Кружок для 9 класса "«Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей » "
методическая разработка (9 класс) по теме

Государственное общеобразовательное учреждение

лицей № 329 Невского района

Утверждаю_______________

Директор лицея___________

О.А. Беляева______________

Программа кружка

«Элементы комбинаторики,  статистики

и теории вероятностей »

9 класс

Преподаватель  Елисеева Т.Е.

Учитель математики.

Санкт – Петербург

2010 г

Структура организации занятий кружка «Элементы комбинаторики,  статистики и теории вероятностей » в 9 классе.

Пояснительная записка.

    Без учёта влияния случайных явлений         человек становится бессильным направлять развитие интересующих его процессов в желательном для него направлении.

 (Б.В. Гнеденко)

   Появление стохастической линии в школе вызвано велением времени, поскольку является следствием многих социально-экономических причин. О необходимости изучения в школе элементов теории вероятностей и комбинаторики речь идёт уже давно. Существенность развития комбинаторных возможностей интеллекта учащихся очевидна и с общих позиций теорий развитие личности, и с точки зрения различного рода практических приложений: развитие представлений о статистических закономерностях, формирование информационной культуры, оценка возможностей наступления событий и так далее. В общем, «… эта способность нужна в жизни всякому…».

  Курс как раз и посвящён изложению тех понятий, фактов, задач и обстоятельств, с которых, собственно, берёт своё начало стохастическая линия. Рассчитан этот курс на 34 часа. Если в высшей школе основой акцент делается на изучение математического аппарата для исследования вероятных моделей, то в школе учащимся, прежде всего, необходимо ознакомить с процессом построения модели, учить их анализировать, проверять адекватность построенной модели реальным ситуациям, развивать вероятностную интуицию.

 Программа занятий рассчитана на учащихся 9 классов.

Цели:

1. углубление знаний учащихся с учётом их интересов и склонностей, развитие математического мышления, воспитание у учащихся глубокого интереса к математике и её приложению, воспитание и развитие у учащихся инициативы и творчества;
2. овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности;
3. формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса;
4. способствование развитию творческих способностей и дарований;
5. создание условий для развития умений самостоятельно приобретать и применять знания;
6. создание условий для расцвета личности школьника с учётом его возрастных особенностей.

          Задачи:

1. Расширить курс математики в общеобразовательной школе, дополнить отдельные разделы из курса математики.
2. Научить учащихся работать с литературой. Читая учебник или дополнительную литературу, учащийся должен уметь выделить  главное из прочитанного, хорошо усвоить и прочно запомнить. Этого он может добиться только в том случае, если, изучая материал, выполняет над ним активную мыслительную деятельность. Обучение работе с книгой сводится к формированию умений применения мыслительных приёмов. 
3. Более глубоко раскрыть содержание важнейших программных понятий, встречающихся при решении задач.
4. Познакомить с основными и нетрадиционными приёмами и методами решения задач.
5. Обогатить знания и опыт, научить ориентироваться в различных проблемных ситуациях.
6. Повысить мотивацию обучения.
7. Сформировать устойчивый интерес учащихся к предмету.
8. Расширить базу математических знаний, достаточную для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Предложенный курс согласуется с программным материалом 9 класса и является его расширением на более углубленном уровне.

         Требования к уровню подготовки:

учащиеся должны знать и уметь

1. правильно употреблять термины и формулы;
2. решать задача подсчётов вариантов, правило произведения;
3. применять формулы перестановки, размещения и сочетания;
4. правильно употреблять достоверные, невозможные и случайные события, равновозможные события;
5. понимание классической, геометрической и статистической модели вероятности.

Развитие мышления учащихся, т. е. формирование у них умений и навыков применения различных приёмов мыслительной деятельности, осуществляется следующими  этапами:

6. ознакомление учащихся с отдельными мыслительными приёмами,
7. совместный приход к выводу, с которым познакомились в процессе изучения новой темы или решения задачи,
8. выбор того или иного мыслительного приёма.

Форма проведения: традиционный урок, лекция, семинар, учебно-исследовательская конференция, деловая игра, математический бой, зачет.

Предполагаемые результаты:

В результате посещения кружка у учащихся  целенаправленно формируется постоянный интерес и изменение отношения к предмету, непосредственно ориентированного на  подготовку продолжения образования по избранному предмету.                        

