Задания по теме "Тригонометрические уравнения, системы и неравенства с параметром, 10-11 класс
методическая разработка (алгебра, 10 класс) на тему

Задания по теме:

«Тригонометрические уравнения, системы уравнений и неравенства с параметром.

Определение: Решить уравнение f (х; а) = 0 с параметром а – это значит для каждого действительного значения а найти значения х, удовлетворяющих уравнению, или установить, что таких нет.

При решении тригонометрических уравнений с параметром наряду с единичной окружностью желательно пользоваться координатной прямой для параметра. По мере решения уравнения на прямой появляются точки, разбивающие прямую на части, над каждой из которых мы записываем множество корней уравнения. Если координатная прямая заполнена, то это свидетельствует о том, что решение закончено и можно записывать ответ, что труда уже не составляет. Рассмотрим сначала решение несложных тригонометрических уравнений с параметром.

Пример 1. sin x = a – 1

 ОДЗ:   х ∈R, 

             a ∈R. |sin x| ≤ 1.

1)  Пусть | а - 1| < 1, то есть -1 < а – 1 < 1, 0 < а < 2, тогда х = (-1)к arcsin (а – 1) + πк, к ∈ Z *

2) | а - 1| = 1;   а – 1 = 1,       а = 2,

                        а – 1 = -1        а = 0.

если а = 0, то решаем уравнение  sin x = -1, х = -π2 + 2πn, n∈Z **

если а = 2, то решаем уравнение sin x = 1, х = π2 + 2πm, m ∈Z ***

3) | а - 1| > 1,   а > 2,

                        а < 0. Решений нет.

                        ⊘                  * *                   *                          ***                            ⊘

a

2

0

Ответ: если а = 0, то х = -π2 + 2πn, n∈Z

             если а = 2, то х = π2 + 2πm, m ∈Z 

             если 0 < а < 2, то х = (-1)к arcsin (а – 1) + πк, к ∈ Z

             если    а > 2,

                         а < 0, то решений нет

Пример 2. cos x = m + 1

ОДЗ.   m ∈R,

            x ≥ 0.

                          ⊘              * * *            *        **                 ****           ⊘                      

-2

m

0

1)  пусть |m + 1| < 1, -1 < m + 1< 1, -2 < m < 0   x= ±arccosm+1+2πk,k∈Z.Так как х 0, то k может принимать не любые целые значения
          а) если х = arccosm+1+2πk,   то k = 0; 1; 2; 3…

б) если х = -arccosm+1+2πn,   то n = 1; 2; 3…

Найдем х:

а) х = (arccos (m + 1) + 2πk)2, k = 0; 1; 2; 3…  *

б) x = (-arccos (m + 1) + 2πn)2, n = 1; 2; 3… **

2) m = -2, cos x = -1, x = π + 2πt, t = 0; 1; 2; 3…

                                           x = ( π + 2πt)2, t = 0; 1; 2; 3…***

3) m = 0, cos x = 1, x = 2πl, l = 0; 1; 2; 3…

                                        x = 4π2l2, l = 0; 1; 2; 3…****

4)    m < -2,

       m > 0,  решений нет.

Ответ: если  m = -2,  то x = ( π + 2πt)2, t = 0; 1; 2; 3…
                если  m = 0, то  x = 4π2l2, l = 0; 1; 2; 3…

             если -2 < m < 0   то   х = (arccos (m + 1) + 2πk)2, k = 0; 1; 2; 3…  

                                                   x = (-arccos (m + 1) + 2πn)2, n = 1; 2; 3…

             если m ∈ (-∞; -2)∪(0; +∞),  то решений нет.

Пример 3. tg 2x – tg (x - π4 ) = c – 1   ОДЗ     x≠π4+πk2, k ∈ Z

                                                                         c ∈ R

                     * * *                    *                       ⊘                         **                 ***                              

c

0

2

1)  Применим формулу тангенса двойного аргумента и тангенса разности. Происходит сужение ОДЗ уравнения на π2 +πk, k ∈ Z. Проверим эти числа подстановкой в исходное уравнение   tg π – tg  π4  = c – 1, -1 = с – 1, с = 0.

