Методические рекомендации по формированию у обучающихся умения решать основные виды логарифмических неравенств
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

1. Основные виды логарифмических неравенств.

1. Простейшие.

Решение простейших логарифмических неравенств основано на следующих свойствах монотонности логарифма:

В данных переходах от простейших логарифмических неравенств к равносильным системам неравенств, не содержащих знака логарифма, учтена область допустимых значений исходного неравенства.

Решение любого нестрогого логарифмического неравенства отличается от решения соответствующего строгого логарифмического неравенства только включением  в множество всех его решений множества корней соответствующего логарифмического уравнения. Таким образом, получаем следующие равносильные системы неравенств:

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Решить неравенство log7<0.

Решение. Так как основание логарифма больше единицы, то данное неравенство равносильно двойному неравенству

0<<1

Неравенство >0 выполняется для всех х из промежутков -<х<2 и 3<х<+.

Неравенство <1 равносильно неравенству <0, решением которого является х<3.

Пересечение множеств решений каждого из неравенств системы есть промежуток -<х<2, который и является решение исходного неравенства.

Пример 2. Решить неравенство log3(х2-2)3(-1).

Решение. Так как основание логарифмов больше единицы, то данное неравенство равносильно системе неравенств:

  которую, учитывая, что х2=2, можно переписать в виде

 положив t=, отсюда получаем систему (относительно t)

.

Итак, исходное неравенство равносильно неравенству , откуда следует, что множество всех решений исходного неравенства состоит из промежутков <х<- и

Пример 3. Решить неравенство log0,5(log6)<0.

Решение. Поскольку основание логарифма меньше единицы, то данное неравенство равносильно неравенству log6>1, которое, учитывая, что основание логарифма больше единицы, равносильно неравенству >6, то есть неравенству .

Поскольку х2-5х-24=(х+3)(х-8), то, решая неравенство  методом интервалов, найдем, что множество всех его решений, а значит, и исходного неравенства, есть промежутки -4

2. Неравенства вида f(logax)>0.

Решение неравенства f(logax)>0, где f – некоторая функция, при помощи замены t=logax  сводится к решению неравенства f(t)≥0 с последующим решением соответствующих простейших логарифмических неравенств.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 4. Решить неравенство  .

Решение. Пусть y=lgx, тогда данное неравенство примет вид  Это неравенство равносильно неравенству , решением которого является промежуток -

Отсюда заключаем, что данное неравенство равносильно неравенству lgx<1, решением которого является интервал 0<х<10.

Пример 5. Решить неравенство log4(3x-1)log0,25.

Сделаем замену у=3х-1; тогда данное неравенство примет вид

Log4log0,25.

Так как log0,25= -log4= -(log4y-log416)=2-log4y, то перепишем последнее неравенство в виде 2log4y-log42y≤.

Сделаем замену t=log4y и получим неравенство t2-2t+≥0, решением которого являются промежутки -

Таким образом, для нахождения значений у имеем совокупность двух простейших неравенств  Решение этой совокупности есть промежутки 0<у≤2 и 8≤у<+.

Следовательно, исходное неравенство равносильно совокупности двух показательных неравенств  то есть совокупности

Решением первого неравенства этой совокупности является промежуток 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Таким образом, исходное неравенство выполняется для всех значений х из промежутков 0<х≤1 и 2≤х<+.

3. Неравенство вида logf(x)g(x)>0 и logf(x)g(x)<0.

Первое из указанных неравенств равносильно совокупности систем  и  а второе неравенство равносильно совокупности следующих систем  и  Рассмотрим пример.

Пример 6. Решить неравенство logx.

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем

 и

 Решим первую систему. Имеем:

. Таким образом, первая система совокупности решений не имеет.

Решим вторую систему. Имеем:

0

Таким образом, решением совокупности, а следовательно, и исходного неравенства является интервал  0

Пример 7. Решить неравенство log-4x2+12x-8>0.

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности систем

 и

Первая система этой совокупности решений не имеет, так как неравенство -4х2+12х-8>1 равносильно  неравенству (2х-3)2<0, которое не имеет решений.

Первое неравенство второй системы совокупности справедливо при 1

4. Неравенство вида logφ(x)f(x)>logφ(x)g(x)  и logφ(x)f(x)φ(x)g(x).

