Опорный конспект по теме "Элементы комбинаторики"
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных  комбинаций,  подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов данного множества.

Соединение (выборка) – некоторый набор, составленный из элементов данного множества.        

Основные правила комбинаторики

1. Правило суммы: если элемент А можно выбрать п способами, а элемент В можно выбрать т способами, то выбрать либо А, либо В можно (п + т) способами.
2. Правило произведения (умножения): если элемент А можно выбрать п способами, а элемент В можно выбрать т способами, то два элемента (пару) А и В можно выбрать п · т способами.

1. Правило умножения верно и для любого конечного числа объектов. Пусть имеется п элементов и требуется  выбрать один за другим некоторые к элементов.  Если 1-й элемент можно выбрать
   п1 способами, после чего 2-й элемент можно выбрать из оставшихся п2 способами, затем 3-й –
   п3 способами и т.д., то число способов, которыми могут быть выбраны к элементов, равно
   п1 · п2 ·…· пк .

Типы соединений: 1) Перестановки; 2) Размещения; 3) Сочетания.

1) Перестановками из п разных элементов называют соединения, которые состоят из п элементов и отличаются друг от друга только порядком их расположения.

Рп  – число перестановок из п элементов

Рп = п!

п! = 1 · 2 · 3 ·…· (п–2)(п–1)п (факториал)

        2) Размещением из п элементов по к (к  п) называется соединение, содержащее к элементов, взятых из данных п элементов в определенном порядке. Два размещения из п элементов по к считаются различными, если они отличаются самими элементами или порядком их расположения.

Обозначение:  (читается «А из п по к»)

        Число размещений и п элементов по к равно произведению к последовательных натуральных чисел, наибольшим из которых является п.

.

        3) Сочетанием из п элементов по к (к  п) называется любое соединение, составленное из к элементов, выбранных из данных п элементов. Два сочетания из п по к отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, порядок элементов значения не имеет.

Обозначение:  (читается «С из п по к»)

Свойства сочетаний:

1)                    2)                  3)

        Если при выборе элементов из исходного множества возможны повторения, то формулы для подсчета числа перестановок, сочетаний и размещений изменятся.