Проектная работа "Числа Фибоначчи"
проект по математике (7 класс)

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Средняя образовательная школа №7 им. В.И. Медведева»

Индивидуальный проект

«Числа Фибоначчи»

Тип проекта: информационно-познавательный

Выполнил: ученица 7 «Б» класса

Михеева Арина

Наставник: учитель математики

Мельникова В.В.

г. Троицк, 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение.        3

Глава 1. Теоретические основы последовательности чисел Фибоначчи

1. Биография Леонардо Фибоначчи        5
2. Последовательность чисел Фибоначчи        6
3. Свойства чисел Фибоначчи        7

        1.4 Золотое сечение        ….7

Глава 2. Числа Фибоначчи в окружающем мире и человеке        ..9

   2.1Числа Фибоначчи в природе        9

   2.2 Как связаны числа Фибоначчи с человеком        ….11

Заключение        …..15

Список литературы……………………………………………………………………….16

Приложения……………………………………………………………………… ………17

Введение

 «Числа управляют миром!  Число – это сила, царящая над богами и смертными!» - так говорили ещё древние  пифагорейцы. Актуальна  ли в наши дни эта основа учения Пифагора?   Изучая в школе науку чисел, нам  хочется убедиться в том, что действительно, явления всей Вселенной подчинены определенным числовым соотношениям,   найти  эту невидимую  связь между математикой и жизнью! Ученые узнали тайну чисел Фибоначчи и выяснили, что все в мире продуманно и просчитано самым главным нашим дизайнером – Природой!

Неужели в каждом цветочке, и в молекуле, и в галактике есть числовые закономерности этой строгой математики?

Я обратилась к современному источнику информации – к Интернету и прочитала о числах Фибоначчи, о магических числах, которые таят в себе великую загадку. Оказывается, эти числа можно найти в подсолнухах и сосновых шишках, в крыльях стрекозы и морских звёздах, в ритмах человеческого сердца и в музыкальных ритмах...

Почему же эта последовательность чисел столь распространена в нашем мире?

Я захотела узнать о тайнах чисел Фибоначчи. Результатом моей деятельности и явилась данная исследовательская работа.

Удивительные числа были открыты итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным под именем Фибоначчи.

Разгадкой стал числовой ряд, каждое последующее число которого, является суммой двух предыдущих:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Числа, образующие данную последовательность называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи.

Частное от деления последующего числа Фибоначчи на предыдущее, по мере роста самих чисел, стремиться к 1,618. 

Цель моей работы: изучить последовательность чисел Фибоначчи.

В соответствии с целью сформулированы основные задачи:

1. Провести вычислительный анализ среди чисел последовательности Фибоначчи
2. Рассмотреть окружающие объекты живой и неживой природы и выполнить измерения и вычисления, а также сравнить эти измерения с частным от деления последующего числа Фибоначчи на предыдущее, равное 1, 618
3. Оформить презентацию о наиболее ярких примерах проявления последовательности чисел Фибоначчи.

Учёные, изучая числового ряда  Фибоначчи к природным феноменам и процессам, обнаружили, что эти числа содержатся буквально во всех объектах живой природы, в растениях, в животных и даже в человеке.

Удивительная математическая игрушка оказалась уникальным кодом, заложенным во все природные объекты самим Творцом Вселенной.

Глава 1. Теоретические основы последовательности чисел Фибоначчи

1.1  Биография Леонардо Фибоначчи        

Леона́рдо Пиза́нский (лат. Leonardus Pisanus, итал. Leonardo Pisano, около 1170 года, Пиза —около 1250 года,там же) первый крупный математик средневековой Европы. Наиболее известен под прозвищем Фибона́ччи.

