РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА «ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ»
рабочая программа по математике (10, 11 класс)

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

«ЭЛЕМЕНТЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ»

(10-11 КЛАССЫ)

Пояснительная записка

  Представленный предметно-ориентированный элективный курс «Элементы численных методов» рассчитан на учащихся  10-11 классов профильной школы, с целью расширить и углубить  их знания по математике, помочь в  выборе профессии и  при  подготовке к олимпиадам.  Курс путем знакомства с различными разделами и методами численного анализа, которые не включены в школьную программу, призван углубить и систематизировать знания , полученные на уроках математики, а также будет способствовать подготовке учащихся к олимпиадам различного уровня. Как известно, задачи, основанные на понятиях конечной разности и конечной суммы, являются классикой современных олимпиад.  Идеи численного решения задач, с которыми знакомит данный курс, являются результатом  математического моделирования реальных явлений в различных предметных сферах. Следовательно, изучение данного курса повысит не только теоретическую, но и прикладную подготовку учащихся, сформирует знания, умения и новые способы деятельности прикладной направленности. А это соответствует требованиям ФГОС, отражающим прикладной подход к применению знаний.

Данный курс рассчитан на 68 часов, с недельной нагрузкой в 2 часа. Планируемые формы организации работы – лекции, практикумы по решению задач и коллективная работа учащихся.

Цели курса:

- освоение учащимися содержания курса: овладение хорошими умениями и навыками применения численных методов для  решения задач различного уровня сложности;

- подготовка к обучению в ВУЗ-е;

-формирование глубокого  интереса к предмету математика;

-интеллектуальное развитие учащихся, формирование и развитие мышления;

-выявление и развитие у учащихся математических способностей;

-овладение знаниями, необходимыми для решения практико-ориентированных задач;

- обеспечение условий для самостоятельной творческой работы.

Задачи курса:

- повторить такие понятия как  «множество», «дискретное множество», «конечное дискретное множество», «бесконечное дискретное множество», «функция», «область определения функции», «область значений функции», «последовательности», «таблично заданная функция»;

- ввести такие понятия  как «функция дискретного аргумента», «конечная разность», «операция взятия конечной разности функции», «оператор разности», «конечная разность произвольного порядка» , «конечная сумма», «оператор суммы», «разностное уравнение», «порядок разностного уравнения», «общее и частное решения разностного уравнения», «линейное разностное уравнение», «однородное линейное разностное уравнение », «интерполяция», «узлы интерполяции»;

- доказать теоремы: о конечных разностях полинома (основную теорему исчисления конечных разностей) и ее следствия, свойства оператора разности, свойства оператора суммы;

- вывести таблицу разностей элементарных функций, таблицу сумм элементарных функций, формулу для выражения конечной разности функции через ее последовательные значения, формулу для выражения последовательных значений функции через ее конечные разности, формулу частичного суммирования (преобразования Абеля), интерполяционную формулу Лагранжа;

- научить вычислять конечные разности функций с помощью определения, таблицы разностей и свойств оператора разности;

- научить вычислять конечные суммы функций натурального аргумента с помощью метода непосредственного суммирования, с помощью метода неопределенных коэффициентов, преобразования Абеля;

- научить решать однородные линейные разностные уравнения (ОЛРУ)  с постоянными коэффициентами;

- научить использовать интерполяционную формулу Лагранжа для нахождения аналитического выражения для таблично заданных функций;

- научить анализировать условия задач и  математически грамотно оформлять их решение;

- научить обобщать, логически рассуждать, рассуждать по аналогии.

В программу курса включены углубляющие и развивающие задания, учитывая требования ФГОС.

Элективный курс предусматривает использование лекционно-практической системы организации процесса обучения.

При решении задач значительное место должны занимать поиски идей решения, эвристические соображения, и только затем, само решение, найденное эвристически, проводится строгим логическим рассуждением.

Теоретическую часть материала предполагается излагать в форме лекции. При этом материал должен излагаться с использованием  элементов историзма.   

На практикумах приоритет должен быть отдан самостоятельной работе учащихся. В качестве форм организации самостоятельной работы учащихся (зависит от уровня их подготовки ) подойдут следующие: индивидуальная, парная, групповая формы. Также с учащимися будет проводиться вычислительная работа на компьютерах (MS Excel, Pascal ABC), планируются публичные выступления с докладами и рефератами. Такая организация способствует реализации развивающих целей курса, так как развитие способностей учащихся возможно лишь при сознательном, активном участии в работе самих учащихся.

Содержание курса может быть освоено как в коллективных, так и в индивидуально-групповых формах.

Данная разработка предполагает освоение курса в коллективной форме.

