Правило Крамера
методическая разработка (алгебра, 11 класс) на тему

 Факультативный курс

   «Определители системы            линейных  уравнений.                       Правило  Крамера.»

  Открытое мероприятие в 11 классе.

       Подготовила и провела учитель  

       математики I квал. категории  -     Петрова В.Н.

                МОУ СОШ № 4

          с. Сотниковское  2005 г.       

 «Определитель системы линейных уравнений.

                  Правило Крамера.»   

 Девиз занятия: «Есть в математике нечто, вызывающее   человеческий восторг».

                                                    Ф. Хаусдорф.

Цели занятия:

Образовательные   –  расширить знания учащихся в решении систем линейных уравнений и ввести понятие определителя 3-го порядка, показать применение правила Крамера  при решении систем линейных уравнений.

 Развивающие   -          развивать и совершенствовать умение применять имеющиеся у учащихся знания в изменённой ситуации, развивать математический кругозор, мышление, умение делать выводы и обобщения.

Воспитательные -        содействовать воспитанию интереса к истории математики и её приложениям, воспитывать у учащихся аккуратность, чувство само -  и взаимоуважения.

Тип занятия:  комбинированный.

Форма организации занятия:  групповая.

Методы обучения: частично – поисковый, работа по опорным схемам, решение познавательных задач.

Педагогические  технологии:   - проблемное обучение;

                                - идея историзма в обучении математики.

Оборудование:       рабочая тетрадь, мелки, указка, опорные схемы, заготовки для устной работы.           

                         Ход занятия:

I. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! Французский писатель Анатоль Франс(1844–1924) однажды заметил: « Учиться можно только весело… Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом». Так вот, давайте сегодня на занятии будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием, ведь они пригодятся вам в дальнейшей жизни.  

Сегодня  на занятии вы познакомитесь с одним из методов решения систем линейных уравнений (с помощью определителей) по правилу Крамера. Перед вами стоит задача – освоить этот метод решения уравнений и показать свои знания и умения, полученные на предыдущих занятиях («Матрицы и определители»).

Учащиеся делятся на группы. Группа «Умники» и группа «Умницы». За каждый правильный ответ ребята получают орден. При накоплении 5 орденов ученик получает звание «Магистра математических наук».

II. Устная работа.

Вопросы: 

1) Определение матрицы.

2) Определение определителя.

Задание 1

В матрице       укажите а12 и а21.

Задание 2

В матрице    найдите произведение а12, а21, а33.

3) Какие матрицы вы знаете?

Задание3

Какая из матриц  а) единичная; б) нулевая; в) диагональная?

А)               В)              С)    

Д)             Е)      

4) Определение определителя 2-го порядка.

Ответ:  (Д = а11а22 – а21а12)

Задание 4

Вычислите определитель     .  Ответ: -3.

5) Отличие матрицы от определителя.

6) Можно ли назвать таблицу Менделеева матрицей, почему?

III. Историческая справка.

          Ребята, на прошлом занятии каждая группа получила поисковое задание из истории возникновения определителей. Давайте послушаем, что вы подготовили?

I группа («Умники»)

При решении систем трёх и более уравнений применяют определители третьего  и n- го порядков. Этот метод изобрел великимй немецкий учёный Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716). Лейбниц в 1693 г. ввёл двойные индексы, которые записывал ниже сроки. Уравнение, которое мы записываем в виде:   а11х+а12у+а10 = 0, Лейбниц записывал так:

               10 + 11Х + 12У = 0

Лейбниц стремился во всех исследованиях к единым  методам. В частности, он хотел создать единообразный метод решения систем линейных уравнений, что и привело его к определителям.

II группа («Умницы»)

Определители были изобретены ещё в Древнем Китае в начале нашей эры  - без глубокой теории, но с хорошими правилами практического применения. А потом уже Лейбницем и другими учеными. Термин «детерминант», иначе говоря «определитель» (от латинского determino – определяю), в нашем смысле ввёл Коши в 1815 г. Ему удалось найти  все главные свойства определителей. Дальнейшее развитие теория определителей получила в трудах английских математиков А. Кэли и Дж. Сильвестера  (1814 -1897). Первый  из них  и ввёл поныне употребляемый знак определителя │ │.

Учитель: Мне остаётся добавить, что определители были изобретены дважды, что в математике встречается не так уж часто. Да, действительно определители сначала были изобретены в Древнем Китае, но учёные этой страны старались скрывать свои открытия от других народов. В результате то, что было открыто или изобретено китайцами, вновь изобреталось в других странах. Поэтому заслуга изобретения детерминантов принадлежит и учёным других стран.

IV. Знакомство с формулами Крамера.

Ребята, на предыдущем занятии мы рассмотрели понятие определителя 2-го порядка и уже решали системы уравнений с двумя переменными новым методом, с помощью определителя 2-го порядка. А как, к примеру, решить уравнение с тремя переменными?

                                                            a1x + b1y + c1z = d1,

Пусть дана система уравнений:    a2x + b2y + c2z =d2,

                                                            a3x + b3y + c3z = d3

.

Если её решать способом подстановки или способом алгебраического сложения, то для значения х получим

          х =    (1)

Этот же результат получится, если записать числитель и знаменатель в виде определителей:

     х=             y =          z =  

В числителе и знаменателе этих дробей стоят определители 3-го порядка. Как их вычислить? Сначала берётся сумма трёх произведений чисел, стоящих на главной диагонали (а1b2c3) и в вершинах двух треугольников, одна сторона которых параллельна той же диагонали (a3b1c2)? (c1a2c3), затем вычитают три произведения чисел, стоящих на побочной диагонали (a3b2c1) и в вершинах двух треугольников, одна сторона которых параллельна той же диагонали (a1b3c2), (c3a2b1).