При решении неравенств этого вида опираются на то, что первое неравенство равносильно следующей совокупности систем

и    а второе неравенство равносильно совокупности следующих систем и  

Рассмотрим пример.

Пример 8. Решить неравенство logx2x≤.

Решение. Данное неравенство равносильно неравенству logx2+1≤ (так как logx2x=logx2+logxx=logx2+1 и logx(2x3)=logx2+logxx3=logx2+3).

Сделаем замену y=logx2, тогда неравенство запишется в виде

 (1).

Решим это неравенство. Область определения этого неравенства есть промежуток -3≤у<+. При у<-1 промежуток -3≤у<-1 из ООН входит в множество решений неравенства, так как у+1<0. При у≥-1 получаем равносильное неравенство у+3≥у2+2у+1 или у2+у-2≤0, решение которого есть -2≤у≤1. Поэтому промежуток -1≤у≤1 есть решение неравенства (1) на множестве у≥-1.

Таким образом, решением неравенства (1) является промежуток -3≤у<-1.

Следовательно, исходное неравенство равносильно системе неравенств

 (2)

Область допустимых значений этой системы состоит из всех х>0, х.

А) Если 02x<0, поэтому

log2x≤-0

Таким образом, на множестве 0<х<1 решение системы (2) есть промежуток 0

Б) Если х>1, то имеем

.

Таким образом, на множестве х>1 решением системы неравенств (2) есть промежуток 2≤х<+.

Итак, множество всех решений системы (2), а следовательно, и исходного неравенства состоит из промежутков 0

Проанализировав представленные виды логарифмических неравенств можно сделать вывод, что не существует универсального способа для их решения. Для получения наилучших результатов необходимо добиваться того, чтобы ученик овладел возможно большим количеством методов решения, оставляя право выбора метода решения за собой.

2. Методические рекомендации по использованию различных способов решения логарифмических неравенств.

Практика обучения учащихся 11 классов способам решения логарифмических неравенств показала, что особую трудность вызывают неравенства, содержащие переменную в основании логарифма (logφ(x)f(x)>logφ(x)g(x) (*)). Остановимся на них подробнее и дадим некоторые рекомендации по обучению учащихся решению этих неравенств.

Выделим следующие способы решения логарифмических неравенств:

- метод перехода к решению равносильных систем и совокупностей неравенств;

- метод разбиения ОДЗ данного неравенства на промежутки, на которых решаются соответствующие равносильные (на рассматриваемом промежутке) неравенства;

- метод перехода к числовому основанию;

- метод перехода к новому основанию, содержащему переменную;

- применение основных свойств функций,  в частности, использование ОДЗ;

- использование графиков функций;

- метод интервалов для непрерывных функций.

Каждый из указанных способов решения логарифмических неравенств наряду с несомненными достоинствами имеет и ряд существенных недостатков, на которые мы обратим внимание в процессе их рассмотрения. Поэтому можно с уверенностью сказать, что на мотивационном этапе формирования умения решать логарифмические неравенства ученикам следует показывать все, доступные на данном этапе обучения способы решения, и главное, на конкретных примерах доказывать, что первый этап решения – выбор самого эффективного способа.

Рассмотрим подробнее каждый способ.

Анализ практики работы учителей показывает, что наиболее распространенные способы – метод перехода к решению равносильных совокупностей неравенств и метод разбиения ОДЗ данного неравенства на промежутки, на которых решаются соответствующие равносильные неравенства. По существу, эти методы решения одинаковы и различаются только способом оформления.

Пример 9. Решить неравенство .

Решение. Первый способ.

Данное неравенство равносильно неравенству logx2(2+x)x2x2, которое равносильно совокупности двух систем

Решением первой системы совокупности являются промежутки             -2<х<-1 и 2<х<+∞.

Решением второй системы совокупности являются промежутки -1<х<0 и 0<х<1.

Объединяя полученные множества решений систем совокупности, находим множество всех решений исходного неравенства – все х из четырех промежутков:  -2<х<-1, -1<х<0,  0<х<1 и 2<х<+∞.

Второй способ.