После  изучения данного элективного курса ожидаются следующие  результаты:

- учащиеся должны знать: свойства разностного оператора и их доказательства, основную теорему исчисления конечных разностей и ее следствия, конечные разности некоторых основных элементарных функций (таблицу разностей) и их вывод, формулу выражения конечной разности функции через  ее последовательные значения и доказательство ее справедливости, формулу выражения последовательных значений функции через ее конечные разности и ее вывод;

- учащиеся должны знать: свойства оператора суммы, связь оператора разности с оператором  суммы, формулу вычисления сумм и ее аналитическое и геометрические обоснования, формулу частичного суммирования и ее аналитическое и геометрическое доказательства, суммы некоторых основных элементарных функций натурального аргумента (таблица сумм) и их вывод;

- учащиеся должны знать: интерполяционную формулу Лагранжа; постановку и решение задачи интерполяции;

- обучаемые должны уметь: вычислять конечные разности  функции по определению, с  помощью свойств оператора разности и  таблицы конечных  разностей; решать теоретико-числовые задачи на делимость с помощью понятия конечных разностей;

- учащиеся должны уметь: вычислять конечные суммы функций натурального аргумента с помощью формул и таблицы сумм; вычислять  суммы посредством метода частичного суммирования; вычислять суммы от дробно-рациональных функций натурального аргумента, используя метод неопределенных коэффициентов;

- учащиеся должны уметь: находить общее и частное решения однородного линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами;

- учащиеся должны уметь: находить с помощью формулы Лагранжа аналитическое выражение для таблично заданных функций; применять формулу Лагранжа при решении предметных и прикладных задач различного уровня сложности;

- учащийся должен владеть:  анализом и самоконтролем, исследованием ситуаций, в которых результат принимает те или иные количественные или качественные формы.

Формы контроля уровня  ЗУН  учащихся :

1. Формы промежуточного контроля:  письменные задания по материалу; проверка домашнего задания;  взаимоконтроль; устный ответ ученика.

2. Форма итоговой работы – зачетная работа, состоящего из трех блоков:

А - задания с выбором вариантов ответа;

В - задания с краткой записью ответа;

С - задания, предполагающие развернутый ответ.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Методические рекомендации

Настоящий элективный курс в совокупности составляют 5 тем. Нулевая тема курса -- «Введение». Ее целью является создание, путем повторения изученных и введения новых понятий, базы для изучения дальнейших тем курса. Следующие темы – «Конечные разности», «Конечные суммы», «Разностные уравнения» и «Задача интерполяции. Интерполяционная формула Лагранжа» знакомят с новыми разделами и методами численного анализа. При их изучении рекомендуется использование методов историзма, предлагать решать задачи с историческим содержанием. Они выходят за рамки школьной программы и значительно совершенствуют навыки учащихся в решении практико-ориентированных и нестандартных  олимпиадных задач.

Во время практикумов следует обратить внимание на те способы и приемы решения задач, которые приведены в настоящей работе. Необходимо познакомить учащихся со старинными задачами, с сюжетными задачами, а также с нестандартными методами решения сюжетных задач. 

Литература

1. Битнер В. А. Краткий курс школьной математики. — СПб.: Питер, 2007. — 416 с.

2. Лазарев, В.С. Проектная деятельность в школе : учеб. пособие для учащихся 7-11 кл. / В.С. Лазарев. – Сургут, РИО СурГПУ, 2014. – 135 с.

3. Гашков С.Б. Современная элементарная алгебра в задачах и решениях. — М.: МЦНМО, 2006. — 328 с.

4. Давидович Б.М., Пушкарь П.Е.,Чеканов Ю.В. Математический анализ в 57-й школе.Четырехгодичный курс. — М.: МЦНМО, 2008.—176 с.

5. Александрова Н.В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник. Изд. 3-е, испр. – М.: Издательство ЛКИ, 2008. – 248 с.

6. Виленкин Н.Я. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник для учащихся общеобразват. организаций (углубленный уровень) / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. – 18-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014 – 352.

7. Виленкин Н.Я. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Учебник для учащихся общеобразват. организаций (углубленный уровень) / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. – 18-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014 – 312.

8. Дорофеев Г. В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 1. – Изд. 2-е, перераб. / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. – М.: Издательство «Ювента», 2010, -- 112 с.

9. Дорофеев Г. В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 2. – Изд. 2-е, перераб. / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. – М.: Издательство «Ювента», 2010, -- 128 с.

10. Дорофеев Г. В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 3. – Изд. 2-е, перераб. / Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. – М.: Издательство «Ювента», 2010, -- 176 с.