Учебно-тематический план

Содержание программы

Тема № 1. Исторический обзор

 Основные понятия комбинаторики. Развитие комбинаторики. Понятие вероятности и зарождения науки о закономерностях случайных явлений. Решение исторических задач.

Тема № 2. Множества, логика.

Множества. Объединение, пересечение, дополнение. Высказывания. Теоремы. Математическая логика. Термины и символы.

Тема № 3. Введение в комбинаторику

Комбинаторные задачи. Дерево вариантов. Графы. Правило суммы. Правило умножения. Решение задач с помощью графов. Факториал. Треугольник  Паскаля. Бином Ньютона. Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями. Размещение без повторений. Размещение с повторениями. Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями.

Тема № 4. Случайные события и их вероятности

События достоверные, невозможные, случайные. Классическое понятие вероятных событий. Статистическое понятие вероятности события. Геометрическое понятие вероятности. Формула Бернулли.

ЗАЧЁТ.

  Методика обучения школьников элементам теории графов и  комбинаторики.

     1. Комбинаторные задачи.

     Комбинаторика — своеобразный и очень интересный раздел математики, в котором решаются задачи выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами.

     В начале занятия учащимся необходимо дать понятие о таком разделе математики, как комбинаторика, и привести примеры нескольких комбинаторных задач для привития интереса к данному разделу.

     В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называют комбинаторикой. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое означает «соединять, сочетать». Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии, биологии, экономике, теории вероятностей и других областях знаний.

      Простейшие комбинаторные задачи связаны с перебором различных вариантов, удовлетворяющих поставленным условиям.

      Приведем примеры некоторых комбинаторных задач:

     1) Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека - Антонов, Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

     2) Сколько существует трехзначных чисел, состоящих из цифр 1,2,3, причем таких, где после двойки не стоит 3?

     3) Коля решил в воскресенье навестить бабушку, друга Петю и брата Володю. Перечислите все варианты возможных маршрутов.

     Таким образом, различают следующие типы комбинаторных задач:

   •  Задачи, в которых требуется перечислить все решения (пример 3).

   • Задачи, состоящие в требовании выделить из всех возможных решений такое, которое удовлетворяет заданному дополнительному требованию (пример 2).

   •  Задачи, в которых требуется подсчитать число решений (пример 1,2).

     Процесс навыков подсчета комбинаторных объектов можно расчленить на три этапа в зависимости от времени обучения и методов подсчета:

   •  подсчет методом непосредственного перебора;

   •  подсчет с использованием комбинаторных принципов;

   •  подсчет с использованием формул комбинаторики.

     Каждый из этих этапов готовит почву для формирования навыков следующих этапов. Поэтому на начальном этапе с учащимися нужно обязательно рассмотреть бесформульные методы.

     В качестве домашнего задания можно предложить учащимся написать работу (сообщение, реферат, доклад) на тему «Из истории комбинаторики».

  Основные методы, используемые в решении комбинаторных задач:

         1. Перебор всех возможных вариантов.

    Операция перебора раскрывает идею комбинирования, служит основой для формирования комбинаторных понятий, поэтому на первом месте должна стоять задача по формированию навыков систематического перебора.

       Пример 1. Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека - Антонов, Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

      Составим сначала все пары, в которые входит Антонов (для краткости будем писать первые буквы фамилий). Получим три пары: АГ, АС, АФ.

Выпишем теперь пары, в которые входит Григорьев, но не входит Антонов. Таких пар две: ГС, ГФ. Далее составим пары, в которые входит Сергеев, но не входит Антонов и Григорьев. Такая пара только одна: СФ.

Других вариантов составления пар нет, так как все пары, в которые входит Федоров, уже составлены.  Итак, мы получили 6 пар: АГ, АС, АФ, ГС, ГФ, СФ. Значит, всего существует 6 вариантов выбора тренером пары теннисистов из данной группы.

      Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов.

      Тут же необходимо пояснить учащимся, что в данном примере нам не важен порядок выбора пары: Антонов и Григорьев или Григорьев и Антонов, и привести пример задачи, где учитывается порядок элементов в комбинации.

      Пример 2. Три друга - Антон, Борис и Виктор - приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько у друзей есть вариантов занять эти два места на стадионе?

