ДВУГРАННЫЙ УГОЛ
презентация к уроку по математике (10 класс)

Слайд 1

Слайд 2

Основные задачи урока: Ввести понятие двугранного угла и его линейного угла Рассмотреть задачи на применение этих понятий

Слайд 3

Определение: Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой.

Слайд 4

Определение двугранного угла . ребро грани Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями . Общая граница этих полуплоскостей – ребром двугранного угла.

Слайд 5

Обозначение двугранного угла. А В С D Угол CBDA

Слайд 6

В обыденной жизни, форму двугранного угла имеют

Слайд 7

Укажите все двугранные углы

Слайд 8

Примеры двугранных углов:

Слайд 9

Аналогично тому , как и на плоскости , в пространстве определяются смежные и вертикальные двугранные углы. γ  а β β β 1 а   1

Слайд 10

Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB -линейный угол двугранного угла ACD В

Слайд 11

все линейные углы двугранного угла равны друг другу. Рассмотрим два линейных угла АОВ и А 1 ОВ 1 . Лучи ОА и ОА 1 лежат в одной грани и перпендикулярны ОО 1 , поэтому они сонаправлены. Лучи ОВ и ОВ 1 также сонаправлены. Следовательно, ∠ АОВ = ∠ А 1 ОВ 1 (как углы с сонаправленными сторонами).

Слайд 12

Способ нахождения (построения) линейного угла. 1 . Найти ( увидеть) ребро и грани двугранного угла 2. В гранях найти направления ( прямые) перпендикулярные ребру 3. (при необходимости) заменить выбранные направления параллельными им лучами с общим началом на ребре двугранного угла При изображении сохраняется параллельность и отношение длин параллельных отрезков

Слайд 13

Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла. A B O A 1 O 1 B 1

Слайд 14

Линейным углом двугранного угла называется сечение двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру. А С В D О

Слайд 15

Угол между плоскостями Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями.

Слайд 16

Задача 1: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDD 1 .

Слайд 17

Задача 2: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и CDA 1 . Ответ

Слайд 18

Задача 3: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ABC и BDD 1 . Ответ

Слайд 19

Задача 4: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями ACC 1 и BDD 1 . Ответ

Слайд 20

Дано: КМРТ-тетраэдр Δ ТМК правильный РТ  МКТ Указать: Линейные углы для двугранных углов : РТМК РМКТ РКТМ ЗАДАЧА № 1 Ребро ТМ , грани МРТ и МТК Т Р M К А В ┌ В грани МРТ : РТ  ТМ ( по определению а  ) В грани МТК : КА  ТМ, где А  середина ТМ ( по свойству р/с Δ ) ВА  РТ, РТ  ТМ ВА  МТ ( по лемме о связи  и  ) Ответ:  ВАК  искомый

Слайд 21

ЗАДАЧА № 2 Дано: КМРТ-тетраэдр Δ ТМК правильный РТ  МКТ Указать: Линейные углы для двугранных углов : РТМК РМКТ РКТМ Т Р M К C ┌ Ребро МК , грани КМР и КМТ В грани КМР : РС  КМ, где С - середина КМ ( по свойству р/с Δ) В грани КТМ : ТС  КМ, где С - середина КМ ( по свойству р/с Δ) Ответ:  РСТ - искомый

Слайд 22

ЗАДАЧА № 3 Дано: КМРТ-тетраэдр Δ ТМК правильный РТ  МКТ Указать: Линейные углы для двугранных углов : РТМК РМКТ РКТМ Т Р M К D F ┌ Ребро КТ , грани КТР и КМТ В грани КТР : Р T  К T ( по определению а  ) В грани КТМ : М D  К T , где D  середина КТ ( по свойству р/с Δ) FD  PT , Р T  К T  FD  К T ( по лемме о связи  и  ) Ответ:  FDM  искомый

Слайд 23

Задача 5: В кубе A … D 1 найдите угол между плоскостями BC 1 D и BA 1 D . Решение: Пусть О – середина В D. A 1 OC 1 – линейный угол двугранного угла А 1 В D С 1 .

Слайд 24

Задача 6: В тетраэдре DABC все ребра равны, точка М – середина ребра АС. Докажите, что ∠ DMB – линейный угол двугранного угла BACD .

Слайд 25

Решение: Треугольники ABC и ADC правильные, поэтому, BM ⊥ AC и DM ⊥ AC и, следовательно, ∠ DMB является линейным углом двугранного угла DACB .

Слайд 26

Задача 7: Из вершины В треугольника АВС, сторона АС которого лежит в плоскости α , проведен к этой плоскости перпендикуляр ВВ 1 . Найдите расстояние от точки В до прямой АС и до плоскости α , если АВ=2, ∠ВАС=150 0 и двугранный угол ВАСВ 1 равен 45 0 .

Слайд 27

Решение: АВС – тупоугольный треугольник с тупым углом А, поэтому основание высоты ВК лежит на продолжении стороны АС. ВК – расстояние от точки В до АС. ВВ 1 – расстояние от точки В до плоскости α

Слайд 28

2) Так как АС ⊥ВК, то АС⊥КВ 1 (по теореме , обратной теореме о трех перпендикулярах). Следовательно, ∠ВКВ 1 – линейный угол двугранного угла ВАСВ 1 и ∠ВКВ 1 =45 0 . 3) ∆ВАК : ∠А=30 0 , ВК=ВА· sin 30 0 , ВК =1. ∆ВКВ 1 : ВВ 1 =ВК· sin 45 0 , ВВ 1 =