Решение квадратных уравнений общего вида на основе теоремы, обратной теореме Виета
статья (10 класс) по теме

Пономарёва О.Ф. 

РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ ОБЩЕГО ВИДА

НА ОСНОВЕ ТЕОРЕМЫ, ОБРАТНОЙ ТЕОРЕМЕ ВИЕТА

МКОУ Кумылженская СОШ № 1 имени Знаменского А.Д.

         В данной работе рассматривается метод быстрого решения квадратных уравнений общего вида. Дан алгоритм решения и краткости рассуждений.

        Ключевые слова: квадратное уравнение общего вида, вспомогательное уравнение, теорема, обратная теореме Виета.

Практическое значение имеет умение быстро находить корни квадратного уравнения общего вида ах2 + вх + с = 0, где а ≠ 0 особенно когда квадратные уравнения возникают как вспомогательные при решении значительно более сложных задач и где особенно важно, чтобы учащиеся максимально быстро справлялись с решением этих квадратных уравнений.

Решая приведённые квадратные уравнения х2 + pх + q = 0, корни без особого труда находятся подбором, основанным на теореме, обратной теореме Виета, х1 + х2 = — p; х1 • х2 = q. В своей практике считаю весьма важным и даже необходимым добиваться от учащихся именно такого способа решения приведённых квадратных уравнений.

Но данный способ становится неприменимым, если уравнение общего вида ах2 + вх +с = 0, где а ≠ 0 и не так просто подобрать два числа, сумма которых равна — в/а, а произведение с/а. Для преодоления трудностей использую метод нахождения целых корней вспомогательного уравнения. Разберём данный метод.

Пусть нам нужно решить уравнение вида ах2 + вх + с = 0, где а ≠ 0 умножив все части данного уравнения на а, придём к виду (ах)2 + в(ах) + ас = 0. В полученном уравнении обозначим ах = у, тогда уравнение примет вид у2 + ву + ас = 0 и по теореме, обратной теореме Виета, у1 + у2 = — в, то есть у1 + у2 = (х1 + х2)а;  у1 • у2 = ас, то есть у1 • у2 = (х1 • х2)а2. Видно, что для решения исходного уравнения ах2 + вх + с = 0 достаточно решить вспомогательное квадратное уравнение у2 + ву + ас = 0 и его корни разделить на а.

Для практического применения этого метода формулируем алгоритм:

1. «Перебросить» коэффициент а в свободный член;
2. Найти корни нового уравнения;
3. Разделить корни нового уравнения на а.

Рассмотрим примеры нахождения корней квадратных уравнений общего вида ах2 + вх + с = 0, где а ≠ 0.

Задание 1. Решить уравнение 6 х2 + х — 15 = 0.

Решение.

6 х2 + х — 15 = 0, 62 х2 + 6 х — 90 = 0,

записываем вспомогательное уравнение, обозначив у = 6 х,

 у2 + у — 90 = 0, у1 + у2 = — 1, у1 • у2 = — 90,

у1 = — 10, у2 = 9.

Следовательно исходное уравнение имеет корни: х1 = — 10/6 = — 5/3;

                                                                                      х2 = 9/6 = 3/2 = 1,5.

Ответ: х1 = — 5/3; х2 = 1,5.

Задание 2. Решить уравнение 12 х2 + 13 х + 3 = 0.

Решение.

12 х2 + 13 х + 3 = 0,

записываем вспомогательное уравнение, обозначив у = 12 х,

у2 + 13 у + 36 = 0, у1 + у2 = — 13, у1 •  у2 = 36,

у1 = — 9,

у2 = — 4.

Следовательно исходное уравнение имеет корни: х1 = — 9/12 = — 3/4;

                                                                                      х2 = — 4/12 = — 1/3.

Ответ: х1 = — 3/4; х2 = — 1/3.

В дальнейшем, по мере накопления учащимися опыта в применении указанного метода можно отказаться от явного выписывания вспомогательного уравнения и предложить им проводить следующие рассуждения:

1. Чтобы решить уравнение 3 х2 — 11 х + 6 = 0, нужно подобрать два числа,
2. Сумма двух чисел равнялась 11, а произведение 18,
3.  Это числа 2 и 9,
4. Значит, корни данного уравнения х1 = 2/3, х2 = 3.

Применяя данный метод решения квадратных уравнений общего вида ах2 + вх + с = 0, где а ≠ 0 от учащихся не нужно требовать подробной записи, после условия исходного уравнения можно сразу записывать найденные корни уравнения. 

Литература:

1. Теоретические основы подготовки  и проведения уроков математики в средней школе: Учебно-методическое пособие / Сост. В.И. Седакова. – Сургут: РИО СурГПИ, 2003. – 82 с.
2. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учебное пособие для студентов. – М.: Просвещение, 2002. – 224 с.