Модульный блок по теме "Квадратные уравнения"
материал по алгебре (8 класс) по теме

Решение квадратного уравнения.

Квадратным уравнением называется уравнение вида + bx +c = 0, где х – переменная, a,b и с – некоторые числа, причем а ≠ 0.

Числа  a,b и с – коэффициенты квадратного уравнения.

Числа  a называют первым коэффициентом, b – вторым коэффициентом и с – свободным членом. 

1. Неполные квадратные уравнения:

Если в квадратном уравнении + bx +c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

1) +c = 0;

2) + bx = 0;

3) = 0

        Рассмотрим примеры решения неполных квадратных уравнений:

                а)     +c = 0(с≠0):

                      х2 = - ;

Если   - > 0, то уравнение имеет два корня: ;

Если   - < 0, то уравнение не имеет корней.

Например:

1) 4х2 – 16 = 0,                                            2) -3х2 + 15 = 0,

4х2 = 16,                                                           -3х2 = -15,

  Х2 = 16 : 4,                                                        х2 = -15 : (-3),

  Х2 = 4,                                                               х2 = 5,

х = 4 = 2 или  х = -4 = -2.                              х = 5 или  х = -5.

Ответ: -2; 2.                                                 Ответ: 5; -5.

3) 2х2 + 8 = 0,                                             4) х2 – 25 = 0,

    2х2 = - 8,                                                      (х – 5)(х + 5) = 0,

     Х2 = -8 : 2,                                                  х – 5 = 0 или х + 5 = 0

     Х2 = -4 – корней нет.                                х = 5 или х = -5.

Ответ: корней нет.                                     Ответ: 5; -5.

Решите неполные квадратные уравнения, используя:

1. Подсказку примера №1 и №2

     4х2 – 64 = 0;                     3х2 – 27 = 0,

      2х2 – 16 = 0,                     - 5х2 + 35 = 0,

          - 4х2 + 16 = 0,                     25х2 – 16 = 0.

2. Подсказку примера №3 и №4

       4х2 + 64 = 0;                     3х2 + 27 = 0,

      х2 – 16 = 0,                     - 5х2 - 35 = 0,

          - 4х2 - 16 = 0,                     х2 – 36 = 0.  

б) + bx = 0(b≠0);

                              х() = 0;

                                х = 0; или = 0.

Например:

1)х2 – 6х = 0,                              2) 2х2 + 5х = 0,

х(х – 6) = 0,                                     х(2х + 5) = 0,

х = 0 или х – 6 = 0,                          х = 0 или 2х + 5 = 0,

                 х = 6.                                                 2х = -5,

Ответ: 0;6.                                                           х = -5 : 2

                                                                             х = -2,5.

                                                          Ответ: 0, -2,5.

3) 3х2 – 27х = 0,                          4) - 5х2 + 35х = 0,  

    3х(х – 9) = 0,                                 -5х(х – 7) = 0,

3х = 0 или х – 9 = 0,                          -5х = 0 или х – 7 = 0,

 х = 0 или х = 9.                                    х = 0 или х = 7.

 Ответ: 0; 9.                                        Ответ: 0; 7.

Решите неполные квадратные уравнения, используя

подсказку примеров №1, №2,№3 и №4.

     4х2 – 64х = 0;                     3х2 + 27х = 0,

      2х2 – х = 0,                     - 5х2 + 5х = 0,

          - 4х2 + 8х = 0,                     7х2 – 14х = 0.

2. Полное квадратное уравнение + bx +c = 0 решают с помощью формул:

Количество корней квадратного уравнения зависит от дискриминанта.

D = b2 - 4 - дискриминант.

 Если:

                             D < 0 – нет решений                            

                             D > 0 - два корня:

                             D = 0 – один корень: Х = .

Например:

1. 12х2 + 7х + 1 = 0,

а = 12, b = 7, с = 1,

D = 72 – 4*12*1 = 49 - 48 = 1>0 – 2 корня,

Ответ: х = -1/3; -1/4.

