дней покроется всё озеро? Завтра! И это будет 20-й день.

Ответ: за 19 дней.

Задача 2: Мама послала Алешу в магазин за покупками, вручив ему кошелек с деньгами. Половину денег Алеша уплатил за молоко и сыр. Доехав за 3 р. на автобусе до магазина, половину оставшихся денег и еще 1 р. он уплатил за книгу. На половину того, что еще осталось, Алеша купил тетрадей. Выйдя из магазина, он купил мороженое за 4 р., оставив деньги лишь на обратный проезд на автобусе. Сколько денег мама дала Алеше?

Решение: Так как нам известно количество денег перед последней покупкой, то задачу проще решать с конца. После покупки тетрадей у Алеши осталось 7 р., значит, за тетради он заплатил 7 р. Тогда 14 р. вместе с 1 р. – это половина денег, бывших у Алеши до покупки книги. Тогда до покупки книги у него было 30 р. Поэтому после покупки молока и сыра у Алеши оставалось 33 р., а это половина первоначальной суммы. Т.е. мама дала Алеше 66 р.

Задача 3: 48 спичек разложены по трем кучкам. Известно, что если из первой кучки переложить во вторую столько спичек, сколько в этой второй кучке имеется, а затем из этой второй переложить в третью столько, сколько в этой третьей находится и, наконец, из третьей переложить в первую столько спичек, сколько в этой первой кучке будет тогда находиться, то число спичек во всех кучках станет одинаковым. Сколько спичек было в каждой кучке первоначально?

Решение: Эту задачу также проще решать с конца. Так как после всех перекладываний число спичек в кучках стало одинаковым, то в каждой кучке их оказалось 48:3 = 16 штук. Перед этим в первой кучку добавили столько спичек, сколько в ней было, т.е. 8 штук. Эти 8 спичек взяли из третьей кучки, т.е. там перед последним перекладыванием было 16 + 8 = 24 спички. Но эти 24 спички мы получаем перекладыванием из второй кучки в третью такого количества спичек, какое в третьей кучке уже было. Т.е. удвоением спичек. Значит до второго перекладывания в третьей кучке было 12 спичек, а во второй 16 + 12 = 28 спичек. Рассуждая аналогично получаем, что во второй кучке 14 спичек, а в первой 8 + 14 = 22 спички.

Ответ: Первоначально в первой кучке было 22 спички, во второй – 14, а в третьей – 12.

Задача 4: Алеша задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число задумал Алеша?

Решение: 10

Задача 5: Микрокалькулятор позволяет делать с введённым в него числом две операции: умножать на 2 или переставлять его цифры. Можно ли получить из числа 1 число 68?

Задача 6: В колбу пустили бактерию. Каждую минуту число бактерий удваивается. Через три часа колба заполнилась бактериями. В какой момент бактериями была заполнена четверть колбы?

Решение: Через 2 часа 58 минут.

Задача 7: Над озерами летели гуси. На каждом садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на 7 озерах. Сколько было гусей?

Решение: 127.

Задача 8: Клетчатая доска 8 × 8 выложена плитками домино 1 × 2. Докажите, что какие-то две из них образуют квадрат из четырёх клеток.

Задача 9: Учитель раздавал школьникам открытки. Первому он дал одну открытку и одну десятую оставшихся. Второму он дал две открытки и одну десятую оставшихся и т.д. Девятому он дал девять открыток и одну десятую оставшихся. Оказалось, что все получили поровну и все открытки были розданы. Сколько всего было открыток?

Решение: 81

Задача 10: По кругу расставлены 9 нулей и единиц, причём не все они равны. За один ход между каждыми двумя соседними числами записывается 0, в случае если они равны, и 1 в противном случае. Далее старые числа стираются. Могут ли в конце все числа оказаться равными?

Решение: Нет, не могут

Задача 11: За столом сидят 7 гномов, перед каждым – кружка, в некоторые налит эль (но, быть может, не поровну). Первый разлил весь свой эль поровну в кружки всем остальным. Затем второй разлил свой эль поровну всем остальным (включая первого), затем третий гном и т.д. до седьмого. Когда и седьмой гном разлил свой эль, у всех оказалось столько же эля, сколько было вначале. Сколько эля в каждой кружке, если всего его 3 литра?

Решение: 6/7, 5/7, 4/7, 3/7, 2/7, 1/7 и 0.

Задача 12: На большой клетчатой доске стоят (живут) несколько шашек. За один ход некоторые шашки убираются с доски (умирают), кроме того на некоторых клетках шашки появляются (рождаются). Рождение и смерть происходят одновременно на всех клетках по следующим законам:

• Живая шашка умирает, если у неё меньше двух или больше трёх живых соседей (по стороне или углу).
• Шашка рождается в клетке, если у этой клетки три соседа (по стороне или углу).

Оказалось, что на доске шашки стоят так, как показано на рисунке. Какое положение шашек могло быть за ход до этого?

Задачи для учеников 5 – 7 классов

Задача 1. Известный бизнесмен Андрей Крутой пришел в Госбанк, чтобы обменять несколько 50- и 100- долларовых купюр старого образца. Ему было выдано 1999 купюр достоинством 1, 5 и 25 долларов. Докажите, что его обсчитали.

