Презентация по теме: "Компьютерное математическое моделирование"
презентация к уроку

Слайд 1

Компьютерное математическое моделирование. 07.03.2023

Слайд 2

Понятие математической модели Математическая модель — приближенное описание объекта моделирования, выраженное с помощью математической символики. Реализованная на компьютере математическая модель называется компьютерной математической моделью, а проведение целенаправленных расчетов с помощью компьютерной модели называется экспериментом. Что можно моделировать?

Слайд 3

Этапы компьютерного математического моделирования

Слайд 4

1 этап Цель моделирования – это назначение будущей модели . Цель определяет те свойства объекта-оригинала, которые должны быть воспроизведены в модели . Определение целей моделирования. Эти цели могут быть различными: модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром (понимание); модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом (или процессом) и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (управление); модель нужна для того, чтобы прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект (прогнозирование). Приведите примеры по каждому пункту. В каких случая прибегают к моделированию?

Слайд 5

2 этап Определение входных и выходных параметров модели; разделение входных параметров по степени важности влияния их изменений на выходные . Такой процесс называется ранжированием , или разделением по рангам . Для чего необходимо разделение параметров по степени важности?

Слайд 6

3 этап Выбор математического описания . На этом этапе происходит переход от абстрактной формулировки модели к формулировке, имеющей конкретное математическое представление.

Слайд 7

4 этап Выбор метода исследования математической модели . Чаще всего здесь используются численные методы, которые хорошо поддаются программированию. Как правило, для решения одной и той же задачи подходит несколько методов, различающихся точностью, устойчивостью и т.д. От верного выбора метода часто зависит успех всего процесса моделирования. Если выбранный метод использует компьютер, то необходимо подобрать программное средство из числа имеющихся или разработать соответствующую программу на одном из доступных языков программирования. Что можно отнести к математическим моделям?

Слайд 8

5 этап Разработка алгоритма, составление и отладка программы для ЭВМ — трудно формализуемый процесс. Из языков программирования многие профессионалы для математического моделирования предпочитают FORTRAN: как в силу традиций, так и в силу непревзойденной эффективности компиляторов (для расчетных работ) и наличия написанных на нем огромных, тщательно отлаженных и оптимизированных библиотек стандартных программ математических методов. На каких еще языках программирования можно разработать алгоритм для математического моделирования? От чего будет зависеть выбор программы?

Слайд 9

6 этап Тестирование программы. Работа программы проверяется на тестовой задаче с заранее известным ответом. Это — лишь начало процедуры тестирования, которую трудно описать формально исчерпывающим образом. Обычно тестирование заканчивается тогда, когда пользователь по своим профессиональным признакам сочтет программу верной. Что происходит, если пользователь счел программу неверной или же в ходе тестирования нашел недочеты в построенной модели?

Слайд 10

Типы математических моделей С точки зрения целей моделирования можно выделить следующие типы математических моделей: описательные, оптимизационные, игровые, имитационные . Описательные математические модели используются для описания объекта моделирования с помощью математических формул. Такое описание позволяет применить для исследования модели математические методы. Оптимизационные модели. Возможны случаи, когда, моделируя те или иные процессы, можно воздействовать на них, пытаясь добиться какой-либо цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, значения которых можно варьировать (экономико-математические модели). В математическом смысле это система уравнений (как линейных, так и нет), решение которой помогает найти оптимальное решение в конкретной экономической ситуации. Приведите примеры описательных и оптимизационных моделей.

Слайд 11

Типы математических моделей Игровые модели предназначены для обоснования решений в условиях неопределенности (неполноты информации) и связанного с этим риска. Рассматриваются ситуации, в которых сталкиваются противоборствующие стороны, каждая из которых преследует свою цель. Достижение цели каждой из сторон (выигрыш) зависит от того, какие действия предпримет противник. Такие ситуации называются конфликтными. В отличие от реального конфликта игровая математическая модель имеет определенные правила. Игровые модели находят применение при обосновании управленческих решений в условиях политических, социальных, производственных, трудовых и других конфликтов.

Слайд 12

Теория игр Теория игр – это раздел математики, изучающий методы разрешения конфликтных ситуаций , характеризующихся неопределенностью возможных действий конфликтующих сторон. Под игрой понимается взаимодействие нескольких игроков, каждый из которых стремится добиться выигрыша. То есть в модели должно быть как минимум две стороны (две и более). Стратегия – это реализуемый игроком метод выбора ходов в течение игры. Если рассматривать игру двух участников, то совокупность выигрышей можно представить в виде матрицы выигрышей. Матрица строится с позиции одного из игроков. Каждый элемент матрицы соответствует величине выигрыша этого игрока в зависимости от выбранной стратегии. Обычно строки матрицы соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы – стратегиям второго. Первый игрок выбирает строку, второй игрок – столбец, при этом на пересечении находится выигрыш (или проигрыш, если значение отрицательное) первого игрока.

Слайд 13

Примеры конфликтов Две фирмы конкурируют между собой. Студент на экзамене пытается обмануть преподавателя, преподаватель пытается вывести студента на «чистую воду». Приведите примеры конфликтов

Слайд 14

Характеристики игровых моделей Все модели имеют некие характеристики: Субъекты Стратегия Платеж Игровая модель может быть парной или множественной . Если у нас есть два субъекта, то конфликт парный, если больше – множественный .

