Презентация "Комбинаторика"
презентация к уроку по математике (7 класс)
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Определение Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называется комбинаторикой
Комбинаторика Слово " комбинаторика " происходит от латинского " combinare ", которое означает "соединять, сочетать". Комбинаторика - раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Комбинаторными задачами интересовались и математики, занимавшиеся составлением и разгадыванием шифров, изучением древних рукописей. Сейчас комбинаторика находит приложения во многих областях науки: в биологии, в химии, механике и т.д.
Факториал 1 • 2 • 3 • … • n = n ! Факториа́л числа n (обозначается n ! , произносится эн факториа́л ) — это произведение всех натуральных чисел до n включительно:
Факториал 4! = 1•2•3•4 = 24 3! = 1•2•3 = 6 6! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 = 720
Главное свойство факториала ( n +1)! = ( n +1) • n ! Следствие 1! = 1 0! = 1
Пусть имеются три кубика с буквами А, В и С. Составьте всевозможные комбинации из этих букв. ABC АСВ ВСА ВАС CAB CBA Эти комбинации отличаются друг от друга только расположением букв (перестановка букв). А В С
Перестановки
Перестановки — это комбинации, составленные из одних и тех же элементов и отличающиеся порядком их следования. Число всех возможных перестановок элементов обозначается P n , и может быть вычислено по формуле: Формула перестановки: Р n =n! При перестановке число объектов остается неизменными, меняется только их порядок С ростом числа объектов количество перестановок очень быстро растет и изображать их наглядно становится затруднительно.
3 объекта количество перестановок 6 Р n =n! Р 3 =3!=1 ∙2∙3=6
Задача 1. В турнире участвуют семь команд. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно? Р 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 Ответ: 5040 Задача 2. Сколькими способами могут разместиться за круглым столом 10 человек? Р 10 =10! = = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 = 3628800 Ответ: 3628800
Вычислить: а) 5! 2. В среду в 9 классе 6 уроков: алгебра, русский язык, черчение, биология, химия, обществознание. Сколько вариантов расписания можно составить на среду?
Размещения
Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать из них m объектов и переставлять всеми возможными способами между собой . Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по m , а их число равно: При размещениях меняется и состав выбранных объектов, и их порядок. Формула размещения:
n =3 - всего объектов (различных фигур) m = 2 – выбор и перестановка объектов 3 объекта Размещение по 2 фигуры
Сколькими способами можно расставить 5 томов на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличии семи книг? Ответ: 2520 способов
Вычислить: 2. Найти количество трехзначных чисел с неповторяющимися цифрами, которые можно составить из цифр: 1, 2, 3, 4, 5. Ответ: 60 чисел
Сочетания
3 объекта Пусть имеется n различных объектов. Будем выбирать из них m объектов все возможными способами Получившиеся комбинации называются сочетаниями из n объектов по m , В сочетаниях меняется состав выбранных объектов, но порядок не важен
Задача: Сколькими способами можно распределить три путевки в один санаторий между пятью желающими? Так как путевки предоставлены в один санаторий, то варианты распределения отличаются друг от друга хотя бы одним желающим. Поэтому число способов распределения Ответ: 10 способов.
Задача: В цехе работают 12 человек: 5 женщин и 7 мужчин. Сколькими способами можно сформировать бригаду из 7 человек, чтобы в ней было 3 женщины? Из пяти женщин необходимо выбирать по три, поэтому число способов отбора . Так как требуется отобрать четырех мужчин из семи, то число способов отбора мужчин Ответ: 350
Задача: Группу из 20 студентов следует рассадить в аудитории по 2 человека за каждой партой. Порядок их размещения не имеет значения. Определить количество возможных вариантов сочетаний. Ответ: 190