Задача 2. Три землекопа за два часа выкопали три ямы. Сколько ям выкопают шесть землекопов за пять часов?

Задача 3. Кот Матроскин и пес Шарик каждое утро бегают на речку умываться. Они выскакивают из дома одновременно и бегут по одной и той же тропинке. Скорость каждого из них постоянна, но Матроскин бежит в 3 раза быстрее Шарика, зато моется в 2 раза дольше, чем Шарик. Однажды Шарик, прибежав к речке, обнаружил, что не взял с собой полотенце. Он тут же побежал домой, схватил полотенце и прибежал к речке как раз в тот момент, когда Матроскин закончил умываться (бежал Шарик по той же тропинке и с той же скоростью, что и каждое утро). Кто обычно прибегает домой раньше – Шарик или Матроскин или они прибегают домой одновременно?

Задача 4. В Цветочном городе живет 14 коротышек. Они объединены в различные партии. По закону, партия должна состоять не менее чем из 3 коротышек, и две разные партии не могут состоять из одних и тех же членов. Кроме того, каждый коротышка может быть членом не более 2 партий. Какое наибольшее число партий может быть в Цветочном городе?

Задача 5. Во время шторма капитан корабля приказал выбросить за борт половину из 30 тюков с товарами, которые везли два купца. Купцы были в нерешительности: каждому было жаль выбрасывать свой груз. Видя это, капитан сказал: «Сделаем так: матросы расставят 30 тюков по кругу, а мы будем по кругу ходить и выбрасывать каждый девятый тюк, пока не выбросим половину тюков». Один из купцов подкупил матросов, и они сумели расставить тюки так, что 15 оставшихся на палубе тюков оказались с товарами одного купца. Как были расставлены тюки?

Задача 6. Футбольный мяч сшит из 32 лоскутков: белых шестиугольников и черных пятиугольников. Каждый черный лоскуток граничит только с белыми, а каждый белый - с тремя черными и тремя белыми. Сколько лоскутков белого цвета?

Задача 7. Инженер ежедневно приезжал на станцию в одно и то же время, и в то же время за ним подъезжала машина, на которой он ехал на завод. Однажды инженер приехал на станцию на 55 мин раньше обычного. Сразу пошел навстречу машине и приехал на завод на 10 мин раньше, чем обычно. Во сколько раз скорость инженера меньше скорости машины?

Задача 8. В вагоне электропоезда ехали из города на дачу две подруги-школьницы. «Я замечаю, – сказала одна из подруг, – что обратные дачные поезда нам встречаются через каждые 5 мин. Как ты думаешь, сколько дачных поездов прибывает в город в течение одного часа, если скорости поездов в обоих направлениях одинаковы?» «Конечно, 12, так как 60 : 5 = 12», – сказала вторая подруга. Но школьница, задавшая вопрос, не согласилась с решением подруги и привела ей свои соображения. А что вы думаете по этому поводу?

Задача 9. В триседьмом царстве живут драконы. У каждого дракона одна, две или три головы, а) Может ли у 40 % драконов быть 60 % голов? б) Может ли у 40 % драконов быть 70 % голов?

Задача 10. У филателиста Бори большое количество марок. Однажды он решил разместить их в большом альбоме, состоящем из 1000 страниц, так, чтобы на всех заполненных страницах марок было поровну (какие-то страницы в конце альбома могут остаться пустыми). Но когда Боря попробовал раскладывать по 7 марок на странице, то у него 5 марок осталось (но не все страницы были заполнены). Тогда он стал раскладывать сначала по 11 марок на странице, затем – по 13 марок на странице. Но снова у него оба раза осталось 5 марок. Наконец, когда Боря решил разложить по 23 марки на странице, то на этот раз у него осталось 6 марок. Сколько марок в коллекции у Бори?

Решения

Задача 1. Для решения этой задачи необходимо воспользоваться следующим известным утверждением: сумма любого числа четных чисел – четная, а нечетного числа нечетных чисел – нечетная. В нашем случае исходная сумма денег (сумма какого-то числа 50-долларовых и 100-долларовых купюр) – четная, а полученная сумма денег (сумма 1999 купюр по 1, 5 и 25 долларов) – нечетная.

Задача 2. Шесть землекопов за 2 часа выкопают 3 · 2 = 6 ям. Шесть землекопов за 10 часов выкопают 6·5=30 ям. Тогда шесть землекопов за 5 часов выкопают 30 : 2 = 15 ям.

Задача 3.Разделим дорогу от дома к речке на три участка одинаковой длины (см. рисунок) и эту длину примем за 1.

Введем новую единицу измерения – «шарик»; по определению, 1 «шарик» – это время, нужное Шарику, чтобы утром по дороге на речку пробежать участок длины 1.

По условию, когда Матроскин добегает до D (начинает умываться), Шарик как раз находится в точке B (ведь он бежит в 3 раза медленнее Матроскина). Следовательно, на дорогу от дома до речки (так же, как и на обратную дорогу) Матроскин затрачивает столько же времени, сколько нужно Шарику, чтобы пробежать отрезок длины 1, т. е. 1 «шарик».