2. х2 – 12х + 36 = 0,

а = 1, b = -12, с = 36,

D = (-12)2 – 4*1*36 = 144 - 144 = 0 – 1 корень,

х =

Ответ: 6.

3. 7х2 - 25х +23 = 0

     а = 7, b = -25, с = 23

D = (-25)2 – 4*7*23 = 625 – 644 = - 19<0 – корней нет.

Ответ: корней нет.

Продолжите решения:

4. 2х2 + 3х + 1 = 0

а = 2, b = 3, с = 1

D = 32 – 4*2*1 = 9 – 8 = 1 > 0 – 2 корня

х1= …..

х2 = …..

5. х2 + 5х - 6 = 0

а = 1, b = 5, с = -6

D = 52 – 4*1*(-6) = 25 + 24 = 49…

х1= …..

х2 = …..

6. 2х2 + х + 2 = 0

а = 2, b = 1, с = 2

D = 12 – 4*2*2 = …..

7. 9х2 + 6х + 1 = 0

а = 2, b = 6, с = 1

D = 62 – 4*9*1 = 36 - 36 = 0…

Решите самостоятельно, используя примеры №1 - №4:

1. 2х2 + 3х - 5 = 0
2. 5х2 - 7х + 2 = 0
3. 3х2 + 5х - 2 = 0
4. 2х2 - 7х + 3 = 0
5. 3х2 + 2х - 5 = 0
6. 5х2 - 3х - 2 = 0.

Зачетная работа по теме «Решение квадратных уравнений»:

1 вариант

Решите уравнения:

7. 2х2 - 8 = 0
8. 5х2 - 20х  = 0
9. 3х2 + 15 = 0
10. 2х2 - 9х + 4 = 0
11. 3х2 + 7х - 6 = 0
12. х2 + 2х = 16х – 49 (перенесите все слагаемые в левую часть равенства, поменяв знаки слагаемых правой части на противоположные, приведите подобные слагаемые, решите квадратное уравнение с помощью формул).
13. (2х – 6)(х + 5) = 0 (произведение двух множителей равно нулю только тогда, когда каждый равен нулю, при этом другой множитель не теряет смысла при этих значениях переменной).
14. х2 – 100 = 0(разложите на множители).

2 вариант

Решите уравнения:

15. 2х2 - 14 = 0
16. 3х2 - 9х  = 0
17. 7х2 + 14 = 0
18. 2х2 + 3х - 2 = 0
19. 3х2 + 8х - 3 = 0
20. х2 - 6х = 4х - 25(перенесите все слагаемые в левую часть равенства, поменяв знаки слагаемых правой части на противоположные, приведите подобные слагаемые, решите квадратное уравнение с помощью формул).
21. (3х + 6)(х - 5) = 0(произведение двух множителей равно нулю только тогда, когда каждый равен нулю, при этом другой множитель не теряет смысла при этих значениях переменной).
22. х2 – 81 = 0(разложите на множители).

Разложение на множители.

1. Разложение на множители квадратного трехчлена.

Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена + bx +c, то

+ bx +c = (х – х1)(х – х2).

Так как корни квадратного трехчлена + bx +c совпадают с корнями квадратного уравнения + bx +c = 0, то количество корней квадратного трехчлена так же зависит от дискриминанта (D = b2 - 4)

                             D < 0 – нет решений                            

                             D > 0 - два корня:

                             D = 0 – один корень: Х = .

Рассмотрим примеры:

1. Разложить на множители квадратный трехчлен 12х2 + 7х + 1.

Найдем корни квадратного трехчлена, решив квадратное уравнение:

12х2 + 7х + 1 = 0,

а = 12, b = 7, с = 1,

D = 72 – 4*12*1 = 49 - 48 = 1>0 – 2 корня,

Разложим квадратный трехчлен на множители:

12х2 + 7х + 1 = 12(х – (-1/4))(х-(-1/3)) = 12(х + ¼)(х + 1/3)

Так как 12 = 4*3, то в один из множителей можно внести множитель 4, а в другой – 3, вспомните, что  (4*1/4 = 4/4 =1) и (3*1/3 = 3/3 = 1)

окончательно получим:

12х2 + 7х + 1 = (4х + 1)(3х + 1).

