Элективный курс.
план-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме

МОУ « Лямбирская средняя

общеобразовательная школа № 1»

Элективный курс по математике

«Проценты. Нужны ли они нам?»

Разработала

учитель математики

МОУ « Лямбирская СОШ № 1»

Биктякова Альфия Фатыховна

                                             Лямбирь, 2006 год      

Пояснительная записка

Реализация элективных курсов преследует своей целью подготовку учащихся к ситуациям выбора направления дальнейшего образования. Элективные курсы в школе являются пропедевтическими и выполняют задачи практико - ориентированной помощи в приобретении личностного опыта выбора собственного содержания образования.

Разработка данного курса обусловлена непродолжительным изучением темы «Проценты» на первом этапе основной школы, когда учащиеся в силу возрастных особенностей ещё не могут получить полноценные представления о процентах, об их роли в повседневной жизни. На последующих этапах обучения повторного обращения к этой теме не предусматривается. Во многих школьных учебниках можно встретить задачи на проценты, однако в них отсутствует компактное и четкое изложение соответствующей теории вопроса. Текстовые задачи включены в материалы итоговой аттестации за курс основной школы, в КИМы и ЕГЭ, в конкурсные экзамены. Однако практика показывает, что задачи на проценты вызывают затруднения у учащихся и очень многие окончившие школу не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни. Понимание процентов и умение производить расчёты в настоящее время необходимы каждому человеку: прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни.

Предлагаемый курс «Проценты. Нужны ли они нам?» демонстрирует учащимся применение математического аппарата к решению повседневных бытовых проблем каждого человека, вопросов рыночной экономики и задач технологи производства; ориентирует учащихся на обучение по естественно-научному и социально-экономическому профилю. Познавательный материал курса будет способствовать не только выработке умений и закреплению навыков процентных вычислений, но и формированию устойчивого интереса учащихся к процессу и содержанию деятельности, а также познавательной и социальной активности.

Цели и категории учащихся.  Курс предназначен для подготовки учащихся 9-11 класса с ориентацией на естественно-  математический профиль и подготовки учащихся к математическим олимпиадам. Содержание учебного материала программы соответствует целям элективного курса и обладает новизной для учащихся.

Актуальность курса  определяется тем, что учащиеся должны разбираться в решении тех или иных задача на проценты.

Общие принципы отбора содержания материала курса:

                -  системность;

                -   целостность;

                -   объективность;

                -   научность;

                -   доступность для учащихся;

                -   реалистичность с точки зрения возможности усвоения  основного содержания курса за 8   часов.

Полнота содержания- курс содержит все сведения, необходимые для достижения запланированных целей обучения.

Инвариантность содержания-  курс применим для разных групп школьников, что достигается обобщенностью включенных в неё знаний, их отбором в соответствии с задачами предпрофильного обучения.

Практическая направленность содержания- содержание курса обеспечивает приобретение знаний и умений, необходимых для решения задач на проценты.

Систематичность содержания  обеспечивается логикой  развёртывания учебного содержания.

Реалистичность программы выражается в том, что она может быть изучена за 8 часов в течение любого времени.

Место курса в системе школьного математического образования.

Данный курс предполагает компактное и чёткое изложение теории вопроса, решение типовых задач, самостоятельную работу. Логический анализ содержания темы «Проценты. Нужны ли они нам?» позволил выделить группы задач, которые и составили основу изучаемого курса. Каждой группе задач предшествует небольшая историческая и теоретическая справка. Кроме того, рассматриваются задачи с практическим содержанием, а именно такие задачи, которые связаны с применением процентных вычислений в повседневной жизни. Предлагаемые задачи различны по уровню сложности. В программе приводится примерное распределение учебного времени, включающее план занятий, основные формы организации учебных занятий, разнообразный дидактический материал. содержание материала курса показывает связь математики с другими областями знаний, иллюстрирует применение математики в повседневной жизни, знакомит учащихся с некоторыми историческими сведениями по данной теме. Все занятия направлены на расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач.

Блочное построение курса даёт возможность учащимся, пропустившим по каким-либо причинам часть курса, спокойно подключиться к работе над другим разделом.

Программа может быть использована в 8-9 классах с любой степенью подготовленности, способствует развитию познавательных интересов, экономической грамотности, мышления учащихся, предоставляет возможность подготовиться к сознательному выбору профиля обучения и дальнейшей специализации.

Цели курса:

- сформировать понимание необходимости знаний процентных вычислений для решения большого круга задач, показав широту применения процентных расчётов в реальной жизни;

- способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе, для общей социальной ориентации и решения практических проблем.

Задачи курса:

- сформировать умения производить процентные вычисления, необходимые для применения в практической деятельности;

- решать основные задачи на проценты, применять формулу сложных процентов;

- привить учащимся основы экономической грамотности;

- помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Предполагаемые результаты

изучения курса.

В результате изучения курса учащиеся должны:

- понимать содержательный смысл термина «процент» как специального способа выражения доли величины;

- уметь соотносить процент с соответствующей дробью (особенно в некоторых специальных случаях: 50% -1/2; 20%-1/5; 25%-1/4 и т.д.);

- знать широту применения процентных вычислений в жизни, применять формулу сложных процентов;

- производить прикидку и оценку результатов вычислений;

- при вычислениях сочетать устные и письменные приёмы, применять калькулятор, использовать приёмы, рационализирующие вычисления.

В силу большой практической значимости данный курс вызывает интерес, является средством обучения и средством развития интеллектуальных качеств личности учащихся. Для учащихся, которые пока не проявляют заметной склонности к математике, эти занятии могут стать толчком в развитии интереса к предмету и вызвать желание узнать больше.

Методы преподавания курса.

Методы преподавания определяются целями и задачами данного курса, направленного на формирование способностей учащихся.

Учащиеся овладевают математическими понятиями, способами математического исследования.

Важнейшим принципом методики изучения курса является постановка вопросов и заданий, позволяющих учителю и учащимся проверить  уровень усвоения основных дидактических единиц и степень сформированности умений, приобретённых в процессе изучения курса. Это различные виды тестовых заданий и задания творческого характера.

Тематическое планирование

элективного курса по математике

Методическое обеспечение

1. Никольский С.Н., Потапов М.К., Решетников Н.Н. Алгебра в 7 классе: методические материалы. - М.: Просвещение, 2002.
2. Баранов О.О. Задачи на проценты как проблемы словоупотребления // Математика в школе. – 2003. - №5. – С.50-59.
3. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. – М., 1997.
4. Башарин Г.П. Элементы финансовой математики. – М.: Математика (приложение к газете «Первое сентября»). - №27. -1995.
5. Водинчар М.И., Лайкова Г.А., Рябова Ю.К. Решение задач на смеси, растворы и сплавы методом уравнений // Математика в школе. – 2001. -;3.
6. Глейзер Г.И. История математики в школе. (4-6 кл.): пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981.
7. Дорофеев Г.В., Седова Е.А. Процентные вычисления. 10-11 классы: учебно-методическое пособие. – М.: Дрофа, 2003. -144 с.
8. Соломатин О.Д. Старинный способ решения задач на сплавы и смеси // Математика в школе. -1997. - №1. –С.12-13.

Содержание программы курса

Тема 1. Проценты. Основные задачи на проценты. (2 часа).

Сообщается история появления процентов; устраняются пробелы по решению основных задач на проценты: а) нахождение процента от числа; б) нахождение числа по его проценту; в) нахождение процента одного числа от другого. Актуализируются знания об арифметических и алгебраических приёмах решения задач.

Метод обучения: лекция, беседа, объяснение.

Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Занятие 1

Лекция «Проценты в прошлом и настоящем»

(историческая справка)

Опорные сведения: нахождение процента от величины; нахождение величины по его проценту; нахождение процента одной величины от другой.

Цели: сообщить историю появления процентов, привести примеры повседневного использования процентных вычислений в настоящее время; устранить пробелы в знаниях по решению основ ных задач на проценты: нахождение процента от величины, нахож дение величины по ее проценту, нахождение процента одной вели чины от другой.

Метод обучения: лекция, объяснение, устные упражнения, письменные упражнения.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Ход занятия

I. Лекция.

Проценты - одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, мы часто читаем или слышим, что, например, в выборах приняли участие 52,5 % избира телей, рейтинг победителя хит-парада равен 75 %, промышленное производство сократилось на 11,3 %, уровень инфляции составляет 8 % в год, банк начисляет 12 % годовых, молоко содержит 3,2 % жира, материал содержит 60 % хлопка и 40 % полиэстера и т. д.

Слово «процент» происходит от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части це лых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность уп рощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древно сти у вавилонян, которые пользовались шестидесятиричными дро бями. Уже в клинописных табличках вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определять сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое трой ное правило, т. е. пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов.

Денежные расчеты с процентами были особенно распростране ны в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, кото рые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый про цент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян процен ты перешли к другим народам.

В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять процен ты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т. е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таб лицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы.

Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 г. Симон Стевин - инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий, в том числе - особой записи десятичных дробей.

Долгое время под процентами понимались исключительно при быль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент - это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за еди ницу).

Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокра щенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи бу квы t в наклонную черту произошел современный символ для обо значения процента.

