Методическая разработка по теме "Геометрическая вероятность".
план-конспект урока (9 класс) по теме

 ПРИМЕНЕНИЕ СОВРЕМЕННЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Методическая разработка урока математики.

Тема:  Геометрическое определение вероятности.

Класс: 9 (теория вероятности)

Цель урока:  ввести понятие геометрической вероятности, формировать умение определять геометрическую вероятность (на плоскости, на прямой, в пространстве), какие формулы для этого используют.

Задачи урока:

1. Дать геометрическое определение вероятности случайного события, познакомить с формулой вероятности события.  
2. Развивать умения решать задачи.
3. Способствовать удовлетворению потребностей и запросов учащихся, проявляющих интерес и способности к изучению математики.

Оборудование:

•        Интерактивная доска;

•        Раздаточный материал  и тетради.

Учащиеся должны знать:

•        какие события являются равновозможными;

•        определение геометрической вероятности в пространстве и на прямой;

•        как найти геометрическую вероятность в пространстве и на прямой.

Учащиеся должны уметь:

•        различать равновероятные и не равновероятные события;

•        находить геометрическую вероятность в пространстве и на прямой;

•        находить количество возможных вариантов того или иного события.

Программно-дидактическое обеспечение: таблицы.

Технологии:

1. Выполнение практического задания;
2. Частично-поисковая деятельность;
3. Проблемный метод;
4. Здоровьесберегающие технологии;
5. Проектный метод;
6. Групповой метод;
7. Современные информационные технологии (создание презентации, интерактивная доска).

Ход урока.

1. Организационный момент.

Постановка целей урока. (слайд 2)

2. Проверка домашнего задания.

Практическое задание. В письменном тексте одной из «букв»  считается пробел между словами. Найдите частоту просвета в любом газетном тексте.

3. Объяснение нового материала.

Частично-поисковая деятельность. (слайд 3)

Как оценить вероятность того, что стрелок попадает в «десятку»? Как оценить, насколько вероятнее футболист попадает мячом в большие ворота, чем в маленькие, при тех же расстоянии и силе удара?

Существует целая серия задач, в которых можно подойти к определению вероятности из геометрических соображений.

Проблема. (слайд 4,5)

Опыт 1.  

Выберем на географической карте мира случайную точку (например, зажмурим глаза и покажем указкой). Какова вероятность, что эта точка окажется в России?

Причины невозможности применения известных формул:

1. Число исходов бесконечно.
2. Вероятность будет зависеть от размеров карты (масштаба).

Очевидно, для ответа на вопрос нужно знать, какую часть всей карты занимает Россия.

Точнее, какую часть всей площади карты составляет Россия.

Отношение этих площадей и даст искомую вероятность. 

(слайд 6)

Общий случай: в некоторой ограниченной области W случайно выбирается точка. Какова вероятность, что точка попадет в область А? На прямую L?

(слайд 7)

Геометрическое определение вероятности.

|| Если предположить, что попадание в любую точку области  равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в заданное множество А будет равна отношению площадей .

|| Если А имеет нулевую площадь, то вероятность попадания в А равна нулю.

|| Можно определить геометрическую вероятность в пространстве и на прямой: .

(слайд 8)

Опыт 2. В квадрат со стороной 4 см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см?

Закрасим в квадрате множество точек, удаленных от ближайшей стороны меньше, чем на 1 см.

Площадь закрашенной части квадрата  16см2 – 4см2 = 12см2. Значит, .

(слайд 8)

Физкультминутка (упражнения для глаз)

(слайд 9-11)

Опыт 3. На тетрадный лист в линейку наудачу бросается монета. Какова вероятность того, что монета пересекла две линии?

1. Число исходов зависит от размеров монеты, расстояния между линиями. (Решение не показывать)

(слайд 12)

Опыт 4. В центре вертушки закреплена стрелка, которая раскручивается и останавливается в случайном положении. С какой вероятностью стрелка вертушки остановится на зеленом секторе?

Для решения этой задачи можно вычислить площадь зеленных секторов и разделить ее на площадь всего круга: .

4. Закрепление нового материала.

  Решение задач.

