проект
проект по математике (6 класс)

учебный проект

«ПОЕДИНОК ДРОБЕЙ»

   Саенко Адема Навюловна,

учитель математики филиала МОУ СОШ

 с.Рефлектор в п.Целинный

Целинный 2025

СОДЕРЖАНИЕ ПРОЕКТА

1. АННОТАЦИЯ…………………………………………..3
2. АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ……………………………..4
3. ОБЫКНОВЕННАЯ ДРОБЬ…………………………… 5

1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ..5

4. ДЕСЯТИЧНАЯ ДРОБЬ……………………………………………7

1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ……7

5. ТИПЫ ЗАДАЧ, РЕШАЕМЫХ С ПОМОЩЬЮ   ОБЫКНОВЕННЫХ И ДЕСЯТИЧНЫХ   ДРОБЕЙ…………………….9
6. ПОИСК  УНИВЕРСАЛЬНОЙ   ДРОБИ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ....................................................................................12
7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
8. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………….14

1. АННОТАЦИЯ

Числа, заданные дробью, применяются повсеместно. Несмотря на необычную запись обыкновенной и простоту записи десятичной дробей, в мире больше приходится нам, простым обывателям Земли обращаться для выполнения расчетов не к скучным целым числам, а  именно к ним, к дробям. Если задуматься,  а все ли полученные решения мы можем   записать   дробными числами?  Так ли одинаковы по своим возможностям дать конечный ответ обыкновенная и десятичная дроби? Конечно, любая дробь  дает дополнительную точность ответу в решении задач, числовых выражений и уравнений по сравнению с целыми числами, но все же они разные...

2. АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ

Есть такая пословица «У сильного - век сто лет, у слабого – и четверти нет», как не жестоко звучит, но это правда, если  применять ее в жизни живых организмов. А правду нам раскрыли дроби. Да, да простые дроби…

Мне всегда была интересна задача на построение окружностей. Когда есть в условии радиус то еще можно взять циркуль нужного раствора и выполнить построение.  А когда в условии дана длина окружности необходимо построить окружность. Т.е сначала узнать радиус. Конечно пользуясь формулой  r = l/ π   можно рассчитать радиус. естественно применяем число пи и считаем а далее строим окружность. Но ведь дробь 22/7 не конечная, значит, если не будет точных данных о радиусе или длины окружности, то ничего точного  построить нельзя? Хотя и по данным википедии есть такая информация, что число пи рассчитали до 31,4 миллиона знака после запятой - нам это не поможет. Получается, число пи в десятичном виде используется для простоты расчета,  а не для точного построения.

 В моем проекте я попытаюсь столкнуть два вида дробей, если можно так выразится, «лбами», а самое главное выяснить какая из них «сильнее» и более точно может дать ответ на поставленные задачи. Чтобы не быть голословной, я должна  все рассчитать, ведь  в математике все необходимо проверять!

Цель исследования:

• Определить методом решения математических задач, какой вид дробей наиболее практичный.
• Задачи исследования:

• Изучить соответствующую литературу в бумажном виде и в сети Интернет.

• Изучить историю возникновения каждого вида дробей;
• Анализировать порядок и алгоритм выполнения основных арифметических действий с десятичными и обыкновенными дробями, в том числе смешанными числами.
• Рассмотреть все возможные виды задач, решаемых с применением обыкновенных или десятичных дробей.
•  Сравнить результаты полученных ответов, с целью нахождения «универсала»
• Сделать вывод

Объект исследования:

• Задачи с применением обыкновенных и десятичных дробей

Предмет исследования:

• Обыкновенные и десятичные дроби

Гипотеза исследования: оба вида дробей имеют не равные возможности дать точный ответ на поставленные задачи.