Существует и другая версия возникновения этого знака. Пред полагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечат ки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубли кована книга - руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, ты сячные доли, так называемые «промилле» (от латинского pro mille -«с тысячи»), обозначаемые, по аналогии со знаком %. Изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изуче ние математики и способствовало дальнейшему ее развитию.

Если мы говорим о предметах из некоторой заданной совокуп ности - деньгах, зарабатываемых в семье, материалах, продуктах питания, то процент, разумеется, 100 сотых частей самого себя. Поэтому обычно говорят, что она «принимается за 100 процентов».

Если речь идет о проценте от данного числа, то это число и принимается за 100 %. Например, 1 % от зарплаты - это сотая часть зарплаты; 100 % зарплаты - это сто сотых частей зарплаты. Т. е. вся зарплата. Подоходный налог с зарплаты берется в размере 13 %, т. е. 13 сотых от зарплаты. Надпись «60 %» хлопка на этикетке означает, что материал содержит 60 сотых хлопка, т. е. более чем на половину состоит из чистого хлопка. 3,2 % жира в молоке означает, что 3,2 сотых массы продукта составляет жир (или, другими словами, в ка ждых 100 граммах этого продукта содержится 3,2 грамма жира).

Как известно из практики, с помощью процентов часто показы вают изменение той или иной конкретной величины. Такая форма является наглядной числовой характеристикой изменения, характе ризующей значимость произошедшего изменения. Например, уро вень подростковой преступности повысился на 3 %, в этом ничего страшного нет - быть может, эта цифра отражает только естественные колебания уровня. Но если он повысился на 30 %, то это уже говорит о серьезности проблемы и необходимости изучения при чин такого явления и принятии соответствующих мер.

II. Устная работа.

Упражнения на закрепление понятия «процент». Предлагаются упражнения по переводу дроби в проценты, а про центы - в десятичные дроби.

1.        Представьте данные десятичные дроби в процентах:

0,5           0,24        0,867      0,032         1,3        0,0081     15

0,01         154         3,2        20,5        0,7        10

2.        Представьте проценты десятичными дробями:

2%         12,5%    2,67%    0,06%    32,8%

1000%    510%     0,5%      213%     0,1%

III. Повторение и закрепление изученного ранее.

Целесообразно напомнить основные сокращенные процентные отношения и записать в тетрадь.

100%=1;       12,5%=1/8;         5%=1/20

50%=1/2;       200%=2;            1%=1/100.

25%=1/4;       10%=1/10;

Различные способы обозначения:

IV. Систематизация знаний.

Основные понятия, связанные с процентами:

Три основных действия:

1.        Нахождение процентов данного числа.
Чтобы найти а% от в, надо в*0,01а.

П р и м е р. 30 % от 60 составляет: 60*0,3 = 18.

2.        Нахождение числа по его процентам.

Если известно, что а % числа х равно в, то х = в : 0,01 а

П р и м е р. 3 % числа х составляют 150.

х= 150:0,03;

 x = 5000.

3. Нахождение процентного отношения чисел.

Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100 %:

Пример. Сколько процентов составляет 150 от 600?

    .

V. Решение основных задач на проценты.

1. Основные типы  задач на проценты.

1) Одна величина больше (меньше) другой на p  %.

а)        Если а больше в на р %, то

а = в + 0,01 рв = в(1 + 0,01р).

б)        Если а меньше в на р %, то

а = в- 0,01 рв = в(1 - 0,01р).

Пример. На сколько процентов надо увеличить число 90, чтобы получить 120?

Решение:

120 = 90 + 90*0,01р,

120 = 90(1+0,01 р)

Ответ. .

Аналогично,

а)        если а возросло на р %, то новое значение равно а(1 + 0,01р).

Пример. Увеличить число 60 на 20 %:

60 + 60*0,2 = 72 или 60(1 + 0,2) = 72

б)        если а уменьшили на р %, то новое значение равно:

а( 1-0,01/?).

Пример. Число 72 уменьшили на 20 %:

72 –72*0,2 = 57,6 или 72(1 - 0,2) = 57,6

а(1 -(0,01р)2)  

Объединив а) и б), запишем задачу в общем виде: увеличили число а на р %, а затем полученное уменьшили на р %а(1 + 0,01p);   а(1 + 0,01p)(1 - 0,01p) = (*)

Замечание.   Результат   не   изменится,   если   увеличение (уменьшение) следует за уменьшением (увеличением).

2.Решить самостоятельно.

Задача 1.

Цену товара снизили на 30 %, затем новую цену повысили на 30 %. Как изменилась цена товара?

Решение.

Пусть первоначальная цена товара а, тогда:

а - 0,3а = 0,7а - цена товара после снижения,

0,7а + 0,7а*0,3 = 0,91a - новая цена.

1,00-0,91=0,09 или 9%.

Используя формулу (*), получим:

Ответ: цена снизилась на 9%.

Задача 2.

Цену товара повысили на 20%, затем новую цену снизили на 20%. Как изменится цена товара?

Решение.

Ответ: цена снизилась на 4%.

3. Творческое задание. 

Решить задачу в общем виде.

Увеличили число а на р %. На сколько процентов надо умень шить полученное число, чтобы получить а?

Решение.

VI. Итоги урока.

Домашнее задание. № 23, 24, 26, 29.

Занятие 2

Цели: ввести понятия «простой процентный рост», «слож ный процентный рост»; систематизировать знания учащихся, свя занные с понятием процента; решение основных задач на проценты.

Метод обучения: беседа, объяснение, устные упражнения, письменные упражнения.

Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Ход занятия

I.        Проверка домашнего задания.

Фронтально проверить выполнение домашнего задания. Зада ния, вызвавшие затруднения, решить у доски.

II.        Устная работа.

Упражнения № 4, 5, 6, 14.

III.        Объяснение нового материала.

Если при вычислении процентов на каждом следующем шаге исходят от величины, полученной на предыдущем шаге, то говорят о начислении сложных процентов (процентов на проценты). В этом случае применяется формула сложных процентов:

где a – первоначальное значение величины;

b – новое значение величины;

p – количество процентов;

n – количество промежутков времени.

Если изменение происходит на разное число процентов, то формула выглядит так

IV. Решение задач.

1.        Задача 41.

Зарплату рабочему повысили сначала на 10 %, а через год еще на 20 %. На сколько процентов повысилась зарплата по сравнению с первоначальной?

Решение.

Так как проценты находятся от величины, полученной после начисления процентов, то можно применить формулу сложных процентов.

Пусть зарплата рабочего была x, тогда

Ответ: на 32 %.

2.        Задача 47.

Выпуск продукции завода за 4 года увеличился в 16 раз. На сколько процентов в среднем увеличивался выпуск продукции за каждый год по сравнению с предыдущим годом?

Решение.

Пусть x- искомое число процентов, тогда

Из уравнения x=100%.

Ответ: на 100%

3. Задача 43.

Цена товара была повышена на 12 %. На сколько процентов на до снизить новую цену, чтобы получить первоначальную?

Решение.

а - первоначальная цена.

р - процентные снижения.

а + 0,12а = 1,12а - цена после повышения.

после снижения.

По условию ,

Ответ. 

Используя формулу (**), получим

4. Решить задачи №39, 40 самостоятельно, с комментарием у доски.

Домашнее задание. №45, 46, 48, 49.

Тема 2. ПРОЦЕНТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В ЖИЗНЕННЫХ СИТУАЦИЯХ (2 ч)

Цели: познакомить учащихся с понятиями «скидка», «рас продажа», «бюджет», «тарифы», «пеня»; сформировать умение применять знания процентов в жизненных ситуациях; закрепить умение решать основные задачи на проценты.

Методы обучения: беседа, устные и письменные упраж нения.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Занятие 3

Распродажа, тарифы, штрафы.

Цели: добиться усвоения учащимися таких понятий, как скидка, распродажа, тарифы, штрафы, бюджет; отработать навыки решения основных задач на проценты.

Ход занятия

I. Беседа.

Полезно подчеркнуть, что сюжеты задач взяты из реальной жизни - из газеты, объявлений, документов и т. д.

П. Закрепление. Решение задач.

1. Задача 56. (Распродажа.)

Зонт стоил 360 р. В ноябре цена зонта была снижена на 15 %, а в декабре еще на 10 %. Какой стала стоимость зонта в декабре?

Решение.

Стоимость зонта в ноябре составляла 85 % от 360 р., т. е. 360*0,85 = 306(р.). Второе снижение цены происходило по отноше нию к новой цене зонта; теперь следует искать 90 % от 306 р., т. е. 306*0,9 = 275,4 (р.).

Ответ: 275 р. 40 к,

Дополнительный вопрос: На сколько процентов по от ношению к первоначальной цене подешевел зонт?

Решение.

Найдем отношение последней цены к исходной и выразим его в процентах. Получим 76,5 %. Значит, зонт подешевел на 23,5 %.

Ответ: 23,5%.

2.        Задача. (Бюджет. Зарплата.)

При приеме на работу директор предприятия предлагает зар плату 4200 р. Какую сумму получит рабочий после удержания на лога на доходы физических лиц?

Решение.

1. (4200 - 400) • 0,13 = 494 р. - налог.
2. 4200 - 494 =3706 р.