2. Разложить на множители квадратный трехчлен х2 – 12х + 36.

Найдем корни квадратного трехчлена, решив квадратное уравнение:

х2 – 12х + 36 = 0,

а = 1, b = -12, с = 36,

D = (-12)2 – 4*1*36 = 144 - 144 = 0 – 1 корень,

х =

Разложим квадратный трехчлен на множители:

х2 – 12х + 36 = (х – 6)(х – 6) = (х – 6)2.

3. Разложить на множители квадратный трехчлен 2х2 + 3х + 1.

Найдем корни квадратного трехчлена, решив квадратное уравнение:

     2х2 + 3х + 1 = 0

а = 2, b = 3, с = 1

D = 32 – 4*2*1 = 9 – 8 = 1 > 0 – 2 корня

х1= -1

х2 = -0,5

Получим:     2х2 + 3х + 1 = 2(х + 1)(х + 0,5) = (х + 1)(2х +2*0,5) =

=(х + 1)(2х +1).

4. Разложить на множители квадратный трехчлен х2 + 5х – 6.

Найдем корни квадратного трехчлена, решив квадратное уравнение:

     х2 + 5х - 6 = 0

а = 1, b = 5, с = -6

D = 52 – 4*1*(-6) = 25 + 24 = 49…

х1= …..

х2 = …..

   Получим: х2 + 5х – 6 = (х - …)(х - …)

5. Разложить на множители квадратный трехчлен 9х2 + 6х + 1.

Найдем корни квадратного трехчлена, решив квадратное уравнение:

     9х2 + 6х + 1 = 0

а = 2, b = 6, с = 1

D = 62 – 4*9*1 = 36 - 36 = 0…

   Получим:     9х2 + 6х + 1 = (х - … )(х - …).

Самостоятельно разложить на множители, используя вышерассмотренные примеры:

Вариант №1                                        Вариант №2

23. 2х2 + 3х – 5,                             2х2 - 3х – 2,                        
24. 5х2 - 7х + 2,                             5х2 - 3х - 2
25. 3х2 + 5х – 2,                             3х2 + 5х + 2,
26. 2х2 - 7х + 3,                              2х2 - 7х + 6,
27. 3х2 + 2х – 5,                             3х2 + 2х – 1,
28. 5х2 - 3х - 2.                               х2 - х - 30.

2. Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения:

а) Разложение разности квадратов на множители.

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

Приведем примеры применения этой формулы.

Разложить на множители выражение:

1. 36 – с2 = 62 – с2 = (6 –с)(6 + с);
2. х2 – 25 = х2 – 52 = (х - 5)(х + 5);
3. р2 – 1 = р2 – 12 = (р – 1)(р + 1);
4. х2 – у2 = (х – у)(х + у);
5. 1 – к2 = (1 – к)(1 + к);
6. 49х2 – 16у6 = (7х)2 – (4у3)2 = (7х – 4у3)(7х + 4у3);
7. 25х2 – 4у2 = (5х)2 – (2у)2 = (5х – 2у)(5х + 2у);
8. – х2 + 16у2 = 16у2 – х2 = (4у)2 – х2 = (4у – х)(4у + х);
9. -49р2 + 25к2 = 25к2 – 49р2 = (5к)2 – (7р)2 = (5к – 7р)(5к + 7р):
10.  9 – х2у2 = 32 – (ху)2 = (3 – ху)((3 + ху);
11.  4к2р2 – 1 =  (2кр)2 – 12 = (2кр – 1)(2кр + 1);
12. х4 – 9 =(х2)2 – 32 = (х2 – 3)(х2 + 3);
13. р8 – у4 = (р4)2 – (у2)2 = (р4 – у2)(р4 + у2);
14. 16х2у2 – 9р4 = (4ху)2 – (3р2)2 = (4ху – 3р2)(4ху + 3р2).

