Методическая разработка открытого урока. Тема «Логарифмические функции, их свойства и графики»
методическая разработка по алгебре по теме

Министерство Здравоохранения Московской области

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

«КРАСНОГОРСКОЕ МЕДИЦИНСКОЕ УЧИЛИЩЕ (ТЕХНИКУМ)»

«УТВЕРЖДАЮ»

Заместитель директора по УВР

Рудой Н.А.  ____________

«___» ________ 20___г.

Методическая разработка открытого урока

Тема «Логарифмические функции, их свойства и графики»

Дисциплина: ЕН.1 Математика

для специальностей: 34.02.01 «Сестринское дело»

31.02.03 «Лабораторная диагностика»

2014г.

ОДОБРЕНО

Методическим советом

Протокол № __  от «  __»____ 20__ г

Разработчик: Попова А.П. –   преподаватель  математики и информатики  Красногорского  медицинского  училища

Методическая разработка по дисциплине ЕН.1. Математика входит в состав гуманитарного, социально-экономического и математического цикла  и  является частью основной профессиональной образовательной программы ГБОУ СПО «Красногорское медицинское училище» по специальностям 34.02.01. «Сестринское дело», 31.02.03 «Лабораторная диагностика», разработанной в соответствии с учебной программой и ФГОС СПО третьего поколения .

Пояснительная записка

Методическая разработка по теме «Логарифмические функции, их свойства и графики» разработана на основе рабочей программы по дисциплине ЕН.1. Математика по специальностям 34.02.01. «Сестринское дело», 31.02.03 «Лабораторная диагностика», базовый уровень образования.

Цель изучения данной темы узнать понятие логарифмической функции, изучить её основные свойства, научиться строить график логарифмической функции и научиться видеть логарифмическую спираль в окружающем нас мире.

Основной задачей преподавателяявляется подготовка выпускников к самостоятельной практической работе в качестве медицинской сестры(брата) или лабораторного техника. Велика роль математики в развитии личности человека, в становлении его мировоззрения, развития мышления, и других качеств.

Методическая разработка содержит конспект лекции, задания из интерактивного теста с эталонами ответов и  предназначена для преподавателей в качестве методической помощи для подготовки к занятию при изучении данной темы.

В качестве внеаудиторной самостоятельной работы студенты могут подготовить с помощью дополнительных источников сообщение на тему, «Логарифмы и их применение в природе и технике»,кроссворды и ребусы. Учебные знания и профессиональные компетенции, полученные при изучении темы «Логарифмические функции, их свойства и графики» будут применены при изучении следующих разделов: раздел 5. «Уравнения и неравенства», раздел 6. «Начала математического анализа».

Методические рекомендации содержат список литературы по теме занятия для преподавателей и студентов:

Разработка может быть использована на лекционных и практических занятиях.

Актуальность темы:

Математика является универсальным языком, широко используемым во всех сферах человеческой деятельности. На современном этапе учитывается значимость математической подготовки всех специалистов, в том числе специалистов среднего звена.

Характерной чертой курса математики длястудентов средних специальных учебных заведений является его ориентированность на специальную подготовку и профессиональную деятельность студентов.  Она включает в себя реализацию прикладной направленности курса математики и его межпредметных связей.

Для обеспечения профессиональной ориентированности необходимо создать запас математических моделей, которые описывают явления и процессы, изучаемые в различных дисциплинах, сформировать необходимые для исследования этих моделей знания и умения; научить студентов исследовать простейшие математические модели реальных явлений и процессов, интерпретировать результаты этих исследований.

1.Цели занятия:

Образовательные:

• Ввести понятие логарифмической функции.
• Изучить основные свойства логарифмической функции.
• Сформировать умение выполнять построение графика логарифмической функции.

Развивающие:

• Выработать умение выделять главное, сравнивать, обобщать.
• Формировать графическую и функциональную культуру учащихся.

Воспитательные:

• Показать взаимосвязь математики с окружающей действительностью.
• Формировать навыки общения, умения работать в коллективе.

В результате изучения темы: «Логарифмические функции, их свойства и графики» обучающийся должен:

знать:

• значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
• характер различных процессов окружающего мира.