Замечание. При начислении налога на доходы физических лиц нужно учитывать стандартный вычет 400 р., налог 13 % берет ся от оставшейся суммы.

Ответ: 3706р.

3.        Задача 57.

Заработок рабочего повысился на 20 %, а цены на продукты и другие товары снизились на 15 %. На сколько процентов рабочий теперь на свой заработок может купить больше продуктов и това ров, чем прежде?

Решение.

Примем для простоты вычислений прежний заработок рабочего за 10 р. и пусть он покупает только один какой-то продукт по 1 р. за килограмм, т. е. 10 кг. После повышения на 20 % заработок ра бочего стал 12 р., а цена продукта после снижения цены на 15 % -0,85 р. за 1 кг. Теперь рабочий может купить 12 : 0,85  14,1 (кг), т. е. на 4,1 : 10 = 0,41, т. е. на 41 % больше, чем прежде.

Ответ: на 41 % больше.

4.        Задача 58. (Тарифы.)

В газете сообщается, что с 10 июня согласно новым тарифам стоимость отправления почтовой открытки составит З р. 15 к. вме сто 2 р. 27 к. Соответствует ли рост цен на услуги почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14,5 %.

Решение.

Разность тарифов составляет 0,4 р., а ее отношение к старому тарифу равно 0,14545... Выразив это отношение в процентах, по лучим примерно 14,5 %.

О т в е т: да, соответствует.

Дополнительный вопрос. Сколько будет стоить отправ ка заказного письма, если эта услуга сейчас оценивается  в 5 р. 50 к?

Решение.

Цена услуги увеличивается на 14,5 %, т. е. станет 5,5*1,145 = = 6,3 (р.).

Ответ: 6р. 30 к.

5.        Задача 60. (Штрафы.)

Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в Сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4 % от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они про срочат оплату на неделю?

Решение.

Так как 4 % от 250 р. составляют 10 р., то за каждый просро ченный день сумма оплаты будет увеличиваться на 10 р. Если ро дители просрочат оплату на день, то им придется заплатить

250+ 10=260 (р.),

на неделю 250 + 10*7 = 320 (р.).

Ответ: 320 р.

Домашнее задание. № 59, 65. Составить задачи, используя жизненные ситуации, записать на отдельных листах.

Занятие4

Банковские операции (1 час)

Решение задач, связанных с банковскими расчетами: вычисле ние процентных ставок в банках; процентный прирост; определе ние начальных вкладов. Выполнение тренировочных упражнений.

Цели: добиться усвоения учащимися понятия «сложный про центный рост»; отработать навыки использования формулы при вычислении банковской ставки, суммы вклада, срока вклада.

Форма занятий: объяснение, практическая работа.

Метод обучения: выполнение тренировочных задач.

Формы  контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Ход занятия

I.        Проверка домашнего задания, конкурс составленных задач.

II.        Рассказ учителя.

Уже в далекой древности широко было распространено рос товщичество - выдача денег под проценты. Разность между той суммой, которую возвращали ростовщику, и той, которую перво начально взяли у него, называлась лихвой. Так, в Древнем Вавило не она составляла 20 % и более! Это означало, что ремесленник, взявший у ростовщика 1000 денежных единиц сроком на год, воз вращал ему по прошествии года не менее 1200 этих же единиц.

Известно, что в XIV—XV вв. в Западной Европе широко распро странились банки -- учреждения, которые давали деньги в долг князьям, купцам, ремесленникам, финансировали дальние путеше ствия, завоевательные походы и т. д. Конечно, банки давали деньги не бескорыстно: за пользование предоставленными деньгами они брали плату, как и ростовщики древности. Эта плата выражалась обычно в виде процентов к величине выданных в долг денег.

Тех, кто берет в долг деньги в банке, называют заемщиками, а ссуду, т. е. величину взятых у банка денег, называют кредитом. Основную часть тех денег, которые банки выдают заемщикам, со ставляют деньги вкладчиков, которые они вносят в банк на хране ние. Часть прибыли, которую получает банк, он передает вкладчи кам в виде платы за пользование их деньгами. Эта плата также обычно выражается в процентах к величине вклада. Таким образом, средства, помещенные на хранение в банк, через определенный период времени приносят некоторый доход, равный сумме начислен ных за этот период процентов.

Итак, с одной стороны, банки принимают вклады и платят по этим вкладам проценты вкладчикам, а с другой - дают кредиты за емщикам и получают от них проценты за пользование этими день гами. Разность между той суммой, которую получает банк от за емщиков за предоставленные кредиты, и той, которую он платит по вкладам, и составляет прибыль банка. Таким образом, банк являет ся финансовым посредником между вкладчиками и заемщиками.

Одним из самых распространенных способов привлечения в банк сбережений граждан, фирм и т. д. является открытие вкладчи ком сберегательного счета: вкладчик может вносить на свой счет дополнительные суммы денег, может снимать со счета определен ную сумму, может закрыть счет, полностью изъяв деньги, на нем хранящиеся. При этом вкладчик получает от банка плату в виде процентов за использование его денег для выдачи кредитов пред принимателям, фирмам, государству, другим банкам и т. д.

Рассмотрим схемы расчета банка с вкладчиками. В зависимости от способа начисления проценты делятся на простые и сложные.

Простые проценты.

Увеличение вклада S0 по схеме простых процентов характери зуется тем, что суммы процентов в течение всего срока хранения определяются исходя только из первоначальной суммы вклада S0 независимо от срока хранения и количества начисления процентов.

Пусть вкладчик открыл сберегательный счет и положил на него S0 рублей. Пусть банк обязуется выплачивать вкладчику в конце каждого года p % от первоначальной суммы S0. Тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов составляет S0*p/100 рублей и величина вклада станет равной S = S0(1+ р/100) рублей; р % называют годовой процентной ставкой.

Если по прошествии одного года вкладчик снимет со счета на численные проценты

S0 *p/100, а сумму S0 оставит, в банке вновь начислят  S0*p/100 рублей, а за два года начисленные проценты составят через 2S0*p/100 рублей, через  n лет на вкладе по формуле простого процента будет

Рассмотрим другой способ расчета банка с вкладчиком. Он со стоит в следующем: если вкладчик не снимает со счета сумму на численных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк будет начислять р % уже на новую,

увеличенную сумму. Это означает, что банк станет те перь начислять проценты не только на основной вклад, 50, но и на проценты, которые на него полагаются. Такой способ начисления «процентов на проценты» называют сложными процентами

III. Решение задач.

1. Задача 82.

Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8 % от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 200 000 р. Какая сумма бу дет на его счете через 5 лет, через 10 лет?

Решение.

Используя формулу:

Ответ. 280 000 р., 360 000 р.

2.Задача 81.

При какой процентной ставке вклад на сумму 500 р. возрастет за 6 месяцев до 650 р.

Решение.

Ответ. 5%.

3.Задача 79.

Каким должен быть начальный вклад, чтобы при ставке 4 % в месяц он увеличился за 8 месяцев до 33 000 р.

Решение.

Ответ. 25000 р.

4.Задача 84.

Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 р. на вклад, годовой доход по которому составляет 12 %, и решил в течение 6 лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на его счете через 6 лет?

Решение.

Воспользуемся формулой сложных процентов

 получим

Ответ. 3947 р. 65 к.

IV.        Самостоятельная работа.

Решить самостоятельно по вариантам со взаимопроверкой.

ВариантI - №72, 75;

Вариант II -№ 73, 76.

V.        Итог урока.

В конце урока учащиеся обмениваются своими решениями и проверяют задачи. Затем способы решения задач рассматриваются всеми учащимися и сверяются ответы.

Домашнее задание. № 74, 80, 84, 85.

Тема 3. Задачи на смеси, растворы, сплавы (2 часа)

Цели: Усвоение учащимися понятий концентрации вещества,  про центного раствора. Формирование умения работать с законом сохранения массы. Обобщение полученных знаний при решении за дач на проценты.

Форма занятий: комбинированные занятия.

Метод обучения: рассказ, объяснение, выполнение прак тических заданий.

Занятие 5

Цели: сформировать умение работать с законом сохранения массы; обеспечить усвоение учащимися понятий концентрации вещества, процентного раствора; обобщить полученные знания при решении задач на проценты.

Форма занятия: комбинированное занятие.

Методы обучения: рассказ, объяснение, практическая работа.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Ход занятия

I.        Проверка домашнего задания.

II.        Рассказ учителя.

Данный тип задач охватывает большой круг ситуаций - смеше ние товаров разной цены, жидкостей с различным содержанием соли, кислот различной концентрации, сплавление металлов с раз личным содержанием некоторого металла и пр. Связь различных задач между собою станет яснее, если рассматривать типичные си туации в общем виде. При решении задач данного типа использу ются следующие допущения:

1.        Всегда выполняется «Закон сохранения объема или массы»: если два раствора (сплава) соединяют в «новый» раствор (сплав), то выполняются равенства:

сохраняется объём;

закон сохранения массы.

1. Данный закон выполняется и для отдельных составляющих частей (компонентов) сплава (раствора).
2. При соединении растворов и сплавов не учитываются хими ческие взаимодействия их отдельных компонентов.

