Вариант 7 февраль 2019 Сайт Гущина
материал для подготовки к егэ (гиа, 11 класс)

Вариант 7 (проф. февраль 2019 Гущин)

Задание 13 № 514540

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

а) Пусть тогда исходное уравнение запишется в виде откуда или   При получим: значит, что невозможно.

При получим: значит, откуда или

                                   б) C помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие       отрезку

                                        Получим числа:

                           Ответ: а) б)

Задание 15 № 511535

Решите неравенство:

Решение.

Прежде всего заметим, что неравенство определено при Преобразуем его:

Тогда множество решений неравенства:

Ответ:

Задание 14 № 513095     Вариант 7 (проф. февраль 2019 Гущин)

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CL основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.

Решение.

а) Отметим точку L — середину AB, O — основание высоты пирамиды, опущенной из вершины S (точка пересечения медиан треугольника ABC), K — точку пересечения SL и MN (очевидно, их общую середину) и — основание перпендикуляра из K на плоскость ABC. Поскольку и то — средняя линия треугольника SOL, поэтому

откуда Осталось заметить, что это и есть искомая точка пересечения прямой и плоскости.

б) Проведем через прямую, параллельную AB. Обозначим ее точки пересечения со сторонами AC и BC за и соответственно. Тогда — искомое сечение, причем поэтому это трапеция.

Ее основания равны и а высота

Значит Ответ: 12.

Задание 16 № 511440   Вариант 7 (проф. февраль 2019 Гущин)

Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки A2, B2 и C2 — середины отрезков MA, MB и MC соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 2, BC = 5 и AC = 6.

Решение.

а) Площадь треугольника A1MB2 в два раза меньше площади треугольника A1MB, поскольку MB = 2MB2, а высота, проведённая из вершины A1, у этих треугольников общая:

Аналогично получаем ещё 5 равенств:

и

Складывая эти равенства почленно, получае

б) Обозначим длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC через a, b, c.

Докажем, что квадрат медианы AA1 равен Для доказательства на продолжении отрезка AA1 за точку A1 отложим отрезок A1P = AA1. Получим параллелограмм ACPB со сторонами AC = PB = b и AB = CP = c и диагоналями BC = a и AP = 2AA1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

откуда Аналогично доказывается, что а

Отрезок C1A2 — средняя линия треугольника ABM, значит,

Рассуждая аналогично, мы получим, что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника

Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна

Подставляя в эту формулу длины сторон треугольника ABC, получаем ответ: сумма квадратов сторон шестиугольника равна      Ответ:

Задание 17 № 513107   Вариант 7 (проф. февраль 2019 Гущин)

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?

Решение.

Пусть кредит планируется взять на n лет. Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:

По условию, каждый январь долг возрастает на 25%, значит, последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:

Следовательно, выплаты (в млн рублей) должны быть следующими:

Получаем: откуда Значит, всего следует выплатить

(млн. рублей).       Ответ: 80,5.

Задание 18 № 502057

Найдите все значения при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один корень.

Решение.

Рассмотрим две функции: и

Поскольку получаем :

Функция является кусочно-линейной функцией, причем при угловой коэффициент равен либо либо а при угловой коэффициент равен либо либо Значит, функция возрастает при и убывает при поэтому

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда

Значит, либо либо

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень при и при и не имеет корней при других значениях

Ответ:

Задание 19 № 513719  Вариант 7 (проф. февраль 2019 Гущин)

После того, как учитель проверил контрольную работу, выяснилось, что первую задачу верно решила меньшая часть класса (быть может, никто — Решу ЕГЭ). На перемене один ученик доказал учителю, что его решение первого задания также является верным. Также известно, что в классе учится не более 30, но не менее 20 человек.

а) Могло ли получиться так, что теперь уже большая часть класса верно решила первую задачу?

б) Могло ли получиться так, что исходно процент решивших первую задачу, выражался нецелым числом, а после перемены ― целым числом?

в) Какое наименьшее натуральное значение может после перемены принять процент учеников класса, верно решивших первую задачу?

Решение.

а) Да. Пусть в классе учится 29 человек, из которых сперва 14 человек решили первую задачу (меньшая часть класса), а затем их стало 15 (большая часть класса).

Замечание: подойдет любой пример с нечетным количеством учеников от 21 до 29 и количествами решивших и не решивших первую задачу, отличающимися на 1.

б) Да. Пусть в классе было 30 учеников, из которых ровно 2 решили первую задачу. Тогда исходно процент учеников, решивших первую задачу был нецелым , а после перемены, когда решивших станет 3, процент решивших будет целым.

Замечание: Есть и другие примеры, например, 11 учеников из 24 поняли доказательство на уроке.

в) Пусть всего в классе n учеников, а количество решивших первую задачу равно k. Очевидно, k не меньше 1, так как один ученик решил задачу верно и доказал это на перемене. Тогда искомый процент равен Чтобы это число было как можно меньшим, требуется минимализировать дробь при условии, что

Докажем, что наименьшее значение дроби равно 4. Результат 4 достигается, если

1) Если то очевидно, что

2) Если то либо k = 1, что не подходит, так как дроби не являются натуральными числами, либо и в этом случае

Таким образом, 4 – наибольшее целое значение искомого процента.

Ответ: а) да; б) да; в) 4.