План - конспект урока по алгебре, 9 класс "Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла"
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Тема: Соотношения между тригонометрическими функциями

         одного и того же угла.

Цели: продолжить формирование навыков применения основных тригонометрических тождеств для нахождения значений тригонометрических функций;

развивать логическое мышление;

воспитание самостоятельности и трудолюбия.

Оборудование: интерактивная доска.

1. Организационный момент.

       (Раздать учащимся технологические карты. Приложение №1)

2.  Повторение с элементами проверки домашнего задания.

1. Тригонометрический калейдоскоп.

Закончите формулы:

2. Выразите:

3. Определите углом какой четверти является угол α, если:

а)  sin α > 0  и  cos α < 0;

б)  cos α < 0  и  sin α < 0;

в)  tg α > 0  и  cos α > 0;

г)  sin α cos α tg αctg α > 0.

3. Нахождение значений тригонометрических функций по известному значению

        одной из них.

1. Выполните упражнения:  № 764(а). 766(в) – на доске и в тетрадях;

№ 766(а,г) – самостоятельно;

№ 767(в) – устно.

№ 764(а).   sin α  = ,   < α <,   tg α – ?

cos α < 0, так как α – угол II четверти, следовательно,

, ,

tg α = , tg α =.

Ответ: tg α =.

№766(г).    tg α =, α – угол IV четверти, sin α, cos α, tg α – ?

sin α < 0, так как α – угол IV четверти, следовательно,

, sin α  =,

cos α = ctg α sin α, cos α =,

tg α = , tg α =.

Ответ: sin α  =, cos α =, tg α =.

№776.  а)    sin α  = ,  0 < α <,  sin α, tg α, ctg α – ?

cos α > 0, так как α – угол I четверти, следовательно,

, == ,

tg α = ,  tg α =: = ,

ctg α = , ctg α == .

Ответ: , tg α =, ctg α = .

           б)  tg α =,  < α <, sin α, cos α, ctg α – ?

cos α < 0, так как α – угол II четверти, следовательно,

,  cos α ==  =,

sin α = tg αcos α,  sin α = = ,

ctg α = ,  ctg α ==.

Ответ: sin α =, cos α =, ctg α =.

(*Решение данных заданий продемонстрировать учащимся с помощью

 интерактивной доски).

№767(в)     tg= 1  и   <  < , sin , cos , ctg  – ?

Ответ: sin =,  cos =,  ctg  = 1.

(*В домашней работе подтвердить результаты вычислениями).

2.  Расширим множество значений угла.

     Найдите значение тригонометрических функций угла α, если известно, что:

а) cos α = –   и  0 < α < ;  cos α,  tg α, ctg α – ?

sin α > 0, так как α – угол II четверти, следовательно,

, == ,

tg α = ,  tg α =: = ,

ctg α = , ctg α == .

Ответ: , tg α =, ctg α = .

б) tg α = 3  и   < α < , sin α, cos α, ctg α – ? (самостоятельно).

cos < 0, так как – угол III четверти, следовательно,

,  cos==  ,

sin = tg cos,  sin = 3= ,

ctg  = ,  ctg  =.

Ответ: sin =,  cos =,  ctg =.

                 * Используя полученные результаты, предложить учащимся найти значение

выражения sin4α – cos4α, а затем с помощью тождества

sin4 – cos4 = (sin2 – cos2)(sin2 + cos2) = sin2 – cos2,

sin2 – cos2 = – ==.

(*Решение данных заданий продемонстрировать учащимся с помощью

интерактивной доски).

3. Устно доказать, что не могут одновременно выполняться равенства:

 sin =   и   cos = .

(Использовать при решении тождество sin2 + cos2 = 1.)

4*. Могут ли синус и косинус некоторого угла равняться соответственно:  и  ,

      где ?

Учитывая, что  1–2а0  и   sin2α + cos2α = 1, получаем == 1.

Ответ: возможно при  а.

5*.  Существует ли такой угол α, для которого:  tg α =   и  ctg α = ?

Учитывая, что  tgαctgα = 1, получаем .

Ответ: при любом .

4. Самостоятельная работа. Приложение №2.

         Учащиеся выполняют задания, сдают работы, тексты работ с заполненными таблицами

ответов оставляют у себя.

Ответы к заданиям самостоятельной работы продемонстрировать учащимся с помощью интерактивной доски в готовом виде или заполнить с их помощью.

5. Подведение итогов урока.
6. Домашнее задание: №765, №767, №769, №919.

Приложение №1

Технологическая карта для учащихся.

Тема: Соотношения между тригонометрическими функциями

         одного и того же угла.

План урока.

1. Повторение.

1. Тригонометрический калейдоскоп.

2)                            

2. Нахождение значений тригонометрических функций по известному значению одной из них.

1. Выполнить упражнения:  № 764(а), 766(в) – на доске и в тетрадях;

№ 766(а,г) – самостоятельно;

№ 767(в) – устно.

2. найдите значение тригонометрических функций угла α, если известно, что:

а) cos = –   и  0 <  < ;

б) tg= 3  и   <  <  (самостоятельно).

                                ( * используя полученные результаты, найдите значение выражения sin4α – cos4α).

3. Устно доказать, что не могут одновременно выполняться равенства:

 sin=   и   cos= .

4*) Могут ли синус и косинус некоторого угла равняться соответственно:

  и  , где ?

5*) Существует ли такой угол α, для которого:  tg=   и  ctg= ?

                               Указание: представьте выражение  в виде квадрата разности.

3. Самостоятельная работа.
4. Домашнее задание: № 765, 767, 796, 919.

Приложение №2.

Самостоятельная работа.

I вариант.

Уровень А

1. Найдите значение cos, если

sin=   и   <  < .

2. Упростите выражение:

а)  (sin– 1)(sin+ 1);

б)  tgctg– cos2;

в)  – 1;

г)  .

Уровень Б

1. Вычислите значения тригонометрических функций угла , если  tg= 5 и   <  < .
2. Упростите выражение:

а)  tgctg– sin 2;

б)  (1+ tg2 )(cos2– 1);

в)  1 + ;

г)  – .

II вариант.

Уровень А

1. Найдите значение sin, если

cos=   и   <  < .

2. Упростите выражение:

а)  (1– cos)(1 + cos);

б)  sin 2– tgctg;

в)  – 1;

г)  .

Уровень Б

1. Вычислите значения тригонометрических функций угла , если  tg= 5 и   <  < .
2. Упростите выражение:

а)  cos2– tgctg;

б)  (1– sin 2 )(1+ ctg2);

в)  + 1;

г)  – .