Задачи на смеси, растворы и сплавы называют еще задачами на процентное содержание или концентрацию. Введем основные по нятия. Говоря о смесях, растворах и сплавах, будем употреблять термин «смесь» независимо от ее вида (твердая, жидкая, газообразная, сыпучая и т. д.). Смесь состоит из «чистого вещества» и «при меси». Долей а чистого вещества в смеси называется отношение количества чистого вещества m в смеси к общему количеству М смеси при условии, что они измерены одной и той же единицей массы или объема: а = т/М. Отсюда получаем т = аМ, М = т/а. Понятие доли чистого вещества можно вводить следующей услов ной записью:

Доля чистого вещества в смеси равна количеству чистого веще ства в смеси, деленному на общее количество смеси. Заметим, что складывать и вычитать доли и процентные содержания нельзя.

Процентным содержанием чистого вещества в смеси с называ ют его долю, выраженную процентным отношением:

Считаю полезным предложить школьникам формулу, по кото рой рассчитывают концентрацию смесей (сплавов):

,

Где n – концентрация,

       - масса вещества в растворе (сплаве),

       - масса всего раствора (сплава).

III. Решение задач.

1.Задача 98.

Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содер жащего 8 % соли, чтобы получить 5 % раствор?

Решение.

Пусть х - количество воды, которое надо добавить. Новое ко личество раствора - (50 + х) г. Количество соли в исходном раство ре 50*0,08 г. Количество соли в новом растворе составляет 5 % от (50 +x)г, т.е. 0,05(50+x) г.

Так как количество соли от добавления воды не изменилось, то оно одинаково в исходном и новом растворах. Получаем уравнение. Иногда в химии это уравнение называют кратко «баланс по соли».

Ответ. 30 г.

2.Задача 99.

Сколько граммов 30 %-го раствора надо добавить к 80 г 12 %-го раствора этой же соли, чтобы получить 20 %-й раствор соли?

Решение.

Пусть надо добавить x  г 30 % раствора соли. Получится (80 + х) г 20 % раствора. В 80 г 12 % раствора содержится 80*0,12 г соли, 0,3x г соли - в х г 30 % раствора, 0,2(80 + х) г соли - в (80 + x) г 20 % рас твора.

Получаем уравнение:

- это и есть «баланс по соли».

0,3x+9,6=16+0,2x,

0,3x-0,2x=16-9,6,

0,1x=6,4,

x=64.

Ответ. 64 г.

3.Задача 100.

Если смешать 8 кг и 2 кг растворов серной кислоты разной концентрации, то получим 12 %-й раствор кислоты. При смешива нии двух одинаковых масс тех же растворов получим 15 %-й рас твор. Определите первоначальную концентрацию каждого раствора.

Решение.

Пусть концентрация  в первом растворе x%, а во втором растворе – y%. Это значит, что в 1 кг первого раствора содержится  кг кислоты и  кг воды, тогда в 8 кг первого раствора  кг кислоты и  кг воды.

Во втором растворе аналогично:  кг кислоты;  кг воды; в 2 кг -  кг кислоты и  кг воды.

После смешивания получим раствор общей массой 10 кг, в нём содержится  кг кислоты. По условию получаем раствор 12%-ой концентрации, значит, в 10 кг раствора будет  кг кислоты.

Получаем уравнение .

Преобразуя, получим  - первое уравнение системы.

Рассмотрим вторую ситуацию. Пусть возьмём по 1 кг каждого раствора, тогда будет  кг кислоты, а в 1 кг второго раствора содержится  кг кислоты. Так как смесь получится 15%-й концентрации, то в (1+1) кг смеси содержится  кг кислоты.

Получаем второе уравнение , после преобразований имеем

Решим систему уравнений  

Ответ: 10 %-й и 20 %-й растворы.

Домашнее задание: № 92, 94, 96.

Занятие 6.

Цель: углубить и систематизировать знания учащихся при решении задач на «смеси» и «сплавы».

Ход занятия

I.Решение задач.

1.Задача 101.

Найти процентное содержание олова в сплаве, полученном из двух кусков массой  и , если известно, что первый содержит , а второй - олова.

Решение.

Масса олова до сплавления , после сплавления

Так как они равны, то выполняется равенство

     или    

Получаем

Ответ. 

2.Задача 102.

Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, мас сой 300 г, содержит

20 % олова. Второй, массой 200 г, содержит 40 % олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, по лученный из этих кусков.

Ответ: 28%.

Учащиеся решают самостоятельно, один из учеников коммен тирует решение.

3.Задача 103.

Имеется два куска сплава олова и свинца, содержащие 60 % и 40 % олова. По сколько граммов от каждого куска надо взять, что бы получить 600 г сплава, содержащего 45 % олова?

Решение.

Пусть масса куска, взятого от первого сплава г, тогда масса куска от второго сплава будет , составим уравнение

Ответ: 150 г; 450г.

4.Задача 104. (Задача из разряда олимпиадных.)

Имеются два слитка золота с серебром. Процентное содержа ние золота в первом слитке в 2,5 раза больше, чем процентное со держание золота во втором слитке. Если сплавить оба слитка вместе, то получится слиток, в котором будет 40 % золота. Найдите, во сколько раз первый слиток тяжелее второго, если известно, что при   сплаве равных по весу частей первого и второго слитков получает ся сплав, в котором 35 % золота.

Решение.

Таблицу нужно заготовить заранее и заполнять по ходу решения. Задача ус ложняется тем, что вводятся четыре переменные, от которых легко освобождаемся при решении системы двух уравнений. Напоминаем учащимся формулу, по кото рой рассчитываем концентрацию смеси и сплава.

Пусть

x кг – масса 1-го слитка, тогда kx – масса 2-го слитка.

у% - процентное содержание золота в 1-ом слитке,

0,4 у% - процентное содержание золота во втором слитке,

xy – масса золота в 1-м слитке,

0,4хуk –масса золота во 2-м слитке.

(ху + 0,4xуk) – масса золота в первом сплаве,

(x+kx) – масса первого сплава.

По условию масса золота в первом сплаве равна 40%.

Составим первое уравнение системы:

Пусть

т кг - масса 1-го или 2-го слитков второго сплава,

2т - масса второго сплава,

my- масса золота в 1-м слитке,

0,4my - масса золота во 2-м слитке,

(ту + 0,4my) - масса золота во втором сплаве.

По условию концентрация золота  во втором сплаве равна 35 %.

Составим второе уравнение системы:

Составим и решим систему уравнений:

Итак, 1-й слиток в два раза тяжелее 2-го.

Ответ. В два раза.

Домашнее задание. № 107, 109, 114.

Тема 4. Решение задач по всему курсу. (2 часа)

Занятие7

Цели: углубить и систематизировать знания учащихся.

Метод обучения: беседа.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

I. Решение задач.

1.Задача 119 (производительность).

В бассейн проведена труба. Вследствие засорения ее приток воды уменьшился на

60 %. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, необходимое для заполнения бассейна?

Решение.

1. 100 % - 60 % = 40 % или 0,4 - такую часть составляет ос тавшийся приток воды;
2. 1 : 0,4 = 2,5 (раза) - во столько раз увеличится время, необ ходимое для наполнения бассейна, т. е. увеличится на 150 %.

Ответ: на 150%.

Самостоятельно с комментариями с места решить задачу № 116.

2.Задача 125 (содержание влаги).

Арбуз весил 20 кг и содержал 99 % воды, когда он немного усох, то стал содержать 98 % воды. Сколько теперь весит арбуз?

Решение.

Вес «сухого вещества» в арбузе составляет 100 - 99 = 1 (%) или 0,01, т. е.20*0,01= 0,2 (кг).

После «усыхания» арбуза вес «сухого вещества» составляет 100 - 98 = 2 (%) или

0,2 : 0,02 = 10 (кг).

Ответ: 10 кг.

Самостоятельно с комментариями с места решить задачу № 123.

3.Задача 126.

В референдуме приняли участие 60 % всех жителей одного из регионов города N, имеющих право голоса. Сколько человек при няли участие в референдуме, если в районе около 180 тыс. жите лей, а право голоса имеют 81 %?

Решение.

Найдем, сколько человек имеют право голоса

180*0,81 = 145,8 (тыс. чел.)

Из них 60 % приняли участие в референдуме, т. е.

145,8*0,6 = 87,48 (тыс. чел.).

Ответ: 87 480 человек.

Самостоятельно с комментариями с места решить задачу № 128.

II. Итоги занятия.

Домашнее задание. № 117, 120, 127.

Занятие 8

Проверочная работа(1 час)

Цель: выявление знаний учащихся и степени усвоения ими материала курса.

Ход занятия

I.        Организация учащихся на выполнение работы.

II.        Выполнение работы.

Вариант I-№30,69,75, 102, 121.

Вариант II-№31,71,7б, 103, 122.

1. Проверка работы. Анализ ошибок.
2. Итоги занятия.

Упражнения и задачи

1. Найти 1 %от:

а)        34000 р.;        д) 6 тыс. жителей;

б)        1 км;        е) 6 га,;

в)        0,3 л;        ж) 12р.;

г)        200 г;        з) 700 овец.

2 Найти целое, если 1 % от него составляет:

а)        0,2 л;        в) 10 р.;

б)        30 м3;        г) 38 чел.