11. Пиковер К. Великая математика. От Пифагора до 57-мерных объектов. 250 основных вех в истории математики / К. Пиковер ; пер. с англ. С. А. Иванова — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. — 539 с.

12. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Савин А.В., Станкевич Н.В. Анализ в физике. – Саратов: изд-во «Научная книга», 2008, 90 с.

13. Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду / Под ред. А.А. Заславского,Д.А. Пермякова,А.Б. Скопенкова,М.Б. Скопенковаи А.В. Шаповалова.— М.: МЦНМО,2009.— 488 с.

14. Пригарин С.М. Численный анализ (интерполяция, численное дифференцирование и интегрирование) : учеб. пособие / С.М. Пригарин; Новосиб. гос. ун-т. — Новосибирск : ИПЦНГУ, 2018. — 90 с.

15. Сергеев П.В. Математика в спецклассах 57-й школы. Математический анализ. — М. : МЦНМО, 2008. — 159 с.

16. Численные методы. Примеры и задачи. Учебно-методическое пособие по курсам «Информатика» и «Вычислительная математика». / Сост.: Ф.Г.Ахмадиев, Ф.Г.Габбасов, Л.Б.Ермолаева, И.В.Маланичев. Казань: КГАСУ, 2017. – 107 с.

17. Епихин В.Е. Алгебра и теория пределов. Элективный курс: Учебное пособие / В.Е. Епихин. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2006. – 352 с.

18. Малаховский В.С. Избранные главы истории математики: Учеб. издание / В.С. Малаховский. – Калининград: ФГУИПП «Янтарный сказ», 2002. – 304 с.

19. Алгебра. 9 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А.В. Шевкин.].—М.: Просвещение, 2014. – 335 с.

20. Бахвалов Н. С. Численные методы. Решения задач и упражнения: учеб. пособие для вузов / Н. С. Бахвалов, А. А. Корнев, Е. В. Чижоков. – М.: Дрофа, 2009. – 393 с.

21. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике. Алгебра: Учеб. пособие для учащихся 7-11 кл. – Челябинск: «Взгляд», 2004. – 448 с.

22. Голубев В. И. Решение сложных и нестандартных задач по математике. – М.: ИЛЕКСА, 2007. – 252 с.

23. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и проф. уровни. / [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н.Н. Решетников, А. В. Шевкин]. – 8-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 430 с.

24. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и проф. уровни. / [С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н.Н. Решетников, А. В. Шевкин]. – 8-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 464 с.

25. Колдаев В. Д. Численные методы и программирование: учебное пособие / Под ред. проф. Л.Г. Гагариной. – М.: ИД «Форум»: ИНФРА – М, 2009. – 336 с.

26. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики: Учебное пособие. 7-е изд., стер. – СПб.: Издательство «Лань», 2009. – 672 с.

27. Исаков В. И. Элементы численных методов: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / Валерьян Николаевич Исаков. – М.: Издательский центр «Академия»,  2003. – 192 с.  

28. Н. Л. Стефанова. Методика и технология обучения математике. Лабораторный практикум: учебное пособие для студентов математических факультетов педагогических университетов – М.: 2007г.

29. М. А. Куканов Математика 9-11 классы: моделирование в решении задач. – Волгоград: Учитель, 2009. – 168с.

30. Муравин К. С. Алгебра. 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / К. С. Муравин, Г. К. Муравин, Г. В. Дорофеев. – 4-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2004. – 240 с.

31. Алфутова Н. Б. Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. 3-е изд., испр.  и доп. — М.: МЦНМО, 2009. — 336 с.

32. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей: Учеб. пособие. – 4-е изд., стер. – М.: КомКнига, 2006. – 376 с.

33. Утешев А.Ю. Разностное уравнение и рекуррентная последовательность. – http://pmpu.ru/vf4/recurr.

34. Маркушевич А.И. Возвратные последовательности. – М.: Гос. изд-во ТехникоТеоретической Литературы, 1950. – 50 с.

35. Московские математические олимпиады 1993 – 2005 г. / Р. М. Федоров и др. Под ред. В. М. Тихомирова. – М.: МЦНМО, 2006. – 456 с.

36. Всероссийские олимпиады школьников по математике 1993 – 2006. Окружной и финальный этапы / Н. Х. Агаханов и др. Под ред. Н. Х. Агаханова. – М.: МЦНМО, 2007, - 472 с.

37. Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду / Под ред. А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова. – М.: МЦНМО, 2009. – 488 с.

38. Семенов И. Л. Антье и мантисса. Сборник задач с решениями / Под ред. Е. В. Хорошиловой. – М.: ИПМ им. М. В. Келдыша, 2015. – 432 с.