      Если на матч пойдут Антон и Борис, то они могут занять места двумя способами: 1-е место - Антон, 2-е - Борис, или наоборот. Аналогично Антон и Виктор, Борис и Виктор. Таким образом, мы получили 6 вариантов: АБ, БА, АВ, ВА, БВ, ВБ.

    2. Систематический перебор, составление комбинации с учетом

и без учета порядка.

      Следующая система задач направлена на формирование умений учащихся составлять комбинации с учетом и без учета порядка.

     1.(Устно) Важен или нет порядок в следующих выборках (комбинациях):

а) капитан волейбольной команды и его заместитель;

б) три ноты в аккорде;

в) «шесть человек останутся убирать класс!»;

г) две серии для просмотра из нового многосерийного фильма.

     2. Придумайте сами четыре различные ситуации, в двух из которых порядок выбора важен, а в двух - нет.

      3.  Подсчет вариантов с помощью графов. Таблица вариантов.

     Эффективным приемом, организующим подсчет, является составление учащимися таблиц, построение графов. Графы, таблицы позволяют в наглядной форме представить идею комбинирования и процесс подсчета комбинаторных объектов. Поэтому использование этих методов в обучении комбинаторике в школе оправдывается не только познавательными, но и педагогическими соображениями.

      Для подведения учащихся к следующим комбинаторным методам целесообразно рассмотреть задачу, в которой количество всевозможных комбинаций из данных элементов велико и процесс их подсчета затруднителен.

      Пример 1. Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3 при условии, что цифры в числе могут повторяться?

      Перебор вариантов можно организовать следующим образом. Выписать все числа, начинающиеся с цифры 1 в порядке их возрастания; затем - начинающиеся с цифры 2; после чего - начинающиеся с цифры 3.

      Таких комбинаций получим 27.

      Нередко подсчет вариантов облегчают графы. Так называют геометрические фигуры, состоящие из точек (их называют вершинами) и соединяющих их отрезков (называемых ребрами графа). При этом с помощью вершин изображают элементы некоторого множества (предметов, людей, числовых и буквенных кодов и т.д.), а с помощью ребер - определенные связи между этими элементами.

       1. Граф-дерево (называют за внешнее сходство с деревом).

С помощью дерева проиллюстрируем проведенный перебор вариантов в примере 1.

                          1                                     2                                      3

              1          2         3              1          2          3              1          2          3

           1 2 3    1 2 3   1 2 3        1 2 3    1 2 3    1 2 3        1 2 3    1 2 3    1 2 3

      На первом месте в трехзначном числе может стоять одна из цифр 1, 2 или 3; на втором и третьем местах - (при условии, что цифры могут повторяться) также любая из трех цифр.

Таким образом, с помощью графа-дерева подсчет вариантов гораздо легче производить. Также вычерчивать дерево вариантов полезно, когда требуется записать все существующие комбинации элементов.

      2. Полный граф. Используется для решения задач, в которых все элементы множества взаимосвязаны.

      Пример 2. При встрече каждый из друзей пожал другому руку (каждый пожал каждому). Сколько рукопожатий было сделано, если друзей было четверо?

      Четырех друзей поместим в вершины графа и проведем все возможные ребра. В данном случае отрезки-ребра обозначают рукопожатия каждой пары друзей.

  Задачи:

     1. По окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками (каждый вручил свою карточку каждому). Сколько всего визитных карточек было роздано, если во встрече участвовало 5 человек?

     2. Перечислить все возможные цветовые сочетания брюк, свитера и ботинок, если в гардеробе имеются брюки трех цветов: серые, бежевые и зеленые; свитера двух расцветок: песочный и малиновый; ботинки двух цветов: черные и коричневые.

       4. Кортежи. Правило суммы и  произведения.

      Второй этап формирования вычислительных навыков в решении комбинаторных задач связан с формированием правил суммы и произведения. Предлагаемая методика формирования правил суммы и произведения и последующих основных комбинаторных понятий базируется на таких теоретико-множественных понятиях, как множество, элемент множества, подмножество, упорядоченное множество. Поэтому с учащимися необходимо повторить эти понятия.

      Рассмотрим задачу про «Суеверного председателя».