если   с = 0, то х =  π2 +πk, k ∈ Z. *

2) c ≠ 0              2tg x1- tg2x- tg x-11+tg x = c – 1

                          2 x + tg2x – 2tg x + 1 = c – 1 – (c – 1) tg2x  

                          tg x ≠ ± 1

                        tg2x = c-2c.  Обозначим tg x = t, t ≠ ± 1

+

-

+

t ≠ ± 1t2 = c-2c 

с ≠ 0                                 0                              2                                  c

Если с ∈ (0; 2), то решений нет;

Если с = 2, то tg x = 0;

                       x = πn, n ∈  Z **

Если с ∈ (-∞; 0) ∪ (2; +∞), то tg2x = c-2c.  Легко видеть, что c-2c ≠ 1, х = ± arctg c-2c + πm, m ∈  Z ***

Ответ: если   с = 0, то х =  π2 +πk, k ∈ Z;

            если с = 2, то x = πn, n ∈  Z;

            если с ∈ (-∞; 0) ∪ (2; +∞), то, х = ± arctg c-2c + πm, m ∈  Z;

            если с ∈ (0; 2), то решений нет.

Пример 4.  cos2x + 6 sin x = 4a2 – 2

ОДЗ    х ∈R, 

            a ∈R.

Пусть sin x = у, | у | ≤ 1.

1 – sin2 x + 6 sin x = 4a2 – 2,  

у2 – 6у + 4a2 + 2 = 0.

                                 ⊘             ⊘             ⊘      ⋇⋇            ⋇           ⋇⋇        ⊘             ⊘             ⊘

D1 = 4 (3 – a2)                    

                                               -3                  -2                       2                     3                 a                        

1)    3 – a2 < 0, | a | > 3 , решений нет

2)   а = ±3,   у2 – 6у + 9 = 0

                        (у – 3)2 = 0

                        у = 3, но | у | ≤ 1, поэтому  решений нет.

3) D > 0, -3  < а < 3 ,      у = 3 + 23- a2  , y > 1                                                      

                                             у = 3 - 23- a2 

Остается sin x = 3 - 23- a2 

 -1 ≤ 3 - 23- a2  ≤ 1,     3- a2  ≤ 2,          3 – а2 ≤ 4,             а2 ≥ -1  

 -3 < а < 3;                   3- a2  ≥ 1,           3 – а2 ≥ 1,             а2 ≤ 2

                                          -3 < а < 3;           -3 < а < 3;       -3 < а < 3;  

-2  ≤ a ≤ 2 

-3 < а < 3;    | a | ≤ 2

 если | a | ≤ 2, то х = (-1)k arcsin (3 - 23- a2 ) + πk, k∈  Z *

 если | a | = 2, то х =  π2 +πn, n ∈ Z **

 если | a | > 2, то решений нет.

Ответ: если | a | ≤ 2, то х = (-1)k arcsin (3 - 23- a2 ) + πk, k∈  Z

            если | a | = 2, то х =  π2 +πn, n ∈ Z

            если | a | > 2, то решений нет.

Пример 5. sin2 x - sin x· cos x - 2 cos2x = а

ОДЗ    х ∈R, 

            a ∈R.

sin2 x - sin x· cos x - 2 cos2x - а sin2 x - а cos2x = 0,

(1 – а) sin2 x - sin x· cos x – (а + 2) cos2x = 0, разделим уравнение на cos2x≠0, получим