Область допустимых значений данного неравенства определяется системой:  откуда находим ОДЗ неравенства:

-2

А) Рассмотрим сначала данное неравенство на множестве                      (-2; -1)U(1; +∞). На этом множестве оно равносильно неравенству

2+x2 (так как х2>1),

решением которого на этом множестве являются промежутки -2<х<-1 и 2<х<+∞.

Б) На множестве (-1; 0)U(0; 1) данное неравенство равносильно неравенству

2+x>x2 (так как х2<1),

решением которого на этом множестве являются промежутки -1<х<0 и 0<х<1.

Объединяя полученные решения, находим множество решений исходного неравенства – все х из промежутков:  -2<х<-1, -1<х<0,  0<х<1 и 2<х<+∞.

На первом этапе обучения учащихся методу разбиения ОДЗ на промежутки целесообразно разработать с ними алгоритм решения:

1. Найти ОДЗ неравенства (*).
2. Разбить ОДЗ неравенства на два множества М1 и М2: М1 – та часть ОДЗ, в которой φ(х)>1, М2 – та часть ОДЗ, где 0<φ(х)<1.
3. На М1 решить неравенство f(x)>g(x), равносильное на М1 исходному неравенству.
4. На М2 решить неравенство f(x)2 исходному неравенству.
5. Объединить решения, найденные на М1 и М2.

При обучении решению логарифмических неравенств следует обращать внимание учащихся на то, что необходимо избегать преобразований, которые могут привести к потере или появлению посторонних решений, так как в противном случае обоснование правильности ответа, как правило, есть более сложная задача, чем решение исходного неравенства. Тем самым, по существу, единственным методом решения логарифмических неравенств является метод перехода к равносильным неравенствам (системам или совокупностям).

Пример 10. Решить неравенство log3(x+2)(x+4)+log⅓(x+2)<.

Решение. Область допустимых значений неравенства состоит из всех значений х, удовлетворяющих условию х>-2. При этих значениях неизвестного

  и  log3(x+2)(x+4)=log3(x+2)+log3(x+4); поэтому исходное неравенство можно записать в виде

log3(x+2)+log3(x+4)-log3(x+2)37 или log3(x+4)37.

Таким образом,  исходное неравенство равносильно системе неравенств  Следовательно, множеством всех решений исходного неравенства является интервал  -2

Одновременно с рассмотренными способами необходимо обучить учащихся методу перехода к числовому основанию, а также к основанию, содержащему переменную.

Алгоритм решения неравенства logφ(x)f(x)>logψ(x)g(x)  (1), который необходимо выработать  с учащимися вы глядит следующим образом:

1. Найти ОДЗ неравенства.
2.  Перейти в логарифмах к основанию а, где а – фиксированное число, а>0, а≠1, то есть заменить неравенство (1) равносильным на ОДЗ неравенством:   (2).
3. Решить полученное стандартное по внешнему неравенство на ОДЗ исходного. Его решение будет являться решением исходного неравенства.

      В процессе беседы необходимо обратить внимание учащихся на то, что ОДЗ неравенств (1) и (2) совпадают, поэтому можно сразу переходить от неравенства (1) к неравенству (2) и решать его на своей ОДЗ.

Пример 11. Решить неравенство logx(2+x)>logx2(x2+2x). (1)

Решение. ОДЗ неравенства (1) состоит из всех х, одновременно удовлетворяющим условиям 2+х>0, x2+2x>0, x>0,x≠1, то есть ОДЗ состоит из двух промежутков: 0

Перейдем в логарифмах неравенства (1) к логарифмам по основанию 2. В результате получим неравенство

, (2), равносильное исходному на его ОДЗ.

Так как на ОДЗ исходного неравенства имеем log2(x2+2x)=log2x+log2(2+x), log2x2=2log2x, то неравенство (2) для этих х можно переписать в виде . (3)

Так как  то на ОДЗ исходного неравенства , следовательно, . Поэтому неравенство (3) равносильно неравенству log2x>0 x>1. Так как все х>1 входят в ОДЗ исходного неравенства, то все они являются его решениями.