3. Верно ли, что выплачена вся сумма, если:

а)        в первый раз выплачено 75 % от суммы, а во второй - 15 %;

б)        в первый раз выплачено 37 % от суммы, во второй - 48 %,
а в третий - 15 % от остатка.

4. Найти:

а)        200 % от 200 л;        г) 0,3 % от 0,3 кг;

б)        25 % от 10 км;        д) 50 % от 30 чел.;

в)        5 % от 15 л;        е) 0,1 % от 0,1 %.

5.        Что больше:

а)        15 % от 17 или 17 % от 15;

б)        1,2 % от 17 или 12 % от 170;

в)        115 % от 657 или 117 % от 715;

г)        72 % от 150 или 70 % от 152?

6.        Сколько будет, если:

а)        100 р. увеличить на 300 %;

б)        500 р. уменьшить на 5 %;

в)        70 % увеличить на 30 %;

г)        40 % уменьшить на 40 %.

7.        Найдите:

а)        50 % от 2000 р.;        и 200% от 50 р.;

б)        20 % от 750;        и 750% от 20;

в)        10% от 15000;        и 15000% от 10.

8.        Найдите:

а)        450 % от 50;                  в) 17,2% от 10;

б)        370% от 100;               г) 342% от 10.

9.        Вычислите, на сколько процентов:

а)        500 больше 400;        г) 6000 больше 3000;

б)        400 меньше 500;        д) 20 кг меньше 60 кг;

в)        3000 меньше 6000;        е) 60 кг больше 20 кг.

10.        На сколько процентов изменилась величина, если она:

а)        увеличилась в 2,4 раза;        г) уменьшалась в 8 раз;

б)        увеличилась в 3,5 раза;        д) уменьшилась в 4 раза;

в)        увеличилась в 10 раз;        е) уменьшилась в 10 раз.

11.        Какие из утверждений означают одно и то же:

1. величины относятся как 1 : 2;
2. величины относятся как 1 : 4?

а)        одна величина вдвое меньше другой;

б)        вторая величина на 300 % больше первой;

в)        первая величина на 300 % меньше второй;

г)        вторая величина на 100 % больше первой;

д)        первая величина на 75 % меньше второй;

е)        одна величина составляет от другой 50 %;

ж)        одна величина в четыре раза меньше другой;

з)        первая величина составляет от второй 25 %.

12. Сколько было, если:

а)        после увеличения на 10 % стало 100 р.;

б)        после уменьшения на 10 % стало 500 р.

13. Найти, в каком случае первоначальная цена больше:

а)        при скидке 5 % заплачено 100 р.;

б)        при скидке 10 % заплачено 90 р.;

в)        при скидке 20 % заплачено 80 р.

14. Сколько процентов составляют:

а)        0,5 кг от 6 кг;

б)        375 р. от 100 р.;

в)        250 р. от 200 р.;

г)        15 г от 1 кг;

д)        1048 человек от 3764 человек;

е)        3 мм от 4 м?

15. На сколько процентов изменилась цена, если она:

а)        была 100 р., а стала 250 р.;

б)        была 100 р., а стала 120 р.?

16. В магазине цены были сначала повышены на 10 %, а потом снижены на 10 %, Как изменились цены?

17. На сколько процентов новая цена меньше старой и на сколько процентов старая цена больше новой, если:

а)        цена снижена наполовину;

б)        цена повышена наполовину;

в)        цена увеличена в 4 раза;

г)        цена уменьшена в 3 раза?

1. Фирма платит рекламным агентам 5 % от стоимости заказа. На какую сумму надо найти заказ, чтобы заработать 1000 р.?
2. Предприниматель покупает кондитерские изделия по опто вой цене 96 рублей и продает их в розницу с надбавкой в 30 %. Ка кова розничная цена?

Решение. 1,3-96 =124,8 (р.)

Ответ: 124,8р.

20. Каждую сторону квадрата увеличили на 20 %. На сколько

процентов увеличилась площадь квадрата?

Ответ: на 44%

21. На сколько процентов увеличится объем куба, если его реб ро увеличить на 10 %.

Ответ: 33,1 %.

22.Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за прибылью он увеличил цену на билеты на 25 %. Количество посе тителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вер нулся к первоначальной цене билетов. На сколько процентов вла делец дискотеки снизил новую цену билетов, чтобы она стала пер воначальной?

Ответ: 20%.

23. Длину прямоугольника уменьшили на 20 %. На сколько процентов надо увеличить ширину  прямоугольника,  чтобы его площадь не изменилась?

Ответ: на25 %.

24. После уплаты всех налогов, которые в сумме составили 30 % от дохода, предприниматель оставил себе на законном основании 35 000 р. Какова была величина чистого дохода предпринимателя?

Ответ: 50000р.

25. В Волгограде месячный проездной билет на трамвай-трол лейбус для студентов стоит 200 р. Сколько процентов от стипендии составляет цена проездного билета, если стипендия - 600 р.?

Ответ: 

26.По расчетам предпринимателя предприятие принесет 15 % прибыли. Какую прибыль можно получить, затратив 200 000 р.?

Ответ: 30 000 р.

27. Товар стоимостью 15 р. уценен до 12 р. Определите процент уценки.

Ответ: на 10%.

28. Завод выпускает 300 изделий в месяц. В связи с модерниза цией производства завод стал выпускать на 20 % изделий больше. Насколько изделий в месяц увеличится выпуск продукции?

О т в е т: 60 изделий.

29. Произведение двух чисел равно 10, а их сумма составляет 70 % от произведения. Найдите эти числа.

Ответ: 2 и 5.

30. Турист должен был пройти 64 км. В первый день он прошел 25 % всего пути, во второй день 50 % оставшегося пути. Сколько километров ему осталось еще пройти?

Ответ: 24 км.

31. В одном из городов часть жителей умеет говорить только по-грузински, часть - только по-русски. По-грузински говорят 85 % всех жителей, а по-русски - 75 %. Сколько процентов всех жителей говорят на обоих языках?

Ответ: 60%.

32. Ученик прочитал в первый день 15 % книги, что составило 60 страниц, во второй день он прочитал 200 страниц. Сколько страниц ему осталось прочитать?

Ответ: 140 страниц.

33.Сравните числа а и в, если 3 % числа а равны 27, а 5 % чис ла в равны 45.

Ответ:a = b = 900.

34. В одном магазине на товар установили цену 200 р., а в Дру гом аналогичный товар стоит 180 р.

а)На сколько процентов в первом магазине цена на товар вы ше, чем во втором?

б)На сколько процентов во втором магазине цена ниже, чем в первом?

Ответ: а) 11,1%; б) на 10%.

35. Определите, какую массу картофеля (сырья) нужно взять для получения 120 кг полуфабриката, если потери при холодной обработке составляют 20 % массы сырья.

Ответ: 150 кг.

36. В магазине цену на товар снизили с 400 р. до 360 р. На сколько процентов снижена цена?

Ответ: на 10%.

1. В двух бочках было воды поровну. Количество воды в пер вой бочке сначала

уменьшили на 10 %, а затем увеличили на 10 %. Количество воды во второй бочке сначала увеличили на 10 %, а затем уменьшили на 10 %. В какой бочке стало больше воды?

Ответ: воды в бочках осталось поровну.

38. Первоначально цена на аналогичный товар в двух магазинах была одинакова. В первом магазине цену сначала снизили на 20 %, а потом еще на 20 %, а во втором магазине ее сразу снизили на 40 %. Одинаковы ли стали цены в магазинах?

Ответ: в первом магазине цена стала выше, чем во втором.

39. Цена на бензин в первом квартале увеличилась на 20 %, а во втором - на 30 %. На сколько процентов увеличилась цена на бен зин за два квартала?

Ответ: на56%.

40. За 3 года население города увеличилось с 2 000 000 до 2 315 250 человек. Найдите годовой прирост населения в процентах.

Ответ: 5 %.

41. Зарплату рабочему повысили на 10 %, а через год еще на 20 %. На сколько процентов повысилась зарплата по сравнению с перво начальной?

Ответ: на 32 %.

42. Производительность труда на заводе снизилась на 20 %. На сколько процентов надо ее теперь повысить, чтобы достигнуть первоначальной?

Ответ: на25 %.

43. Цена товара была повышена на 12 %. На сколько процентов надо снизить новую цену, чтобы получить первоначальную?

Ответ: 

44. Определите первоначальную стоимость продукта, если по сле подорожания на

120 %, 200 % и 100 % его конечная стоимость составила 264 р.

Ответ: 20 р.

45. После реконструкции завод увеличил выпуск продукции на 30 %. Спустя некоторое время выпуск продукции увеличился на 10 %, а после замены оборудование еще на 15 %. На сколько про центов увеличился первоначальный выпуск продукции?

Ответ: на 61,45%.

46. Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10 % за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?

Ответ: на 33,1 %.

47. Выпуск продукции завода за 4 года увеличился в 16 раз. На сколько процентов в среднем увеличился выпуск продукции за ка ждый год по сравнению с предыдущим годом?

Ответ: 100%.

48. Саша за весну похудел на 20 %, за лето поправился на 30 %, за осень похудел на 20 %, за зиму поправился на 10 %. Как изме нился его вес?

Ответ: похудел на 8,48 %.

