Индивидуальный образовательный маршрут для одарённых и проявляющих интерес к математике учеников
материал по математике (5 класс)

МБОУ «Средняя школа №34»

Индивидуальный образовательный маршрут для одарённых и проявляющих интерес к математике учащихся 5 класса – Точилина Богдана, Новоселовой Анны, Антонова Богдана

Подготовила: учитель математики Романова Е.В.

 «Умение решать задачи — такое же практическое                                                                                        искусство, как умение плавать или бегать. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения».

Д. Пойя

      В младшем школьном возрасте происходит бурное развитие интеллекта. Возможность развития способностей очень высока. Развитие математических  способностей младших школьников на сегодняшний день остаётся наименее разработанной методической проблемой. Важно не  упустить этот момент и найти эффективные пути развития способностей детей. Несмотря на  постоянное совершенствование форм и методов работы, в развитии математических способностей в процессе решения задач есть существенные пробелы. Это можно объяснить следующими причинами:

- излишняя стандартизация и алгоритмизация методов решения  задач;

- недостаточное включение учащихся в творческий процесс решения задачи;

- несовершенство работы учителя по формированию умения учащихся проводить содержательный анализ задачи, выдвигать гипотезы по планированию решения, рационально определяя шаги.

                   Система работы учителя

состоит из следующих компонентов:

1. Диагностика исходного уровня развития математических способностей учащихся.

2. Прогнозирование положительных результатов деятельности учащихся.

    3. Реализация комплекса упражнений по развитию математических способностей

    в учебном процессе в рамках программы      очно-заочного   центра развития математических способностей   на базе школы     для учащихся  5-6 класса

4. Создание условий для включения в деятельность одарённого ученика.

5. Выполнение и составление учениками и учителем заданий олимпиадного и творческого характера.

                              Результативность работы.

 Положительная динамика уровня математических способностей учащихся. Высокая учебная мотивация и мотивация самореализации при выполнении научно-исследовательских работ по математике. Увеличение количества баллов олимпиад и конкурсов различных уровней. Более глубокое осознание и усвоение программного материала на уровне применения знаний, умений, навыков в новых условиях; повышение интереса к предмету. Повышение познавательной активности школьников в урочной и внеурочной деятельности.

 На подготовительном этапе проведены наблюдения за одарёнными учащимися учеников 5-6 классов. Наблюдения проводились как в процессе изучения нового материала, так и при решении задач. Для наблюдений были выделены те признаки математических способностей, которые наиболее ярко проявляются у школьников:

1) относительно быстрое и успешное овладение математическими знаниями, умениями и навыками;

2) способность к последовательному правильному  логическому рассуждению;

3) находчивость и сообразительность при изучении математики;

4) гибкость мышления;

5) способность к оперированию числовой и знаковой символикой;

6) пониженная утомляемость при занятиях математикой;

7) способность сокращать процесс рассуждения, мыслить свернутыми структурами;

8) способность  переходить с прямого на обратный ход мысли;

9) развитость образно–геометрического мышления и пространственных представлений. 

Цель программы:

развитие творческих способностей, логического мышления, углубление знаний, полученных на уроке, и расширение общего кругозора ребенка в процессе рассмотрения различных практических задач и вопросов.

Достижение этой цели обеспечено посредством решения следующих задач:

• Пробуждение и развитие устойчивого интереса учащихся к математике и ее приложениям.
• Оптимальное развитие математических способностей и привитие учащимся определенных навыков научно-исследовательского характера.
• Воспитание высокой культуры математического мышления.
• Развитие у учащихся умения самостоятельно и творчески работать с учебной и научно-популярной литературой.
• Расширение и углубление представлений учащихся о практическом значении математики.

• подготовка учащихся к олимпиадам и  различным конкурсам;
• создание условий для существенной  индивидуализации и дифференциации содержания обучения школьников;

Для реализации поставленных целей и задач разработана программа. Реализация данной программы возможна в течение одного или двух лет.

          Все  индивидуальные  занятия  будут посвящены изучению материала «за страницами учебника» и решению всевозможных задач исключительно повышенного уровня сложности. В течение года ребята поучаствуют  в районных, областных, международных конкурсах( н-р «Кенгуру», «Мультитест», «Олимпус»,  молодёжный математический чемпионат г.Пермь…).        

    Обучение по программе осуществляется в виде теоретических и практических занятий для учащихся. В ходе занятий ребята выполняют практические работы, готовят рефераты, выступления, принимают участия в конкурсных программах. Во внеурочное время проводятся консультации для удовлетворения потребностей в углубленном изучении вопросов  курса математики. Занятия по своей форме организации носят характер собеседования, консультации или самостоятельного выполнения учениками заданий под руководством учителя.

При выполнении практических работ рекомендуется использовать ИК – технологии и возможности сети Интернет.