уметь:

• находить значения логарифма на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах;
• выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами логарифмов;
• вычислять значение логарифмической функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции;
• определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках;
• строить графики логарифмических функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;
• использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:

• для описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков.

2.Форма занятия: комбинированное.

3. Методы обучения:

• Объяснительно-иллюстративный.
• Частично-поисковый.
• Тестирование.
• Устный опрос.
• Беседа.
• Дискуссия.
• Аналогия.
• Выполнение упражнений, сопровождающихся самопроверкой.

4.Педагогические технологии:,

• Компьютерная технология.
• Технология уровневой дифференциации.
• Технология группового обучения.
• Тестовая технология.

5.Оснащение: …

• Проектор
• Экран
• Авторская презентация к уроку
• Раздаточный материал
• Маркерная доска
• Маркер нескольких цветов
• Компьютеры для прохождения интерактивных тестов студентами
• Учебники Богомолов  Н. В. Математика : учеб. для ссузов / Н. В. Богомолов, П. И. Самойленко. — 7-е изд., стереотип. — М. : Дрофа, 2010. — 395, [5] с. : ил.;  Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних учебных заведений. /  Н.В. Богомолов. – 7-е изд. М.: Высшая школа, 2004.- 495 с.

6. План урока

1. Организационная часть.
2. Актуализация знаний.
3. Изложение нового материала.
4. Закрепление материала.
5. Подведение итогов.
6. Постановка домашнего задания.

7. Ход урока.

8. Литература:

1. Богомолов  Н. В. Математика : учеб. для ссузов / Н. В. Богомолов, П. И. Самойленко. — 7-е изд., стереотип. — М. : Дрофа, 2010. — 395, [5] с. : ил.
2. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних учебных заведений. /  Н.В. Богомолов. – 7-е изд. М.: Высшая школа, 2004.- 495 с.
3. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2003.
4. Алгебра и начала анализа 10-11/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин, Б.М.Ивлев, С.И. Шварцбурд.
5. http://festival.1september.ru
6. http://1cov-edu.ru/mat_analiz/funktsii/logarifm/

Приложение 1.

1. Функцию, заданную формулой у= logах, называют логарифмической функция с основанием а, где а>0, а=1.  

Теперь напомню вам, какая функция называется обратной.
Обратная функция – это функция полученная из обратимой функции, путем выражения Х из второй и заменой Х и Y. 
Другими словами: чтобы найти обратную функцию необходимо из данной функции выразить Х и затем поменять местами Х и Y. Получается что точка (x,y) переходит в точку (y,x), т.е. построение графика обратной функции идет через симметрию относительно прямой y=х.

Выразим из показательной функции  x: . Поменяем местами x и y для нахождения обратной функции: . Получили логарифмическую функцию. Т.о. можем построить график логарифмической функции.

2.  Или

Рассмотрим основные свойства логарифмической функции.

Основные свойства логарифмической функции (выводятся из свойств показательной функции):

При заполнении таблицы разбираем устно по графику и решаем задания.

1. Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел R+.
   Т.к. при решении уравнения    ,т.е. любое положительное число  имеет логарифм по основанию .

Задание № 1. Какое значение аргумента x является допустимым для следующих функций?

2. Область значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел.
   Т.к. по графику видно что y может быть как положительным числом так и отрицательным.
3. Определим четность. Подставим в функцию  вместо х - (-х). Получим функцию . Данную функцию нельзя свести к виду f(x) или к виду –f(x), следовательно функция является ни четной, ни нечетной. Другими словами график не будет симметричен относительно оси OY или начала координат.
4. Найдем нули функции. Это точки пересечения с осью абсцисс. Получаем
5. Найдем промежутки знакопостоянства.
   Задание № 2 (Для промежутков знакопостоянства).

Пусть y = logax

Вывод 1. Если число и основание логарифмической функции находятся с одной стороны от единицы, то значение логарифмической функции положительно.

Вывод 2. Если число и основание логарифмической функции находятся по разные стороны от единицы, то значение логарифмической функции отрицательно.

Задание № 2.1Определите знак числа.