«Опять восьмерка!» - горестно воскликнул председатель клуба велосипедистов, взглянув на прогнутое колесо своего велосипеда. «А все почему? Да потому, что у меня членский билет № 888 - целых три восьмерки. И теперь не проходит и месяца, чтобы то на одном, то на другом колесе не появилась восьмерка. Надо менять номер билета! Не знаю только, хватит ли на всех номеров - ведь у нас в клубе почти 600 членов. Неужели придется сначала выписать все номера от 000 до 999, а затем вычеркивать из них все номера с восьмерками?» Чтобы помочь председателю, нам нужно решить такую комбинаторную задачу (учащимся можно предложить ее сформулировать):

Сколько существует трехзначных номеров, не содержащих цифры 8?

      Далее учащиеся должны ответить на вопросы: Как бы вы решили такую задачу? С помощью какого метода? Какие еще методы решения применимы к данной задаче? и вместе с учителем разобрать решение данной задачи.

      Сначала найдем количество однозначных номеров, отличных от 8. Ясно, что таких номеров девять: 0,1,2,3,4,5,6,7,9. А теперь найдем все двузначные номера, не содержащие восьмерок. Их можно составить так: взять любой из найденных однозначных номеров и написать после него любую из девяти допустимых цифр. В результате из каждого однозначного номера получится 9 двузначных. А так как двузначных номеров было 9, то получится 9∙9 = 92 двузначных номеров.

Итак, существует 92 = 81 двузначный номер без цифры 8. Но к каждому из этих номеров можно приписать справа любую из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,9 и получить трехзначный номер, не содержащий цифру 8. При этом получаются все трехзначные номера с требуемым свойством. В результате мы нашли 92∙9 = 93 = 729 трехзначных номеров без восьмерок.

       С помощью этого примера вводятся понятие кортежа и правило произведения.

       1.Кортеж. Номера, составленные из трех цифр, нельзя рассматривать как множество элементов. Во-первых, в номерах цифры могут повторяться (например, 775), а в множествах элементы не повторяются, во-вторых, в номерах важен порядок цифр (175 и 571 - совсем разные номера), а в множествах порядок элементов роли не играет. Поэтому, если мы хотим изучать такие объекты, как номера, или слова (в них тоже могут буквы повторяться, от перестановки букв слово меняется), нужно ввести новое математическое понятие, отличное от понятия множество.

      Это новое понятие математики назвали кортежем. (Наряду со словом «кортеж» применяют названия «слово», «набор», «вектор», «конечная последовательность» и т.д.). Кортеж - французское слово, означающее торжественное шествие.

      В математике кортеж определяют так. Пусть имеется несколько множеств X1, …, Xk. Представим себе, что их элементы сложены в мешки, а мешки перенумерованы. Вытащим из первого мешка какой-нибудь элемент (то есть возьмем какой-нибудь элемент а1 множества Х1), затем вытащим элемент а2 из мешка Х2 и будем продолжать этот процесс до тек пор, пока из мешка Хk не будет вытащен элемент аk. После этого расставим полученные элементы в том порядке, в котором они появились из мешков (а1, а2, …, аk). Это и будет кортежем длины k, составленным из элементов множеств X1, …, Xk. Элементы а1, а2, …, аk называют компонентами кортежа.

      Два кортежа называют равными в том и только в том случае, когда они имеют одинаковую длину, а на соответствующих местах стоят одни и те же элементы.

      Здесь учащимся можно дать индивидуальное задание: взять любое множество и составить из его элементов кортеж, при этом спросить их, почему он является кортежем, и сколько кортежей можно составить из этого множества?

     При больших значениях n (количество элементов в множестве, из которого составляется кортеж) и k (количество элементов в кортеже) перебор вариантов становится очень громоздким, поэтому ограничиваются только подсчетом общего числа возможных вариантов построения кортежей. Для простейших комбинаторных задач формулы для подсчета числа возможных кортежей получаются с помощью двух основных правил комбинаторики.

      2.Правило суммы. Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент b можно выбрать n способами, причем любой выбор элемента a отличен от любого выбора элемента b, то выбор «a или b» можно сделать m + n способами. (Например, если на блюде лежат 7 яблок и 4 груши, то выбрать один плод можно 7+ 4=11 способами).

На языке теории множеств это правило формулируется следующим образом: Если пересечение конечных множеств A и B пусто, то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов множеств A и B.

