Исследование функций в программе Advanced Grapher на уроках алгебры в старших классах
статья по алгебре (10 класс) по теме

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРОГРАММЫ Advanced Grapher НА УРОКАХ АЛГЕБРЫ В СТАРШИХ КЛАССАХ

П. Н. Ермолина,

МОУ – СОШ № 3 (г. Можайск Московской обл.)

e-mail: panermolini@mail.ru

В статье подробно рассказано, как используя программу Advanced Grapher можно строить графики алгебраических и тригонометрических функций в декартовой системе  координат, исследовать функции, находить производную, первообразную, вычислять площади замкнутых фигур. Приведены примеры решения типичных задач на уроке алгебры в старших классах и показаны преимущества программы при исследованиях функции.

Ключевые слова: программа Advanced Grapher, графики, исследование функций.

Учитель, располагающий компьютером, имеет уникальную возможность  сделать процесс обучения более наглядным и динамичным с помощью графической программы Advanced Grapher, которая обладает огромным количеством возможностей, в том числе, позволяет строить графики в полярной системе координат, а также линии, заданные параметрически, что упрощает работу ученика при построении графиков.

Рассмотрим особенности использования программы Advanced Grapher на уроке алгебры в старших классах.

Цели:

1. Закрепить умение строить графики в различных системах координат.

2. Закрепить знания школьного алгоритмического языка.

3. Закрепить математические знания по теме: “Исследования функции”.

4. Развивать внимательность, логику мышления.

Тип урока: интегрированный.

Задачи урока:

образовательные:

1. усвоение учащимися понятий алгоритмического языка, математического языка, знание темы исследование функции;
2. формирование у учащихся умений и навыков работы с программой Advanced Grapher;
3. развивать умение считывать информацию и пользоваться ею;

развивающие:

1. развитие познавательного интереса учащихся;
2. развитие у  учеников логического мышления, памяти, внимания;
3. формирование информационной культуры учащихся;

воспитательные:

1. воспитание трудолюбия;
2. прививание учащимся навыков самостоятельной работы.

Ход урока

I. Учет знаний:

а) вспомнить ключевые слова из школьного алгоритмического языка:

        - абсолютная величина: abs;

        - корень: sqrt;

        - запись тригонометрический функций: sin(x), cos(x) и т.д.;

- степень 2x, 2^x, sin2x – (sin(x))^2.

II. Работа в классе:

    № 1. Исследовать функцию y = (x2 – 1)/ x, построив её график [1].

РЕШЕНИЕ

Используя график  построенной функции определим:

        1. Область определения.

            Область значений.

        2. Монотонность функции (т.е. промежутки возрастания или убывания    

              функции).

        3. Промежутки знакопостоянства:

                а) f(x) > 0;

                б) f(x) < 0.

4. Чётность или нечётность, т.е. f(-x) = f(x) - симметрично относительно            

оси координат; f(-x) = - f(x) - симметрично относительно начала координат.

        5. Нули функции (точки пересечения графика):

                а) с осью Оx:

б) с осью Оy:

6. Точки экстремума: max y = [     ]; min y = [     ].

Каждый учитель и ученик знает, как однообразны и трудоёмки уроки исследования функций, как порой нелегко объяснить некоторые этапы исследования:  особенности окрестности точки, в которых происходит перегиб; асимптоты графика и другие. Данная программа облегчает объяснение материала, а ученикам позволяет быстрее усвоить трудные места этого материала, поскольку дает возможность увеличить размеры графика, выполнить дополнительные построения, более детально и полно производить исследование функции.

Выполнение работы в программе Advanced Grapher

1) График→Добавить график→Свойства y(x)→(вносим формулу (x^2 – 1)/ x)) (рис. 1). Полученный график представлен на рис. 2.

Рис. 1

Рис. 2

2) Вычисления→Исследования функции→(вносим функцию целиком) →Нули функции + экстремумы функции + min + max (+ использование производной) (рис. 3).

Рис.3

3) Результат исследования (по производной):

       а) нули функции;

              б) экстремумы (рис. 4).

Рис.4

4)  Результат исследования без производной:

       а) нули функции;

       б) max;

       в) min.

5) Вычисления→Пересечения→y(x1) = (x^2 – 1)/ x;

y(x2);

x = -1, y = 0.

x = 1,  y = 0.

6) Касательная y(x) = (x^2 – 1)/ x, точка касания x = -1.

    Касательная→Добавить график→Свойства→OK(формула).

Результат решения показан на рис. 5.

Рис. 5

График любой функции можно построить и по точкам, т.е. по таблице.

Таблица значений→формула (x^2 – 1)/ x от -10 до 10 с шагом 1 →Вычисления функции→ формула (x^2 – 1)/ x→Считать.

Мы рассмотрели подробно пример решения №1, так же были исследованы и построены графики функций примеров №2 - №4.

№2.  Построить график функции: y = ׀2x + 3׀ +3׀x-1׀ – ׀x+2׀.

№3.  Построить график функции: y = 2x ·cosx.

        (Графики→Наборы свойств→Тригонометрический набор

y(x) = 2^x * cos(x)) →OK→Получаем график.

№4.  Построить графики функций: (не на одном)

         а) y = 1 + sinx; б) y = x + 2sinx;  в) y = 1+ cos2x.

С помощью программы можно построить графики и в полярной системе координат, а также линии, заданные параметрически. Кроме того, она чертит графики и направления, которые задаются с помощью уравнений или неравенств, выполнение которых на уроках занимают большое количество времени. Рассмотрим результатат построения такого графика.

№5.  В полярных координатах построить графики следующих функций    

(выполнить построение последовательно на одном графике):

1) R(a) = 4sin4a; 2) x(t) = 8cost – 2cos4t и y(t) = 8sint – 2sin4t;

3) (x2 + y2)2 – 54(x2 - y2) = 0 – в декартовой системе координат [2] (рис 6).

Рис. 6

№6. Для самостоятельного выполнения. Построить график функции:

        1) y = ׀ x2 – 5x+ 6 ׀,                (y(x) = abs(x^2 – 5*x +6))    

        2) y = ׀ x2 – 5 ׀ x ׀ + 6 ׀,          (y(x) = abs(x^2 – 5abs(x) +6)

             3) y = ׀׀ x2 ׀ -5 ׀ x ׀ +6 ׀,          (y(x) = abs(abs(x^2) – 5abs(x) +6)

III. Подведение итогов урока.

IV. Домашнее задание: записать алгоритм построения графиков задания № 6.

Литература

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.(в двух частях). Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005.
2. Азевич А.И.  Advanced Grapher  на уроке и после него // Математика в школе. – 2001. -  №6. – С. 69.