Матроскин умывается 8 «шариков» (действительно, в тот день, когда Шарик забыл полотенце, он, как всегда, добежал до точки B, а Матроскин в этот момент начал умываться, затем Шарик пробежал 8 раз отрезок длины 1: от B к D (два участка длины 1), от D к A(три участка длины 1) и, наконец, от A к D уже с полотенцем (три участка длины 1), - и как раз Матроскин в этот момент умываться закончил). Далее, так как по условию Матроскин моется в два раза дольше Шарика, то Шарик моется 4 «шарика».

Остается подсчитать время, затраченное каждым из наших героев на дорогу от дома к речке, умывание и дорогу обратно, от речки к дому. Шарик: 3 + 4 + 3 = 10 «шариков»; Матроскин: 1+8+1=10 «шариков». Следовательно, Матроскин и Шарик прибегают домой после умывания одновременно.

Задача 4. Пусть в каждой партии выдают партийные билеты. Если в цветочном городе k партий, то на руках у населения не менее 3k партийных билетов (ведь в каждой партии по условию не менее 3-х членов). Но у каждого коротышки имеется не более 2-х партийных билетов (по условию каждый коротышка не может быть членом более 2-х партий). Следовательно, так как коротышек 14, всего партийных билетов не более 2 x 14 = 28 .

Поэтому 3k  28, т. е. k  [28/3] = 9.

Остается привести пример вхождения 14 коротышек в 9 партий такой, чтобы:

1) в каждой партии было не меньше 3 членов;

2) каждый коротышка являлся бы членом не более 2-х партий;

3) никакие две разные партии не состоят из одних и тех же членов (при выводе оценки k  9 мы использовали только условия 1) и 2)).

Пронумеруем коротышек числами от 1 до 14. Условимся коротышек, входящих в какую-либо партию, заключать в фигурные скобки {}. Нужный пример иллюстрируют, например, партии: {1,2,3}, {4,5,6}, {7,8,9}, {10,11,12}, {13,14,1}, {2,3,4}, {5,6,7}, {8,9,10}, {11,12,13}.

Всего 9 партий.

Задача 5. Начертим круг, отметим на нем 30 палочек и пронумеруем их от 1 до 30. Начиная счет с цифры 1, перечеркиваем девятую палочку, затем восемнадцатую, затем двадцать седьмую и продолжаем этот процесс, вычеркивая каждую девятую из не перечеркнутых ранее палочек. Таким образом, будут перечеркнуты палочки с номерами 5, 6, 7, 8, 9, 12, 16, 18, 19, 22, 23, 24, 26, 27, 30. Значит, купец просил матросов расставить тюки следующим образом: 4 своих, 5 чужих, 2 своих, 1 чужой, 3 своих, 1 чужой, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 3 чужих, 1 свой, 2 чужих, 2 своих, 1 чужой.

Задача 6. Обозначим искомое число лоскутков белого цвета через x. Тогда лоскутков черного цвета будет 32 - x. Чтобы составить уравнение, подсчитаем двумя способами количество границ белых лоскутков с черными. Каждый белый лоскут граничит с тремя черными, следовательно, число границ равно 3x. С другой стороны, каждый черный лоскут граничит с пятью белыми и число границ равно 5(32 – х). Получаем уравнение 3x = 5(32 – х), т.е. 8х = 160 и х = 20.

Задача 7. За 10 мин машина проходит путь, равный двойному расстоянию от станции до места встречи инженера с машиной. Значит, путь от станции до места встречи машина проходит за 5 мин. На месте встречи машина была за 5 мин до времени обычного приезда инженера на станцию, значит, путь от станции до места встречи инженер шел 55 мин - 5 мин = 50 мин. Следовательно, скорость инженера в 50 : 5 = 10 раз меньше скорости машины.

Задача 8. Скорости поездов одинаковы, поэтому за одно и тоже время они проходят одно и тоже расстояние. Из сказанного выше следует, что в город прибудут в течение одного часа только дачные поезда встречающиеся в первой половине часа (30 минут), а дачные поезда встречающиеся во второй половине часа не будут успевать доходить до города за оставшееся время.

Значит, в течение одного часа в город прибывает 30 : 5 = 6 дачных поездов.

Задача 9. а) Покажем, что у 40% драконов может быть 60% голов. Пусть в этом царстве живет 100 драконов: 40 драконов с одной головой, 20 – с двумя головами и 40 – с тремя. Тогда число голов у всех драконов равно 40 • 1 + 20 • 2 + 40 • 3 = 200. При этом все 40 трехглавых драконов, что составляет 40% от общего числа драконов, имеют 40 • 3 = 120 голов, что составляет 120/200 • 100% = 60% от общего числа голов.