Задание №2.2Сравните с единицей число m если:

6. Экстремумов нет, т.е. наибольшее и наименьшее значение функции не существует. График бесконечен.
7. Промежутки монотонности. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при a>1) или убывает (при 0

Задание № 3. (Для исследования на монотонность).

Определите, какие из перечисленных ниже функций являются возрастающими, а какие убывающими?

Задание № 3.1 Сравните с единицей число a, если известно:

8. Последнее свойство: асимптота. Есть, т.е. существует прямая, к которой график функции неограниченно приближается, но никогда не пересечет её. Асимптота x = 0.

3.  Итак мы построили логарифмическую функцию и разобрали её свойства. Но интересно встречаются ли логарифмы в природе. Конечно встречаются. Предлагаю просмотреть небольшую презентацию на эту тему.

Логарифмическая спираль – это линии в геометрии, отличные от прямых и окружностей, которые могут скользить по себе.

Логарифмическую спираль называют равноугольной спиралью. Это её название отражает тот факт, что в любой точке логарифмической спирали угол между касательной к ней и радиус – вектором сохраняет постоянное значение.

Известно, что живые существа обычно растут, сохраняя общее начертание своей формы. При этом  чаще всего они растут во всех направлениях.. Но раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться. И как вы уже догадались по логарифмической спирали.

Можно сказать, что эта спираль является математическим символом соотношения формы и роста.

Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмическим спиралям.

По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках "упакованы" по логарифмическим спиралям, завивающимся навстречу друг другу.

ХИЩНЫЕ ПТИЦЫ ЛЕТЯТ К СВОИМ ЖЕРТВАМ ПО ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ СПИРАЛИ. Они делают такие виражи, чтобы максимально использовать свое острое поперечное зрение.

Логарифмическая спираль нередко используется в технических устройствах. Например вращающиеся ножи нередко имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали – под постоянным углом к разрезаемой поверхности, благодаря чему лезвие ножа стачивает равномерно.

Математика присутствует даже в музыке. Ступени темперированной хроматической гаммы (12- звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы.

Логарифмические линии в природе замечают не только математики, но и художники, например, этот вопрос чрезвычайно волновал Сальвадора Дали.

        Его навязчивой идеей стала картина Вермеера «Кружевница», репродукция которой висела в кабинете его отца. Много лет спустя Сальвадор Дали попросил в Лувре разрешение написать копию с этой картины. Он объяснял, что, пока не написал эту копию, в сущности, почти ничего не понимал в «Кружевнице», и ему понадобилось размышлять над этим вопросом целое лето, чтобы осознать наконец, что он инстинктивно провёл на холсте строгие логарифмические кривые.

Логарифмическую спираль можно встретить и в архитектуре. Шуховская башня в Москве.

4. Немного отдохнули, а теперь рассмотрим простейшие преобразования графиков логарифмической функции.

1.  

Если b>0, то график смещаем по оси OX вправо (в положительное направление).

Если b<0, то график смещаем по оси OX влево (в отрицательное направление).

2.  

Если c>0, то график смещаем вверх по оси OY (в положительное направление).

Если c<0 то график смещаем вниз по оси OY (в отрицательное направление).

Разберем на примере.

Приложение 2.

Тестовые задания на уровень «3».

1. Из предложенных графиков выбрать график логарифмической функции, если основание  больше единицы:

2. График какой функции изображен на рисунке

3. График какой функции изображен на рисунке

4. Найдите область определения выражения:  .

5. Дана функция . Определите возрастающая или убывающая это функция.

Тестовые задания на уровень «4».

1. График какой функции изображен на рисунке

2. График какой функции изображен на рисунке

3. График какой функции изображен на рисунке

4. Найдите область определения выражения:  

5. Сравните числа:  

Тестовые задания на уровень «5».

1. График какой функции изображен на рисунке

2. Найдите область определения выражения:  

3. Сравните числа:  

4. Известно, что  . Какому промежутку принадлежит a?

1. a>1
2. 0
3. a>0
4. a<0

5. По графику функции  y=logсx найдите с.

Приложение 3.

Раздаточный материал.

№1. Найдите область определения выражения:

№2. Сравните числа