Разложите на множители, применив формулу , и используя в качестве подсказки вышерассмотренные примеры.

1. 16 – с2 = 42 – с2 =
2. х2 – 81 = х2 – 92 =
3. р2 – 9 =
4. с2 – у2 =
5. 1 – к2 =
6. 9х2 – 4у6 = (3х)2 – (2у3)2 =
7. х2 – 4у2 = (х)2 – (2у)2 =
8. – х2 + 49у2 = 49у2 – х2 =
9. -9р2 + 64к2 =

1. 4 – х2у2 = 22 – (ху)2 =
2. к2р2 – 1 =  (кр)2 – 12 =
3. 25х4 – 9у6 =
4. 4р8 – 100у4 =
5. 9х8у4 – 16р6 =
6. 0,81р6 – 0,01х4 =
7. 81х6у2 – 0,36к2 =

б) Разложение на множители суммы и разности кубов.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата  их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата  их суммы.

Приведем примеры применения этих формул.

Разложить на множители выражение:

1. 64 – с3 = 43 – с3 = (4 – c)(42 + 4c + c2) = (4 – c)(16 + 4c + c2)
2. х3 – 8 = х3 – 23 = (x - 2)(x2 + 2x + 22) = (x – 2)(x2 + 2x + 4)
3. р3 – 27 = p3 – 33 = (p – 3)(p2 + 3p + 32) = (p – 3)(p2 + 3p + 9)
4. с3 – у3 = (c – y)(c2 + cy + y2)
5. 1 – к3 = (1 – k)(1 + k + k2)
6. 64 + с3 = 43 + с3 = (4 + c)(42 - 4c + c2) = (4 + c)(16 - 4c + c2)
7. х3 + 8 = х3 + 23 = (x + 2)(x2 - 2x + 22) = (x + 2)(x2 - 2x + 4)
8. р3 + 1 = p3 + 13 = (p + 1)(p2 - p + 12) = (p + 1)(p2 - p + 1)
9. с3 + у3 = (c + y)(c2 - cy + y2)
10. 27 + к3 =  33 + k3 = (3 + k)(9 - 3k + k2)
11. 8х3 + 1 = (2х)3 + 13 = (2х + 1)(4х2 – 2х + 1)
12. –х3 + у3 = у3 – х3 = (у – х)(у2 + ху + х2)
13. -8 – р3 = - (23 + р3) = - (2 + р)(4 – 2р + р2).

Разложите на множители, применив формулы

 и используя в качестве подсказки вышерассмотренные примеры.

1. 8 – с3 = 23 – с3 =
2. х3 – 1 = х3 – 13 =
3. р3 – 64 =
4. р3 – к3 =
5. 125 – к3 =
6. 1 + с3 = 13 + с3 =
7. у3 + 64 = х3 + 43 =  
8. р3 + 1 = p3 + 13 =
9. к3 + р3 =
10. 8 + к3 =  
11. 64х3 + 1 = (4х)3 + 13=
12. –8х3 + у3 = у3 – 8х3 =
13. -х3 – р3 = - (х3 + р3) = - (х + р)(х2 – р + р2).

3. Разложение на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки:

Представление многочлена а виде произведения двух или нескольких многочленов называют разложением на множители. Например, рассмотрим многочлен 6х2у + 15у2. Каждый его член можно заменить произведением двух множителей, один из которых равен 3у:

                       6х2у + 15у2 = 3у*2х + 3у*5у

На основании распределительного закона умножения вынесем за скобки общий множитель 3у, получим:

                       6х2у + 15у2 = 3у*2х + 3у*5у = 3у(2х + 5у).

Примененный способ разложения многочлена на множители называют вынесением общего множителя за скобки.