б) Пусть число драконов равно х, а общее число голов у них равно у. Предположим, что какие-то 40% драконов имеют 70% голов. Тогда, поскольку каждый из этих драконов имеет не более трех голов, то 0,7у  3 • 0,4х. С другой стороны, поскольку остальные 60% драконов имеют 30% голов и у каждого из них не менее одной головы, то 0,6х  0,3y. Но эти неравенства не могут выполняться одновременно, так как они равносильны соответственно 7у  12х и 12x  6у. Поэтому у 40% драконов не может быть 70% голов.

Задача 10. Пусть у Бори х марок. Согласно условию х – 5 делится на 7, на 11 и на 13. Следовательно, поскольку 7,11 и 13 – простые числа, то х – 5 делится на их произведение, т. е. на 7 • 11 • 13 = 1001. Поэтому х – 5 = 1001k для некоторого натурального k, откуда х = 1001k +5 .

Далее, согласно условию х – 6 делится на 23. Поэтому х – 6 = 23m для некоторого натурального m. В результате, получим

1001k – 1 =23m. (*)

Остается только найти натуральные k и m, удовлетворяющие этому равенству. При этом, поскольку согласно условию х/7<1000 и, значит, х<7000, то достаточно рассмотреть k = 1,2,..., 6. Нетрудно убедиться, что только при k = 2 из уравнения (*) получится натуральное значение m = 87.

Поэтому находим единственное значение х = 1001•2 + 5 = 2007.

Олимпиадные задания по математике с решениями.

6-8 классы.

Ответы:

6 класс

1. Кассир продал все билеты в первый ряд кинотеатра, причем по ошибке на одно из мест было продано два билета. Сумма номеров мест на всех этих билетах равна 857. На какое место продано два билета?

2. Каждый из трёх приятелей либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Им был задан вопрос: «Есть ли хотя бы один лжец среди двух остальных?» Первый ответил: «Нет», второй ответил: «Да». Что ответил третий?

3. Существует ли 10-угольник, который можно разрезать на 5 треугольников?

4. Вася и Митя играют в «морской бой» на поле размером 8 8 по следующим правилам. Митя расставляет 16 одноклеточных кораблей так, чтобы они не соприкасались (даже углами). Каждым ходом Вася называет одну из клеток поля и, если на этой клетке стоит корабль, то корабль считается уничтоженным. Докажите, что независимо от расстановки кораблей Вася за 4 хода сможет уничтожить хотя бы один корабль.

5. На острове Невезения отменили понедельники: у них за воскресеньем сразу следует вторник. За последний год (то есть, с 15 декабря 2009 года по 14 декабря 2010 года) воскресенья на острове совпадали с нашими воскресеньями ровно восемь раз. Какой день недели на острове сегодня?

6. На каждом километре между селами Марьино и Рощино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано расстояние до Марьино, на другой – расстояние до Рощино. Останавливаясь у каждого столба, Бобик заметил, что если сложить все цифры, записанные на обеих сторонах таблички, то получится 13. Найдите расстояние между селами.

7. По кругу стоят восемь козлов разного роста. Любой из них умеет перепрыгивать через двух соседних козлов против часовой стрелки. Докажите, что при любом начальном расположении козлов они смогут встать по росту.

Решения и ответы

1. Кассир продал все билеты в первый ряд кинотеатра, причем по ошибке на одно из мест было продано два билета. Сумма номеров мест на всех этих билетах равна 857. На какое место продано два билета?

Ответ: на тридцать седьмое место.

Выясним, сколько мест могло быть в первом ряду. Во-первых, их не больше 40, так как сумма натуральных чисел от 1 до 41 равна 861. Во-вторых, их не меньше 40, так как сумма натуральных чисел от 1 до 39 равна 780, и даже после прибавления к ней 39, результат будет меньше 857. Значит в первом ряду ровно 40 мест. Теперь несложно определить, на какое место был продан лишний билет: 1 + … + 40 = 820; 857 – 820 = 37.

2. Каждый из трёх приятелей либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Им был задан вопрос: «Есть ли хотя бы один лжец среди двух остальных?» Первый ответил: «Нет», второй ответил: «Да». Что ответил третий?

Ответ: «Нет».

Заметим, что так как первый и второй приятели дали различные ответы, то один из них – лжец, а другой – рыцарь. Кроме того, рыцарь не мог ответить «Нет» на предложенный ему вопрос, так как в этом случае он бы сказал неправду (среди двух оставшихся точно есть лжец). Следовательно, первый – лжец. Он солгал, значит среди двух оставшихся должен быть лжец, и им может быть только третий приятель. Значит третий ответил «Нет».

3. Существует ли 10-угольник, который можно разрезать на 5 треугольников?

Ответ: существует.

Например, см. рисунки.

4. Вася и Митя играют в «морской бой» на поле размером 8×8 по следующим правилам. Митя расставляет 16 одноклеточных кораблей так, чтобы они не соприкасались (даже углами). Каждым ходом Вася называет одну из клеток поля и, если на этой клетке стоит корабль, то корабль считается уничтоженным. Докажите, что независимо от расстановки кораблей Вася за 4 хода сможет уничтожить хотя бы один корабль.