Отец Фибоначчи по торговым делам часто бывал в Алжире, и Леонардо изучал там      математику      у      арабских      учителей.      Позже      Фибоначчи посетил Египет, Сирию, Византию, Сицилию. Он ознакомился с достижениями античных и индийских математиков в арабском переводе. На основе усвоенных им знаний Фибоначчи написал ряд математических трактатов, представляющих собой выдающееся явление средневековой западноевропейской науки. Труд Леонардо Фибоначчи «Книга абака» способствовал распространению в Европе позиционной системы счисления, более удобной для вычислений, чем римская нотация; в этой книге были подробно исследованы возможности применения индийских цифр, ранее остававшиеся неясными, и даны примеры решения практических задач, в частности, связанных с торговым делом. Позиционная система приобрела в Европе популярность в эпоху Возрождения.

Леонардо Пизанский никогда не называл себя Фибоначчи; этот псевдоним был дан        ему        позднее,        предположительно        ГийомомЛибри (GuglielmoLibriCaruccidallaSommaja) в 1838 году. Слово Fibonacci — сокращение от двух слов «filiusBonacci», появившихся на обложке «Книги абака»; они могли означать либо «сын Боначчо», либо, если интерпретировать слово Боначчи как фамилию, «сын Боначчи». Согласно третьей версии, само слово Боначчи нужно тоже понимать как прозвище, означавшее «удачливый». Сам он обычно подписывался Боначчи; иногда он использовал также имя

ЛеонардоБиголло — слово bigollo на тосканском наречии значило «странник».

1.2 Последовательность чисел Фибоначчи

Числовой ряд, носящий сегодня имя Фибоначчи, вырос из проблемы с кроликами, которую Фибоначчи изложил в своей книге «Liberabacci», написанной в 1202 году:

Человек посадил пару кроликов в загон, окруженный со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов за год может произвести на свет эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару?

Можете убедиться, что число пар в каждый из двенадцати последующих месяцев будет соответственно 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Иными словами, число пар кроликов создает ряд, каждый член в котором — сумма двух предыдущих. Он известен как ряд Фибоначчи, а сами числа — числа Фибоначчи.

1.3 Свойства чисел Фибоначчи

Рассмотрим основные свойства чисел Фибоначчи:

1. Отношение каждого числа к последующему более и более стремится к 0.618 по увеличении порядкового номера. Отношение же каждого числа к предыдущему стремится  к 1.618 (обратному к 0.618). Число 0.618  называют «ФИ».
2. При делении каждого числа на следующее за ним, через одно получается число 0.382; наоборот – соответственно 2.618.

Подбирая таким образом соотношения, получаем основной набор фибоначчиевских коэффициентов: … 4.

1.4 Золотое сечение        

Наше чувство прекрасного кажется субъективным. В самом деле, вкусы разнятся, как и характеры. Но есть и нечто общее в мировосприятии всех людей. Давным-давно, еще до того, как были открыты числа Фибоначчи, художники и архитекторы интуитивно вывели формулу «золотого сечения». Смысл его в том, что любая композиция делится на два отрезка, меньший из которых относится к большему, как тот – к их суммарной длине. Если эта пропорция не соблюдена, то монумент получится невыразительным, а здание уродливым. Интересно, что пропорционально сложенный человек своей фигурой демонстрирует «золотое сечение». То же можно сказать и о каждом красивом лице. Музыкальные произведения некоторых композиторов, например Шопена, также содержат в себе гармонию, которую математически выражают числа Фибоначчи. Учитывая все это, можно предположить существование объективной красоты и совершенства. Получается, что пушкинский Сальери, выверяя гармонию алгеброй, поступал, в общем-то, правильно, хотя никакие расчеты не в силах заменить истинной гениальности. Как говорят в таких случаях математики, это необходимое, но не достаточное условие.

Золотое сечение. Золотое сечение (золотая пропорция, иначе: деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление) — наилучшее, единственное в своём роде отношение частей и целого, при котором отношения частей между собой и каждой части к целому равны. Такие отношения наблюдаются в природе, в науке и искусстве. На «золотых отрезках» основываются различные системы и способы пропорционирования в архитектуре.

Золотое сечение и последовательность Фибоначчи имеет множество проявлений в природе, в частности в лепестках и семенах цветов. Если присмотреться к семенам подсолнуха, то можно увидеть что они растут по спирали, которая имеет сходство с золотой спиралью. 