Рассмотрим примеры разложения на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки.

Разложить на множители многочлен:

1. 5х + 5у = 5(х + у)
2. 4р – 4к = 4(р – к)
3. 3с + 15р = 3с + 3*5р = 3(с + 5р)
4. 2х – 6 ху = 2х – 2х*3у = 2х(1 – 3у)
5. -6к – 9р = -3*2к – 3*3р = -3(2к + 3р) (здесь имелось ввиду, что все слагаемые разделили на -3 и получили в скобках противоположные знаки!)
6. nx + ny = n(x + y)
7. –mc – c = -c(m + 1)  (здесь имелось ввиду, что с:с = 1!)
8. cy + y = y(c + 1)
9. 2y2 – 8y = 2y*y – 2y*4 = 2y(y – 4)
10. 3x + 6x2 = 3x + 3x*2x = 3x(1 + 2x)
11. m2 – mn = m(m – n)
12. –b2c2 – bc = -bc(bc + 1)
13. b3 – b7 = b3 – b3*b4 = b3(1 – b4) (нужно помнить, что вынесение за скобки общего множителя – это деление всех слагаемых на этот множитель. При делении степени с одинаковым основанием показатели степени вычитаются, а основание остается тем же. Например: х4: х2 = х4 – 2 = х2; у8: у3 = у8 – 3 = у5).
14. 3m2 + 9m3 = 3m(1 + 9m)
15. -12у4 – 16у = -4у(3у3 + 4)    (обратите внимание, что и 12 и 16 делятся на 4!)
16. 4х3у2 – 6х2у3 = 2х2у2(2х – 3у)   (За скобки выносят переменную в наименьшей степени! В данном случае х2у2 меньше, чем х3у3).
17. 18сd3 + 9d4 = 9d3(2c + d).

 Разложите на множители, применив вынесение общего множителя за скобки, и используя в качестве подсказки вышерассмотренные примеры.

1. 9х + 9у = 9(…)
2. 6р – 6к =
3. 3с + 12р = 3с + 3*4р =
4. 12х – 6 ху =
5. -16к – 12р = -4*4к – 4*3р =
6. кx + кy =
7. –mх – х = -х(…)
8. кy - y =
9. 3y2 – 9y =
10. 5x - 15x2 =
11. m2 – mр2 =
12. –к2c2 – кc3 =
13. b5 – b7 =
14. 4m2 + 16m5 =
15. -2у4 – 6у2 =
16. x4у2 – 6х2у3 =
17. 8сd4 + 12cd2 =

 Способ вынесения общего множителя часто используют при решении уравнений. 

Например:

Решим уравнение 2х2 + 3х = 0.

 В выражении 2х2 + 3х вынесем за скобки общий множитель х, получим:

                                       х(2х + 3) = 0

произведение х(2х + 3) равно нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей, т.е. когда

                              х = 0 или 2х + 3 = 0

решим втрое равенство 2х + 3 = 0

                                          2х = -3 (слагаемые переносятся в другую сторону                равенства поменяв знак на противоположный)

                                           х = -3 : 2 (чтобы найти неизвестный множитель х, нужно произведение -3 (оно записано в правой части равенства) разделить на известный множитель 2 (он записан в левой части равенства)

                                           х = - 1,5 (при делении отрицательного числа -3 на положительное число 2 получаем отрицательное число -1,5).

Запись решения этого уравнения будет иметь вид:

          2х2 + 3х = 0

х(2х + 3) = 0

                              х = 0 или 2х + 3 = 0

                                                2х = -3

                                                 х = -3 : 2

                                                 х = - 1,5

                               Ответ: 0; -1,5.

Решить уравнение:

1. х2 + 4х = 0                      

х(х + 4) = 0

х = 0 или х + 4 = 0

                 х = -4

Ответ: 0; -4.