Здесь целесообразно задать учащимся вопросы:

      3.Правило произведения. Возьмем несколько конечных множеств X1, …, Xk, состоящих соответственно из n1, …, nk элементов, и найдем, сколько кортежей длины k можно составить из элементов этих множеств. Сначала найдем число кортежей длины 1, составленных из элементов множества Х1. Ясно, что их число равно n1. Возьмем теперь один из этих кортежей (а1) и припишем к элементу а1 справа по очереди все элементы множества Х2.Получится n2 кортежей длины 2, у которых первая координата равна а1. Но вместо а1 можно было бы взять любой другой элемент из Х1. Поэтому получается n1 раз по n2 кортежа, а всего n1• n2 кортежей длины 2 или, как чаще говорят пар. Из каждой такой пары получим n3 троек, приписав к ней по очереди все элементы множества Х3, а всего n1• n2• n3 троек. Продолжая этот процесс, получим, в конце-то концов, n1• n2• …• nk кортежей длины k, составленных из элементов наших множеств.

      Полученный результат является одним из важнейших в комбинаторике. На нем основан вывод многих формул комбинаторики. Его называют «правилом произведения». Сформулируем это правило так. Если элемент а1 можно выбрать n1 способами, после каждого выбора этого элемента следующий за ним элемент а2 можно выбрать n2 способами, после выбора элементов а1, а2, …, аk-1 элемент аk выбирается nk способами, то кортеж (а1, а2, …, аk) можно выбрать n1 • n2 • … • nk  способами.

      Пример.  Подсчитаем сколько слов, содержащих 6 букв, можно составить из 33 букв русского алфавита при условии, что любые две стоящие рядом буквы различны. Например, слово «корова» допускается, а слово «колосс» нет. При этом, разумеется, можно писать бессмысленные слова. В этом случае на первое место у нас 33 кандидата. Но после того, как первая буква выбрана, вторую можно выбрать лишь 32 способами - ведь повторять первую букву нельзя. На третье место тоже 32 кандидата - первую букву уже можно повторить, а вторую - нельзя. Также убеждаемся, что на все места, кроме первого, имеется 32 кандидата. А так как число этих мест равно 5, то получаем ответ  33•32•32•32•32•32=1107396236.

      Задачи на непосредственное применение комбинаторных правил:

      1. В отделе научно-исследовательского института работают несколько человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык, 6 человек знают английский, 6 - немецкий, 7 - французский, 4 знают английский и немецкий, 3 - немецкий и французский, 2 - французский и английский, 1 человек знает все три языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знают только английский язык? Сколько человек знают только один язык?

      2. Сколько чисел среди первых 100 натуральных чисел не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5?

      3. Имеется 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма?

      4. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске черный и белый квадраты, не лежащие на одной горизонтали или одной вертикали?

      5. Имеется 20 тетрадей в линейку и 30 тетрадей в клетку. Необходимо выбрать две тетради одного вида. Сколько способов выбора двух тетрадей возможно, если учитывается порядок выбора тетрадей?

       5.Размещения. Перестановки. Сочетания.

      По мере рассмотрения каждого из комбинаторных понятий целесообразно отработать с учащимися эти понятия на символическом материале.

     1.Размещения. Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов.

     В комбинаторных задачах необходимо уметь подсчитывать число всех размещений из n элементов по k элементов. Для обозначения этого числа применяется специальный символ A. А – первая буква французского слова arrangement, что означает размещение, приведение в порядок.

       Задача. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4, если цифры в числе не повторяются?

 Чтобы выбрать первую цифру есть 4 способа, вторую-3 способа, третью – 2.

То есть можно составить 4  3  2 = 24 числа или  А = 24.

       В общем случае  А= n (n-1) (n-2) … (n-k+1), k>0, т.е. число размещений из n по k равно произведению k  последовательных натуральных чисел от n до n-k+1 включительно.

      Здесь уместно ввести термин «факториал» и показать, что произведение  1  2  3 … n = n!  обозначается таким образом. Предложить учащимся вычислить 1!, 2!, 3!, 4!, 5!, 6!, 7! После этого можно вернуться к предыдущим задачам и решить их способом умножения.  

1. Перестановки. Начать можно с конкретной задачи:  В классе 30 учеников. Принесли учебники и надо их организованно раздать каждому ученику. Следует установить какой-либо порядок выдачи, т.е. кто получит первым, кто вторым и т.д. Какие будут предложения?

      Могут быть предложения: по алфавиту; по рядам, начиная от окна; по алфавиту с конца и т.д. Различных порядков много, описание их затруднительно и требует много времени. Однако любой из них может быть задан списком, по выбранному способу.