Это правило иллюстрируют следующие схемы.

Обозначив определители, стоящие в числителях соответственно Dx, Dy, Dz, а определитель, стоящий в знаменателе D получим формулы

              x = ,              y = ,             z = ,    D0.

          Эти формулы называются правилом Крамера.

Краткая историческая справка:     Габриэль Крамер – швейцарский математик заложил основы теории определителей. Известная под именем « правила Крамера» теорема была им сформулирована и доказана в 1750 г. «Если D0, то система совместна и её решение находится по формулам  y =;  x =;   z = .»

Пример 1.Решить систему уравнений

              x – 3y - 2z = 2,

           2x + y +5z = 17,

           3x – y - 2z = 2.

Решение: Имеем

D  =       = 1∙1∙(-2) + 2∙(-1)∙(-2) + (-3)∙5∙3 - 3∙1∙(-2) - 2∙(-3)∙(-2) –

 - ( -1)∙5∙1 = -2 + 4 - 45 + 6 – 12 + 5 = - 44;

Dx =     = 2∙1∙(-2) + 17∙(-1)∙(-2) + (-3)∙5∙2 - 2∙(-2)∙1 - 17∙(-3)∙(-2) –

- (-1)∙5∙2 = - 4 + 34 – 30 + 4 – 102 +10 = -88.

Тогда x =  Аналогично находим y = -2 и z = 3.

(Можно предложить группам найти y и z у доски).

V. Релаксация ( под музыку)

      А сейчас, ребята, уделим минутку своему здоровью. Займите правильную позу «позу кучера на дрожках». Весь корпус расслаблен. Никакого напряжения. Мышцы шеи, спины, рук, ног вялые, они как бы отключены. Голова слегка наклонена вперёд, руки на коленях лежат вяло, расслаблено. Начинаем сеанс здорового отдыха. Можно закрыть глаза.

Все мысли уходят, вы погружаетесь в покой… Представьте, что вы лежите на берегу. В лесу.  Журчит вода. Поют птицы. Шумит листва деревьев (вспомните это ощущение покоя). Ваше тело отдыхает. Вам легко и приятно… Вы лежите на спине и смотрите в голубое небо… Там плывут облака… Над вами качаются верхушки деревьев… Вы слушаете успокаивающий шум леса…

Вы чувствуете лёгкость во всём теле, полны сил и энергии. Вы готовы к дальнейшей работе. А теперь возвращаемся в реальный мир. В мир « Матриц и определителей».

VI. Применение формул.

Задание по группам:   Вычислите  определитель 3 –го порядка.

Ответы: 23 и -30.

Вывод: если в определителе некоторые элементы равны 0, то в разложении этого определителя уменьшается число слагаемых.

Задание 2 :  Решите систему уравнений с помощью определителей.

I группа       7x – 3y + 5z = 32,

5x + 2y + z = 11,

2x – y + 3z = 14.

Решение:    D = 43; Dx = 86; Dy = - 43; Dz = 129.

                    x = 2;  у =- 1; z = 3.

Ответ: (2; - 1; 3). ( Ребята записывают решение на листах, а потом демонстрируют его гостям.)

II группа

5x + y - 3z = -2,

4x + 3y +2z = 10,

2x – 3y + z = 17.

Решение: D =    = 5∙3∙1 + 4∙(-3)∙(-3) + 1∙2∙2 - 2∙3∙(-3) – (-3)∙2∙5 - 4∙1∙1 = 15 + 36 + 4 +18 + 30 – 4 = 99.

                Dx =    = -2∙3∙1 + 10∙(-3)∙(-3) + 1∙2∙17 - 17∙3∙(-3) - 10∙1∙1 – (-3)∙2∙(-2) = - 6 + 90 +34 + 153 -10 – 12 = 249.

                Dy =     = 50 – 204 – 8 + 60 +8 – 170 = 264.

                Dz =    = 255 +24 + 20 + 12 – 68 + 150 = 393.

Итак:  x =   y =   z =         

Ответ:  ().

Учащиеся выходят к доске и решают задания после обсуждения его на месте.

VII.   Итог занятия.

Определители – метод очень формальный, механический, пользуясь им думать почти не надо. Хорошо это или плохо?  Конечно, хорошо, если вам нужно решить очень быстро и очень много однотипных систем уравнений, особенно, если вы хотите к этому привлечь вычислительную технику.

При решении систем линейных уравнений  более высокого порядка Правило Крамера не всегда уместно, когда необходимо решить систему линейных уравнений у которой число уравнений не совпадает с числом неизвестных, тут уже приходится находить n+1 определителей n -го порядка, поэтому  необходимы другие методы решения систем, так например, метод Гаусса. Он применяется в том случае, когда число уравнений не совпадает с числом неизвестных и состоит он в последовательном исключении переменных. Но с этим методом мы познакомимся на следующем занятии.

Нужно отметить тех учащихся, которые получили большее количество наград, этим учащимся присваивается звание «Магистра математических наук».

Задание на дом по группам: Подготовить краткую историческую справку о биографии К. Ф.Гаусс, о его математических открытиях. Почему Гаусса называли «царём математики?».

Решите систему уравнений:     5x – 3y + 4z = 6,

2x – y –z = 0,

x– 2y + z = 0;