3.     ОБЫКНОВЕННАЯ ДРОБЬ

Обыкновенная дробь — частное целых чисел, представленное числителем и знаменателем, разделёнными косой или прямой горизонтальной чертой. Числитель обозначает количество частей из целого, а знаменатель определяет общее количество частей, на которые делится целое 

1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ

Дроби или, как правильно выразиться, дробные числа появились   после натуральных чисел еще в древние времена. Причиной этому стало то что у людей начал развиваться эгоизм и индивидуальные потребности во всех сторонах жизни, которые требовали разделения добычи или площади занимаемой  земли.   А также    человеку приходилось  посчитать предметы   и измерить величины- такие как меры длины, массы, площади , объема и т.д.  Основным назначением этих действий было – не обидеть себя любимого, ведь  единица измерения не всегда укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Конечно тогда еще не было конкретных единиц измерения и никаких сборников с готовыми единицами измерениями тех или иных предметов.  Допустим,  возникла необходимость замерить длину территории. Делали это шагами. И получилось несколько целых полных шагов, а последний шаг в несколько раз короче, чем целый шаг. Что делать? А когда уже установились основные единицы измерения, то появилась необходимость еще и записать эту нехватку.

Таким образом, понятие дроби родилось из необходимости  дробления целого на одинаковые  части. Русский термин «дробь», значит ломать, раздроблять что -то одно целое. Мне кажется, что первыми дробями  у всех цивилизаций были дроби вида 1/n. А с развитием у человечества знаний в области математики появились и  дроби m/n – рациональные числа.  Результату дробления было необходимо присвоить какое – то имя. Так появились названия половина, треть, четверть и другие. Внешний вид обозначения, система записей дробей постоянно менялась. В настоящее время используется самая, на мой взгляд, оптимальная запись дробного числа.

Например, при раскопках Древнего Вавилона были найдены глиняные таблички возраст которых 3000 лет до нашей эры, то есть 5000 до нашей эры с упоминаем дробей! Жители Древнего Вавилона использовали дроби с постоянным знаменателем 60. До наших дней сохранилось деление часа на 60 минут, минуты на 60 секунд, окружности на 360 градусов, градуса на 60 минут, минуты на 60 секунд Минута означает по-латыни «маленькая часть», секунда- «вторая».

В Древнем Риме также использовали обыкновенные дроби, но уже с постоянным знаменателем равным 12. Римляне пользовались, в основном, только конкретными дробями, которые заменяли абстрактные части подразделами используемых мер. Эта система дробей основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Так возникли римские двенадцатеричные дроби, т.е. дроби у которых знаменатель всегда был двенадцать. Двенадцатую долю асса называли унцией. Вместо 1\12 римляне говорили «одна унция», 5\12 – «пять унций» и т.д. Три унции назывались четвертью, четыре унции – третью, шесть унций – половиной.

А в  древнем Египте использовали иероглифы при обозначении дробей. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях нашли на  Математическом папирусе Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима

Самый древний из них Московский математический папирус его возраст по заключениям экспертов- 19 век до нашей эры. Ему около 4000 лет. Египтяне уже умели   умножать и делить дроби. При умножении  они  умножали  доли на доли, а потом  использовали специальную  таблицу. Деление дробей выполнялось еще сложнее.

В Древней Греции арифметику – учение об общих свойствах чисел – отделяли от логистики – искусства исчисления. Греки считали, что дроби можно использовать только в логистике. Греки свободно выполняли  арифметические действия  с дробями, но полноценными числами их не признавали. Греческие ученые считали, что математика должна заниматься только целыми числами. Возиться с дробями они предоставляли купцам, ремесленникам   и другому «черному люду».  Поскольку греки работали с обыкновенными дробями лишь эпизодически, они использовали различные обозначения. Герон Александр записывали дроби в алфавитной форме, причем числитель располагали под знаменателем. Для некоторых дробей применялись отдельные обозначения. Недостатки   обозначений дробных чисел связано с тем, что слово «число» греки понимали. как набор единиц, а дробь -  как отношение двух целых чисел. Предпочтение отдавалось либо дробям с единичным числителем, либо шестидесятичным дробям.  Потребность в точных дробях была в такой науке как астрономия, где вавилонская традиция была   сильна, и ее использовали все народы, включая Грецию.

 Это мы теперь во всем мире рассматриваем дробь как единое рациональное число. А на Руси дроби появились сравнительно недавно.

