Математический бой
методическая разработка по алгебре (8 класс) по теме

4.(3  балла) Найти все тройки таких натуральных чисел  (не обязательно различных), что   .

Ответы:

1. Ответ: 20661

Определить все цифры можно, например, по следующему плану:

Первой определяем последнюю цифру первой строки – это тройка.

Третья цифра четвёртой строки – единица.

Поэтому Н=6 (из четвёртого столбца).

Тогда вторая цифра третьей строки равна четырём.

Теперь определим вторую цифру второй строки, она может быть только семёркой (это следует из перебора случаев умножения искомой цифры на две последние цифры первой строки).

Теперь очевидна первая цифра первой строки – это двойка, что заканчивает решение задачи.

2.Ответ: 55.

Подсчитаем количество дробей каждого вида. Дробей вида  - 1 штука, дробей вида  - 4 штуки, дробей вида  - 9 штук,..., дробей вида  - 81 штука, дробей вида  - 100 штук. Поэтому, вся сумма равна 1+2+3+...+10=55.

3.Ответ:  На свидание идёт Саня.

Заметим, что среди Дани и Егора ровно один сказал правду и ровно один – ложь.

Далее, рассмотрим, например, Саню. Правду он говорить не может – иначе Антон, Ваня и Даня говорят неправду (лжецов всего двое).

Раз Саня говорит неправду, то Антон и Ваня (из первого замечания) говорят правду. Значит, и Даня говорит правду,  а Егор – неправду. Этот вариант непротиворечив. На свидание идёт обманщик Саня.

4.Ответ: (),(),() с точностью до перестановки.

Упорядочим неизвестные, пусть .

Во-первых,  (иначе левая часть меньше единицы).

Поэтому, разберём два случая:

1) , тогда .

2) при  возможные значения  . Они и дают два других решения.

Команда _______________________

Команда _______________________