                    Методы работы:

1.исследовательский; 

2.частично-поисковый; 

3.проблемный; 

4.проективный; 

                    Формы работы:

1. самостоятельная работа,  творческие задания;

2. консультирование по возникшей проблеме;

3. дискуссия;

4. игры.

 Формы контроля

Оценивание учебных достижений отличается от привычной системы оценивания на уроках. Можно выделить следующие формы контроля:

- сообщения и доклады (мини);

-тестирование с использованием заданий математического конкурса «Кенгуру», «Мультитест», «Олимпус».

- творческий отчет (в любой форме по выбору учащихся);

- различные упражнения в устной и письменной форме.

Ожидаемые результаты:

В  результате  данной деятельности  дети  учатся:

1. Находить источники информации;

2.Отбирать наиболее значимый материал;

3. Перерабатывать полученную информацию;

5.Формулировать вопросы и проблемы и искать пути их решения;

6. Делать выводы на основе полученной информации.

7. Грамотно оформлять результаты работы;

8. Презентовать полученные знания и опыт.

Учебно-тематический план дополнительной образовательной программы «Математика для одаренных детей 5, 6 класса»

Требования к уровню подготовки учащихся

По окончании обучения учащиеся должны знать:

• нестандартные методы решения различных математических задач;

• логические приемы, применяемые при решении задач;

• историю развития математической науки, биографии известных ученых-математиков.

По окончании обучения учащиеся должны уметь:

• рассуждать при решении логических задач, задач на смекалку, задач на эрудицию и интуицию;

• систематизировать данные в виде таблиц при решении задач, при составлении математических кроссвордов, шарад и ребусов;

• применять нестандартные методы при решении программных задач

Задачи на взвешивания  ( одна из  тем)

   Задачи на взвешивание - достаточно распространённый вид математических задач. В таких задачах от решающего требуется локализовать,  отличающийся от остальных,  предмет по весу,  за ограниченное число взвешиваний. Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой. Рассмотрим на примере решения задачи. 
 Буратино и Кот Базилио

  У Буратино есть 27 золотых монет. Но известно, что Кот Базилио заменил одну монету на фальшивую, а она по весу тяжелее настоящих. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь Буратино определить фальшивую монету? 
Решение:

Разделим монеты на 3 кучки по 9 монет. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она - в третьей кучке). Теперь, аналогично, разделим выбранную кучку на три части по три монеты, положим на весы две из этих частей и определим, в какой из частей находится фальшивая монета. Наконец, остается из трех монет определить более тяжелую: кладем на чаши весов по 1 монете - фальшивкой является более тяжелая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета из части. Задача решена.

                                                 Реши сам

1.Золушка

Мачеха послала Золушку на рынок. Дала ей девять монет: из них 8 настоящих, а одна фальшивая – она легче чем настоящая. Как найти ее Золушке за два взвешивания? 
2.Фальшивая монета

Среди 101 одинаковых по виду монет одна фальшивая, отличающаяся по весу. Как с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче или тяжелее фальшивая монета? Hаходить фальшивую монету не требуется. 
3.Фальшивая монета 2

Имеется 8 монет. Одна из них фальшивая и легче настоящей монеты. Определите за 3 взвешивания какая из монет фальшивая. 
4.Фальшивая монета 3

Имеется 10 монет. Одна из них фальшивая и легче настоящей монеты. Как, с помощью чашечных весов без гирь, определить какая из монет фальшивая? 
5.Лиса Алиса и Кот Базилио

Лиса Алиса и Кот Базилио – фальшивомонетчики. Базилио делает монеты тяжелее настоящих, а Алиса – легче. У Буратино есть 15 одинаковых по внешнему виду монет, но какая-то одна – фальшивая. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах без гирь Буратино может определить, кто сделал фальшивую монету – Кот Базилио или Лиса Алиса? 
6.Буратино

Буратино имеет четыре одинаковых по виду монеты, одна из которых не золотая, а фальшивая и легче других. Как Буратино определить фальшивую монету? Какое минимальное число взвешиваний ему потребуется? 
7.Дядюшка Скрудж

Дядюшке Скруджу принесли 8 одинаковых по виду монет, одна из которых не золотая, а фальшивая и легче других. Помогите Скруджу определить фальшивую монету. Какое минимальное число взвешиваний ему потребуется?

                                                Ответы для учителя

1.Золушка

  Разделим 9 монет на 3 равных кучки. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она - в третьей кучке). Остается из трех монет определить более легкую: кладем на чаши весов по 1 монете - фальшивкой является более легкая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета.

2.Фальшивая монета

  Взвешиваем 50 и 50 монет: два случая. 
1 случай. Равенство. Берем оставшуюся монету и ставим ее в левую кучку вместо одной из имеющихся там: 
а) Левая кучка тяжелее => фальшивая монета тяжелее; 
б) Левая кучка легче => фальшивая монета легче. 
2 случай. Неравенство. Берем более тяжелую кучку и разбиваем ее на две кучки по 25 монет: 
а) Вес кучек одинаковый => фальшивая монета легче; 
б) Вес кучек неодинаковый => фальшивая монета тяжелее.