Разрежем поле для игры на 16 квадратов размером 2×2. Заметим, что в каждом таком квадрате не может стоять более одного корабля (иначе корабли будут соприкасаться). Так как всего кораблей 16, то в каждом квадрате должен стоять корабль. Таким образом, Васе достаточно полностью «расстрелять» один из этих квадратов.

5. На острове Невезения отменили понедельники: у них за воскресеньем сразу следует вторник. За последний год (то есть, с 15 декабря 2002 года по 14 декабря 2003 года) воскресенья на острове совпадали с нашими воскресеньями ровно восемь раз. Какой день недели на острове сегодня?

Ответ: суббота.

Так как обычная неделя состоит из семи дней, а неделя на острове – из шести, то совпадение воскресений происходит один раз в 6⋅7 = 42 дня. Значит, за 378 дней происходит 9 совпадений. Поскольку 378 – 365 = 13, то девятое совпадение должно произойти в течение ближайших тринадцати дней (с 15 по 27 декабря). Единственное воскресенье в этот период – 21 декабря. Непосредственным подсчетом получаем, что сегодня на острове – суббота.

6. На каждом километре между селами Марьино и Рощино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано расстояние до Марьино, на другой – расстояние до Рощино. Останавливаясь у каждого столба, Бобик заметил, что если сложить все цифры, записанные на обеих сторонах таблички, то получится 13. Найдите расстояние между селами.

Ответ: 49 километров.

Расстояние между селами не может быть больше, чем 49 километров, так как тогда на одном из столбов будет написано с одной стороны 49, а с другой – не 0, то есть, сумма цифр будет больше 13. На первых девяти столбах с одной стороны записаны однозначные числа от 1 до 9, поэтому числа, записанные с другой стороны, также должны быть из одного десятка (чтобы суммы цифр были одинаковы). Следовательно, искомое расстояние выражается числом, оканчивающимся на 9. Числа 9, 19, 29 и 39 решениями не являются, так как на первом столбе сумма цифр не будет равна 13. Таким образом, искомое расстояние равно 49 километрам.

7. По кругу стоят восемь козлов разного роста. Любой из них умеет перепрыгивать через двух соседних козлов против часовой стрелки. Докажите, что при любом начальном расположении козлов они смогут встать по росту.

На рисунке показано, каким образом любой козел (черный) сможет допрыгать до любого места, то есть, встать за любым (белым), заранее выбранным. В это время остальные козлы стоят на своих местах. Поэтому, сначала второй по росту козел встанет за самым высоким, после чего за ним встанет следующий по росту, и так далее.

Такая операция возможна потому, что числа 2 и 7 – взаимно простые.

Основной тур

1. Даны две палочки. Их можно прикладывать друг к другу и делать отметки. Как с помощью этих операций выяснить, что больше – длина более короткой палочки, или 2/3 длины более длинной палочки?
2. Одно число увеличили на 2%, а другое на 3%. Могла ли сумма увеличиться на 5%? (Числа считаются положительными.)
3. Сколькими способами можно разрезать доску, показанную на рисунке, на прямоугольники из двух клеток так, чтобы в каждой части была закрашенная клетка?

4. Петя выкладывал примеры из спичек. Цифры он «записывал» следующим образом:

Когда Петя отвлёкся, Вася в записанном им верном примере на сложение внутри каждой цифры переложил ровно одну спичку и получил:

Восстановите исходное равенство.

Дополнительный тур

5. В 6А классе учится 27 школьников. Им предложили посещать кружки по пению, молчанию и чтению стихов. Каждый хочет посещать один или несколько из этих кружков. Оказалось, что в каждый кружок желает ходить более трети класса. Можно ли составить такие списки кружков, что каждый будет ходить ровно в один кружок, в который хочет, и во всех кружках будет поровну школьников?
6. Четыре друга участвовали в олимпиаде. Витя решил больше всех задач – восемь, а Петя меньше всех – пять задач. Каждая задача олимпиады была решена ровно тремя из друзей. Сколько задач было на олимпиаде?
7. Клетки тетрадного листа раскрашены в восемь цветов. Докажите, что найдется фигура вида, указанного на рисунке, внутри которой есть клетки одного цвета.

Олимпиадные задачи по математике 6 класса

1. решите уравнение: 0,5
2. Найдите все дроби со знаменателем 15, которые больше и меньше 1.
3. Возраст старика Хоттабыча записывается числом с различными цифрами. Об этом числе известно следующее:

• Если первую и последнюю цифру зачеркнуть, то получится двузначное число, которое при сумме цифр, равной 13, является наибольшим;
• Первая цифра больше последней в 4 раза.

Сколько лет Хоттабычу?

4. Некоторый товар стоил 500 рублей. Затем цену товара увеличили на 10%, а затем уменьшили на 10%. Какой стала цена товара в итоге?
5. В летний лагерь приехали отдыхать три друга: Миша, Володя и Петя. Известно, что каждый из них имеет одну из следующих фамилий: Иванов, Семенов, Герасимов. Миша – не Герасимов. Отец Володи – инженер. Володя учится в 6 классе. Герасимов учится в 5 классе. Отец Иванова – учитель. Какая фамилия у каждого из трех друзей?

Решения.