1.  Пусть cos x ≠ 0,  (1 – а) tg2x – tg x – (a + 2) = 0,

1)   a = 1, tg x = -3, x = - arctg 3 + πn, n ∈ Z *

2)   a ≠ 1, D ≥ 0, D = 9 – 4a2 – 4a,  4a2 + 4a – 9 ≤ 0

                                                           - 1- 10 2≤a≤- 1+102 , a ≠ 1

    tg x = 1 ± 9-4a2-4a21-a,

    x = arctg  1 ± 9-4a2-4a21-a +πm, m ∈  Z **                                                

          ⊘            v           **                   *vvv           **                 vv               ⊘                         a

                     - 1-102                             1                                    -1+102         

если  a = - 1- 10 2 , то х =  arctg (10 - 3) +πm, m∈  Z    v

если  a = - 1+ 10 2 , то х =  arctg (-10 - 3) +πm, m∈  Z  vv

2. Пусть cos x = 0, тогда   cos x = 0,                         х  =  π2 +πk, k ∈ Z  vvv

                                            sin2 x · (а – 1) = 0;           a = 1.

Ответ: если а ∈ (-∞;- 1- 10 2) ∪ (- 1+102; +∞), то решений нет;

            если а ∈ (- 1- 10 2;1) ∪ (1; - 1+102), то x = arctg  1 ± 9-4a2-4a21-a +πm, m ∈  Z;

            если  a = - 1- 10 2 , то х =  arctg (10 - 3) +πm, m∈  Z;    

            если а = 1, то    х  =  π2 +πk, k ∈ Z,    

                                       x = - arctg 3 + πn, n ∈ Z;

            если  a = - 1+ 10 2 , то х =  arctg (-10 - 3) +πm, m∈  Z.  

Пример 6. Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений

                  sin x· cos 2у = а2 + 1

                  sin 2у· cos х = а имеет решения и решите систему.

ОДЗ    х ∈R, 

            у ∈R,

            a ∈R.

 sin x· cos 2у = а2 + 1, +      sin (x + 2у) = а2 + а + 1,    а2 + а + 1 ≤ 1,     а(а + 1) ≤ 0,

 sin 2у· cos х = а;         -      sin (x – 2у) = а2 - а + 1;     а2 - а + 1 ≤ 1;      а(а - 1) ≤ 0.

Видим, что а = 0. Получим систему   sin (x + 2у) =1,     x + 2у = π2 +πk, k ∈ Z,    

                 sin (x – 2у) = 1;     x – 2у = π2 +πn, n ∈ Z;

x = π2 +π(k +n),  

у = π2 (k – n), n,k ∈ Z;    

 Ответ: система имеет решение только при а = 0.  x = π2 +π(k +n),  

                                                                                       у = π2 (k – n), n,k ∈ Z.  

Пример 7. Найдите все значения параметра а, при которых для любого действительного значения х   выполнено неравенство 2а – 4 + а(3 – sin2 x)2 + cos2x < 0.

ОДЗ    х ∈R, 

            a ∈R.

Пусть sin2 x = t,  | t | ≤ 1

2а – 4 + а(3 – t)2 + 1 - t < 0,

at2 – (6a + 1) + 11a – 3 < 0.

Найдем все значения параметра а, при которых f(t) = at2 – (6a + 1) + 11a – 3 будет отрицательным при любом | t | ≤ 1.

1)  а = 0,  f(t) = - t – 3  меньше нуля для любых | t | ≤ 1.

2) а > 0,     а > 0,                                                   а > 0                                  

                  f(0) = 11а – 3 < 0,                                а <311,                                                              

                  f(1) = а - 6а – 1 + 11а - 3 < 0;             а <23.              0 < а < 311.

3) а < 0  

 а)   D = 1 + 24а – 8а2 < 0

       а < 0,                            а < 6- 384.   

б)   t1 ≤ t2 < 0    

а < 0,  

D ≥ 0,

t0 = 6a+12a<0,

 f(0) = 11а – 3 < 0;                 6- 384≤a≤0. 

   в) 1 < t1 ≤ t2

а < 0,

D ≥ 0,

 6a+12a>1,

 f(1) = 6а – 4 < 0;  ⊘

 Ответ: а ∈ (-∞; 311 ).