В первых учебниках математики (VII в.) дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В русском языке слово дробь появилось в VIII веке, оно происходит от глагола «дробить» — разбивать, ломать на части. При записи числа использовалась горизонтальная черта.

Первый русский математик, известный нам по имени монах Новгородского монастыря Кирик, занимался вопросами хронологии и календаря в 12 веке нашей эры, автор «Учение о числах».

 В старых руководствах есть следующие названия дробей на Руси:

1/2 - половина, полтина

1/3 – треть

1/4 – четь

1/6 – полтреть

1/8 - полчеть

1/12 –полполтреть

1/16 - полполчеть

1/24 – полполполтреть (малая треть)

1/32 – полполполчеть (малая четь)

1/5 – пятина

1/7 - седьмина

1/10 – десятина.

 В 1703г. выходит в свет первый русский печатный учебник по математике «Арифметика». Автор Магницкий Леонтий Филлипович. Во 2-ой части этой книги  “О числах ломаных или с долями” подробно излагается учение о дробях.  Оно у Магницкого носит почти современный характер. Появляется горизонтальная черта между числителем и знаменателем. Магницкий приводит название всех правильных дробей со знаменателями от 2 до 10. Например, дроби со знаменателем 6: единашестина, две шестины, три шестины, четыре шестины, пять шестин.

Магницкий использует название числитель, знаменатель, рассматривает неправильные дроби, смешанные числа, помимо всех действий выделяет целую часть из неправильной дроби.

Учение о дробях считалось самым трудным разделом математики во все времена и у всех народов.

4. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ.

 Десятичная дробь — это смешанная дробь, знаменатель дробной части которой состоит из произведений числа 10.

2. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ

К десятичным дробям математики пришли в разные времена в Азии и в Европе. Зарождение и развитие десятичных дробей в некоторых странах Азии было тесно  связано с метрологией (учением о мерах). Уже во II в. до н.э. там  существовала десятичная система мер длины.

 В Древнем Китае уже пользовались десятичной системой мер,
обозначали дробь словами, используя меры длины  чи,  цуни,  доли, порядковые,  шерстинки,  тончайшие,  паутинки.

    В 20 годах 15 века в городе Самарканд в средней Азии находилась знаменитая обсерватория, которую создал астроном Улугбек- внук Тамерлана. Именно в ней работал ученый по имени Джемшид Гиясэддин ал-Каши. Он создал более  полную и систематическую трактовку   десятичных дробей. Он вводит специфическую для десятичных дробей запись: целая и дробная часть   пишутся в одной строке. Для отделения первой части от дробной он не применяет запятую, а пишет целую часть черными  чернилами, дробную же – красными или отделяет целую часть от дробной  вертикальной чертой. Свой труд от отражает  в книге «Ключ арифметики»  в 1427 г.

  В Европе в конце 16 века  фламандский инженер и ученый Симон Стевин (1548-1620), не зная о работах ал-Каши  около 150 лет после  него, изложил учение о десятичных дробях в Европе. 

Его и считают изобретателем десятичных дробей.  Объяснение правил действий и записи с десятичными дробями он изложил  своей книге из 7 страниц  "Десятая"(1585). Он не использовал точек или запятых  в обозначении  десятичных дробей. Например, он записывал число 35,912 он предлагал записывать так - 35 0 9 1 1 2 2 3

Итак, вместо запятой нуль в кружке. В других кружках или над цифрами указывается десятичный разряд: 1 – десятые, 2 – сотые и т.д.   при этом Стевин  настойчиво пропагандировал десятичные дроби к использованию в жизни. Он был первым ученым, потребовавшим введения   десятичной системы мер и весов.  

   В 1579 году десятичные дроби применяются в «Математическом каноне» французского математика Франсуа Виета (1540-1603), опубликованном в Париже.   Но здесь Виет не использовал строгое и конкретное обозначение десятичных дробей. Обозначал их и с чертой , и мелким шрифтом и т.д. В 1617г. шотландский математик Джон Непер предложил отделять десятичные знаки от целого числа либо запятой, либо точкой.