(слайд 13,14)

Задача №1. Дано: АВ=12см, АМ=2см, МС=4см. На отрезке АВ случайным образом отмечается точка Х. Какова вероятность того, что точка Х попадет на отрезок: 1) АМ;  2) АС;  3) МС;  4) МВ;  5) АВ?

                А             М                              С                                              В

Решение.

1) A={точка Х попадает на отрезок АМ},  АМ=2см, АВ=12см, .

2) В ={ точка Х попадает на отрезок АС},  АС=2см+4см=6см,  АВ=12см, .

3) С ={точка Х попадает на отрезок МС}, МС=4см, .

4) D={точка Х попадает на отрезок МВ}, МВ=12см–2см=10см,  .

5) Е={точка Х попадает на отрезок АВ},  .

(слайд 15)

Задача №2. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20см. Какова вероятность того, что попавший в окно мяч, пролетит через решетку, не задев ее, если радиус мяча равен: а) 10см, б) 5см?

Решение.

А={попавший в окно мяч, пролетит через решетку, не задев ее}

а)

б)

(слайд 16)

Задача №3. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20см. В решетку 100 раз бросили наугад один и тот же мяч. В 50 случаях он пролетел через решетку не задев ее. Оцените приближенно радиус мяча.

Решение. 

Работа в группах. Обсуждение и решение задач.

1 группа.

 В прямоугольник 5*4 см2 вписан круг радиуса 1,5 см. Какова вероятность того, что точка, случайным образом поставленная в прямоугольник, окажется внутри круга?

Решение: По определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится), т.е. 
 

Ответ: 0,353

2 группа.

 Какова вероятность Вашей встречи с другом, если вы договорились встретиться в определенном месте, с 12.00 до 13.00 часов и ждете друг друга в течение 5 минут?

Решение: Обозначим за х и у время прихода, 0 ≤ х, у ≤ 60 (минут). В прямоугольной системе координат этому условию удовлетворяют точки, лежащие внутри квадрата ОАВС. Друзья встретятся, если между моментами их прихода пройдет не более 5 минут, то есть 
y - x < 5, y >0, 
x - y < 5, x > y. 
Этим неравенствам удовлетворяют точки, лежащие в области G, очерченной красным. 

Тогда вероятность встречи равна отношению площадей области G и квадрата, то есть
 

Ответ: 0,16

3 группа.

На отрезок АВ длины L, брошена точка М так, что любое ее положение на отрезке равновозможно. Найти вероятность того, что меньший из отрезков (АМ или МВ) имеет длину, большую чем L/3.

Решение: Используем геометрическое определение вероятности. Разбиваем отрезок AB длины L числовой оси точками X1, X2 на 3 одинаковые части (отрезков), каждый из которых имеет длину L/3. Если точка M не попадет в отрезок AX1 или X2B, то выполнится условие задачи (меньший из отрезков AM и MB имеет длину, большую L/3). Следовательно, искомая вероятность равна отношению длины центрального отрезка X1X2 к длине всего отрезка L:
P=(L/3)/L=1/3. 

Ответ: 1/3.

V. Обобщение изученного материала .Подведение  итогов урока.

(слайд 17,18)

1. Что  такое геометрическая вероятность? Каковы формулы геометрической вероятности (на плоскости, на прямой, в пространстве)?

(Если предположить, что попадание в любую точку области W равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в заданное множество А будет равна отношению площадей .  |Если А имеет нулевую площадь, то вероятность попадания в А равна нулю. |Можно определить геометрическую вероятность в пространстве и на прямой: ).

2. Можно ли вычислить геометрические вероятности для опыта, исходы которого не являются равновозможными? (нет, только равновозможные исходы).
3. Оцените работу класса и назовите учащихся, отличившихся на уроке.

VI. Домашнее задание. (слайд 19)

1. Выучить основные определения и формулы.

2.Задача. Внутри квадрата со стороной 10см выделен круг радиусом 2см. Случайным образом внутри квадрата отмечается точка. Какова вероятность того, что она попадет в выделенный круг?

Решение.

3.Начать работу над проектом: «Зачем нужна геометрическая вероятность?»

Группа 1.

А



L

1

рубль

                   

А