викторина по математике 9-11 классы
олимпиадные задания (9 класс) по теме

Викторина по математике

 «Среди наук и искусств для нас важнее всего математика. …

Математика, если ее умело преподавать, не превосходит

 детского разумения, зато исключительно развивает

и обостряет понимание всего остального»

Я. Коменский

1. В левой части равенства 1 : 2 : 3 :  4 : 5 : 6 : 7 : 8 : 9 : 10 = 7 расставьте скобки так, чтобы оно стало верным. (3 балла)

2. Разложить число 10 на 2 слагаемых, сумма квадратов которых равна 58.  (2 балла)

3. Может ли каждое из некоторых четырёх различных натуральных чисел делиться на разность любых двух из трёх остальных? (2 балла)

4. Какое наименьшее и какое наибольшее количество деревьев может быть в лесу, если известно, что TREE + TREE +…+ TREE = FOREST. (tree – дерево, forest –лес)? (4 балла)

5. Известно, что среди 2n + 1 последовательных натуральных чисел сумма первых n + 1 чисел равна сумме остальных. Докажите, что наименьшее из этих чисел является полным квадратом. (3 балла)

6. Две авторучки дороже трёх блокнотов. Что дороже: 7 авторучек или 10 блокнотов? (3 балла)

16.   На доске записаны все натуральные числа с 1 до 50, кроме чисел, кратных 5.

1)   Выберите из них пять, чтобы они образовывали арифметическую прогрессию.

2)   Выберите из них десять, чтобы они образовывали арифметическую прогрессию.  (3 балла)

7. Из бумажного прямоугольника вырезали два одинаковых круга. Проведите прямую, делящую полученную фигуру на две части равной площади.  (2 балла)

8. Подобны ли неравные прямоугольные треугольники с равными гипотенузами? Объяснить. (2 балла)

9.  Что легче: один свинцовый куб с ребром 10 см или 10 свинцовых кубиков, рёбра которых равны 1 см? Почему? (2 балла)

10. Стороны четырёхугольника равны по 1 м. Может ли его площадь быть меньше 1 см2? Объяснить. (2 балла)

11.Даны две окружности: длина первой окружности больше длины второй окружности, а площадь первого круга меньше площади второго круга. Возможно ли это? (2 балла)

12. Прямоугольники ABCD и RLMN имеют соответственно параллельные стороны и расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что площади четырёхугольников ALCN и KBMD равны. (4 балла)

13. На большом прямоугольном столе лежат линейка и кирпич, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда. Как измерить пространственную диагональ кирпича, не пользуясь ничем, кроме перечисленного, и приложив линейку только один раз? (3 балла)

14. В классе на доске кто-то мелом написал: «С НОВЫМ ГОДОМ!» Дед Мороз и Снегурочка играют, стирая по очереди буквы (начинает Снегурочка). Каждый может своим ходом стереть либо одну любую букву, либо сразу несколько одинаковых букв. Выигрывает тот, кто сотрёт последнюю букву и оставит на доске только восклицательный знак. Кто из игроков может обеспечить себе победу при любой игре партнёра? (5 баллов)

 15. Расстояние от Гадюкина до Мартышкина не менее 9 км. На расстоянии не менее 1 км и не более 3 км от Гадюкина растёт берёза, а на расстоянии не менее 5 км и не более 7 км от Гадюкина растёт дуб. Точно посередине между берёзой и дубом зарыт клад, причём это место находится не дальше 4 км от Мартышкина. На каком расстоянии от Гадюкина зарыт клад?        (4 балла)

16. Мотоциклист и велосипедист выехали одновременно из пункта А в пункт В. Проехав треть пути, велосипедист остановился и поехал дальше лишь тогда, когда мотоциклисту оставалась треть пути до В. Мотоциклист, доехав до В, сразу поехал обратно. Кто приедет раньше: мотоциклист в А или велосипедист в В? (4 балла)

17. Равносторонний треугольник как-то разрезан на равносторонние треугольники, периметр каждого из которых – целое число. Докажите, что периметр исходного треугольника – целое число. (2 балла)

18. Используя тетрадный лист в клетку, начертите с помощью линейки два подобных треугольника, которые не являются прямоугольными. Объяснить построение и доказать подобие. (2 балла)

19.  Можно ли дополнить табличку 4 × 4 буквами Д, В, М, Н, обвести их в рамки четырёх типов (квадрат, ромб, треугольник, круг) и раскрасить их в четыре цвета так, чтобы выполнялись следующие условия:

1) в каждой строке и в каждом столбце должны встречаться все цвета и все типы рамок;

 2) каждая буква должна быть раскрашена по 1 разу каждым цветом;

 3) рамка каждого типа должна содержать каждую букву и каждый цвет? (5 баллов)

20. Запишите в клетки квадрата  3 × 3 числа -1, 2, -3, -4, 5, -6, -7, 8, -9 так, чтобы по любой горизонтали, вертикали и диагонали произведение чисел было бы положительным. (3 балла)