     В общем виде нашу задачу можно сформулировать так: «Дано множество, содержащее 30 элементов. Надо распределить его элементы по 30 местам. Сколькими способами это можно сделать?

Сказав, что каждый порядок в множестве этих элементов называется их перестановкой, можно по-разному формулировать вопрос задачи. Это очень важно для уяснения смысла понятий «перестановка» и «число перестановок».

1. Сколькими способами можно расставить 30 элементов по 30 местам?
2. Сколько перестановок существует в множестве из 30 элементов?
3. Сколькими способами можно упорядочить 30-элементное множество?

После этого вводится определение и обозначение понятия «перестановка».

       Размещения из n элементов по n элементов называются перестановками из n элементов. Перестановки являются частным случаем размещений. Так как каждая перестановка содержит все n элементов множества, то различные перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов. Число перестановок из n элементов обозначают через Рn.  

Р – первая буква французского слова  permutation – перестановка. Рn  = n!   

      Пример 1. У Кролика три табуретки: синяя, красная и желтая. К нему в гости пришли Винни-Пух, Пятачок и ослик Иа. Сколькими способами он может рассадить гостей?

На синюю табуретку может сесть каждый из трех гостей, т.е. имеется 3 способа, на красную – 2 способа, на желтую – 1. Таким образом, получается  Р3= 3! = 3  2  1 = 6 способов.

      Пример 2. Сколькими способами Кролик может рассадить пять гостей на пяти разноцветных табуретках?

3. Сочетания. Учащимся предлагаются задачи:

     1) Сколькими способами можно выбрать три цифры из цифр 1,2,3,4?

 Ответ: 123, 124, 134, 234, т.е. 4 способа.

Здесь очень важно отметить, что наборы 123, 132, 213, 231, 312, 321 в данной задаче воспринимаются как один. Следовательно, отличие этой задачи от задачи из п.1 состоит в том, что надо 24 : 6 = 4.

     2) Сколькими способами можно зачеркнуть 5 номеров из 36?  Ответ: 376 992.

При решении этих задач ученики, по существу, перешли от размещений и перестановок к составлению сочетаний. Этот тип задач несколько сложнее ранее рассмотренных. Теперь можно дать ученикам определение.

     Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов. Обозначается: С. C – первая буква французского слова  combinasion – сочетание. В общем случае число сочетаний находят по формуле: С= .

Для исследовательской деятельности учащимся можно предложить следующие темы:

1. Старинные задачи.
2. Из истории арифметических действий.
3. Задачи с экономическим содержанием.
4. Графы и их применения.
5. Комбинаторика пятиклассника.
6. В стране рыцарей и лжецов.
7. Занимательная математика.
8. Математические головоломки.
9. Треугольник  Паскаля.
10. Леонард Эйлер. Циклы и графы.
11. Факториал.
12. Дерево возможных вариантов.
13. Правила комбинаторики.
14. Задачи на “разрезание” и “раскрашивание”.
15. Бином Ньютона.

литература:

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. и др. «Алгебра. 9класс» Учеб. для общеобразоват. учреждений.- М.: Просвещение, 2010.  
2. Виленкин Н.Я. и др. «Алгебра и математический анализ» для 11 кл.–М.: Просвещение, 1993.
3. Задачи по элементарной математике / Под ред. В.Б. Лидский и др. 1973.
4. История математики в школе 9-10 классы: Пособие для учителей / Г.И.–М.: Просвещение, 1983.
5. Лютикас В.С. Школьнику о теории вероятностей: Учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 8-10 классов.–М.: Просвещение, 1983.
6. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра.  Элементы статистики и теории вероятностей: Учебное пособие для учащихся 7-9 классов.–М.: Просвещение, 2003.
7. Сборник конкурсных задач по математике для поступающих в вузы / Под редакцией М.И. Сканави.– Москва: «Высшая школа»,1978.
8. Мордкович А., Семёнов П. «События, вероятности, статистическая обработка данных». 2003г.
9. Ткачёв  М.В., Федоров Н Е. Элементы стохастики в курсе математики 7-9 классов основной школы // Математика в школе.– 2003.–№3.
10.  Пособие по математике для поступающих в ВУЗы: Учеб. пособие/ под

      ред. Г.Н. Яковлева. – М.: Наука. 1988.