49. Влажность воздуха к полудню по сравнению с утренней снизилась на 12 %, а затем повысилась на 5 % по сравнению с по луднем. Сколько процентов от утренней  влажности составляет влажность воздуха к вечеру и на сколько процентов она снизилась?

Ответ: снизилась на 16,4 %, составляет 83,6 %.

50. Зарплата, которую принес домой папа составляет 5650 р. Какая сумма была ему начислена?

Ответ: 6937,50р.

51. В ходе утверждения городского бюджета были сокращены на 20 % планируемые ассигнования на социальные нужды. Какую сумму предполагалось выделить на социальные нужды первона чально, если в окончательном варианте бюджета эта статья расхо дов составила 2,5 млн р.?

Ответ: 3,125 млн р.

52. Цена входного билета на стадион была 18 р. После сниже ния входной платы число зрителей увеличилось на 50 %, а выручка выросла на 25 %. Сколько стал стоить билет после снижения?

Ответ: 15 р.

53. В этом году тарифы на услуги лодочной станции оказались на 20 % ниже, чем в прошлом году. Можно ли утверждать, что в прошлом году тарифы были на 20 % выше, чем в нынешнем году?

Ответ: нет.

54. Стоимость проезда в городском автобусе составляла 5 р. В связи с инфляцией она возросла на 200 %. Во сколько раз повыси лась стоимость проезда в автобусе?

Ответ: в 3 раза.

55. За несвоевременное выполнение договорных обязательств сотрудник фирмы лишается 25 % месячного оклада и, кроме того, за каждый просроченный месяц к штрафу прибавляется

5 % месяч ного оклада. Оклад сотрудника 10 тыс. р. В каком размере он дол жен заплатить штраф при нарушении сроков на 5 месяцев?

Ответ: 5 тыс. р.

56. Зонт стоил 360 р. В ноябре цена зонта была снижена на 15 %, а в декабре еще на 10 %. Какой стала стоимость зонта в декабре?

Ответ: 274 р. 40 к.

57. Заработок рабочего повысился на 20 %, а цены на продукты и другие товары снизились на 15 %. На сколько процентов рабочий теперь на свой заработок может купить больше продуктов и това ров, чем прежде?

Ответ: на 41 % больше.

58. В газете сообщается, что с 10 июня согласно новым тари фам стоимость отправления почтовой открытки составит 3 р. 15 к. вместо 2 р. 27 к. Соответствует ли рост цен на услуги почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14,5 %.

Ответ: да, соответствует.

59. Стоимость проезда в городском автобусе составляла 1 р. 60 к. В связи с инфляцией она возросла на 150 %. Во сколько раз возрос ла стоимость проезда в автобусе? Можно ли ответить на данный вопрос, не зная стоимости проезда?

Ответ: в 2,5 раза.

60. Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачива ют в Сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна произво диться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просро ченный день начисляется пеня в размере 4 % от суммы оплаты за нятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?

Ответ: 320 р.

61. Во время распродажи масляные краски для рисования стои мостью 213 р. за коробку продавали на 19 % дешевле. Сколько примерно денег сэкономит художественная студия, если она купит партию в 150 коробок?

Ответ: около 6000 р.

62. Комиссионный магазин продал сданную на продажу вещь со скидкой 12 % от первоначально назначенной цены и получил при этом  10 % прибыли. Сколько процентов прибыли первона чально предполагал получить магазин?

Ответ: 26%.

63. Два магазина торгуют одним и тем же товаром. В первом из них цены на 10 % ниже, но и количество проданных изделий в день на 10 % больше. В каком из этих магазинов выручка за день больше?

Ответ: во втором.

64. На весенней распродаже в одном магазине шарф стоимо стью 350 р. уценили на 40 %, а через неделю еще на 5 %. В другом магазине шарф такой же стоимости уценили сразу на 45 %. В каком магазине выгоднее купить шарф?

Ответ: во втором.

65. На сезонной распродаже в марте месяце зимние сапоги можно купить за 1875 р., скидка на них составила 25 % от первона чальной стоимости. Через месяц сапоги подешевели еще на

20 %. Сколько денег сэкономит человек от первоначальной стоимости сапог, если купит их в апреле?

Ответ: 1000р.

66. В Волгоградском автосалоне ВАЗ 21099 в 2002 г. Стоил 180 000 р. В 2003 году спрос на этот автомобиль упал, и на него снизили цену на 30 %, а в 2004 г. эта марка опять пользуется успехом и новую цену подняли на 50 %. Сколько стоил автомобиль в 2004 году? На сколько процентов изменилась цена по сравнению с первоначальной?

Ответ: 189 000 р., увеличилась на 5 %.

67. Пеня за несвоевременную квартирную плату в городе N на числяется в размере 0,1 % от неуплаченной суммы за каждый день просрочки. На сколько дней была задержана квартирная плата, ес ли на сумму 200 р. была начислена пеня: а) 10 р.; б) 4,4 р.; в) 6 р.; г) 1,8 р.?

Ответ: а) 50 дней; б) 22 дня; в) 30 дней; г) 9 дней.

68. За несвоевременное выполнение обязательств по кредиту заемщик должен заплатить штраф за первый месяц просрочки 7 % от суммы кредита, за каждый следующий месяц просрочки 1000 р. Какой процент составит пеня от суммы кредита 32 000 р.? Какой штраф заплатит заемщик при нарушении сроков оплаты за 3 месяца?

Ответ: 4200р.

69. Тарифы на проезд в наземном транспорте в г. N возросли с 2 до 10 р., соответственно с 2,5 до 15 р. - в городском метрополи тене. Какие тарифы возросли больше?

Ответ: 5000 р.

70. Занятия ребенка в танцевальном кружке родители оплачи вают в Сбербанке, внося ежемесячно 350 р. Оплата должна произ водиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый про сроченный день начисляется пеня в размере 5 % от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, ес ли они просрочат оплату на две недели?

Ответ: 595 р.

71. Арендатор отдела в магазине забыл вовремя оплатить арен ду за место. Определите размер пени за каждый просроченный день, если за 20 дней просрочки сумма платежа увеличилась с 10 до 14 тыс. р.

Ответ: 2%.

72. Какой должен быть первоначальный капитал, чтобы при начислении 5 % в месяц получить через полгода 10 тыс. р.?

Ответ: 7463 р.

73. Какой должна быть процентная ставка в банке, чтобы каж дые три года капитал увеличивался в четыре раза?

Ответ: 59%.

74. Банк обещает вкладчикам удвоить их сбережения за пять лет, если они воспользуются вкладом «накопление» с годовой процентной ставкой 16 %. Проверьте, выполнит ли банк свое обяза тельство.

О т в е т: да.

75. В прошлом году Антон для оплаты своего обучения вос пользовался кредитом Сбербанка, взяв сумму 40 000 р. с обязатель ством возвратить кредит (с учетом 20 % годовых) через 3 года. В этом году снижены процентные ставки для кредита на оплату обу чения в образовательных учреждениях с 20 % до 19 % годовых. Поэтому у Бориса, последовавшего примеру брата, долг окажется меньше. На сколько?

Ответ: на 1700 р.

76. Банк «Диалог-Оптима» осуществляет денежные переводы. Минимальная сумма перевода 50 р., максимальная - 300 р. С сум мы перевода банк берег 1,5 % за оказание своих услуг. На сколько в процентном отношении возьмут больше с человека, сделавшего пере вод на максимальную сумму, чем с того, кто сделал перевод на 50 р.?

Ответ: на 500%.

77. За каждый из девяти первых месяцев года цены вырастали на 25 %, а за каждые из трех следующих месяцев на x %. Найдите х, если в целом за год цены выросли в восемь раз.

Ответ: 2,4%.

78. Банк «Винни-Пух и Пятачок» начисляет своим вкладчикам по 10 % ежемесячно. Иа сделал вклад в этот банк в размере 1,00 $. Сколько денег он может снять со своего счета через два месяца?

Ответ: 1,21 $.

79. Каким должен быть начальный вклад, чтобы при ставке 4 % в месяц он увеличился за 8 месяцев до 33 000?

Ответ: 25 000 р.

80. Деньги, вложенные в банк, приносят ежегодно 20 % дохода. За сколько лет вложенная сумма удвоится?

О т в е т: за 5 лет.

81. При какой процентной ставке вклад на сумму 500 р. возрас тет за 6 месяцев до 650 р.?

О т в е т: 5 %.

82. Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8 % от внесенной суммы. Клиент сделал вклад в размере 200 000 р. Какая сумма бу дет на его счете через 5 лет, через 10 лет?

О т в е т: 280 000 р., 360 000 р.

83. Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 р. на вклад, годо вой доход по которому составляет 12 %, и решил в течение шести лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на его счете через год, через два, через 6 лет?

Ответ: 3947 р. 65 к.

84. Клиент имел в банке счет, по которому начислялось 6 % го довых. После того как банк предложил новые виды вкладов, он снял с этого счета все деньги и 2000 р. положил на вклад, по кото рому начислялось 8 % годовых, а остальные - на вклад с 9 % годо вых. В результате его годовой доход оказался на 130 р. больше, чем по прежнему вкладу. Сколько всего денег он внес на новые вклады?

Ответ: 5000р.