Слайд 15

Имитационные модели Имитационное моделирование – это метод исследования, при котором изучаемый объект заменяется компьютерной математической моделью, с достаточной точностью описывающей реальный объект. С полученной моделью проводятся эксперименты с целью получения информации об объекте. Например, при оценке риска инвестиционных проектов используют прогнозные данные об объемах продаж, затратах, ценах и т. д. Чтобы адекватно оценить риск, необходимо иметь достаточное количество информации для формулировки правдоподобных гипотез о вероятностных распределениях ключевых параметров процесса. В этом случае отсутствующие фактические данные заменяются величинами, полученными в процессе имитационного эксперимента, т. е. сгенерированными компьютером. Имитационные модели могут использоваться для описания больших систем. Примерами задач могут служить: модель динамики численности микроорганизмов; модель движения молекул, и так далее. Приведите примеры.

Слайд 16

Требования к имитационным моделям Универсальность Адекватность Точность Экономичность

Слайд 17

Требования к имитационным моделям Универсальность – это свойство позволяет использовать одну и ту же модель при описании однотипных групп объектов. Адекватность - данное свойство позволяет максимально правильно воспроизводить реальные процессы. В задачах эксплуатации очень важно данное свойство математического моделирования. Примером модели может служить процесс оптимизации использования газовой системы. В данном случае сопоставляются расчетные и фактические показатели, в результате проверяется правильность составленной модели Точность - данное требование подразумевает совпадение значений, которые мы получаем при расчете математической модели и входных параметров нашего реального объекта Экономичность - требование экономичности, предъявляемое к любой математической модели, характеризуется затратами на реализацию. Если работа с моделью осуществляется ручным способом, то необходимо рассчитать, сколько времени уйдет на решение одной задачи при помощи данной математической модели. Если речь идет об автоматизированном проектировании, то рассчитываются показатели затрат времени и памяти компьютера

Слайд 18

Многокритериальные модели Многокритериальное моделирование – это моделирование, предназначенное для случаев с несколькими целями (имеется несколько целевых функций). Для работы с такими моделями пользуются способом сведения двух или нескольких критериев в один или методом последовательных уступок (критерии упорядочены в порядке убывающей важности). Примеры многокритериальных моделей.

Слайд 19

Характер математических моделей Детерминированный (направленный, однозначный) - в данном случае результат зависит от входных данных Стохастический (случайный ) – в данном случае результат остается неопределенным.

Слайд 20

Математическое моделирование стохастических процессов При моделирования стохастических (случайных, вероятностных) процессов, которые зависят от некоторых случайных факторов, приходится строить модели случайных величин, а также зависимостей между ними. Что такое случайная величина? Приведите пример случайной величины.

Слайд 21

Случайная величина Случайная величина – это величина, которая в зависимости от исхода испытания принимает одно из множества возможных значений. Предсказать заранее, какое значение будет принято случайной величиной в результате опыта или наблюдения, невозможно. Примерами случайных величин являются: количество посетителей магазина в течение дня; количество оценок «отлично» на экзамене и др.

Слайд 22

Пример построения простой математический модели Задача. Рыбак вернулся со следующим уловом: 8 рыб – обитатели северных морей; 20% улова – обитатели южных морей; из местной реки не обнаружилось ни одной рыбы. Сколько рыб он купил в магазине? Каким образом можно представить математическую модель в данном случае?

Слайд 23

Рассчитать оптимальный план производства для получения максимальной прибыли Как рассчитать оптимальный план производства, чтобы получить максимальную прибыль? Компания производит шоколад трех сортов: белый, молочный и горький. У каждого — своя рецептура, но трудоемкость одинаковая. Цена каждого сорта разная, поэтому и прибыль на килограмм тоже отличается. Представим эти данные в виде таблицы: Ингредиент Белый шоколад Молочный шоколад Горький шоколад Какао-масло, кг 0,4 0,4 0,4 Сахар, кг 0,3 0,4 0,2 Сухое молоко, кг 0,3 0,15 0 Какао, кг 0 0,15 0,3 Прибыль, за 1 кг 1 000 2 500 3 000

Слайд 24

Пример построения простой математический модели На складе имеются определенные запасы сырья: какао-масло — 20 кг; сахар — 15 кг; сухое молоко — 7 кг; какао — 12 кг. Какими способами можно провести расчёты?

Слайд 25

Задание: Отнести каждую ситуацию к определенной группе моделей Динамика численности микроорганизмов Движение молекул Выбор вратаря между левым и правым направлением Платежеспособность заемщиков; Затраты ресурсов при производстве товара определенного вида Выявление виновности грабителя Выбор двух друзей между боксом и футболом Динамика посещения банка вкладчиками за день Оценка риска при покупке иностранной валюты Передвижение велосипедиста по пересеченной местности.

Слайд 26

Вопросы для самоконтроля¿ Какие модели называются математическими моделями? Перечислите и опишите этапы математического моделирования. Назовите основные типы математических моделей. Каково назначение оптимизационных математических моделей? Каково назначение описательных моделей? Приведите примеры такого типа моделей. Каково назначение игровых моделей? Назовите сферы применения моделей этого типа. Объясните смысл терминов теории игр, используемых при описании игровых моделей (игра, стратегия, игрок, выигрыш). По каким правилам строится матрица выигрышей? Каково назначение имитационного моделирования? В каких случаях идет речь о статистическом моделировании? Опишите процедуру определения коэффициентов линейной регрессионной модели по методу наименьших квадратов.