Урок алгебры в 9 классе. «Решение системы уравнений. Правило Крамера.»
план-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме

Урок алгебры в 9 классе.

 Тема : «Решение системы уравнений. Правило Крамера.»

Урок обобщения и расширения знаний учащихся по теме.

Цель: Выработать умения применять различных методов решения системы уравнений.

Задачи: 1.Повторить материал по теме «Системы уравнений».

              2.Расширить знания учащихся о методах решения систем       уравнений.

              3. Помочь ученикам проверить свои ЗУН по данной теме.

 Оборудование:  Компьютер, экран, карточки для учащихся

                             «Рабочая карта урока», портреты поэта Нивея  и Г. Крамера,

                              стенд «Системы уравнений»  

Ход урока.

1. Организационный момент.

 Сообщение темы, цели, задач урока.

 В центре внимания на уроке будет «Рабочая карта урока.»

Сюда будут вносить оценку за каждый вид работы на уроке.  Она есть

 у каждого ученика.

(С/О –самооценка,  О/Т – оценка товарища.)

   Древнегреческий поэт Нивей утверждал, что  математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед.

 Поэтому сегодня на уроке каждый должен оценить свою работу и работу соседа.

2. Устная работа и проверка домашней работы.  (В то время  когда класс занят устным ,  ученика записывают на доске  задания, выполненные дома.  После окончания устного счета,  учащиеся сверяют свои работы, исправляют ошибки и оценивают свою домашнюю работу.)

      Устная работа. Задания на экране.

1. Решить уравнение.

 а) 9 – х² = 0,     б) 16 – х² = 0,    в) х² – 3х = 0 ,   х² + 16 = 0.

           2) Решить систему уравнений:

а)           б)

                   3)  Является ли пара чисел (1; 0)  решением  уравнения:

        а) Х² +  Y =1,           б) ХY+3 = Х,                  в) Y ( Х+2 ) = 0 ?

             4) Какая фигура является графиком уравнения:

а) Y = kХ+b,     б) Х² + Y² = R²,      в) Y + аХ² + bХ + с = 0,    г)  ХY = 0,

 где а,b,c,k,R – некоторые числа, а – не равно нулю?

    5) Выставление оценок за устный счет соседу.                                

         Самооценка домашней работы.

3. Методы решения систем уравнений.

 1) Повторение. Ответы на вопросы:

- Что называется системой уравнений с двумя или несколькими переменными?

 - Что значить решить систему уравнений?

 - Сформулируйте алгоритм графического решения  системы уравнений.

  - Сформулируйте алгоритм  решения  системы уравнений методом подстановки и методом алгебраического сложения.

 2) Методы решения систем уравнений. ( Беседа о методах решения систем уравнений по схеме.)

- Сегодня познакомимся с еще одним методом решения систем уравнений, которого в ваших учебниках нет. Это формулы Крамера.

  Крамер Габриель – шведцарский математик. Установив и опубликовав в 1750 году правило решения системы линейных уравнений с буквенными коэффициентами, заложил основы теории определителей.

 4.Решение систем уравнений по правилу Крамера.

1).Ознакомление учащихся правилом. Данный материал появляется на экране.

 Пусть дана система двух  линейных уравнений с двумя переменными:

Умножив обе части уравнения на b1, а второе на b2 и сложив полученные уравнения, имеем

(a1b2-a2b1)x=c1b2-c2b1.                                                       (1)

  Если a1b2-a2b1 0 , то находим единственное значение х:

                                               (2)

  Аналогично, умножив первое уравнение на –а2, а второе на –а1 и сложив уравнения, имеем  

(a1b2-a2b1)y=a1c2-a2c1       (3)

Если a1b2-a2b1 0, то находим

    Анализируя выражения (2) и (4), заметим, что при любых значениях коэффициентов, удовлетворяющих условию a1b2-a2b1 0, легко сразу записать выражение для нахождения значений x и y. Они записаны в виде дроби, знаменатель равен разности произведений коэффициентов при х в первой строке на коэффициент при y во второй строке. Иначе говоря, из произведения коэффициентов по первой диагонали нужно вычесть произведение коэффициентов по второй диагонали. Это удобно изобразить так:

     Числитель в выражении для x находим аналогично, только предварительно нужно заменить коэффициенты при х на свободные члены. Числитель в выражении для y находим по тому же правилу, но с заменой коэффициентов при y на свободные члены. Выражения для нахождения x и y с помощью указанного правила удобно записать в следующем виде:

Х=                                                        Y=     

Каждую из таблиц в этих выражениях называют определителем (иначе- детерминантом). Определитель , стоящий в знаменателе, обозначают и буквой  D. Это число, равное

        D=

 Определитель , стоящий в числителе, обозначают   соответственно  Dx,  Dy:

    Dx=      ,                          Dy=     

  Записываются так:                                y   

 Из равенства (1) и (3) имеем: если D=0, а Dх0 и Dy0, то система не имеет решений. Если все же все определители равны нулю, то система имеет бесконечно множество решений. Однако при этом следует иметь в виду , что взять какое-либо значение x , то y уже нельзя брать произвольным, а необходимо найти его из одного из данных уравнений, т.е. решениями являются пары значений x  и y , связанные между собой.

2). Пример . Решение системы уравнений.

Решение. Вычислим определители  D, Dx, Dx :

D=;

Dx= ;

Dy= .

Следовательно,

=   ,  y = 

Ответ:  (5;2)

3) Самостоятельное решение системы уравнений с помощью определителей..

1 уровень:    

   2 уровень:    

4).  Самооценка решения системы уравнений по правилу Крамера.

5. Итог урока.

- Что нового узнали на уроке?

- Оценка учителя работу на уроке каждого ученика.

- Выставление итоговой оценки.

6. Домашнее задание.Решить системы уравнений из сборника экзаменационных заданий разными способами. №  208(2), 209, 210.