1. x = 5.
2. Числа и 1 представим в виде дроби со знаменателем, кратным 15. Тогда ; 1=. Между числами и 1 лежат дроби Условию удовлетворяет лишь
3. Так как после зачеркивания получается наибольшее число с суммой цифр 13, то вторая и третья цифры равны 9 и 4. Так как первая цифра больше последней в 4 раза и все цифры различны, то первая цифра будет 8, а последняя 2. В результате получаем число 8942. Старику Хоттабычу 8942 года.
4. 550-55 = 495 (руб.) – стала цена в итоге.
5. Так как Володя учится в 6 классе, а Герасимов в 5 классе, то Володя не Герасимов. Так как отец Иванова – учитель, отец Володи – инженер, то Володя – не Иванов. Тогда Володя - Семенов, Миша – Иванов, а Петя – Герасимов

Принцип Дирихле". Решения.

Задача 1:

В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым числом иголок.

Решение:

Перед нами миллион «кроликов»-елок и, увы, всего лишь 600001 клетка с номерами от 0 до 600000. Каждый «кролик»-елка сажается нами в клетку с номером, равным количеству иголок на этой елке. Так как «кроликов» гораздо больше, чем клеток, то в какой-то клетке сидит по крайней мере два «кролика» – если бы в каждой сидело не более одного, то всего «кроликов»-елок было бы не более 600001 штук. Но ведь, если два «кролика»-елки сидят в одной клетке, то количество иголок у них одинаково.

Задача 2:

Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 11.

Решение:

Остатки по модулю 11 – «клетки», числа – «кролики».

Задача 3:

В городе Ленинграде живет более 5 миллионов человек. Докажите, что у каких-то двух из них одинаковое число волос на голове, если известно, что у любого человека на голове менее миллиона волос.

Решение:

Постройте миллион клеток с номерами от 0 до 999999 и рассадите там людей, поместив каждого ленинградца в клетку, номер которой равен количеству волос на его голове.

Задача 4:

В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.

Решение:

25 ящиков-«кроликов» рассадим по 3 клеткам-сортам. Так как 25 = 3 • 8 + 1, то применим «обобщенный принцип Дирихле» для N = 3, k = 8 и получим, что в какой-то клетке-сорте не менее 9 ящиков.

Задача 5:

В стране Курляндии m футбольных команд (по 11 футболистов в каждой). Все футболисты собрались в аэропорту для поездки в другую страну на ответственный матч. Самолет сделал 10 рейсов, перевозя каждый раз по m пассажиров. Еще один футболист прилетел к месту предстоящего матча на вертолете. Докажите, что хотя бы одна команда была целиком доставлена в другую страну.

Решение:

Так как перевезено всего 10m + 1 футболистов, то, рассадив их по клеткам-командам, получаем, что в какой-то клетке сидит 11 футболистов.

Задача 6:

Дано 8 различных натуральных чисел, не больших 15. Докажите, что среди их положительных попарных разностей есть три одинаковых.

Решение:

Различных разностей может быть 14 – от 1 до 14 – это те 14 клеток, в которые мы будем сажать кроликов. Кто же будет нашими кроликами? Ими, конечно, должны быть разности между парами данных нам натуральных чисел. Однако имеется 28 пар и их можно рассадить по 14 клеткам так, что в каждой клетке будет сидеть ровно два «кролика» (и значит, в каждой меньше трех). Здесь надо использовать дополнительное соображение: в клетке с номером 14 может сидеть не более одного кролика, ведь число 14 можно записать как разность двух натуральных чисел, не превосходящих 15, лишь одним способом: 14 = 15 – 1. Значит, в оставшихся 13 клетках сидят не менее 27 кроликов, и применение обобщенного принципа Дирихле дает нам желаемый результат.

Задача 7:

Докажите, что в любой компании из 5 человек есть двое, имеющие одинаковое число знакомых в этой компании.

Решение:

Вариантов числа знакомых всего 5: от 0 до 4. Осталось заметить, что если у кого-то 4 знакомых, то ни у кого не может быть 0 знакомых.

Задача 8:

Несколько футбольных команд проводят турнир в один круг. Докажите, что в любой момент турнира найдутся две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.

Решение:

Пусть всего команд n. Тогда вариантов числа команд, с которыми сыграла данная команда n: от 0 до n – 1. Осталось заметить, что если одна команда сыграла со всеми n – 1-й, то никакая другая команда не могла ни с кем не сыграть.

Задача 9:

а) Какое наибольшее число полей на доске 8 ? 8 можно закрасить в черный цвет так, чтобы в любом уголке вида из трех полей было по крайней мере одно незакрашенное поле?

б) Какое наименьшее число полей на доске 8 ? 8 можно закрасить в черный цвет так, чтобы в каждом уголке вида было по крайней мере одно черное поле?

Решение:

а) Разбейте доску на 16 квадратиков 2 ? 2 – это клетки; кроликами, конечно, будут черные поля.

Задача 10:

10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причем известно, что среди них есть школьники, решившие ровно одну задачу, школьники, решившие ровно две задачи и школьники, решившие ровно три задачи. Докажите, что есть школьник, решивший не менее пяти задач.