Сейчас в  странах, где говорят на английском языке (Англия, США, Канада и др.), вместо запятой пишут точку.

В России первые систематические сведения о десятичных дробях встречаются в “Арифметике” Магницкого (1703г.) С начала XVII века начинается интенсивное проникновение десятичных дробей в науку и практику. Развитие техники, промышленности и торговли требовали все более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей легче было выполнять. Широкое применение десятичные дроби получили в XIX веке после введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов. Например, в сельском хозяйстве и промышленности десятичные дроби и их частный вид – проценты – применяются намного чаще, чем обыкновенные дроби.

5. ТИПЫ ЗАДАЧ, РЕШАЕМЫХ С ПРИМЕНЕНИЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ И ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ    

В этом проекте для сравнения возможностей дробей я буду рассматривать следующие типы задач :

1. На проценты,
2. На доли и дроби
3. Уравнения , пропорции
4. Числовые  выражения, их расчет
5. Буквенные выражения, их упрощение
6. Задачи на построение.

Сначала произведем расчет в обыкновенных дробях, а затем в десятичных.

1. Задачи на проценты.

2        На доли и дроби

3. Решение уравнения , пропорции

4. Числовые  выражения, их расчет

5. Буквенные выражения, их упрощение

6. Задачи на построение.

6 ПОИСК  УНИВЕРСАЛЬНОЙ   ДРОБИ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Все выбранные мною задачи, уравнения и выражения я решала двумя способами.  Как выяснилось, конечного ответа в некоторых данных задачах в виде десятичной дроби мне добиться не удалось.

Анализируя ответы десятичных дробей, вернее его    отсутствие так и хочется сказать «опять в «тупик» привела нас десятичная дробь»

Проведя опрос у учеников старших классов, выяснилось, что 90 процентов учащихся 9-11 классов считает что с десятичными дробями все просто и легко и их очень даже устраивает. С ними удобно проводить расчеты всех арифметических действий.  На мой вопрос  о точности конечного ответа 30 процентов ответили «поставлю знак «приблизительно» , а 70 процентов сказали, что переведут в обыкновенную дробь, тем самым подтверждая мою гипотезу об универсальности обыкновенной дроби.

7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

История обыкновенных дробей - это извилистая дорога со многими препятствиями и трудностями. При работе над проектом   я узнала  много нового и интересного.  

В данном проекте, изучив соответствующую литературу в бумажном виде и в сети Интернет о математических дробях двух видов, а также решив несколько типов задач, решаемых с их применением я сравнила результаты полученных ответов, с целью нахождения «универсала»

Цель моего проекта – выяснить, какая из дробей в более выигрышном положении по точности вычислений. То есть, выполнив данный проект, я пришла к выводу. Не любая десятичная дробь,  используемая в решении, может быть полезна и дать конечный ответ, а вот обыкновенная дробь наоборот проявила себя «во всей красе» и с ее помощью можно представить решение и ответ любой задачи, даже если все данные были целыми числами или в виде десятичных дробей,  а это значит , что как бы не было обидно, но обыкновенная дробь, более универсальная, ей любая задача «по плечу» , не зависимо от сложности и алгоритма их вычисления.

Конечно в жизни при решении подобных задач и уравнений на помощь десятичным дробям всегда придут обыкновенные. Поэтому в учебе еще не одна задача не осталась без ответа.

Я считаю, что я достигла этой цели, рассмотрев два вида дробей, арифметические действия с ними и изучив все о дробях, обработав доступную информацию,  проведя опрос, я подтвердила свою гипотезу, что возможности у них разные и потенциалы тоже. Я пришла к определенному выводу, что, приступая к задаче, никогда не знаешь наперед какая из дробей может проявить благосклонность и   дать окончательный ответ. Но обыкновенная дробь никогда не оставит задачу без ответа.

8. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Математика 6 класс  автор Н.Я.Виленкин издательство Мнемозина 2015 г.

Арифметика 6 класс С.М.Никольский  издательство Просвещение 2003 г.

Обыкновенные дроби от древнего Египта до наших дней С.Б.Гашков.

История арифметики Депман И.Я. 1965г.