2)х2 – 6х = 0,                              3) 2х2 + 5х = 0,

х(х – 6) = 0,                                     х(2х + 5) = 0,

х = 0 или х – 6 = 0,                          х = 0 или 2х + 5 = 0,

                 х = 6.                                                 2х = -5,

Ответ: 0;6.                                                           х = -5 : 2

                                                                             х = -2,5.

                                                          Ответ: 0, -2,5.

4) 3х2 – 27х = 0,                          5) - 5х2 + 35х = 0,  

    3х(х – 9) = 0,                                 -5х(х – 7) = 0,

3х = 0 или х – 9 = 0,                          -5х = 0 или х – 7 = 0,

 х = 0 или х = 9.                                    х = 0 или х = 7.

 Ответ: 0; 9.                                        Ответ: 0; 7.

Решите уравнения, используя подсказку вышеуказанных примеров

Вариант №1                                Вариант №2

     4х2 – 64х = 0;                     3х2 + 27х = 0,

      2х2 – х = 0,                     - 5х2 + 15х = 0,

          - 4х2 + 8х = 0,                     7х2 – 14х = 0.

      3х2 – 1,2х = 0;                     5х2 + 2,5х = 0,

      10х2 – х = 0,                     - х2 + 7х = 0,

          - 6х2 + 1,8х = 0,                     3х2 – 0,3х = 0.

        3х2 - 27х = 0,                       4х2 + 64х = 0;

      5х2 - 15х = 0,                       - 2х2 + х = 0,  

          7х2 + 1,4х = 0.                         3х2 + 1,8х = 0.

1. Разложение на множители способом группировки.

Иногда при разложении многочлена на множители используют способ группировки его членов. Рассмотрим примеры.

Пример №1. Разложить на множители многочлен mn – 2n + 3m – 6

Сгруппируем его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель:

              mn – 2n + 3m – 6 = (mn – 2n) + (3m -6).

В первой скобке общий множитель n, а во второй – число 3.

mn – 2n + 3m – 6 = (mn – 2n) + (3m -6) = n(m – 2) + 3(m – 2).

Каждое слагаемое имеет теперь общий множитель m – 2. Вынесем этот множитель за скобки:

mn – 2n + 3m – 6 = (mn – 2n) + (3m -6) = n(m – 2) + 3(m – 2) = (m – 2)(n + 3).

Разложение многочлена mn – 2n + 3m – 6 на множители можно выполнить , группируя его члены иначе:

        mn – 2n + 3m – 6 = (mn + 3m) + (-2n – 6) = m(n + 3) -2(n + 3) = (n + 3)(m – 2).

Пример №2. Разложить на множители многочлен mx + my – x – y.

Решение:

mx + my – x – y = (mx + my) – (х + у) = m(x + y) – (x + y) = (x + y)(m – 1).

Пример №3. Разложить на множители многочлен ху + 2у – 2х -4.

Решение:

ху + 2у – 2х -4 = (ху + 2у) + (-2х – 4) = у(х + 2) – 2(х + 2) = (х + 2)(у – 2).

Пример №4. Разложить на множители многочлен bx – y + x – by.

Решение:

bx – y + x – by = (bx + x) + (-y – by) = x(b + 1) – y(1 + b) = (b + 1)(x – y).

Пример №5. Разложить на множители многочлен x2 + 7x – cx – 7c.

Решение:

x2 + 7x – cx – 7c = (x2 + 7) + (-cx – 7c) = x(x + 7) – c(x + 7) = (x + 7)(x – c).

Используя вышерассмотренные примеры, разложите на множители многочлен способом группировки:

Вариант №1                                                    Вариант №2

mx + my + 6x + 6y =                                    ax + ay – x – y =

9х + ку + 9у +кх =                                        ay – cy + 5a – 5c

7с – 7у + сх – ху =                                        1 – bx – x + b =

bc – 8c – bx + 8x =                                        ax – 2bx + ay – 2by =

x3 + x2 + x + 1 =                                             y5 – y3 – y2 + 1 =.

Линейное уравнение с одной переменной.