Решение:

Из условий следует, что найдутся 7 школьников, решивших 35 – 6 = 29 задач. Так как 29 = 4 • 7 + 1, то найдется школьник, решивший не менее пяти задач.

Задача 11:

Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматной доске так, чтобы никакие два из них не били друг друга?

Решение:

Ответ: 16 королей. Разобьём доску на 16 квадратиков, в каждом может быть не более одного короля.

Задача 12:

Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками.

Решение:

Каждый из меньших треугольников не может накрывать более одной вершины большого треугольника.

Задача 13:

В квадрат со стороной 1 метр бросили 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть квадратом со стороной 20 см.

Решение:

Разобьем наш квадрат на 25 квадратов со стороной 20 см. По обобщенному принципу Дирихле, в какой-то из них попадет по крайней мере три точки из 51 брошенной.

Задача 14:

Пятеро молодых рабочих получили на всех зарплату – 1500 рублей. Каждый из них хочет купить себе магнитофон ценой 320 рублей. Докажите, что кому-то из них придется подождать с покупкой до следующей зарплаты.

Решение:

Если бы каждый из рабочих мог купить магнитофон, то у них в сумме было бы не менее 5 • 320 = 1600 рублей.

Задача 15:

В бригаде 7 человек и их суммарный возраст – 332 года. Докажите, что из них можно выбрать трех человек, сумма возрастов которых не меньше 142 лет.

Решение:

Покрасим всю сушу в синий цвет, а все точки, диаметрально противоположные суше – в красный. Тогда обязательно есть точка, которая покрашена в оба цвета. В ней и надо рыть туннель.

Задача 16:

Докажите, что среди степеней двойки есть две, разность которых делится на 1987.

Решение:

Рассмотрите 1988 степеней и их остатки по модулю 1987.

Задача 17:

Докажите, что из 52 целых чисел всегда найдутся два, разность квадратов которых делится на 100.

Решение:

Квадраты при делении на 100 могут давать лишь 51 остаток, так как остатки x и 100 – x при возведении в квадрат дают один и тот же остаток.

Задача 18:

Докажите, что среди чисел, записываемых только единицами, есть число, которое делится на 1987.

Решение:

Рассмотрим 1988 чисел-«кроликов» 1, 11, 111, …, 111 … 11 (1988 единиц) и посадим их в 1987 клеток с номерами 0, 1, 2, …, 1986 – каждое число попадает в клетку с номером, равным остатку от деления этого числа на 1987. Тогда (по принципу Дирихле) найдутся два числа, которые имеют одинаковые остатки при делении на 1987. Пусть это числа 11 … 11 (m единиц) и 11 … 11 (n единиц), причем m > n. Но их разность, которая делится на 1987, равна 11 … 1100 … 00 (m – n единиц и n нулей). Сократим все нули – ведь они не имеют никакого отношения к делимости на 1987 – и получим число из одних единиц, которое делится на 1987.

Задача 19:

Докажите, что существует степень тройки, оканчивающаяся на 001.

Решение:

Если 3m и 3n – степени тройки, дающие один и тот же остаток при делении на 1000, то 3m – 3n = 3n(3m – n – 1) делится на 1000 (мы считаем для определенности, что m > n).

Задача 20:

В клетках таблицы 3 ? 3 расставлены числа – 1, 0, 1. Докажите, что какие-то две из 8 сумм по всем строкам, всем столбцам и двум главным диагоналям будут равны.

Решение:

Эти суммы могут принимать лишь 7 разных значений: от – 3 до 3.

Задача 21:

Сто человек сидят за круглым столом, причем более половины из них – мужчины. Докажите, что какие-то два мужчины сидят друг напротив друга.

Решение:

Разобьем всех людей на 50 пар так, что в каждой паре – два человека, сидящих друг напротив друга. Ясно, что в одной из этих пар-«клеток» оба человека – мужчины.

Задача 22:

15 мальчиков собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то два из них собрали одинаковое число орехов.

Решение:

Если это не так, то, очевидно, что мальчики собрали не менее, чем 0 + 1 + 2 + … + 14 = 105 орехов – противоречие.

Задача 23:

Цифры 1, 2, …, 9 разбили на три группы. Докажите, что произведение чисел в одной из групп не меньше 72.

Решение:

Произведение чисел во всех группах равно 9! = 362880, а 71? = 357911.

Задача 24:

В таблице 10 ? 10 расставлены целые числа, причем любые два числа в соседних клетках отличаются не более, чем на 5. Докажите, что среди этих чисел есть два равных.

Решение:

Поскольку от любой клетки до любой другой можно добраться, не более 19 раз сдвинувшись в соседнюю клетку, то все числа находятся между числами a и a + 95, где a – минимальное из всех расставленных чисел. Значит, среди этих чисел не более 96 различных.

Задача 25:

Докажите, что среди любых 6 человек есть либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.

Решение:

У данного человека среди остальных пяти есть либо не менее трех знакомых, либо не менее трех незнакомых ему. Разберем, например, первый случай. Среди этих трех людей есть либо двое знакомых – тогда они вместе с выбранным нами исходно человеком образуют нужную тройку, либо они все трое попарно незнакомы.