85. Некто не доверяет банкам и хранит сбережения дома. Круп ная премия пролежала дома до лета. За это время цены на товары выросли в среднем на 50 %. На сколько процентов уменьшилась покупательная способность отложенных денег?

Ответ: на

86. Компания  X выплачивает доход по своим акциям ежемесяч но из расчета 140 % годовых. Компания У выплачивает доход по акциям 1 раз в полгода из того же расчета. В акции какой компании выгоднее вложить деньги на 1 год?

Ответ: в акции компании У.

87. Инвестиционный фонд вложил деньги в два предприятия, приносящих годовой доход в 12 % и 5 %, в первое он внес на 300 000 р. больше, чем во второе, и получил в нем за год на 6000 р. больше. Сколько рублей внес инвестиционный фонд в каждое из этих предприятий?

Ответ: 1300 тыс. р. и 1000 тыс. р.

88. Банк предлагает вклад «студенческий». По этому вкладу сумма, имеющаяся на 1 января, ежегодно увеличивается на одно и то же число процентов. Вкладчик вложил 1 января 1000 р. и в течение 2 лет не производил со своим вкладом никаких операций. В результате вложенная им сумма увеличилась до 1210 р. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма денег, положенная на этот вклад?

Ответ: 10%.

89. На деньги, размещенные в банках, за год начисляется опре деленный процент, свой для каждого банка. Если 1/5 некоторой суммы положить в первый банк, то через год сумма вкладов пре высит исходную сумму на 106 %. Если же 1/4 суммы положить в первый банк, а остальные деньги — во второй банк, то через год сумма вкладов будет такой же, как и при размещении 1/2 исходной суммы во втором банке, а остальных денег - в третьем банке. И, наконец, при размещении всей суммы во втором банке через год вклад станет на 5 % больше, чем сумма вкладов в первом, втором и третьем банках, если разместить в них деньги в равных долях. Най дите процент, начисляемый на вклады во втором банке.

Ответ: 110%.

90. Сколько граммов воды можно выпарить из 80 г 6 %-го рас твора соли, чтобы получить раствор, содержащий 10 % соли?

Ответ: 32 г.

91. Имеется два кислотных раствора: один 20 %, другой 30 %. Взяли 0,5 л первого и 1,5 л второго раствора и образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе?

Ответ: 27,5%.

92. Смешали 300 г 50 %-го и 100 г 30 %-го раствора кислоты. Определите процентное содержание кислоты в полученной смеси.

Ответ: 45%.

93. Сколько чистой воды надо добавить к 300 г морской воды, содержащей 4 % соли, чтобы получить воду, содержащую 3 % соли?

Ответ: 100г.

94. Имеется два сосуда, содержащие 4 кг и 6 кг раствора кисло ты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 35 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то получим раствор, содержащий 36 % кислоты.
Сколько килограммов кислоты содержится в каждом растворе?

Ответ: 1,64 кг и 1,86 кг.

95. Имеются два раствора серной кислоты в воде, первый 40 %-й, второй - 60 %-й. Эти растворы смешали, после чего добавили 5 кг чистой воды и получили 20 %-й раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 80 %-го раствора, то получили бы 70 %-й
раствор. Определите количество 40 %-го и 60 %-го раствора.

Ответ: 1 кг; 2 кг.

96. Имеются две смеси апельсинового и ананасового соков. Первая смесь содержит 40 % апельсинового сока, а вторая - 80 %. Сливаются р л первой смеси и q л второй, в результате получается 20 л смеси, содержащей 70 % апельсинового сока. Определите p и q.

Ответ: р = 5л, q= 15л.

97. Имеется раствор 1 и раствор 2 некоторой кислоты в воде. При смешивании 5 л раствора 1,6л раствора 2 и 3 л чистой воды получается раствор с концентрацией кислоты, равной 30 %. При смешивании 10 л раствора 1,3л раствора 2 и 2 л чистой кислоты получается раствор с концентрацией кислоты равной . Опре делите - и - концентрации раствора 1 и раствора 2 соответственно.

О т в е т:  = 12 %,  =60 %.

98. Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, со держащего 8 % соли, чтобы получить 5 % раствор?

Ответ: 30 г.

99. Сколько граммов 30 %-го раствора надо добавить к 80 г 12 %-го раствора этой же соли, чтобы получить 20 %-й раствор соли?

Ответ: 64 г.

100. Если смешать 8 кг и 2 кг растворов серной кислоты разной концентрации, то получим 12 %-й раствор кислоты. При смешива нии двух одинаковых масс тех же растворов получим 15 %-й рас твор. Определите первоначальную концентрацию каждого раствора.

Ответ: 10 % и 20 % раствор.

101. Найти процентное содержание олова в сплаве, полученном из двух кусков массой и, если известно, что первый содержит %, а второй -р2 % олова.

Ответ: 

102. Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300 г, содержит 20 % олова. Второй, массой 200 г, содержит 40 % олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, по лученный из этих кусков?

Ответ: 28%.

103. Имеется два куска сплава олова и свинца, содержащие 60 % и 40 % олова. По сколько граммов от каждого куска надо взять, что бы получить 600 г сплава, содержащего 45 % олова?

Ответ: 150 г; 450 г.

104. Имеются два слитка золота с серебром. Процентное со держание золота в первом слитке в 2,5 раза больше, чем процент ное содержание золота во втором слитке. Если сплавить оба слитка вместе, то получится слиток, в котором будет 40 % золота. Найди те, во сколько раз первый слиток тяжелее второго, если известно, что при сплаве равных по весу частей первого и второго слитков получается сплав, в котором 35 % золота.

О т в е т: в два раза.

105. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45 % меди. Сколько килограммов меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60 % меди?

Ответ: 13,5 кг.

106. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащей 45 % меди. Сколько килограммов олова надо приба вить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав со держал 40 % меди?

Ответ: 1,5 кг.

107. Два слитка, один из которых содержит 35 % серебра, а другой 65 %, сплавляют и получают слиток массой 30 г, содержа щий 47 % серебра. Какова масса каждого из этих слитков?

Ответ: 12 г; 18г.

108. Даны два сплава. Первый весит 4 кг и содержит 70 % се ребра. Второй весит 3 кг и содержит 90 % серебра. Сколько кг вто рого сплава надо сплавить с первым сплавом, чтобы получить

г%-й сплав серебра. При каких r задача имеет решение?

Ответ:

109. Имеются два сплава из цинка, меди и олова. Первый со держит 25 % цинка, второй - 50 % меди. Процентное содержание олова в первом сплаве в два раза больше, чем во втором. Сплавив 200 кг первого и 300 кг второго, получили сплав, где 28 % олова. Сколько же меди в этом новом сплаве?

Ответ: 220 кг.

110. Имеется два слитка, представляющие собой сплавы цинка с медью. Масса первого слитка 2 кг, масса второго - 3 кг. Эти два слитка сплавили вместе с 5 кг сплава цинка с медью, в котором цинка было 45 %, и получили сплав цинка с медью, в котором цин ка стало 50 %. Если бы процентное содержание цинка в первом слитке было бы равно процентному содержанию цинка во втором, а процентное содержание цинка во втором такое же, как в первом, то, сплавив эти два слитка с 5 кг сплава, в котором содержится 60 % цинка, мы бы получили сплав, в котором цинка содержится 55 %. Найдите процентное содержание цинка в первом и во втором сплавах.

Ответ: 40%, 60%.

111. Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 40 % олова, а второй - 26 % меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, полу чим новый сплав, в котором оказалось 30 % цинка. Определите, сколько килограммов олова в получившемся новом сплаве.

Ответ: 170 кг.

112. В 500 кг руды содержится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5 % железа, содержание железа в оставшейся руде повысилось на 20 %. Определите, какое количество железа осталось еще в руде?

Ответ: 187,5 кг.

113. Имеется два сплава с разным содержанием меди. Число, выражающее в процентах содержание меди в первом сплаве, на 40 меньше числа, выражающего в процентах содержание меди во вто ром сплаве. Оба эти сплава сплавили вместе, после чего содержа ние меди составило 36 %. Определите процентное содержание ме ди в первом и во втором сплавах, если известно, что в первом спла ве меди было 6 кг, а во втором - 12 кг.

Ответ: 20% и 60%.

114. Торговец продает орехи двух сортов: одни по 90 центов, другие по 60 центов за килограмм. Он хочет получить 50 кг смеси по 72 цента за килограмм. Сколько для этого потребуется орехов каждого сорта?

О т в е т: 20 кг и 30 кг.

115. Объем строительных работ увеличивается на 80 %. На сколько процентов нужно увеличить число рабочих, если произво дительность труда будет увеличена на 20 %?

Ответ: на 60%.

116. В связи с введением рационализаторского предложения время, необходимое для изготовления некоторой детали машины, уменьшилось на 20 %. На сколько процентов увеличилась произво дительность труда?

Ответ: на 25 %.

117. Рабочий в феврале увеличил производительность труда по сравнению с январем на 5 %, а в марте увеличил ее снова по срав нению с предыдущим месяцем на 10 %. Сколько деталей изготовил рабочий в марте, если в январе изготовил 200 деталей?

Ответ: 231 деталь.