Определение. Уравнение вида ах = b, где х – переменная, а и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.

Рассмотрим уравнение ах = b.

Если не равно нулю, то:  х = а : b и уравнение ах = b имеет 1 корень.

Если равно 0, а b не равно нулю, то уравнение ах = b не имеет корней.

Если равно 0 и b равно нулю, то решением уравнения ах = b будет значение х, то есть уравнение имеет бесконечное множество решений.

Пример №1: решим уравнение 4(х+7) = 3 – х

Раскроем скобки: 4х + 28 = 3 – х

Перенесем слагаемое –х в левую часть уравнения, а слагаемое 28 в правую часть, при этом поменяем их знаки на противоположные:

                                  4х + х = 3 – 28

Приведем подобные слагаемые (для этого необходимо сложить числовые коэффициенты, стоящие перед х, 4 + 1 = 5(вспомните, что коэффициент 1 перед переменной не пишут, но о нем помнят))

                                5х = -25

Разделим обе части уравнения на 5(т.е на известный множитель, стоящий перед х)

                                    х = -25 : 5

                                    х = -5

                         ответ: х = -5

Пример №2. Решите уравнение: 12 – х = 16 – 11х

Перенесем слагаемое –11х в левую часть уравнения, а слагаемое 12 в правую часть, при этом поменяем их знаки на противоположные:

                                                         -х + 11х = 16 - 12

Приведем подобные слагаемые (для этого необходимо сложить числовые коэффициенты, стоящие перед х, -1 + 11 = 10(вспомните, что коэффициент -1 перед переменной не пишут, но о нем помнят))

                                                           10х = 4

                                                           х = 4:10

                                                            х = 0,4

                                 ответ: х = 0,4

Пример №3. Решите уравнение: 5х – 7 = 10х + 8

                                                          5х – 10х = 8 + 7

                                                           -5х = 15

                                                             х = 15: (-5)

                                                              х = -3

                                                 ответ: х = 0,4

Пример №4. Решите уравнение: (у + 4) – (у – 1) = 6у

Раскроем скобки: у + 4 – у + 1 = 6у

Вспомним, что если перед скобками стоит знак «+» или нет никакого знака вовсе, то скобки нужно убрать, а слагаемые переписать с теми знаками, что и в скобке.

Если же перед скобкой стоит знак «-», скобки убирают, а слагаемые переписывают с противоположными знаками!

                                         у – у – 6у = -4

                                              -6у =-4

                                               у = -4: (-6)

                                              у =

                               ответ: у =

Пример №5. Решите уравнение: 3р – 1 – (р + 3) = 1

                                                         3р – 1 – р – 3 = 1                 

                                                                 4р = 1 + 1 + 3

                                                                  4р = 5

                                                                  р = 5: 4

                                                                  р = 1, 25

                                  ответ: р = 1,25

Пример №6. Решите уравнение: 3х – 27 = 0

                                                         3х =…

                                                         х = 27: ...

                                                         х = 9

                                       ответ:

Пример №7. Решите уравнение: 8х + 14 = х – 14

                                                         8х – х = …

                                                         …х = - 28

                                                            х = …

                                            ответ: х = -4

Пример №8. Решите уравнение: (х + 3) – (8 – 5х) = 7

                                                           х + 3 – 8 + 5х = 7

                                                            х + 5х = …

                                                             …..

                                             Ответ:

Самостоятельная работа

Решите уравнения, используя подсказки рассмотренных примеров:

5х – 25 = 0               2х + 6 = 26 – 3х               20х = 19 – (3 + 12х)

12х – 1 = 35              3х – 8 = х + 6                  6х – (7х – 12) = 12

6х + 6 = -30               8 – у = 4 + у                    (13х – 15) – (9 + 6х) = - 3х

-7х + 2 = - 12             0,8 – у = 3,2 + у              5х + (3х – 3) = 6х + 11.

Степень с натуральным показателем.