Задача 26:

На клетчатой плоскости дано 5 произвольных узлов сетки. Докажите, что середина одного из отрезков, соединяющих какие-то две из этих точек, также является узлом сетки.

Решение:

Рассмотрите координаты этих точек и их остатки при делении на 2.

Задача 27:

На складе имеется по 200 сапог 41, 42 и 43 размеров, причем среди этих 600 сапог 300 левых и 300 правых. Докажите, что из них можно составить не менее 100 годных пар обуви.

Решение:

В каждом размере каких-то сапог меньше: правых или левых. Выпишем эти типы сапог по размерам. Какой-то тип, например, левый, повторится по крайней мере дважды, например, в 41 и 42 размерах. Но так как количество левых сапог в этих размерах суммарно не меньше 100 (почему?), то мы имеем не менее 100 годных пар обуви в этих размерах.

Задача 28:

В алфавите языка племени Ни-Бум-Бум 22 согласных и 11 гласных, причем словом в этом языке называется произвольное буквосочетание, в котором нет двух согласных подряд и ни одна буква не использована дважды. Алфавит разбили на 6 непустых групп. Докажите, что из всех букв одной из групп можно составить слово.

Решение:

Докажите, что в одной из групп разность между числом согласных и числом гласных не больше 1.

Задача 29:

Докажите, что среди любых 10 целых чисел найдется несколько, сумма которых делится на 10.

Решение:

Рассмотрите 10 сумм: x1, x1 + x2, …, x1 + x2 + … + x10 и их остатки при делении на 10.

Задача 30:

Дано 11 различных натуральных чисел, не больших 20. Докажите, что из них можно выбрать два числа, одно из которых делится на другое.

Решение:

Разбейте числа от 1 до 20 на 10 наборов, в каждом из которых в любой паре чисел одно делится на другое: 11, 13, 15, 17, 19, 1,2,4,8,16, 3,6,12, 5,10,20, 7,14, 9,18.

"Делимость и остатки". Ответы.

Задача 1:

а) a + 1 делится на 3. Докажите, что 4 + 7a делится на 3.
б) 2 + a и 35 – b делятся на 11. Докажите, что a + b делится на 11.
Решение:
Указания: а) 4 + 7a = 4(a + 1) + 3a; б) a + b = (2 + a) – (35 – b) + 33.
Задача 2:
Найдите последнюю цифру числа 1? + 2? + … + 99?.
Решение:0

Задача 3:
Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из данных чисел делится на 5.
Решение:
Докажите, что любые два числа из этих семи дают одинаковый остаток от деления на 5. Для этого рассмотрите две шестерки: одну – не содержащую первое из них, вторую – не содержащую второе.

Задача 4:
Найдите наименьшее число, дающее следующие остатки: 1 – при делении на 2, 2 – при делении на 3, 3 – при делении на 4, 4 – при делении на 5, 5 – при делении на 6.
Решение:
Заметим, что это число, увеличенное на 1, делится на 2, 3, 4, 5, 6. Ответ: 59.
Задача 5:
Докажите, что если (n – 1)! + 1 делится на n, то n – простое число.
Решение:
Если n – составное число (n > 4), то (n – 1)! делится на n.
Задача 6:
Докажите, что существует такое натуральное n, что числа n + 1, n + 2, …, n + 1989 – составные.
Решение:
Попробуем рассказать, как можно придти к решению. Число n + 1 должно быть составным. Попытаемся пойти по самому простому пути: сделаем так, чтобы n + 1 делилось на 2. n + 2 также должно быть составным, но делиться на 2 уже не может. Попытаемся опять пойти по самому простому пути: хотелось бы сделать так, чтобы n + 2 делилось на 3. Продолжая в том же духе, можно пытаться найти число n такое, что n + 1 делится на 2, n + 2 – на 3, n + 3 – на 4 и так далее. Это равносильно тому, что n – 1 делится на 2, 3, 4, …, 1990. Такое число, конечно, существует – например, 1990!. Итак, в качестве искомого n можно взять число 1990! + 1.
Задача 7:
Докажите, что существует бесконечно много простых чисел.
Решение:
Предположим противное. Пусть p1, p2, …, pn – все простые числа. Рассмотрим число p1p2 … pn + 1. Это число не делится ни на одно из чисел p1, p2, …, pn и, следовательно, не может быть разложено в произведение простых. Противоречие.

Алгоритм Евклида".Ответы.

Задача 1:
Найти наибольший общий делитель чисел 2n + 13 и n + 7.
Решение:
НОД (2n + 13,n + 7) = НОД (n + 7,n + 6) = НОД (n + 6,1) = 1.

Задача 2:
Найдите НОД (2??? – 1,2??? – 1).
Решение:
Указание: Воспользуйтесь алгоритмом Евклида.
Задача 3:
Найдите НОД (111 … 111,11 … 11) – в записи первого числа 100 единиц, в записи второго – 60.
Решение:
Указание: Воспользуйтесь алгоритмом Евклида.