118. Число коров на одной молочной ферме на 12,5 % меньше, чем на другой, но средний удой каждой коровы на 8 % выше. На какой ферме получают молока меньше и на сколько процентов?

Ответ: на 5,5 %.

119. В бассейн проведена труба. Вследствие ее засорения при ток воды уменьшился на 60 %. На сколько процентов вследствие этого увеличится время, необходимое для заполнения бассейна?

Ответ: на 150%.

120. Только что добытый каменный уголь содержит 2 % воды. После некоторого времени он впитывает в себя еще некоторое ко личество воды и содержит уже 15 % ее. На сколько увеличится при этом вес 27,75 т только что добытого каменного угля?

Ответ: 3,9т.

121. Перерабатывая цветочный нектар в мед, пчелы освобож дают его от значительной части воды. Нектар содержит 70 % воды, а мед - 16 %. Сколько килограммов нектара надо переработать для получения 1 кг меда?

Ответ: 2,8 кг.

122. На овощную базу привезли 10 тонн крыжовника, влаж ность которого 99 %. За время хранения на базе влажность умень шилась на 1 %. Сколько тонн крыжовника теперь хранится на базе?

Ответ: 5т.

123. В свежих грибах было 90 % воды. Когда их подсушили, то они стали легче на 15 кг при влажности 60 %. Сколько было све жих грибов?

Ответ: 90 кг.

124. Свежие грибы содержали по массе 90 % воды, а сухие 12 %. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Ответ: 2,5 кг.

125. Арбуз весил 20 кг и содержал 99 % воды, когда он немного усох, то стал содержать 98 % воды. Сколько теперь весит арбуз?

Ответ: 10 кг.

126. В референдуме приняли участие 60 % всех жителей одного из районов города N. имеющих право голоса. Сколько человек при няли участие в референдуме, если в районе около 180 000 жителей, а право голоса имеют 81 %?

Ответ: 87 480 человек.

127. На конкурсе присутствовало 90 % членов жюри. Из них 12 человек отдали свои голоса за присуждение первого места. Сколь ко всего человек в жюри, если за этого конкурсанта проголосовало 66 % членов жюри?

О т в е т: 20 человек.

128. 14 марта 2004 г. в Волгограде проводились выборы в Го родской совет. На избирательный участок из 2844 человек явилось 1592. Выборы считаются состоявшимися, если явка избирателей составляет не менее  от общего числа и число человек, проголо совавших против всех кандидатов, менее 30 %. Состоялись ли на данном участке выборы, если за кандидата А проголосовали 358 человек, за кандидата Б - 144, «против всех» - 612 человек?

Ответ: нет.

129. Рабочий коллектив одной из школ состоит из 54 человек. На педагогическом совете рассматривался вопрос о выборе экзаме нов для 5-6 классов. Педагогический коллектив составляет 80 % от числа работников школы, на педсовете присутствовало 27 человек. Поступило предложение 5-6 классам сдавать следующие экзамены: математику в форме контрольной работы и русский язык - диктант. Все проголосовали единогласно. Можно ли считать решение при нятым? (Решение принято, если за него проголосовало больше 50 % педагогов школы.)

Ответ: да.

130. Собрание гаражного кооператива считается правомерным, если в нем приняли участие 2/3 всех его членов, и вопрос считается решенным, если за него проголосовали не менее 50 % присутство вавших. В гаражном кооперативе 240 человек. На собрание пришли 168, а за положительное решение обсуждаемого вопроса проголо совали 86 человек. Какое принято решение?

Ответ: положительное.

131. Некто купил зимой акции по 50 р. за штуку. Летом стои мость акций поднялась до 90 р., а цены на товар за это же время увеличились в среднем на 20 %. На сколько процентов увеличилась покупательная способность денег, вложенных в акции?

Ответ: на 50 %.

132. Для нормальной работы пансионата требуется 670 элек тролампочек.  Каждый   месяц требуют  замены   10  %  лампочек. Сколько лампочек надо купить, чтобы обеспечить работу пансио ната в течение четырех месяцев?

Ответ: 268 лампочек.

133. Один насос может выкачать всю воду из котлована за 16 ч, другой за 75 % этого времени. Первые 3 часа насосы работали вме сте, оставшуюся воду выкачал только первый насос. Сколько вре мени работал только первый насос?

Ответ: 9 ч.

134. Две машинистки, работая вместе, печатают в час 44 стра ницы текста. Первые 25 % двухсотстраничной рукописи печатала первая машинистка, затем к ней присоединилась вторая, а послед ние 20 % текста печатала только вторая  машинистка. Сколько страниц в час печатает каждая машинистка, если на перепечатыва ние всей рукописи ушло 6 ч 40 мин?

Ответ: первая машинистка печатала в час 20 с., вторая - 24 с.

Приложения

Приложение 1

Терминологический словарь

Бюджет - перечень доходов и расходов, финансовый план, со поставляющий ожидаемые доходы и расходы.

Дефицит (от лат. dificit - недостаток) - превышение расходов над доходами. Убыток может относиться как к денежным ресур сам, так и к материальным ценностям.

Инфляция - падение ценности или покупательной способности денег.

Налоги - обязательные платежи, взимаемые государством с граждан. Налоги - один из источников дохода государственного бюджета.

Пеня (от лат. роепа - наказание) - вид неустойки. Исчисляется в процентах от суммы неисполненного или ненадлежаще испол ненного обязательства и уплачивается за каждый день просрочки.

Прибыль - положительная разность между выручкой и сово купными издержками предприятия.

Профицит - превышение доходов над расходами.

Спрос - желание и возможности потребителей купить конкрет ный товар (услугу) в конкретное время и в конкретном месте.

Тарифы (франц. tariff от арабск.) - система ставок, по которым взимается плата за услуги. Наиболее распространены тарифы транспортные - за перевозку грузов, пассажиров, багажа; связи - за пользование средствами связи; тарифы коммунальные - за пользо вание электроэнергией, газом, водой и т. д., тарифы таможенные -за перевозку груза через границу.

Цена - количество денег, за которое продается и покупается единица товара или услуги.

Штраф (немецк. strafe - наказание) - денежное взыскание, ме ра материального воздействия на лиц, виновных в нарушении оп ределенных правил, налагается в случае и в порядке, установлен ном законом в точно определенной денежной сумме.

Приложение 2

Задачи с историческими сюжетами

1. Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сес терциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернешь мне в уста новленный срок 50 сестерциев и еще 20 % от этой суммы». Сколь ко сестерциев должен отдать небогатый  римлянин  заимодавцу,
возвращая долг?

Ответ: 60 сестерциев.

2. Некий человек взял в долг у ростовщика 100 рублей. Между ними было заключено соглашение о том, что должник обязан вер нуть деньги ровно через год, доплатив еще 80 % суммы долга, но через 6 месяцев должник решил вернуть долг. Сколько рублей он вернет ростовщику?

Ответ: 140 р.

3.        Завещание Бенджамена Франклина: «Препоручаю 1000 фун тов стерлингов бостонским жителям. Если они примут эту тысячу фунтов, то должны поручить ее отборнейшим гражданам, а они будут давать их с процентами по 5 на 100 в год в заем молодым ремесленникам. Сумма эта через 100 лет возвысится до 131 000 фунтов. Я желаю, чтобы тогда 100 000 фунтов употреблены были на постройку общественных зданий, а остальные 31 000 фунтов отданы были в проценты на 100 лет. По истечении второго столе тия сумма возрастет до 4 061 000 фунтов, из коих 1 061 000 фунтов оставляю в распоряжении бостонских жителей, а 3 000 000 -- прав лению Массачусетской общины. Далее не осмеливаюсь простирать своих видов». Мы видим, что завещав всего 1000 фунтов, Б. Франк лин распоряжается миллионами. Проверьте, не ошибся ли он в своих расчетах.

Ответ: к концу второго столетия эта сумма будет равна 4 142 422,7 фунтов. Б. Франклин действительно мог распоряжаться миллионами.

Приложение 3

Задачи с литературными сюжетами

Различные истории, связанные с процентными вычислениями, встречаются в ряде художественных произведений, в исторических документах и преданиях.

1. В романе М. Е. Салтыкова-Щедрина «Господа Головлевы» есть такой эпизод: «Порфирий Владимирович сидит у себя в каби нете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: «Сколько было бы теперь у него денег, если бы маменька Арина Петровна подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 рублей ассигнациями не присвоила бы себе, а положила бы в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 рублей ассигнациями». (Предположить, что Порфирию Владимировичу в момент счета было 53 года.) Сколько процентов в год платил ломбард?

Ответ: 4%.

2. В романе М. Е. Салтыкова-Щедрина «Господа Головлевы» сын Порфирия Владимировича Петя проиграл в карты казенные 3000 рублей и попросил у бабушки эти деньги взаймы. Он говорил: «Я бы хороший процент дач. Пять процентов в месяц». Подсчитай те, сколько денег готов вернуть Петя через год, согласись бабушка на его условия.

Ответ: 4800 рублей.

3. В новелле О. Бальзака «Гобсек» один из героев, господин Дервиль, взял у ростовщика Гобсека сумму в 150 000 франков сро ком на 10 лет под 15 % годовых. Вычислите, какую сумму вернул Дервиль Гобсеку по прошествии этого срока.

Ответ: 606 833,6 франка.