"Приёмы быстрого счёта на уроках математики"
статья по алгебре по теме

«Приемы быстрого счета на уроках математики»

Автор статьи: Пахарева Вера Александровна,

                                                                     учитель математики ГБОУ лицея №590

    Красносельского района   Санкт-Петербурга.

            Одно из условий успешного обучения математике - хорошо развитые у учащихся навыки устного счета. Именно в пятых-седьмых классах закладываются основы обучения математике, поэтому с первых уроков учителю необходимо обращать особое внимание на устный счет. Начальные уроки можно посвящать обучению приемам быстрого счета, которые помогают ускорять не какие-нибудь сложные вычисления, а самые обычные числовые выкладки, с которыми постоянно приходится иметь дело на уроках.

            В наше время существует мнение, что человеку не надо знать приемы быстрых вычислений, что для этого существуют компьютеры. Однако польза устных вычислений огромна.

1)  Применяя законы арифметических действий к устным вычислениям, можно повторить, закрепить, усвоить их не механически, а сознательно.

2)   При устных вычислениях развиваются внимание, сосредоточенность, смекалка, самостоятельность.

3)   Устный счет содействует тренировке памяти.

4)   В то время как письменные вычисления однообразны и шаблонны, в устных вычислениях нет готового шаблона и приемы вычислений разнообразны, что способствует развитию чрезвычайно полезных качеств человека.

Приемы округления.

Пример: 599 + 387

 Имеем: 599 + 1 + 387 – 1 = 600 + 386 = 986

 Вывод: если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а другое уменьшить  на столько же единиц, то величина суммы не изменится. Округлением слагаемых можно пользоваться также при сложении обыкновенных и десятичных дробей.

 Примеры: 173 + 59 = 172+60=232

                     8127 + 893 = 8120+900=9020

Приемы умножения.
Умножение на 5, 50.

Имеем: 5 = 10 : 2, 50 = 100 : 2

Вывод:

 1)  Чтобы умножить число на 5, можно его разделить пополам, потом умножить на 10.

 2)  При умножении на 50 надо число разделить на 2 и умножить на 100.

 Пример: 7,4 ∙ 5 = 7,4 : 2 ∙ 10 = 3,7 ∙ 10 = 37

                  224 ∙ 5 =224 : 2 ∙ 10 = 1120

                  36 ∙ 50 =36 : 2 ∙ 100 = 1800

                  426 ∙ 50 = 426 : 2 ∙ 100 = 21300

Умножение на 25, 250.

Имеем: 25 = 100 : 4

                250 = 1000 : 4

Вывод: чтобы устно умножить число на 25 или 250, надо его разделить на 4, а затем полученное частное умножить на 100 или 1000.

Примеры: 224 ∙ 25 =224 : 4 ∙ 100 = 5600

                     44 ∙ 25 =44 : 4 ∙ 100 = 1100

                    168 ∙ 250 =168 : 4 ∙ 1000 = 42000

                     72 ∙ 250 =72 : 4 ∙ 1000 = 18000

Умножение на 125. 

Имеем:  125 = 1000 : 8

          Чтобы умножить число на 125, надо его разделить на 8, а затем  умножить на 1000.

Примеры:

              896 ∙ 125 = 896 : 8 ∙ 1000 = 112000

             120 ∙ 125 = 120 : 8 ∙ 1000 = 15000

             240, 24 ∙ 125 =240, 24 : 8 ∙ 1000 = 30, 03 ∙ 1000 = 30030

Умножение на 15.

Имеем: 15 = 10 + 5 = 10 + 0,5 ∙ 10

         При умножении на 15 надо число умножить на 10 и к произведению прибавить его половину.

 Примеры: 64 ∙ 15 = 64 ∙ 10 + (64 ∙ 10): 2 = 640 + 320 = 960  

                     72 ∙ 15 =720 + 360 = 1080

                     224 ∙ 15 =2240 +1120 = 3360

Умножение на 9 или 99. 

Имеем: 9 = 10 – 1

                99 = 100 – 1

При умножении на 9 или 99 надо число умножить на 10 или 100 и из полученного числа вычесть данное.