3.Фальшивая монета 2

  Делим монеты на две равные кучки – по 4 монеты в каждой. Взвешиваем. Ту кучку, которая легче, опять делим на две одинаковых кучки – теперь по две монеты в каждой. Взвешиваем. Определяем, какая из них легче. Кладем на чаши весов по 1 монете из этой кучки. Фальшивая та, которая легче. Задача решена.

4.Фальшивая монета 3

   Разделим 10 монет на 2 равных кучки – по 5 монет. Положим на чаши весов. Определим, в какой из этих кучек находится фальшивая монета. Теперь эту кучку делим на 3 кучки – в двух из них по две монеты, в третьей одна монета. Взвешиваем кучки, в которых по две монеты. Если весы покажут равенство, то фальшивка в третьей кучке. Если покажут неравенство, то фальшивая монета в кучке, которая легче. Теперь кладем на чаши весов по 1 монете из этой кучки – фальшивкой является более легкая. Задача решена.

5.Лиса Алиса и Кот Базилио

    Буратино может разделить свои монеты на три кучки по 7, 4, 4, или по 5, 5, 5, или по 3, 6, 6, или по 1, 7, 7 монет. При первом взвешивании он положит на весы две кучки монет одинаковой величины. Если при этом весы оказались в равновесии, значит, все монеты на весах настоящие, а бракованная монета в оставшейся кучке. Тогда при втором взвешивании на одну чашку весов Буратино положит кучку с бракованной монетой, а на вторую – столько настоящих монет, сколько всего монет он положил на первую чашку, и тогда он сразу определит, легче фальшивая монета, чем настоящие, или тяжелее. Если же при первом взвешивании весы оказались не в равновесии, значит, все монеты в оставшейся кучке настоящие. Тогда Буратино уберет с весов легкую кучку, а монеты из тяжелой кучки разделит на две равные части и положит на весы (если в кучке было 5 или 7 монет, предварительно добавит к ним одну настоящую монету). Если при втором взвешивании весы оказались в равновесии, значит, фальшивая монета легче настоящих, а если нет, то тяжелее. Задача решена.

6.Буратино

  Разделим монеты на 2 равных кучки – по 2 монеты. Положим на чаши весов. В более легкой кучке находится фальшивая монета. Теперь кладем на чаши весов по 1 монете из этой кучки – фальшивкой является более легкая. Буратино потребуется два взвешивания. Задача решена.

  7.Дядюшка Скрудж

    Разделим монеты на кучки по 3, 3, 2 монеты. Положим на чаши весов кучки по 3 монеты – по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка. 
   Если весы покажут равенство, то фальшивая монета в третьей кучке. Тогда кладем на чаши весов монеты из третьей кучки. Фальшивкой будет та, которая легче. 
    Если весы покажут неравенство. Тогда кладем на чаши весов по монете из более легкой кучки; если установилось равенство, то фальшивкой является третья монета из этой кучки; если неравенство – то более легкая монета и есть фальшивка. Следовательно, Скруджу потребуется минимум два взвешивания. Задача решена.

 Круги Эйлера – задачи на пересечение или объединение множеств. (одна из тем)

   Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи. 
Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. 
Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче. Рассмотрим кругов Эйлера на примере решения задачи. 
"Обитаемый остров" и "Стиляги"

Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»? 

Решение:

Чертим два множества таким образом: 

6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств. 
15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый остров». 
11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Стиляги». 
Получаем: 

Ответ. 5 человек смотрели только «Стиляги».

    Реши сам

1. Любимые мультфильмы

Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»? 
2.«Мир музыки»

В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры? 
3.Гарри Поттер, Рон и Гермиона

На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон? 
4.Пионерский лагерь

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом? 
5.Экстрим

Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах? 

 Ответы для учителя

1.Любимые мультфильмы

В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж: 

Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем: 
21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов». 
13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок». 

Получаем: 
38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны». 
Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек. 
Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».

2. «Мир музыки» 

Изобразим эти множества на кругах Эйлера. 

Теперь посчитаем: Всего внутри большого круга 35 покупателей, внутри двух меньших 35–10=25 покупателей. По условию задачи 20 покупателей купили новый диск певицы Максим, следовательно, 25 – 20 = 5 покупателей купили только диск Земфиры. А в задаче сказано, что 11 покупателей купили диск Земфиры, значит 11 – 5 = 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры: 

Ответ: 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры.

3.Гарри Поттер, Рон и Гермиона

Учитывая условия задачи, чертеж будет таков: 
Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри. Следовательно, 
26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал только Рон. 
Ответ. 8 книг прочитал только Рон.

4.Пионерский лагерь

Изобразим множества следующим образом: 
70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. Только спортом заняты 5 человек. 
Ответ. 5 человек заняты только спортом.

5.Экстрим

Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде. 
Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.