Разработка открытого урока"Решение логарифмических неравенств"
план-конспект урока алгебры (11 класс) по теме

                                                                      Разработка урока

учителя математики школы № 42 г. Томска Полуэктовой Т.Е..

Тема : Подготовка  обучающихся к ЕГЭ при изучении темы « Решение логарифмических уравнений».

                                                                                                               «Изобретение логарифмов , сократив

                                                                                                                            работу астронома , продлило ему жизнь»

                                                                                                                                                                           П.С.Лаплас

Цели урока :

1. Ввести понятие - простейшие логарифмические уравнения
2. Рассмотреть основные методы решений основных типов логарифмических уравнений.

Требования к знаниям и умениям обучающихся:  

1. Знать вид простейших логарифмических уравнений
2. Уметь применять различные методы при решении логарифмических уравнений.

План уроков

                                                                     У Р О К 1

I . Организационный момент : формирование мотива , желания работать на уроке.

II. Теоретическая разминка: повторение необходимых теоретических сведений по теме , развитие умений  говорить и слушать. Работа проходит в форме ответов на вопросы :

1. Дайте определение логарифма числа по заданному основанию.
2. Запишите основное логарифмическое тождество ( условия а ≠ 1 , а > 0 , в > 0 ) 
3. Основные свойства логарифмов (а ≠ 1 , а > 0 , в > 0, х >  0, у > 0 ). Формулировки и формулы.  

1. Логарифм единицы.
2. Логарифм самого основания .
3. Логарифм произведения .
4. Логарифм частного .
5. Логарифм степени.
6. Логарифм корня.

1. Формула логарифмического перехода от одного основания к другому
2. Какие логарифмы называются десятичными , натуральными и как они обозначаются? Чему равны  lg 100 и lg 0, 001?
3.  Дайте определение логарифмической функции.
4. Каковы область определения и область значений  функции  у = log а х и их обозначения ?
5. Свойства монотонности : в каком случае функция у = loq а х является возрастающей . в каком убывающей?
6. Найдите выражения , имеющие смысл: log 3 5 ; log 5 0  ; log 2 (-4) ; log 5 1 ; log 5 5.

III. Изложение нового материала  

      В иррациональном уравнении неизвестное содержится под знаком корня различной степени .

       А если в уравнении неизвестное содержится под знаком логарифма , как его назвать?

  ( логарифмическое ). Предложить ученикам дать определение логарифмического уравнения .

Определение :  Логарифмическим уравнением называется уравнение , содержащее        

                                  неизвестное под знаком логарифма.

•Какое преобразование называют логарифмированием ?

 ( Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием).

•Какое преобразование называют потенцированием ?

( Действие , которое заключается в нахождении числа по данному логарифму , называют потенцированием).

   При решении логарифмических уравнений часто приходится выполнять эти преобразования .

   Следует иметь в виду , что указанные операции могут привести к уравнениям , не равносильным данным..

      Логарифмирование – это опасная операция , т.к. при ней может произойти  потеря корней .

Пример :  х2 = 25 ;              прологарифмируем обе части      log 5 х2  = log 5 25;

                 х1,2 = ± 5.              уравнения по основанию 5:              2 log 5 х  = 2;

                                                                                                              log 5 х  = 1;

                                                                                                                  х = 5   потеря корня х = - 5

Избежать этой ошибки поможет нахождение ОДЗ уравнения.

       При потенцировании потери корней не происходит , но могут получиться посторонние корни , которые легко обнаруживаются при подставке их в исходное уравнение .

      Если при подстановке какого – либо корня в уравнение под знаком логарифма получается отрицательное число или нуль , то этот корень надо отбросить как посторонний.

Пример:     log 2( х +1 ) +  log 2 х = 2   используем свойства логарифма произведения

                     log 2 (( х +1 )х )= 2          используем определение логарифма

                         х( х+1) = 22

                                     х2 + х - 4 = 0  , получаем х1 = 1 и х2 = -2 < 0  посторонний корень , т.к. log 2( -2)

                        выражение не имеет смысла.

С учётом вышеизложенного при решении  логарифмических уравнений приоритетом является проверка ,а не ОДЗ .

Методы решения логарифмических  уравнений.