Глава 2. Числа Фибоначчи в окружающем мире и человеке

2.1 Числа Фибоначчи в природе        

Наблюдая за явлениями,  происходящими в природе, учёные сделали поразительные выводы о том, что вся последовательность событий, происходящих в жизни, революции, крушения, банкротства, периоды процветания, законы и волны развития на фондовом и валютных рынках, циклы семейной жизни,  и  так далее,  организуются  на временной шкале в виде циклов, волн.  Эти циклы и волны  тоже  распределяются в соответствии с числовым рядом Фибоначчи!

Опираясь на эти знания, человек научится  в будущем прогнозировать   различные  события и управлять ими.  

          Pаковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Дело в том, что отношение измерений завитков раковины постоянно и равно 1.618. Архимед изучал спираль раковин и вывел уравнение спирали. Cпираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Растения и животные. Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках

деревьев подметили давно. Cпираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Cовместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы.

Выяснилось, что в расположении листьев на ветке семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Cпиралью закручивается ураган.

Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНK закручена двойной спиралью. Гете называл спираль кривой жизни.

Cреди придорожных трав растет ничем не примечательное растение - цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий - 38, четвертый - 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения. В животном мире мы также можем найти множество примеров спиралей.

В форме спирали развиваются рога и бивни животных, когти львов и клювы попугаев являют собой логарифмические формы и напоминают форму оси, склонной обратиться в спиралью.

          Ящерица живородящая. В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы - симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

Пьер Kюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо

тела, не учитывая симметрию окружающей среды. Закономерности золотой симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.

Космос. Из истории астрономии известно, что И. Тициус, немецкий астроном XVIII в., с помощью этого ряда (Фибоначчи) нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы.

Однако один случай, который, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Cосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов. Произошло это после смерти Тициусав начале XIX в.

Pяд Фибоначчи используют широко: с его помощью представляют архитектонику и живых существ, и рукотворных сооружений, и строение Галактик. Эти факты - свидетельства независимости числового ряда от условий его проявления, что является одним из признаков его универсальности.

2.2 Как связаны числа Фибоначчи с человеком

Около двух веков идея применения золотой пропорции в исследовании человеческого тела была предана забвению, и лишь в середине XIX века немецкий ученый Цейзинг вновь обратился к ней. Он находил, что все тело человека в целом и каждый отдельный его член связаны математически строгой системой пропорциональных отношений, среди которых золотое сечение занимает важнейшее место. Измерив тысячи человеческих тел, он установил, что золотая пропорция есть среднестатистическая величина, характерная для всех хорошо развитых тел. Он нашел, что средняя пропорция мужского тела близка к 13/8=1,625, а женского — к 8/5=1,60. Аналогичные значения получены и при анализе антропометрических данных населения СССР (1,623 для мужчин и 1,605 для женщин).

Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными. Принцип расчета золотой меры на теле человека можно изобразить в виде схемы.

                                                   M/m=1,618

    Первый пример золотого сечения в строении тела человека:
Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1,618.
                      Рука человека

Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг.
Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения (за исключением большого пальца).
Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения.

У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двухфаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения. Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.

Золотая пропорция в строении легких человека
Американский физик Б.Д.Уэст и доктор А.Л. Гольдбергер во время физико-анатомических исследований установили, что в строении легких человека также существует золотое сечение.

Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче.

Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.

Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции.

Есть и другое, более прозаическое применение пропорций тела человека. Например, используя эти соотношения, криминальные аналитики и археологи по фрагментам частей человеческого тела восстанавливают облик целого.

Золотые пропорции в строении молекулы ДНК.

Все сведения о физиологических особенностях живых существ, будь то растение, животное или человек,  хранятся в микроскопической молекуле ДНК, строение которой также содержит в себе закон золотой пропорции. Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра).