Произведение нескольких одинаковых множителей можно записать в виде выражения, называемого степенью. Например,

                              5 = 58

Повторяющиеся множители называют основанием степени, а число повторяющихся множителей – показателем степени.

Так, в выражении 58 число 5 – основание степени, а число 8 – показатель степени.

Степенью числа  с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен .

Степенью числа  с показателем 1 называется само число .

34 = 3×3×3×3 =81

02 = 0×0 = 0

(-2)2 = -2×(-2) = 4

(-2)4 = -2×(-2) ×(-2)×(-2)  = 16

(-2)6 = -2×(-2) × (-2)×(-2) ×(-2)×(-2)   = 64

Степень отрицательного числа с четным показателем – положительное число!

 (-2)3 = -2×(-2) ×(-2) = -8

(-2)5 = -2×(-2) ×(-2)×(-2) ×(-2)  = -32

(-2)7 = -2×(-2) × (-2)×(-2) ×(-2)×(-2) ×(-2) = -128

Степень отрицательного числа с нечетным показателем –отрицательное число!

 Вычислить:

7×52 = 7×25 = 175                    10 - 5×24 =

(7×5)2 = 352 = 1225                   2×34 – 24×3 =

-13 + (-2)3 = -1 +(- 8) = -9          -82 + (-3)3 =

Свойства степени с натуральным показателем.

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

х5х12 = х5+12 = х17

уу7 = у1+7 = у8

хх6х3 = х1+6+3 = х10

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

х15 : х12 = х15-12 = х3

у10:у7 = у10-7 = у3

                                                      0 =1

Степенью числа , не равного нулю, с натуральным показателем равна единице.

3.При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.

                                    (m)n =  mn

(х3)4 = х3×4 = х12 

4.При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результат перемножают.  

                                (b)n = n  bn 

(2х2у)3 = 23(х2)3у3 = 8х6у3

а) Запишите в  виде степени с основанием х выражение:

(х6)4; х3х8; х6: х4; х2х3х4; ((х2)3)4; (хх4)3.

б) Упростить:

      х3(х2)5; (у4)2:(у2)3; (х3х5)2.

в) Найдите значение выражения:

   56: 54;  1015 : 1012;  85 : 83;  2454;  43253; 25(23)4: 213.

Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень.

При умножении одночленов и возведении одночлена в степень используется правило умножения степеней с одинаковыми основаниями и правило возведения степени в степень. При этом получают одночлен стандартного вида, т.е. в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных.

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. 

Коэффициенты одночленов mn и –xc2 равны соответственно 1 и -1.

1. Выполнить умножение:

2у × 4х; -8х × 5х4; х2у4(-6ху2); -5су3(-4с4у2).

2. Представить выражение в виде одночлена стандартного вида:

           25х4(3х3)2;  (-3с6)4с2;  8р15(-р)4; (2mn)4(-7m2n);  10c4q4(0,1cq)3.

Умножение одночлена на многочлен.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученное произведение сложить.

- 3m2 × (4m3 – m + 10) = -3m2 ×4m3 – 3m2 × (-m) -3m2 ×10 = -12m5 + 3m3 -30m2.

Если в записи многочлена встречаются слагаемые, имеющие одну и ту же буквенную часть, то такие слагаемые называют подобными.

Привести подобные слагаемые, значит сложить их числовые коэффициенты, а букву просто приписать рядом!!!

10х + 2х – 5х = (10 + 2 – 5)х = 7х

4ух – 5 – 9ух + 6 = -5ух + 1

Необходимо помнить и правило раскрытия скобок!

Если перед скобкой стоит знак «+», то нужно убрать скобки, а слагаемые, стоящие в скобках переписать с теми же знаками.

Если перед скобкой стоит знак «-», то нужно убрать скобки, а слагаемые, стоящие в скобках переписать с противоположными знаками.

Например: (1 + 3х) + (х2 – 2х) = 1 + 3х + х2 – 2х = 1 + х + х2;