Следует обратить внимание учащихся на то, что этот способ не является универсальным. Иногда при решении неравенств нецелесообразно переходить к некоторому постоянному основанию, так как это может сделать более громоздкой запись неравенства и не облегчит процесс его решения. При этом надо помнить, что может произойти сужение ОДЗ, а следовательно, и потеря корня. Поэтому, при переходе в неравенстве к логарифму по некоторому основанию h(x), содержащему х, вначале надо проверить, что h(x)>0 для рассматриваемых х, а также проверить, не являются ли значения х, при которых h(x)=1 решениями исходного неравенства, после чего уже переходить к основанию h(x), но уже для тех х, для которых h(x)>0 и h(x)≠1.

На вступительных экзаменах в ВУЗы встречаются неравенства, решение которых перечисленными способами приводит к громоздким вычислениям. Иногда знание ОДЗ позволяет доказать, что неравенство не имеет решений, а иногда позволяет найти решение неравенства непосредственной подстановкой чисел из ОДЗ.

Пример 12. Решить неравенство .

Решение. ОДЗ неравенства есть все х, удовлетворяющие условию 05x<0, а . Следовательно, все х из промежутка 0

Также при наличии времени на уроках необходимо рассмотреть неравенства, при решении которых иногда можно не находить ОДЗ, а решать неравенство переходом к равносильной ему системе неравенств, в которой либо одно из неравенств не имеет решений, либо знание его решения помогает решить систему неравенств.

Пример 13. Решить неравенство log2(2x+1-x2)>log2(2x-1+1-x)+1.

Решение. Отыскание ОДЗ в данном случае – непростая задача, поэтому поступим иначе. Исходное неравенство равносильно системе неравенств

Последнее неравенство системы равносильно неравенству х2-2х+1<0, не имеющему решений. Следовательно, рассмотренная система неравенств не имеет решений, значит, и исходное неравенство не имеет решений.

При решении неравенств иногда полезно рассмотреть эскиз графиков их правой и левой частей в одной и той же системе координат. Тогда этот эскиз графиков поможет выяснить, на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из них решение неравенства было очевидно.

Необходимо обратить внимание учащихся на то, что эскиз графика лишь помогает найти решение, но писать, что из графика следует ответ, нельзя, ответ еще надо о рассмотреть неравенства, при решении которых иногда можно не находить ОДЗ, а реша ем сех х из промежуткаеравенства удовлй подстановкой чисел из ОДЗ.  а иногдая корня. ию, так как это может сделать более грообосновать.

Пример 14. Решить неравенство

Решение. Область допустимых значений данного неравенства состоит из всех х, удовлетворяющих условиям x>-2, x≠-0,5, x≠0, то есть ОДЗ состоит из трех промежутков -2

 (1) а в области x>0 оно равносильно неравенству

 (2).

Построим эскизы графиков функций f(x)=log2(2+x) и g(x)= в одной системе координат.

Из рисунка видно, что g(x)>f(x) на промежутке (-2; -0,5) и f(x)>g(x) на каждом из промежутков (-0,5; 0) и (0; +∞). Поэтому неравенство (2) не имеет решений, а неравенство (1) будет иметь решениями все х из промежутка       (-0,5; 0). Докажем это.

1) Пусть -2

log2(2+x)2<1,  .

Следовательно, неравенство (1), а вместе с ним и исходное неравенство не имеют решений на интервале -2<х<-0,5.

2) Пусть -0,5<х<0. Тогда исходное неравенство равносильно неравенству (1). Для каждого х из этого интервала

log2(2+x)>log2(2-0,5)=log2>0,   .

Следовательно, любое такое х является решением неравенства (1), а поэтому и исходного неравенства.

3) Пусть x>0. На этом множестве исходное неравенство равносильно неравенству (2). Очевидно, что для любого х из этого множества справедливы неравенства:

,            12(2+x). Отсюда следует:

1. неравенство (2) не имеет решений на том множестве, где log2(x+2)≥2, то есть неравенство (2) не имеет решений на множестве 2≤х<+∞;
2. неравенство (2) не имеет решений на том множестве, где . Учитывая, что в рассматриваемом случае x>0, получаем, что неравенство (2) не имеет решений на множестве 0<х≤1.

Остается найти решения неравенства (2), принадлежащие интервалу 1<х<2. На этом интервале: log2(2+x)>log23,  

Покажем теперь, что справедливо числовое неравенство: log23> (3).