Так вот 21 и 34 - это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618.
Не только прямоходящие, но и все плавающие, ползающие, летающие и прыгающие не избежали участи подчиняться числу фи. Сердечная мышца человека сокращается до 0, 618 своего объёма. Строение ракушки улитки соответствует пропорциям Фибоначчи. И таких примеров можно найти предостаточно – было бы желание исследовать природные объекты и процессы. Мир настолько пронизан числами Фибоначчи, что  порой кажется: только ими Вселенная и  может быть объяснена.

Найдём пропорции различных частей нашего тела, и убедимся, что они действительно  составляют число, очень близкое к золотому сечению.

Занесём данные измерений и вычислений в таблицу1.

Таблица 1. Результаты отношения измерения частей тела

Видим, что пропорция "фи", которая равна отношению соседних чисел из ряда Фибоначчи, проявляется и в человеческом теле, мои измерения также это подтвердили.

Вывод: в строении  человека  проявляют себя числа  из последовательности  Фибоначчи,   что отражает  гармоничность их строения.

Заключение

В работе были изучены и проанализированы проявление чисел последовательности Фибоначчи в окружающей нас действительности. Также я узнала,  что закономерности этого числового ряда, в том числе и закономерности «Золотой» симметрии, проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов.

Была  обнаружена   удивительная  математическую связь между  числом спиралей у растений, числом веток в любой горизонтальной плоскости и  числами в последовательности  Фибоначчи. Я  рассмотрела,  как морфология различных организмов  тоже подчиняется  этому таинственному закону. Также я исследовала строгую математику в строении человека. Молекула ДНК человека, в которой зашифрована вся программа развития человеческого существа,  дыхательная система, строение уха, - всё подчиняется определённым числовым соотношениям.  

Вечность времени и световые годы космоса разделяют сосновую шишку и спиральную галактику, но строение остаётся тем же самым: коэффициент 1,618! Возможно,  это первостепенный закон, управляющий природными явлениями.

Изучив последовательность чисел Фибоначчи, можно сделать вывод, что  у Природы  есть свои законы, выраженные с помощью математики.  И математика – это очень важный инструмент для познания тайн природы.

Основная цель, поставленная в работе была достигнута, задачи выполнены. Наглядный материал и примеры представлены в презентации.

Список литературы:

1. Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. – М., Наука, 1984.
2. Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве. – М., 1936.

3.  Дмитриев А. Хаос, фракталы и информация. // Наука и жизнь, № 5, 2001.
4. Кашницкий  С. Е. Гармония, сотканная из парадоксов // Культура и

    жизнь.      – 1982.– № 10.
5. Малай Г. Гармония – тождество парадоксов // МН. – 1982.– № 19.
6. Соколов А. Тайны золотого сечения // Техника молодежи. – 1978.– № 5.
7. Стахов А. П. Коды золотой пропорции. – М., 1984.
8. Урманцев Ю. А. Симметрия природы и природа симметрии. – М., 1974.
9. Урманцев Ю. А. Золотое сечение // Природа. – 1968.– № 11.

10. Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение/Три

     взгляда     на природу гармонии.-М., 1990.

11.Шубников А. В., Копцик В. А. Симметрия в науке и искусстве. -М.:

     Наука,    1972.

Интернет-источники

1.http://www.chydesa-sveta.ru/en/chisla_fibonachchi.html

2.http://zagadkamozga.ru/node/630

3.http://magov.net/blog/3621.html

4.http://greenword.ru/2009/06/fibonacci-sequence.html

5.http://esopedia.ru/ChislaFibonachchi

6.http://reflection.org.ua/vselennaya/zagadka-chisel-fibonachi.html

7.http://dip-ref.ru/diplom/778.htm

8.http://evolutionoftruth.com/abennett 

9.http://evolutionoftruth.com/goldensection/solarsys.htm

10.http://www.goldenmuseum.com/ 

11.http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott 

Приложения

Приложение 1. Числа Фибоначчи в природе

Приложение 2. Числа Фибоначчи в природных явлениях

Приложение 3. Числа Фибоначчи в строении человеческого тела