Примеры: 45 ∙ 9 = 45 ∙ 10 – 45 = 450 – 45 = 405

                    128 ∙ 9 =1280 – 128 = 1152

                    7 ∙ 99 =7 ∙ 100 – 7 = 700 – 7 = 693

                    67 ∙ 99 =6700 – 67 = 6633

Умножение на 11 и на 101.

Имеем: 11 = 10 + 1

1)    Чтобы умножить число на 11, надо умножить его на 10 и к полученному результату прибавить само данное число.

              Пример: 87 ∙ 11 =870 + 87 = 957

                               36 ∙ 11 = 360 + 36 = 396

2)    При умножении двузначного числа на 11 можно раздвинуть цифры этого числа и вставить между ними их сумму. Получим нужный результат.

              Пример: 24 ∙ 11 = 264

      Если сумма цифр двузначного числа сама является двузначной, то ее единицы вставляем между цифрами данного числа, а десятки прибавляем к первой цифре.

              Примеры: 67 ∙ 11 =737

                                  59 ∙ 11 = 649

3)  Особенно просто умножение двузначного числа на 101. Надо мысленно приписать справа к   данному числу его само и прочесть  то, что получится.

          Примеры:  62 ∙ 101 = 6262

                               93 ∙ 101 = 9393

Умножение многозначных чисел.
«Умножение крестиком» двузначных чисел.

   Пример: 53 ∙ 37 = 1961

   Подпишем числа одно под другим

     5     3       1) 5 десятков ∙ 3 десятка =15 сотен=1500

    3      7       2) 3 ∙ 7 = 21

                      3) Итого: 1500 + 21 = 1521

4) Еще надо учесть произведение единиц  каждого числа на десятки другого. Имеем 7 раз 5 десятков, т. е. 350, и 3 раза 3 десятка, т. е. 9 десятков или 90.

                     350 + 90 = 440

5) Итого: 1521 + 440 = 1961

Применение формул сокращенного умножения.
Возведение в квадрат.

Имеем: а² = а² - в² + в² = (а + в)(а - в) + в²

 Пример: 988² = 988² - 12 2+ 12² = (988 + 12)(988 - 12) +12² = 1000 ∙ 976 + 144 = 976 144  

                27² =(27 + 3)(27 – 3) + 3² = 30 ∙ 24 + 9 = 729

 Возведение в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на 5.

Имеем: пусть число десятков х

              тогда все число 10х + 5

              (10х + 5)² = 100х² + 100х + 25 =

                  = 100х ∙ (х + 1) + 25

Вывод: чтобы возвести в квадрат двузначное число, последняя цифра которого 5, надо умножить число десятков на число, большее на единицу,  к произведению приписать 25.

Примеры: 85² =7225 (т.к. 8 ∙ 9 = 72)

                    45² = 2025 (т. к. 4 ∙ 5 = 20)

Быстрое умножение.

Имеем: (а – в)(а + в) = а² - в²

Пример: 783 ∙ 787 = (785 – 2)(785 + 2) = 785² - 2² =785² - 15² + 15² - 2² = (785 +15)(785 – 15) + 225 – 4 =

800 ∙ 770 +221 = 616000 + 221 = 616221

Для проверки усвоения пройденного материала можно предложить учащимся выполнить  следующую работу.

Проверь себя!

Выполните действия и заполните таблицу.

В таблице зашифровано греческое слово, которое в русском прочтении означает “избыток”.

Этот термин используется в литературной речи для обозначения словосочетаний, содержащих

некоторое преувеличение.  

Е= 652

П=128*5

А=280*50

И=72*11

Г=9852

О=168*125

Л=242*12

Б=37*101

Р=824*25

Ответ:

   В математике это слово – название линии, которое впервые было использовано в III веке до н.э. греческим математиком Аполлонием Пергским в научной работе, посвящённой линиям на поверхности конуса.

Литература:

1. Г. Н. Берман «Приемы быстрого счета» - ОГИЗ, 1947
2. Я.И. Перельман «Быстрый счет» - Ленинград, 1945
3. И.Я. Депман, Н.Я . Виленкин «За страницами учебника математики» -М, Просвещение, 1989
4. Я.И. Перельман «Занимательная арифметика» -  М, Транзиткнига, 2005