Основные методы решения логарифмических уравнений :

1. Метод потенцирования , т.е. переход от уравнения log аf( х) =  log а φ(х) к уравнению следствию

f( х) =  φ(х);

2. Метод введения новых переменных ;
3. Метод логарифмирования , т.е. переход от уравнения  f( х) =  φ(х) к уравнению

 log аf( х) =  log а φ(х)

1) .    Уравнение вида  log а х = в, где а ≠ 1 , а > 0 , , х >  0, называется простейшим логарифмическим уравнением , оно равносильно уравнению х = ав , причём ни проверка , ни ОДЗ не требуется ,т.е.

1. log а х = в,

              а ≠ 1 , а > 0 ;                х = ав

При решений уравнений такого типа можно выделить ещё два типа :

1. log аf( х) =  в,        f( х ) > 0,             f( х) = ав .

             а ≠ 1 , а > 0 ;         f( х) = ав ;

2. log аf( х) =  log а φ(х),

             а ≠ 1 , а > 0,                                      f( х) =  φ(х)

            f( х) = > 0, φ(х) > 0,,                          φ(х) > 0.,

У Р О К  2

 Рассмотрим примеры решений  различных логарифмических логарифмических уравнений  :

1) Решение уравнений по определению логарифма .

Пример 1 . Найдите все решения уравнения  log 2 ( 3 х2 – х ) = 1, принадлежащие области определения функции у = √2 – 5х .

Решение: Уравнение log 2 ( 3 х2 – х ) = 1 равносильно уравнению 3х2 – х = 2 . имеющему корни х1 = 1,

х2 = -2/3.При х = 1 функция у = √2 – 5х не определена., а при х = -2/3 определена. Ответ : -2/3

Пример 2. Решить уравнение log 3 (  4 3 х -1  – 1) = 2х – 1 .

Решение:  По определению логарифма имеем: 4  3 х -1  – 1 = 32х – 1,  4/3  3х – 1 + 3 2х   1/3 . Обозначим

 3х = у , тогда 4/3 у – 1 = 1/3 у2 ,  у2 – 4у + 3 = 0 , у1 = 1 , у2 = 3. далее . если 3х = 1 . х = 0 , и если 3х = 3 , то х = 1.

Заметим , что при найденных значениях х выражение под знаком логарифма положительно .

                                                                                                                                           Ответ : 0;1

Пример 3. Решить уравнение log 3 ( 0,5 + х ) =  log 3 0.5 - log 3 х.

Решение: Перегруппируем  члены уравнения log 3 ( 0,5 + х ) + log 3 х =  log 3 0.5 .

Далее , используя свойство логарифма произведения , заметим , что уравнение равносильно системе

х  0,                                                                                   х  0 ,

0,5 + х  0                                          х  0,                       х = -1          х = 0,5

log 3 ( 0,5х + х2 ) =  log 3 0,5             х + 2х2 = 1               х = ½                                            

Ответ: 0,5.

Пример 4. Решить уравнение log 2 ( х +2 ) =  log 2 ( х2 + х  - 7).

Решение:  Из равенства логарифмов следует равенство , стоящих под знаком логарифма выражений :

 х + 2 = х2 + х – 7. Отсюда  х2 = 9 . х = - 3  или х = 3.

  Проверка показывает , что х = -3 не удовлетворяет исходному уравнению , х = 3 является его решением.                                                                                                                                 Ответ:3

Пример 5. Решить уравнение log х – 6  ( х - 4) =  2.

Решение : областью определения уравнения log х – 6  ( х - 4) =  2 является х6 , х – 6  1 . для этих значений х уравнение равносильно следующему : ( х – 6 ) 2 = х – 4 . Решив его , получим х 1 = 8 и х 2 = 5 .Учитывая ограничения , запишем ответ : х = 8 .                                                                  Ответ: 8

2). Метод сведения обеих частей уравнения к логарифму  с одинаковым основанием.

Пример 6 . Найти все корни уравнения 5х  2 2+х/х  = 40.

Решение :  Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2 и , применив свойства логарифмов, получим :   2+х / х + х log 2 5 =  3 +  log 2 5, или 2 – 2х /х + (х – 1 ) log 2 5 =  0 ,. или  

(х – 1 )(  log 2 5 – 2/х) = 0 , откуда х = 1 или х  = 2/ log 2 5 = 2 log 5 2 = log 5 4.              

 Ответ: 1; log 5 4 .

Пример 7 . Решить уравнение х lg х – 1 = 100 .