Действительно, поскольку 35>27, то 3>, откуда и очевидна справедливость неравенства (3). Итак, на интервале 1

Значит, неравенство (2) не имеет решений на интервале 1

Как видим, полное решение логарифмического неравенства графическим способом достаточно громоздкое.

Рассмотрев с учащимися возможные способы решения, следует показать им применение метода интервалов для решения логарифмических неравенств, с которым они познакомились ранее.

 Универсальность метода интервалов заложена уже в его содержании. Находим область определения функции, затем отмечаем в этой области нули функции, которые разбивают область определения на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция определена, непрерывна и сохраняет свой знак. Для определения знака функции на конкретном промежутке находим знак в любой (удобной) точке этого промежутка. Иллюстрацию изменения знаков функции будем осуществлять с помощью координатной прямой.

Пример 16. Решить неравенство lg2x-2lgx-8≤0. 

Решение. Рассмотрим функцию f(x)= lg2x-2lgx-8, D(f)=(0;+∞). Для нахождения нулей функции решаем уравнение lg2x-2lgx-8=0, откуда lgx=-2, lgx=4, то есть х=0,01, х=10000.

f(105)=25-10-8=7>0, f(1)<0,  f(10-3)=9+6-8=7>0.

Ответ. (0,01; 10000).

Пример 17. Решить неравенство .

Решение. Рассмотрим функцию f(x)= .  Найдем область определения этой функции. Для этого решим систему неравенств

Найдем нули функции:  но последнее уравнение корней не имеет. Применим метод интервалов:

f(5)=log163>0, f(1)=log4<0,  f(-0,2)=log0,4>0.

Ответ. (; 0)U(4;+∞).

Очень важно в профильных математических классах и классах с углубленным изучением математики показать следующий способ решения логарифмических неравенств. Показ этого способа можно начать с несложного примера.

Пример 18. Решить неравенство logx(x2-3)<0.

Стандартное решение этой задачи требует представления данного неравенства в виде logx(x2-3)x1 и рассмотрения двух случаев: х>1 и 0<х<1. В первом случае получаем систему  решением которой является промежуток (; 2).

Во втором случае получаем систему  которая решений не имеет. Итак, решением исходного неравенства является промежуток (; 2).

Однако эту задачу можно решить иначе, не рассматривая двух случаев. Необходимо только заметить, что знак выражения logab совпадает со знаком произведения (a-1)(b-1). Действительно,

если a>1 и b>1, то logab>0 и  (a-1)(b-1)>0;

если a>1 и  0ab<0 и  (a-1)(b-1)<0;

если 01, то logab<0 и (a-1)(b-1)<0;

если 0ab>0 и  (a-1)(b-1)>0.

Проведенные рассуждения несложные, но заметно упрощающие решение логарифмических неравенств.

Так, рассмотренное неравенство с помощью обнаруженного свойства решается просто.

Решение.

Обобщение полученного результата о совпадении знаков logab и (a-1)(b-1) приводит нас к теореме 1, доказательство которой приведено в приложении.

Пример 19. Решить неравенство log2x(2x2-4x+6)≤log2x(x2+x).

Решение.

   Ответ. (0; 0,5)U[2; 3].

Рассмотрим еще один пример, который убедительно демонстрирует преимущества решения неравенств подобного типа с помощью выбранного метода. Умение пользоваться этим методом поможет абитуриентам, поскольку эти задачи – «частые гости» на вступительных экзаменах в ВУЗы.

Пример 20. Решить неравенство

Для решения этого неравенства вместо знаменателя запишем (х-1-1)(х-1), а вместо числителя, согласно следствию из теоремы 1 (см. Приложение), - произведение (х-1)(х-3-9+х).

  Ответ. (3; 6).

Однако следует отметить, что в связи с недостатком времени эти полезные утверждения практически невозможно рассмотреть на уроках в общеобразовательных классах, а также классах гуманитарной направленности, где количество часов сокращено.

Завершая рассмотрение различных способов решения логарифмических неравенств, еще раз отметим тот важный факт, что ни один из них не является универсальным и для получения наилучших результатов необходимо добиваться того, чтобы ученик овладел возможно большим количеством методов решения, оставляя право выбора решения за собой.