Решение: Учитывая ОДЗ : х0 , прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 : lg х lg х – 1 = lg 100. Применяем основное логарифмическое тождество ,получаем : lg х (lg х – 1) = 2 . Пусть lg х  = а, тогда  а2 – а – 2 = 0 . Решив его , получим а = 2 или а = -1 .

Возвращаемся к замене переменной lg х =2  или  lg х = -1 , тогда  х = 100 , х = 1/10

3). Метод введения новой переменной  мы уже применили при решении предыдущего уравнения и уравнения  в примере 2.

Пример 8:  Решить уравнения lg 2 ( 10х ) +  lg  ( 10х) = 6 – 3 lg 1/10.

Решение : ОДЗ : х  0

Используем свойства логарифма и получаем ( lg10  + lg х )2 + lg 10 + lg х = 6 +3 lg х.

( 1  + lg х )2 + 1 + lg х = 6 +3 lg х.

Пусть lg х = а , ( 1 + а ) 2 + 1 + а = 6 + 3а ,  а2 = 4 ,  а = 2;

                                                                                     а = -2.

lg х = 2 , х = 100; lg х  = - 2 , х = 1/100.                                                                      Ответ: 100 ; 0, 01

Также при решении логарифмических уравнений следует помнить , что при вынесении чётной степени под знаком логарифма получаем модуль функции

                                         log аf(х)2n  = 2n log а  | f(х)|

Пример 8: Найти абсциссы тех точек графика функции у  = 2 log 2 ( 3х +5 ) + log 2  х2  , лежащие в верхней полуплоскости , расстояние от которых до оси абсцисс равно2.

Решение: Для точки верхней полуплоскости расстояние до оси абсцисс равно её ординате . Таким образом , для выполнения  условия задачи необходимо и достаточно равенства

 2 log 2 ( 3х +5 ) + log 2  х2 = 2.

Решим это уравнение :. 2 log 2 ( 3х +5 ) + log 2 х  = 2 .Используя свойства логарифмов , получаем :  

log 2 (( 3х +5 )  х ) = 1, ( 3х + 5 ) х  = 2.

Раскрывая модуль , получим два случая :

1. ( 3х + 5 ) х = 2 ,            3х2 +5х – 2= 0 , х1 = -2  0 , х2 = 1/3 .

       х0.

2. (3х + 5 ) ( -х) = 2,           3х2 + 5х + 2 = 0 , х1 = -1 , х 2 = -2/3 .

                                       х 0.

                                                             Ответ : таких точек три , их абсциссы : -1; -2/3 ; 1/3 .

II. Закрепление изученного материала .

  Решить уравнения:

1. log 3  2х +   log 3 х = 6;

2. (log 2 2х – 1) (log 2 2х + 1 )= 15;

3. lg  2х –lg  х =0;.

4. log 3  х   log 4 х  log 5  х =   log 3 х  log 4  х  +   log 3 х  log 5  х +   log 4 х  log 5 х; ( для сильных учеников).

Решение последнего примера  : Заметим , что х = 1  является корнем уравнения.

                                                            Пусть х  1  , тогда обе части уравнения можно разделить на  

                                                            произведение  log 3  х   log 4 х  log 5  х.

                                                            Получаем  1= 1/ log 5  х + 1/ log 4  х + 1/log 3 х.

                                                             Используем свойства логарифма :log а в  = 1/ log в  а , получаем

                                                                log х 5 + log х  4  +   log х 3 = 1 ,    log х 60 = 1 и х = 60 .

                                                                                                                             Ответ: 1; 60.

III. Домашнее задание: § 44, № 44.1- 44.17 ( вариант 1 – а,в; вариант 2 – б,г).

                                               При подготовке к уроку была использована следующая литература:

1. «Алгебра и начала анализа» 10- 11 кл. А.Г.Мордкович

( учебник и задачник ) ; 10-е издание – М: Мнемозина 2009.

2. «Учимся решать уравнения и неравенства» 10-11кл.

          Денищева Л.О., Карюхина Н.В. , Михеева Т.Ф. – М.:          Интеллект – Центр , 1999 .

3 «Алгебра и начала анализа « 10 – 11 кл .Ш.А.Алимов

         ( учебник );М: - просвещение , 2008 г

 Учитель математики школы № 42 г. Томска : Полуэктова Т.Е.

7 класс